专项突破08 图形变换与坐标变化（期末复习-知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册精讲练

专项突破08 图形变换与坐标变化 （知识回顾+15种重难点培优题型+真题演练 共45题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：平移与坐标变化 2 知识点梳理02：轴对称与坐标变化 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 求点到坐标轴的距离 3 题型2 坐标系中的平移 4 题型3 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 5 题型4 由平移方式确定点的坐标 6 题型5 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 7 题型6 已知图形的平移，求点的坐标 8 题型7 已知平移后的坐标求原坐标 10 题型8 坐标系中的对称 11 题型9 坐标与图形变化—轴对称 12 题型10 坐标系中的旋转 13 题型11 求关于原点对称的点的坐标 14 题型12 已知两点关于原点对称求参数 16 题型13 中点坐标 16 题型14 坐标系中的动点问题（不含函数） 17 题型15 点坐标规律探索 18 期末真题 实战演练 19 知识点梳理01：平移与坐标变化 一、平移的概念 在平面内，把一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。平移前后的图形全等。 二、平移的基本性质 平移的实质是图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。连接对应点的线段平行或在同一条直线上且相等，对应角相等。 三、平移与坐标变化的关系 1.在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴方向或y轴方向平移后，所得图形可以看作是由原图形经过一次平移得到的。 2.每组对应点坐标的变化规律都相同。具体来说，当一个图形向右平移a个单位时，其横坐标增加a，纵坐标不变；向左平移a个单位时，横坐标减少a，纵坐标不变。当一个图形向上平移b个单位时，其纵坐标增加b，横坐标不变；向下平移b个单位时，纵坐标减少b，横坐标不变。因此，平移后的坐标公式为(x±a, y±b)，其中a、b为非负数，符号由平移方向决定。 3.通过找准对应点之间的坐标变换规律，可以确定平移的方向和距离。 知识点梳理02：轴对称与坐标变化 一、确定平面上物体位置的方法 坐标法：平面上物体的位置可以用有序实数对来确定，在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系，简称直角坐标系。坐标系所在的平面就叫做坐标平面。 二、坐标与点的位置关系 根据坐标可以描出点的位置，由点的位置也可以写出它的坐标。x轴上的点纵坐标为0，表示为（x,0）；y轴上的点横坐标为0，表示为（0,y）。 掌握各象限上及x轴，y轴上点的坐标的特点：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）。 三、轴对称与坐标变化 关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。即点（x,y）关于x轴对称的点坐标为（x,-y）。 关于y轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。即点（x,y）关于y轴对称的点坐标为（-x,y）。 关于原点对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。 四、图形变换与坐标变化 在同一直角坐标系中，可以感受图形变换后点的坐标的变化。例如，平移变换时，图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。具体来说： 将一个图形沿x轴方向平移a个单位长度时，图形上每个点的纵坐标不变，横坐标增加或减少a个单位长度。 将一个图形沿y轴方向平移a个单位长度时，图形上每个点的横坐标不变，纵坐标增加或减少a个单位长度。 题型1 求点到坐标轴的距离 【精讲】（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，点，连接．已知a与b满足：． (1)直接写出：_____；_____； (2)如图，y轴上有一动点（），连接．第一象限内作射线；过点B作交x轴于C点，点Q在射线上，且； ①求C的坐标；（用m表示） ②连接，请问与有怎样的位置关系，并说明理由． 【变式】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知． (1)直接写出点C到x轴的距离； (2)求作关于x轴对称的图形，并写出各顶点坐标； (3)点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 题型2 坐标系中的平移 【精讲】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）长方形的长为5，宽为3，将该长方形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，已知点，则点的坐标为 ． 【变式】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1． (1)分别求的值． (2)设的立方根为，在同一个平面直角坐标系中还有一点，点，请指出点是怎样由点平移得到的？ 题型3 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【精讲】（24-25八年级上·浙江·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【变式】（22-23七年级下·广西贺州·期末）如图，三角形（记作）三个顶点的坐标分别是，，，先将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．    (1)在图中画出； (2)若点在轴上运动，当线段长度最小时，点的坐标为______； (3)求面积． 题型4 由平移方式确定点的坐标 【精讲】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）将点向上平移个单位后得点，若点关于轴对称，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标________； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的坐标为，则点P的对应点的坐标为________． 题型5 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【精讲】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，是由经过平移得到的，点，，的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明是由经过怎样的平移得到的； (2)若点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为，求和的值； (3)连接，则______． 【变式】（24-25七年级下·湖南·期末）如图①，在平面直角坐标系中，点，，且实数，满足． (1)直接写出，两点的坐标； (2)将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，设点的坐标为，连接，，求的面积． (3)如图②，连接，，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的取值范围． 题型6 已知图形的平移，求点的坐标 【精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为． (1)将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到（点与、点与、点与对应），请画出，并写出点、点的坐标； (2)直接写出的面积 ． 【变式】（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，网格中每个小正方形的边长为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．图中，，三点都是格点，若，． (1)在网格中画出符合要求的直角坐标系，并写出点的坐标为______； (2)将三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位，得到三角形，在此网格中画出三角形点，，分别与点，，对应，直接写出点的坐标为______； (3)已知点，，点是线段上的一个动点，求出线段的最小值． 题型7 已知平移后的坐标求原坐标 【精讲】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知，，且满足． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求出的度数； (3)如图2，把直线以每秒1个单位的速度向左平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点． 【变式】（21-22七年级下·内蒙古通辽·期中）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为 ． 题型8 坐标系中的对称 【精讲】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴对称的，其中点的对应点是点，点的对应点是点； (2)请分别写出点的坐标，并求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的值最小，点的坐标为___________． 【变式】（25-26八年级上·福建厦门·期中）我们生活在一个充满对称的世界中，而轴对称是一种重要的对称，同学们已经学习了在平面直角坐标系中图形的对称特征，请完成以下小题： (1)作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标． (2)在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线． 给出定义：将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“双轴对称点”． 例如：点关于轴和直线的“双轴对称点”为点． ①点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是_____； ②点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是，求和的值； 题型9 坐标与图形变化—轴对称 【精讲】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，的各个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的； (2)写出点，，的坐标； (3)在直线上画一点，使最小． 【变式】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出关于y轴对称的； (2)请你在x轴上找到一点P，使得最小，并写出点P的坐标为________． (3)连接，以为边作等腰直角，且，直接写出点D的坐标为________． 题型10 坐标系中的旋转 【精讲】（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【变式】（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，，将绕点逆时针方向旋转得到，点的对应点的坐标为，点在轴上． (1)点的坐标是 ，旋转角的度数为 ； (2)画出旋转后的； (3)线段的延长线与线段交于点，则的长为 ． 题型11 求关于原点对称的点的坐标 【精讲】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将向右平移4个单位长度得到，画出，点的坐标是_____； (2)画出将关于点的中心对称图形，点的坐标是_____； (3)我们发现点、关于某点中心对称；对称中心的坐标是_____． 【变式】（24-25八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是， ， ． (1)已知与关于点D成中心对称． ①如图，若点D与原点O重合，请在图中画出，并写出三个顶点的坐标． ②填空：若把①中的点D沿x轴向右平移1个单位长度，则①中的向右平移______个单位长度；若把①中的点D沿y轴向上平移1个单位长度，则①中的向上平移______个单位长度． (2)用你在（1）中获得的经验直接写出A，B，C三点关于点的对称点的坐标． 题型12 已知两点关于原点对称求参数 【精讲】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值是 ． 【变式】（21-22八年级上·全国·单元测试）已知点P（2x，y2＋4）与Q（x2＋1，﹣4y）关于原点对称，求x＋y的值． 题型13 中点坐标 【精讲】（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标系内有两点，连接M，N，则线段的中点坐标为．例如，点，则线段的中点坐标为，即． (1)已知点，则线段的中点坐标为___________； (2)如图，坐标为坐标为，点坐标为，连接，．线段是的中线，求的长． 【变式】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上．已知点的坐标为． (1)在所给的网格图中描出边AB的中点，并写出点的坐标； (2)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的图形，并写出点，，的坐标． 题型14 坐标系中的动点问题（不含函数） 【精讲】．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知．且满足，平面内有一点（其中m是常数），请回答下列问题： (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点D在第二象限，连接，请用含m的代数式表示四边形的面积四边形，并求出当四边形时，m的值； (3)若点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的，连接，请问在四边形边上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)点的坐标为__________； (2)当点移动4秒时，直接写出点的坐标； (3)在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，求点移动的时间． 题型15 点坐标规律探索 【精讲】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，一动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，以为坐标原点，射线ON为轴建立平面直角坐标系，点，，，…在轴上，点，，，…在射线OM上，，，，…均为等边三角形．若，则点的横坐标为（    ） A．8 B．16 C．24 D．48 1．（23-24八年级上·四川雅安·期末）已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·全国·期末）已知点与点关于x轴对称，则的值是 ． 7．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点，则 8．（21-22八年级上·云南红河·期末）已知点和关于轴对称，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度，在平面直角坐标系内，现有动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到，第2次从点出发按乙方式运动到点，第3次从点出发再按甲方式运动到点，第4次从点出发再按乙方式运动到点，…．依此规律运动，经过第2017次运动后，动点P所在位置的坐标是 ． 10．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ． 11．（23-24八年级下·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 12．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，点的对应点为． AI (1)写出，，三点的坐标； (2)画出三角形； (3)求三角形的面积． 13．（24-25七年级下·山西忻州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为_____； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”； (3)若点是“完美点”，求的值． 14．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，， (1)若与关于轴对称，则三个顶点坐标分别为 ， ， ； (2)在轴上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是 ． 15．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知，，a，b满足 (1)求A，B 两点的坐标； (2)如图1，点D在x轴的正半轴上，点C 在第一象限，连接交于点E，满足 ，求点A到的距离； (3)如图2，是第一象限一动点，连接，以为斜边向左作等腰直角 在点 P 运动的过程中，求的最小值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破08 图形变换与坐标变化 （知识回顾+15种重难点培优题型+真题演练 共45题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：平移与坐标变化 2 知识点梳理02：轴对称与坐标变化 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 求点到坐标轴的距离 3 题型2 坐标系中的平移 7 题型3 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 9 题型4 由平移方式确定点的坐标 11 题型5 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 12 题型6 已知图形的平移，求点的坐标 16 题型7 已知平移后的坐标求原坐标 19 题型8 坐标系中的对称 21 题型9 坐标与图形变化—轴对称 24 题型10 坐标系中的旋转 27 题型11 求关于原点对称的点的坐标 30 题型12 已知两点关于原点对称求参数 33 题型13 中点坐标 33 题型14 坐标系中的动点问题（不含函数） 35 题型15 点坐标规律探索 39 期末真题 实战演练 41 知识点梳理01：平移与坐标变化 一、平移的概念 在平面内，把一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。平移前后的图形全等。 二、平移的基本性质 平移的实质是图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。连接对应点的线段平行或在同一条直线上且相等，对应角相等。 三、平移与坐标变化的关系 1.在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴方向或y轴方向平移后，所得图形可以看作是由原图形经过一次平移得到的。 2.每组对应点坐标的变化规律都相同。具体来说，当一个图形向右平移a个单位时，其横坐标增加a，纵坐标不变；向左平移a个单位时，横坐标减少a，纵坐标不变。当一个图形向上平移b个单位时，其纵坐标增加b，横坐标不变；向下平移b个单位时，纵坐标减少b，横坐标不变。因此，平移后的坐标公式为(x±a, y±b)，其中a、b为非负数，符号由平移方向决定。 3.通过找准对应点之间的坐标变换规律，可以确定平移的方向和距离。 知识点梳理02：轴对称与坐标变化 一、确定平面上物体位置的方法 坐标法：平面上物体的位置可以用有序实数对来确定，在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系，简称直角坐标系。坐标系所在的平面就叫做坐标平面。 二、坐标与点的位置关系 根据坐标可以描出点的位置，由点的位置也可以写出它的坐标。x轴上的点纵坐标为0，表示为（x,0）；y轴上的点横坐标为0，表示为（0,y）。 掌握各象限上及x轴，y轴上点的坐标的特点：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）。 三、轴对称与坐标变化 关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。即点（x,y）关于x轴对称的点坐标为（x,-y）。 关于y轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。即点（x,y）关于y轴对称的点坐标为（-x,y）。 关于原点对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。 四、图形变换与坐标变化 在同一直角坐标系中，可以感受图形变换后点的坐标的变化。例如，平移变换时，图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。具体来说： 将一个图形沿x轴方向平移a个单位长度时，图形上每个点的纵坐标不变，横坐标增加或减少a个单位长度。 将一个图形沿y轴方向平移a个单位长度时，图形上每个点的横坐标不变，纵坐标增加或减少a个单位长度。 题型1 求点到坐标轴的距离 【精讲】（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，点，连接．已知a与b满足：． (1)直接写出：_____；_____； (2)如图，y轴上有一动点（），连接．第一象限内作射线；过点B作交x轴于C点，点Q在射线上，且； ①求C的坐标；（用m表示） ②连接，请问与有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)2，2 (2)①；②，理由见解析 【思路引导】本题考查非负性，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用非负性进行求解即可； （2）①过点Q作轴于点E，证明，得到，证明，得到，进而得到，即可得出结果； ②由①可知，，，推出，进而得到，进而求出，即可得出结论． 【规范解答】（1）解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：2，2； （2）①过点Q作轴于点E， ∴， ∴， 由（1）知道，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知． (1)直接写出点C到x轴的距离； (2)求作关于x轴对称的图形，并写出各顶点坐标； (3)点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)图形见解析， (3)点P的坐标为或 【思路引导】本题考查了点到坐标轴的距离，画轴对称图形，写出点的坐标，以及三角形的面积公式，数形结合是解题的关键． （1）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值即可解答； （2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，顺次连接，并根据坐标系写出各点的坐标即可； （3）设点P的坐标为，利用的面积为6可得关于t的方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， ， 所以点C到x轴的距离为3； （2）如下图，即为所求，； （3）设点P的坐标为， 的面积为6， ， ， 或， 点P的坐标为或． 题型2 坐标系中的平移 【精讲】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）长方形的长为5，宽为3，将该长方形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，已知点，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查平面直角坐标系，由A，D横坐标相同，可得轴，进而可得轴，结合即可求解． 【规范解答】解： ， 轴， 四边形是长方形， 轴， ，， 点的坐标为，即， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1． (1)分别求的值． (2)设的立方根为，在同一个平面直角坐标系中还有一点，点，请指出点是怎样由点平移得到的？ 【答案】(1), (2)点Q是由点P先向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度得到的 【思路引导】（1）根据题意，列出关于m，n的方程求解即可； （2）先求出t，再求出Q点坐标与P点坐标，再确定平移关系即可． 【规范解答】（1）解：∵点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1， ∴，， 解得：，； （2）∵，， ∴， ∵设的立方根为， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵，，， ∴， ∴点Q是由点P向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度得到的． 【考点剖析】本题考查了已知点所在的象限求参数，求点到坐标轴的距离，坐标系中的平移，求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 题型3 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【精讲】（24-25八年级上·浙江·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【规范解答】（1）解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； （2）解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 【变式】（22-23七年级下·广西贺州·期末）如图，三角形（记作）三个顶点的坐标分别是，，，先将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．    (1)在图中画出； (2)若点在轴上运动，当线段长度最小时，点的坐标为______； (3)求面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）根据平移规则：向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度可得进而即可解答； （2）根据垂线段最短可知当轴时，线段最小进而即可解答； （3）根据数轴上两点之间的距离公式及网格中三角形的面积公式即可解答． 【规范解答】（1）解：∵向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，且，，， ∴点，，， ∴如图所示即为所求，    （2）解：∵点在轴上运动时，当轴时，线段最小，且， ∴， 故答案为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴点到的距离为， ∴． 【考点剖析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，网格中三角形的面积，平移作图，掌握平移的定义是解题的关键． 题型4 由平移方式确定点的坐标 【精讲】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）将点向上平移个单位后得点，若点关于轴对称，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，点的平移规律． 根据平移性质，点向上平移时横坐标不变，纵坐标增加；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数．利用这些关系列方程求解． 【规范解答】解：∵点向上平移个单位后得点， ∴，且． 又∵点A与点B关于x轴对称， ∴， 解得． 代入得：， ∴， ∴． 故选：A． 【变式】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标________； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的坐标为，则点P的对应点的坐标为________． 【答案】(1)见解析， (2) 【思路引导】本题主要考查了作图——平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意得出先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到，从而求出点、的位置，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移规律，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到， 平移后的，如图所示： 点的坐标是； （2）解：由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到， ∴点的对应点的坐标为，即． 题型5 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【精讲】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，是由经过平移得到的，点，，的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明是由经过怎样的平移得到的； (2)若点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为，求和的值； (3)连接，则______． 【答案】(1)点和点，是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)的值为，的值为； (3)． 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． （）根据所给平面直角坐标系及点和点的位置即可求解； （）根据平移的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，再根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：由平面直角坐标系可得，点和点， ∵，， ∴是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； （2）解：由（）得是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的， ∵点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为， ∴，， ∴，， ∴的值为，的值为； （3）解：如图，连接， 由平移性质可得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·湖南·期末）如图①，在平面直角坐标系中，点，，且实数，满足． (1)直接写出，两点的坐标； (2)将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，设点的坐标为，连接，，求的面积． (3)如图②，连接，，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3)且 【思路引导】（1）根据非负数的性质可得，即可求解； （2）根据平移的性质可得，从而得到点，即可求解； （3）根据平移的性质可得，设交y轴于点K，连接，则，从而得到，再由，可得，然后结合，可得，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点，， ∴，两点的坐标为； （2）解：∵将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，， ∴， ∴点， ∴轴，轴， ∴，， ∴的面积为； （3）解：由（2）得：将线段向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到线段，， ∵， ∴， 如图，设交y轴于点K，连接，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点Q不能与点K重合， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，t的取值范围为且． 【考点剖析】本题主要考查了坐标与图形综合，平方值和根号值的非负性、平面几何和坐标、平面直角坐标系中三角形面积求法、点的平移等知识，读懂题意，根据题意作出图形，数形结合转化为常见题型求解是解决问题的关键． 题型6 已知图形的平移，求点的坐标 【精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为． (1)将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到（点与、点与、点与对应），请画出，并写出点、点的坐标； (2)直接写出的面积 ． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了平移作图，确定点的坐标，割补法求几何图形的面积，正确掌握平移的性质作出平移的图形是解题的关键． ()根据点的位置直接得到点的坐标; ()根据所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求，点的坐标是，点B的坐标是； （2）解：的面积为， 故答案为：． 【变式】（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，网格中每个小正方形的边长为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．图中，，三点都是格点，若，． (1)在网格中画出符合要求的直角坐标系，并写出点的坐标为______； (2)将三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位，得到三角形，在此网格中画出三角形点，，分别与点，，对应，直接写出点的坐标为______； (3)已知点，，点是线段上的一个动点，求出线段的最小值． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3) 【思路引导】本题考查基本网格作图，涉及平移性质、点的坐标、三角形的面积公式，垂线段最短，熟悉网格特点是解答的关键． （1）可根据点A、C坐标画出平面直角坐标系，进而可得点B坐标； （2）利用平移性质画出平移图形，进而可得点坐标； （3）利用垂线段最短可知，当时，最短，利用平移的性质得到，再利用等面积法求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示：则点B的坐标为． （2）解：如图，三角形即为所求： 由图可得，点的坐标为； （3）解：当时，线段取得最小值．设线段最小值为ℎ， 由平移得，， ∵的面积为， ∴，解得 ， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 题型7 已知平移后的坐标求原坐标 【精讲】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知，，且满足． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求出的度数； (3)如图2，把直线以每秒1个单位的速度向左平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点． 【答案】(1)，， (2) (3)3秒 【思路引导】本题考查了坐标与图形的平移、与角平分线有关的三角形内角和问题、非负数的性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据非负数的性质求出a、b的值即可解决问题． （2）延长交的延长线于H，设，，设交x轴于F，想办法求出的值即可解决问题． （3）利用图象法，解决问题即可． 【规范解答】（1）∵． 又∵，，， ∴，， ∴，， （2）延长交的延长线于H．，，设交x轴于F． ∵， ∴，， ∵． ∴， ∴， 在，． （3）如图，观察图象可知，直线向左平移3个单位，经过， 解法二：设直线向左平移后的直线为，过点B作轴交直线于C．设， ∵ ∴， ∴， 所以，即经过3秒后，该直线与y轴交于点． 【变式】（21-22七年级下·内蒙古通辽·期中）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为 ． 【答案】（4，8） 【思路引导】设A（x，y），根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加列方程求解，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【规范解答】解：设A（x，y）， ∵点A向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（−2，5）， ∴x＋2＝−2，y−3＝5， 解得x＝−4，y＝8， ∴点A的坐标为（−4，8）， ∴A点关于y轴的对称点坐标为（4，8）． 故答案为：（4，8）． 【考点剖析】本题考查了坐标的平移规律，以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 题型8 坐标系中的对称 【精讲】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴对称的，其中点的对应点是点，点的对应点是点； (2)请分别写出点的坐标，并求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的值最小，点的坐标为___________． 【答案】(1)见解析 (2)，；的面积为； (3) 【思路引导】本题考查轴对称最短路线问题、三角形的面积、坐标与图形变化，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据轴对称的定义画出图形，即可求解； （2）根据图形写出点的坐标，的面积等于长方形的面积减去周围3个三角形的面积，即可求解； （3）根据题意，利用轴对称的性质，找到点B关于x轴的对称点，连接，即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，为所作的图形； （2）解：由图，可得 ，． ． （3）解：连接，与x轴的交点即为点P，由图可得，点P的坐标为．理由如下： ∵点B与点关于x轴对称， ∴， ∴， 根据“两点之间，线段最短”，可得此时的值最小． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·福建厦门·期中）我们生活在一个充满对称的世界中，而轴对称是一种重要的对称，同学们已经学习了在平面直角坐标系中图形的对称特征，请完成以下小题： (1)作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标． (2)在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线． 给出定义：将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“双轴对称点”． 例如：点关于轴和直线的“双轴对称点”为点． ①点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是_____； ②点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是，求和的值； 【答案】(1)作图见解析， (2)①；②的值为，的值为 【思路引导】（1）根据轴对称的性质作出点、、关于轴对称的对应点、、，再顺次连接，然后根据直角坐标系可得出点的坐标； （2）依照新定义计算即可； （3）依照新定义确定的坐标，根据题意列出关于和的方程组，解方程组即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作，； （2）解：①如图， ∴点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是， 故答案为：； ②∵点关于轴对称的点为，再关于直线对称的点为， ∴点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是， ∵的坐标是， ∴， 解得：， ∴的值为，的值为． 【考点剖析】本题考查图形的变换—轴对称，平面直角坐标系中坐标与图形变化，方程组的应用，解题的关键是对新定义“双轴对称点”的理解． 题型9 坐标与图形变化—轴对称 【精讲】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，的各个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的； (2)写出点，，的坐标； (3)在直线上画一点，使最小． 【答案】(1)作图见解析 (2)，， (3)作图见解析 【思路引导】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题及坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）由（1）得出的图形，写出点，，的坐标即可． （3）连接交直线m与点M． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：点，，的坐标分别是，，； （3）解：如图，点M即为所求． 【变式】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出关于y轴对称的； (2)请你在x轴上找到一点P，使得最小，并写出点P的坐标为________． (3)连接，以为边作等腰直角，且，直接写出点D的坐标为________． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)或 【思路引导】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征， 轴对称-最短路径问题及等腰直角三角形的性质． （1）先确定各顶点坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特征得到，，的坐标并在平面直角坐标系中找到这三个点，然后依次连接即可； （2）先作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求的点P，此时即为最短，在平面直角坐标系中可直接找到点P的坐标即可； （3）在平面直角坐标系中连接，再根据平面直角坐标系中的网格图特征找出以为边作等腰直角时点D的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，为所求． （2）解：如图所示，点P即为所求，点P的坐标， 故答案为：． （3）解：点D的坐标为或， 故答案为：或． 题型10 坐标系中的旋转 【精讲】（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作轴于C点， 是等边三角形， ， 由旋转可知：， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式】（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，，将绕点逆时针方向旋转得到，点的对应点的坐标为，点在轴上． (1)点的坐标是 ，旋转角的度数为 ； (2)画出旋转后的； (3)线段的延长线与线段交于点，则的长为 ． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）线段的垂直平分线和轴的交点即为所求，进而求得，即可得出旋转角为； （2）根据要求作出图形； （3）根据旋转的性质，证明得出，进而根据等面积法求得的长，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，旋转中心P的坐标为，，则旋转角的度数为， 故答案为：，． （2）解：如图，即为所求作， （3）解：由旋转的性质可得，，， ∴ ∴，又， ∴， 则． 设交于点， ∴ ∴． 故答案为：． 【考点剖析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解． 题型11 求关于原点对称的点的坐标 【精讲】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将向右平移4个单位长度得到，画出，点的坐标是_____； (2)画出将关于点的中心对称图形，点的坐标是_____； (3)我们发现点、关于某点中心对称；对称中心的坐标是_____． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【思路引导】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （3）连接，取线段的中点，则点、关于点中心对称，即可得出答案． 本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标是． 故答案为：． （2）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标是． 故答案为：． （3）解：连接，取线段的中点， 则点、关于点中心对称， 对称中心的坐标是． 故答案为：． 【变式】（24-25八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是， ， ． (1)已知与关于点D成中心对称． ①如图，若点D与原点O重合，请在图中画出，并写出三个顶点的坐标． ②填空：若把①中的点D沿x轴向右平移1个单位长度，则①中的向右平移______个单位长度；若把①中的点D沿y轴向上平移1个单位长度，则①中的向上平移______个单位长度． (2)用你在（1）中获得的经验直接写出A，B，C三点关于点的对称点的坐标． 【答案】(1)图见解析，；2；2 (2)、、 【思路引导】本题考查坐标与图形，中心对称，掌握中心对称图形的特点是解题的关键． （1）①在坐标系中找出的三个顶点关于原点O的对称点，顺次连接即可；关于原点的中心对称，对应点横、纵坐标都互为相反数；②观察网格，可以直接得出结论； （2）一组对称点的横（纵）坐标之和等于对称点的横（纵）坐标的2倍，由此可解． 【规范解答】（1）解：①如图，即为所求，； ②观察网格可得：若把①中的点D沿x轴向右平移1个单位长度，则①中的向右平移2个单位长度；若把①中的点D沿y轴向上平移1个单位长度，则①中的向上平移2个单位长度． 故答案为：2，2； （2）解：根据在（1）中获得的经验，可得A，B，C三点关于点的对称点的坐标分别为、、． 题型12 已知两点关于原点对称求参数 【精讲】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值是 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用来解题是关键．关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a、b即可求得答案． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：． ∴． 故答案为：4． 【变式】（21-22八年级上·全国·单元测试）已知点P（2x，y2＋4）与Q（x2＋1，﹣4y）关于原点对称，求x＋y的值． 【答案】1 【思路引导】根据关于原点对称的点的坐标特点，列出方程即可求得x、y值，据此即可解答． 【规范解答】解：∵点P（2x，y2+4）与Q（x2+1，﹣4y）关于原点对称， ∴x2+1+2x＝0，y2+4﹣4y＝0， ∴（x+1）2＝0，（y﹣2）2＝0， 解得：x＝﹣1，y＝2， ∴x+y＝-1+2＝1． 【考点剖析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，代数式求值问题，熟练掌握和运用关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 题型13 中点坐标 【精讲】（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标系内有两点，连接M，N，则线段的中点坐标为．例如，点，则线段的中点坐标为，即． (1)已知点，则线段的中点坐标为___________； (2)如图，坐标为坐标为，点坐标为，连接，．线段是的中线，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，中点坐标公式，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据中点坐标公式即可得到结论； （2）过点作轴于，根据的坐标，根据勾股定理得到结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴线段的中点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：过点作轴于， ∵， ∴中点的坐标为，即， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 在 中，， 由勾股定理得，． 【变式】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上．已知点的坐标为． (1)在所给的网格图中描出边AB的中点，并写出点的坐标； (2)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的图形，并写出点，，的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，，， 【思路引导】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画轴对称图形，熟知中点坐标公式，轴对称图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据轴对称的性质作图即可；再依据平面直角坐标系写出点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵，， ∴点D的坐标为． （2）如图所示，即为所求作的三角形．，， 题型14 坐标系中的动点问题（不含函数） 【精讲】．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知．且满足，平面内有一点（其中m是常数），请回答下列问题： (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点D在第二象限，连接，请用含m的代数式表示四边形的面积四边形，并求出当四边形时，m的值； (3)若点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的，连接，请问在四边形边上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【思路引导】（1）利用非负数的性质求出、、的值可得结论； （2）证明 ，利用梯形面积公式求解，再根据题意，构建方程求解； （3）分四种情形：当点在上，时，当点在上时，，，时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解： ， 解得：，，， ，，； （2），，， ，， ， ， ， ； （3），，， ， 点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的， ， 当点在上，时， ； 当点在上时，，可得 ； 当时，设， 则在中，有， 解得：， ； 当时，可得 ． 综上所述，或或或． 【考点剖析】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识及分类讨论是解题的关键． 【变式】（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)点的坐标为__________； (2)当点移动4秒时，直接写出点的坐标； (3)在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，求点移动的时间． 【答案】(1) (2)点的坐标是 (3)在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，点移动的时间是秒或秒 【思路引导】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据，可以求得、的值，根据长方形的性质，可以求得点的坐标； （2）根据题意点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点移动4秒时，点的位置和点的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点移动的时间即可． 【规范解答】（1）解：∵a、b满足， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵是长方形， ∴，， ∴点B的坐标是． 故答案是：． （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴， ∵，， ∴当点P移动4秒时，在线段上，离点C的距离是：， 即当点P移动4秒时，此时点P在线段上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是． （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时, 点P移动的时间是：秒， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 题型15 点坐标规律探索 【精讲】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，一动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了规律型中的点的坐标，列出部分点的坐标，根据点的坐标变化找出规律“”，根据该规律即可得出结论． 【规范解答】解：观察，发现动点每4次为一个循环，点的坐标依次为“”， ∵， ∴第2025次运动是第507次循环的第1次运动， ∴第2025次运动的点的坐标是． 故选：A． 【变式】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，以为坐标原点，射线ON为轴建立平面直角坐标系，点，，，…在轴上，点，，，…在射线OM上，，，，…均为等边三角形．若，则点的横坐标为（    ） A．8 B．16 C．24 D．48 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质，过点作轴于点C，根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后利用等腰三角形的性质可得的长，即可得点的横坐标，同样的方法分别求出点的横坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点C， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点的横坐标为， 同理可得：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 故选：D． 1．（23-24八年级上·四川雅安·期末）已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．利用非负数的性质求出和的值，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【规范解答】解：∵， 且，， ∴且， ∴，， ∴点的坐标为． 点关于原点对称的点的坐标为． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查坐标与图形变换--轴对称，熟练掌握轴对称性质是解题的关键，根据平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得到答案. 【规范解答】解：∵点坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为. 故选：B. 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移时点的坐标变化．根据平移的性质，确定点的坐标变化即可． 【规范解答】解：由和得，点向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到点， ∴点向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度后为， 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴上对称点的性质及无理数的运算，解题的关键是利用“对称点到对称中心的距离相等”建立等式求解． 设点C表示的数为，根据点A是点B与点C的对称中心，可得A到B的距离等于A到C的距离，据此列方程求解． 【规范解答】解：设点C所表示的数为， ∵点B与点C关于点A对称， ∴点A是线段BC的中点． 由中点性质得， 两边同乘2得， 解得． 故选：B． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查点的坐标，矩形的周长，掌握知识点是解题的关键． 由点A，B，C，D的坐标可得出，的长，矩形的周长，结合，细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是，即可解答． 【规范解答】解：由题意得， ∴四边形的周长为：， ∵，， ∴细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是． 故选：C． 6．（23-24八年级上·全国·期末）已知点与点关于x轴对称，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，涉及到方程思想的运用．解题关键是牢记“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”这一性质，易错点是容易混淆关于x轴、y轴对称的点的坐标特征． 已知两点关于x轴对称，根据上述坐标特征，可得到横坐标相等、纵坐标互为相反数的两个等式．先利用横坐标相等的等式求出m的值，再利用纵坐标互为相反数的等式求出n的值，最后将m、n的值代入计算出结果． 【规范解答】解：由题意得，与点关于x轴对称， ， 解得，， ． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点，则 【答案】 【思路引导】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【规范解答】解：∵点，点关于轴对称， ， ， 故答案为：． 8．（21-22八年级上·云南红河·期末）已知点和关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于轴对称点的性质，纵坐标相同，横坐标互为相反数得出，的值，进而得出答案． 【规范解答】解：∵点和关于y轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：1． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度，在平面直角坐标系内，现有动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到，第2次从点出发按乙方式运动到点，第3次从点出发再按甲方式运动到点，第4次从点出发再按乙方式运动到点，…．依此规律运动，经过第2017次运动后，动点P所在位置的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了点坐标规律探究，动点P经过第2017次运动后，按甲方式运动了1009次，按乙方式运动了1008次，再根据甲、乙的运动方式分别计算点的横、纵坐标，即可得出答案． 【规范解答】解：由题意得，动点P经过第2017次运动后，按甲方式运动了1009次，按乙方式运动了1008次， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标是． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可． 【规范解答】解：把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点； 把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点； 把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点； 把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点， 第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位得到下一个点， 到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， 到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度， 到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度， 到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， 到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， 可以看作每四次坐标变换为一个循环， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】7 【思路引导】此题考查了勾股定理，坐标系中的平移，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 将向左平移2个单位，使点B和点A重合，连接，，根据题意得到当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求出，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，将向左平移2个单位，使点B和点A重合，并得到线段，连接， ∴，， ∴， ∴当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：7． 12．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，点的对应点为． AI (1)写出，，三点的坐标； (2)画出三角形； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)，，； (2)图形见解析； (3)． 【思路引导】本题考查了点的平移，平移作图，三角形的面积，由点的坐标得到平移的方式是解题的关键． （）根据点、的坐标可知三角形向左边平移个单位长度，向下平移个单位长度后得到三角形，据此写出坐标即可； （）根据点的坐标连线即可画出三角形； （）利用长方形面积减去四个直角三角形面积即可． 【规范解答】（1）解：∵是三角形的边上的一点，点的对应点为， ∴三角形向左边平移个单位长度，向下平移个单位长度后得到三角形， ∵，，， ∴，，； （2）解：由（）知，，，依次连接如下图， （3）解： ． 13．（24-25七年级下·山西忻州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为_____； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”； (3)若点是“完美点”，求的值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)或 【思路引导】本题主要考查了点到坐标轴的距离，理解“长距”和“完美点”的定义是解题的关键． （1）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此求出点A到x轴和到y轴的距离，再根据“长距”的定义求解即可； （2）求出点C到x轴和到y轴的距离，再根据“长距”的定义求出b的值，进而得到点D的坐标，再求出点D到x轴和到y轴的距离，最后根据“完美点”的证明即可； （3）求出点B到x轴和到y轴的距离，再根据根据“完美点”的定义建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵， ∴点的“长距”为5， 故答案为：5； （2）证明：∵， ∴点C到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点的长距为4， ∴， ∵点在第二象限内， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴点D到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴点D到轴、轴的距离相等 ∴点是“完美点”； （3）解：∵， ∴点B到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点是“完美点”， ∴， ∴或， ∴或． 14．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，， (1)若与关于轴对称，则三个顶点坐标分别为 ， ， ； (2)在轴上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是 ． 【答案】(1)，， (2)存在，或 (3) 【思路引导】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数来求解； （2）先求出的面积，再设出点坐标，根据三角形面积公式列出方程求解； （3）利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 【规范解答】（1）解：如图所示， ∵关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，，，， ∴，，． 故答案依次为：；；． （2）解：设． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． （3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换、三角形面积计算以及最短路径问题，熟练掌握相关的坐标特征、面积公式和轴对称性质是解题的关键． 15．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知，，a，b满足 (1)求A，B 两点的坐标； (2)如图1，点D在x轴的正半轴上，点C 在第一象限，连接交于点E，满足 ，求点A到的距离； (3)如图2，是第一象限一动点，连接，以为斜边向左作等腰直角 在点 P 运动的过程中，求的最小值． 【答案】(1)， (2)点A到的距离为12 (3)的最小值为 【思路引导】（1）根据非负性的性质求解即可； （2）过点 A 作 于点 H，证，得出，即可求解． （3）过点 P 作于点 H，连接，过点 Q 作交 于点M，证，得，连接，再证，得 ，得出点 Q 在 的垂直平分线上，即可求出的最小值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点 A 作 于点 H， 则， ∴， ∴． ∴点A 到 的距离为12； （3）解：过点 P 作于点 H，连接，过点 Q 作交 于点M， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点 Q 在 的垂直平分线上， ∴的最小值． 【考点剖析】该题考查了坐标与图形综合，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，非负数的性质，垂直平分线的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $