5.3一次函数的图象与性质（第2课时）导学案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦正比例函数的图象与性质，通过创设情境让学生在同一坐标系中绘制四个正比例函数图象，观察发现规律，搭建从图象绘制到性质探究的学习支架，衔接前后知识脉络。 以“操作-观察-猜想”为主线，通过表格对比k>0与k<0时的图象特征和性质，结合特殊直线位置关系探究，培养学生的几何直观与抽象能力。习题设计多样且解析详细，注重性质应用与逻辑推理，助力发展推理意识和应用意识，提升数学思维品质。

5.3一次函数的图象与性质（第2课时）导学案 【学习目标】 1. 掌握正比例函数的图象与性质，并能灵活利用. 2. 经历“操作-观察-猜想”的过程，提高实践能力，增强对函数的认识. 3. 通过解决问题，体会数形结合的思想方法. 【学习重点】 正比例函数的图象与性质 【学习难点】 用正比例函数的图象与性质解决问题 1、 创设情境： 在同一平面直角坐标系中画出下列正比例函数的图象. (1) ； (2)； (3)； (4). 观察所画的4个函数图像，你有什么发现？ 2、 探究新知： 活动一、探究正比例函数的图象和性质： 正比例函数具有以下图象特征和性质： 函数表达式 y=kx（k＞0） y=kx（k＜0） 函数图象 图像经过的象限 一、三 二、四 函数变化趋势 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 活动二、探究具有特殊位置关系的直线 在上面的图象中，直线和直线有什么特殊的位置关系吗？你能说说其中的道理吗？ 结论：直线l1：与直线l2：关于y轴对称. 3、 例题精讲： 例1．已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该正比例函数图象上的两点，试比较、的大小． 巩固练习： 1．下列3个函数：①；②；③，随着的增大，的变化情况相同的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．已知函数图象上存在两点，，则（   ） A． B． C． D．a、b大小无法确定 3．已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条双曲线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 4．已知正比例函数，则当时，函数的最大值为（   ） A． B． C．3 D．6 5．在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，且随的增大而减小，则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若函数y＝kx的图象经过点（k，4），且经过第二、四象限，则k的值为（    ） A．2 B．－2 C．±2 D．±4 7．若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 8．若正比例函数的图像经过点和点，当时，则（    ） A． B． C． D． 9．若正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是 （    ） A． B． C． D． 10．已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有 12．在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点和．若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 13．如果正比例函数的图象经过第一、三象限，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数即可） 14．在正比例函数的图象上有三点，，，则用“＞”号将，，连接起来的结果是 ． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OBCD是正方形，点B（1，0），请写出一个图象与该正方形有公共点的函数表达式： ． 第15题 第21题 16．正比例函数y=12x的图象在 象限内，经过点（0， ）与点（1， ），y随x的增大而 ． 17．若正比例函数的函数值y随x的增大而减小，且函数图像上的点到两坐标轴距离相等，则m的值为 ． 18．直线经过第 象限，随增大而 ． 19．若正比例函数的图象上有一点，且，则的值为 ． 20．若是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值是 ． 21．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，A点的对应点在直线上，则点B与其对应点间的距离为 ． 22．已知正比例函数，且y随x的增大而增大，求m的值． 23．已知函数是正比例函数． (1)若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值； (2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值． 参考答案 例1（1）解：正比例函数的图象经过第二、四象限， 解得； （2）解：由（1）知，，则正比例函数中y的值随x的增大而减小， 点，是该正比例函数图象上的两点， ， ． 巩固练习 1．B 【分析】本题主要考查了一次函数与正比例函数的性质，对于一次函数（k为常数，）和正比例函数，当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：在中，随着的增大，增大， 在中，随着的增大，减小， 在中，随着的增大，增大， ∴随着的增大，的变化情况相同的是①③， 故选：B． 2．A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据解析式可得y随x增大而增大，再由即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数解析式为， ∴y随x增大而增大， ∵点，在正比例函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据正比例函数的定义及系数的符号逐一分析判断即可. 【详解】解： 选项A：正比例函数的图象是一条过原点的直线，而非双曲线（双曲线是反比例函数的图象），因此A错误； 选项B：将代入函数，得，即图象经过点，而非，故B错误； 选项C：系数，正比例函数中当时，图象经过第一、三象限，因此C正确； 选项D：由于，函数中随的增大而增大，而非减小，因此D错误； 故选：C 4．D 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．根据正比例函数的性质，当比例系数时，函数值随的增大而增大．因此，在区间内，函数的最大值出现在的最大值处． 【详解】解：∵时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，判断点所在的象限，根据正比例函数的性质，结合点的坐标特征，判断k和a的符号，从而确定点所在的象限，即可作答． 【详解】解：∵随的增大而减小， ∴正比例函数的，且经过第二、四象限， ∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴在第二象限， 故选：B 6．B 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，结合正比例函数图象经过第二、四象限，即可确定k的值． 【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点A（k，4）， ∴， ∴k=±2． 又∵正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限， ∴k＜0， ∴k=-2． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k的方程是解题的关键． 7．A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，将点代入解析式，根据，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，， ， ，即，故选项B，C，D错误， ， ，选项A正确； 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查了正比例函数的增减性，即当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，根据正比例函数的大小变化规律判断的符号是解题关键． 根据正比例函数的大小变化规律，结合题意，可得随的增大而减小，即，即可求解． 【详解】解：在正比例函数的图象中，时，， 随的增大而减小， ，解得：． 故选：B． 9．D 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质．由题意可知，正比例函数中，故图象经过第二、四象限．根据各选项点的坐标所在象限及正比例函数必过原点的性质，逐一排除即可确定答案． 【详解】解：∵正比例函数中，y随x的增大而减小， ∴，函数图象经过第二、四象限． ∵点在第一象限，点在y轴正半轴，点在第三象限，点在第四象限， ∴符合题意只有D选项． 故选：D 10．C 【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第二、四象限的条件，确定比例系数的符号，进而求解的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， 解得． 故选：C． 11．C 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数图象和性质，是解题的关键．正比例函数，当直线经过一、三象限，随的增大而增大；当直线经过二、四象限，随的增大而减小．根据正比例函数的性质，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：A. 当时，，故图象经过点，而非，选项A错误； B. 正比例函数的图象经过的象限由的符号决定，因，图象经过第二、四象限，而非第一、三象限，选项B错误； C. 当时，随的增大而减小，正比例函数中，故随的增大而减小，选项C正确； D. 当时，，此时不满足；当时，，故选项D错误． 故选：C． 12．D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由题意可得，，代入计算即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象经过点和， ，， ， ， ， 的值为， 故选：D． 13．1（答案不唯一） 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键，根据题意，可得，即可求解． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ，则实数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 14． 【分析】根据正比例函数图象的性质求解即可． 【详解】解：正比例函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； ∴在正比例函数中 ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查正比例函数图象的性质，掌握正比例函数图象的性质是解题的关键． 15．（答案不唯一） 【分析】先设出函数解析式，利用待定系数法，在正方形的边上任取一点，写出它的坐标，将坐标代入解析式求解即可． 【详解】解：∵四边形OBCD是正方形，点B（1，0）， ∴ 设过C的正比例函数为． ∴所求的函数解析式为：   故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，掌握“待定系数法”是解本题的关键． 16． 一、三 0 12 增大 【分析】为正比例函数，过原点，再通过值的正负判断过哪一象限；当时，；当时，；又，可判断函数的增减性． 【详解】解：为正比例函数，过原点， ， 图象过一、三象限． 当时，，当x=0时，y=0， 故函数的图象经过点，（ 0，0）； 又， 随的增大而增大． 故答案为：一、三；0；；增大． 【点睛】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是注意根据()中的正负判断函数的增减性． 17． 【分析】根据函数值y随x的增大而减小，可得出的正负，根据函数图像上的点到两坐标轴距离相等可得出的值． 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得：， ∵函数图像上的点到两坐标轴距离相等， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题的关键． 18． 一、三 增大 【分析】本题考查了正比例函数图象与性质，根据正比例函数图象与系数的关系即可求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵中， ∴直线经过第一、三象限，随增大而增大， 故答案为：一、三，增大． 19．1 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，根据正比例函数的图象上有一点，且，得出，再解得，最后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵正比例函数的图象上有一点，且， ∴经过第二、四象限，， ∴， ∴，， 解得， ∴， 故答案为：1 20． 【分析】本题考查了正比例函数的性质，解不等式，根据题意得，进行计算即可得；掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是正比例函数，且y随x的增大而减小， ∴， 解得，． 故答案为：． 21．4 【分析】本题考查坐标与平移，正比例函数的图象，根据平移得到的纵坐标为，代入，求出的值，进而求出A点与对应点点的距离，即为B与其对应点间的距离． 【详解】解：由平移，可知：轴，A点与对应点点的距离等于B与其对应点间的距离， ∵， ∴的纵坐标为， ∴当时，则：， ∴， ∴点B与其对应点间的距离为； 故答案为：4． 22．2 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义计算即可． 【详解】解：∵正比例函数，且 y随x的增大而增大， ∴， 解得． 23．(1)； (2) 【分析】（1）由函数关系式中y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值； （2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． ∵函数关系式中y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴． （2）∵函数的图象过第一、三象限， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$