《3.1勾股定理（一）》导学案 暑假预习手册21-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册21-《3.1勾股定理（一）》 ( 一．预习 目标 1.   了解勾股定理的背景和历史，感受数学文化的魅力。 2.   探索勾股定理的内容，理解直角三角形三边之间的平方关系 。 3.   能初步运用勾股定理在已知直角三角形两边的情况下求出第三边的长度。 ) ( 一、 预习内容 （一） 探究直角三角形三边关系 【活动】（1）观察图1正方形A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积。 正方形B的面积是 9 个单位面积。正方形C的面积是 18 个单位面积。 （2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ （3）你能发现图1 和 图 2 中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ 【 做一做 】 分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积，填表完成 图形1 图形2 图形3 图形1 中S 1 = S 2 = S 3 = 图形2 中S 1 = S 2 = S 3 = 图形3 中S 1 = S 2 = S 3 = 【 归纳并猜想 】 : 若直角三角形三边长为a,b,c（其中c为斜边）， 如图：三边a,b,c之间的关系是 a 2 +b 2 =c 2 （二） 勾股定理的内容： 通过前面的探究，总结勾股定理。 【 文字表述为 】 ：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 。 【 符号语言 】 ：在直角三角形中，如果两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a 2 +b 2 =c 2 。 ) ( （三） 勾股定理的历史背景 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 “ 勾 ” ，下半部分称为 “ 股 ”. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 “ 勾 ” ，较长的直角边称为 “ 股 ” ，斜边称为 “ 弦 ”. 勾股定理是人类文明的成果，在国外，一般称为是毕达哥拉斯定理.几乎所有拥有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所研究. 例1.求图中x的值. 例2.求图中x的值. 例3. 已知：如图， 中， ， ， ， （1）求斜边 的长；（2）计算 的面积． 例4 .如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=20,BC=15,CD⊥AB于点D.求: (1)CD的长; (2)BD的长. （四）无理数的几何表示 有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数怎么用数轴上的点来表示吗？ 1.你能画出长度分别为 cm； cm； cm的线段吗? ) ( 2.在数轴上画出表示 ； 的点. 3.在数轴上画出表示 ；- 的点. ) ( 三．经典例题 例 1 ．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形 ① 的面积，尝试给出两种以上的方案． 例 2 ．求图中字母所代表的正方形的面积． 例3 ．如图 ① ，在Rt △ ABC中， ∠ ACB=90 ° ，AC=6，BC=8，将此图形折叠得图 ② ，折痕为AF，且点C恰好落在边AB上点C ′ 处，求C ′ F的长． ) ( 例4 ．如图，四边形ABCD中，AB ⊥ AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积． 例5 .如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE ⊥ AB,垂足为点E. (1)求△ABC的面积; (2)求DE的值. 例6. 如图,在Rt△ABC中, ∠ ACB=90°,AB=20 cm,AC=16 cm,点P从点A出发,以每秒1 cm的速度向点C运动,连接PB,设运动时间为t秒(t>0). (1)当△PBC的面积为△ABC面积的一半时,求t的值;(2)当t为何值时,AP=PB? ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1.在Rt△ABC中,若斜边AB上的中线CD的长为2.5,则AC 2 +BC 2 = (　　) A.5　　　　B.10　　　　C.20　　　　D.25 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果△DAB的面积为40,那么DC的长为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 3 ．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（　　） A．3 B．5 C．6 D．4 4 ．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） A．8 B．9 C．27 D．45 ) ( 5 ．如图，小方格都是边长为1的正方形，则 △ ABC中BC边上的高是（　　） A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2 6 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则 △ ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 7 ．已知a、b、c分别为 △ ABC中 ∠ A、 ∠ B、 ∠ C的对边，下列说法错误的是（　　） A． ∠ C＝90 ° ，则a 2 +b 2 ＝c 2 B． ∠ B＝90 ° ，则a 2 +c 2 ＝b 2 C． ∠ A＝90 ° ，则b 2 +c 2 ＝a 2 D．总有a 2 +b 2 ＝c 2 8 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ，AE为 △ ABC的角平分线，且ED ⊥ AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 （ 二）填空题 9 ．如图， △ ABC中， ∠ ABC＝90 ° ，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为 _______. 10．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为 _____. 11. 如图，在 △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AD平分 ∠ CAB，DE ⊥ AB于点E，若DE＝15cm，BE＝8cm，则BC的长为 _______. 1 2 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＝6cm，AB＝10cm，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 　　 cm． 1 3 ．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D ′ 处，则重叠部分 △ AFC的面积为 　　 ． ) ( （ 三）解答题 1 4 ．如图，在 △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ，AC＝3，BC＝4． （1）求AB的长； （2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结CP．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时， △ ACP为等腰三角形． 1 5 ．如图，Rt △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＝6，BC＝8． （1）用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD． （2）计算（1）中线段CD的长． ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1.下列说法正确的是(　　) A.若a、b、c是 △ ABC的三边长,则a 2 +b 2 =c 2 B.若a、b、c是Rt △ ABC的三边长,则a 2 +b 2 =c 2 C.若a、b、c是Rt △ ABC的三边长, ∠ A=90 ° ,则a 2 +b 2 =c 2 D.若a、b、c是Rt △ ABC的三边长, ∠ C=90 ° ,则a 2 +b 2 =c 2 2.如图,以Rt △ ABC(AC ⊥ BC)的三边为边,分别向外作正方形,它们的面积分别为S 1 、S 2 、S 3 ,若S 1 +S 2 +S 3 =12,则S 1 的值是(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 3.如图所示,已知Rt △ ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S 1 ,S 2 ,则S 1 +S 2 的值等于(　　) A.2 π 　　　　B.4 π 　　　　C.8 π 　　　　D.16 π ) ( 4 .如图,在Rt △ ABC中, ∠ C=90 ° ,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果 △ DAB的面积为40,那么DC的长为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 5 .如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度是h cm,则h的取值范围是(　　) A.5 ≤ h ≤ 12　 　B.12 ≤ h ≤ 19 C.11 ≤ h ≤ 12　　　 D.12 ≤ h ≤ 13 6 .如图,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的鱼线BC长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m,则BB'的长为(　　) A.1 m　　　　B.2 m　　　　C.3 m　　　　D.4 m 7 .四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为(　　) A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.3 8 .如图,在△ABC中, ∠ C=90°,M是AB的中点,点N在AC上,MN ⊥ AB,若AC=8,BC=4,则NC的长为(　　) A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2 9. 在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长度是 的线段是（　　） A. AB B．AC C．AD D．AE 10. 已知三角形的边长是10、14、16，则这个三角形的面积是（　　） A．36 B．36 C．40 D．40 ) ( 二．填空题 11 .如图,Rt △ ABC中, ∠ C=90 ° ,AC=5,BC=12,则正方形ABDE的面积是 　　　　 .   1 2 如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为 　　　　 .  【 答案】 100 【 解析 】 　由题意可知,直角三角形中,一条直角边的平方=36,另一条直角边的平方=64, 则斜边的平方=36+64=100.故答案为100. 1 3 .对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB 2 +CD 2 = 　　　　 .  14 ．如图， △ ABC中AB=AC，AD是 ∠ BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为 _____. 15 ．如图，在 △ ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有 ____ 个 . 16 ．如图， ∠ C＝90 ° ， ∠ B＝30 ° ，AD是 △ ABC的角平分线，DC＝1，则DB＝ 　 　 ． 17 ．如图，四边形ABCD中， ∠ ABC＝ ∠ ADC＝90 ° ，AB＝1，CD＝ ，若BD恰好平分 ∠ ABC，则BD之长为 　 　 ． 18 ．如图，在四边形ABCD中， ∠ BAD＝ ∠ BCD＝90 ° ， ∠ ADC＝45 ° ，若对角线BD的长度是3，则对角线AC的长度是 　 　 ． 19 ．如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为 “ 匀称三角形 ” ．在Rt △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＞BC，若Rt △ ABC是 “ 匀称三角形 ” ，那么BC：AC：AB＝ 　 　 ． ) ( 20 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ ABC＝90 ° ， ， ，分别以Rt △ ABC的三条边AC、AB、BC为直径画半圆，则两个月牙形图案的面积之和（阴影部分）为 　 　 ． 三．解答题（60分） 21 ．如图，阴影部分是一个长方形，求它的面积． 22 ． “ 中华人民共和国道路交通管理条例 ” 规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h） 23 ．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA ⊥ AB于点A，CB ⊥ AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ 24. 已知在Rt △ ABC中 ∠ ACB＝90 ° ，AC＝6cm，BC＝8cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着 △ ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为t． （1）求CD的长； （2）当P在AB边上运动，t为何值时， △ ACP为等腰三角形？ ) ( 2 5．如图，在 △ ABC中，AB＝AC＝25cm，BC＝30cm，BD ⊥ AC交AC于点D．动点P从点C出发，按C → A → B → C的路径运动，且速度为2cm/s，设出发时间为ts． （1）求BC上的高； （2）当点P在BC边上运动时，若 △ CDP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值． 26 ．已知：如图，在Rt △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当 △ ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当 △ ABP为等腰三角形时，求t的值． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册21-《3.1勾股定理（一）》 ( 一．预习 目标 1.   了解勾股定理的背景和历史，感受数学文化的魅力。 2.   探索勾股定理的内容，理解直角三角形三边之间的平方关系 。 3.   能初步运用勾股定理在已知直角三角形两边的情况下求出第三边的长度。 ) ( 一、 预习内容 （一） 探究直角三角形三边关系 【活动】（1）观察图1正方形A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积。 正方形B的面积是 9 个单位面积。正方形C的面积是 18 个单位面积。 （2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ 图1正方形A中含有4个小方格，即A的面积是4个单位面积。 正方形B的面积是 4 个单位面积。正方形C的面积是 8 个单位面积。 （3）你能发现图1 和 图 2 中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ S A +S B =S C 即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积 【 做一做 】 分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积，填表完成 图形1 图形2 图形3 图形1 中S 1 = 4 S 2 = 1 S 3 = 5 图形2 中S 1 = 9 S 2 = 4 S 3 = 13 图形3 中S 1 = 16 S 2 = 9 S 3 = 25 【 归纳并猜想 】 : 若直角三角形三边长为a,b,c（其中c为斜边）， 如图：三边a,b,c之间的关系是 a 2 +b 2 =c 2 （二） 勾股定理的内容： 通过前面的探究，总结勾股定理。 【 文字表述为 】 ：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 。 【 符号语言 】 ：在直角三角形中，如果两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a 2 +b 2 =c 2 。 ) ( （三） 勾股定理的历史背景 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 “ 勾 ” ，下半部分称为 “ 股 ”. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 “ 勾 ” ，较长的直角边称为 “ 股 ” ，斜边称为 “ 弦 ”. 勾股定理是人类文明的成果，在国外，一般称为是毕达哥拉斯定理.几乎所有拥有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所研究. 例1.求图中x的值. 解： 根据勾股定理a 2 +b 2 =c 2 （其中a、b为直角边，c为斜边），在本题中a = 8，b = 15，则有x 2 =8 2 +15 2 。x 2 =64 + 225=289。因为x是三角形的边长，即x>0，对x 2 =289两边开平方可得x = 17。 例2.求图中x的值. 解： 根据勾股定理a 2 +b 2 =c 2 （其中a、b为直角边，c为斜边） ；我们可以得到方程 81 + x 2 =100。 x 2 = 19， 因为x是三角形的边长，即x>0， x= 例3. 已知：如图， 中， ， ， ， （1）求斜边 的长；（2）计算 的面积． 解：（1）在 中， ， ， ，由勾股定理得 （2） 例4 .如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=20,BC=15,CD⊥AB于点D.求: (1)CD的长; (2)BD的长. 解 ： (1)在△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,由勾股定理,得AB 2 =AC 2 +BC 2 =20 2 +15 2 =625, ∴AB=25.∵S △ABC = AC·BC= AB·CD,∴AC·BC=AB·CD.∵AC=20,BC=15,AB=25, ∴20×15=25CD,∴CD=12,即CD的长是12. (2)∵CD⊥AB于点D,∴∠CDB=90°,在Rt△BCD中,∠CDB=90°,BC=15,CD=12,由勾股定理,得BD 2 =BC 2 -CD 2 =15 2 -12 2 =81,∴BD=9,即BD的长为9. （四）无理数的几何表示 有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数怎么用数轴上的点来表示吗？ ) ( 1.你能画出长度分别为 cm； cm； cm的线段吗? 2.在数轴上画出表示 ； 的点. 3.在数轴上画出表示 ；- 的点. ) ( 三．经典例题 例 1 ．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形 ① 的面积，尝试给出两种以上的方案． 解：设正方形 ① 、 ③ 、 ④ 的边长分别是a、b、c，则正方形 ① 的面积＝a 2 ，正方形 ③ 的面积＝b 2 ，正方形 ④ 的面积＝c 2 ，又 ∵ c 2 +b 2 ＝a 2 ， ∴③ 和 ④ 的面积之和恰好等于最大正方形 ① 的面积．同理， ④⑨⑦ 的面积恰好等于最大正方形 ① 的面积．类似的还有： ⑧⑩⑨⑦ 或 ⑧⑩③ ． 例 2 ．求图中字母所代表的正方形的面积． 解：A的边长为直角三角形的斜边，则A的边长的平方等于两直角边边长的平方和，两条直角边的平方分别为：225和400，A的面积＝225+400＝625， 同理B的边长为直角三角形的直角边，则存在B的边长的平方等于斜边的平方减去另一直角边的平方，斜边的平方为225，直角边的平方为81B的面积为225 ﹣ 81＝144． ) ( 例3 ．如图 ① ，在Rt △ ABC中， ∠ ACB=90 ° ，AC=6，BC=8，将此图形折叠得图 ② ，折痕为AF，且点C恰好落在边AB上点C ′ 处，求C ′ F的长． 解：由折叠得：AC'=AC=6，C'F ⊥ AB，CF=C'F，在Rt △ ABC中， ∠ C=90 ° ，BC=8，AC=6， ∴ AB=10， ∴ BC'=10 ﹣ 6=4，在Rt △ BC'F中，设C'F=x，则BF=8 ﹣ x， ∴ x 2 +4 2 =(8 ﹣ x) 2 ，解方程得：x=3．即C'F=3． 例4 ．如图，四边形ABCD中，AB ⊥ AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积． 解：连接BD， AB ⊥ AD， ，在 中， 在 中， ， 是直角三角形， 例5 .如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE ⊥ AB,垂足为点E. (1)求△ABC的面积; (2)求DE的值. 解 ： (1)如图,连接AD, ∵ 在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点, ∴ AD ⊥ BC,BD= BC=5, ∴ AD 2 =AB 2 -BD 2 =13 2 -5 2 =144, ∴ AD=12, ∴ S △ABC = BC·AD= ×10×12=60. (2) ∵ DE ⊥ AB, ∴ S △ABD = BD·AD= AB·ED, ∴ ED= = = . 例6. 如图,在Rt△ABC中, ∠ ACB=90°,AB=20 cm,AC=16 cm,点P从点A出发,以每秒1 cm的速度向点C运动,连接PB,设运动时间为t秒(t>0). (1)当△PBC的面积为△ABC面积的一半时,求t的值;(2)当t为何值时,AP=PB? 解(1)由题意得AP=t cm,当BP是△ABC的中线时,△PBC的面积为△ABC面积的一半, ∴ t= AC=8.答:当△PBC的面积为△ABC面积的一半时,t=8. （ 2） 易知AP=t cm,PC=(16-t)cm,在Rt△ABC中, ∠ ACB=90°,AB=20 cm,AC=16 cm, ∴ BC 2 =AB 2 -AC 2 =20 2 -16 2 =144, ∴ BC=12 cm,在Rt△PBC中,PB 2 =PC 2 +BC 2 =(16-t) 2 +12 2 , 当AP=PB时,t 2 =(16-t) 2 +12 2 ,解得t= , ∴ 当t= 时,AP=PB. ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1.在Rt△ABC中,若斜边AB上的中线CD的长为2.5,则AC 2 +BC 2 = (　　) A.5　　　　B.10　　　　C.20　　　　D.25 【 答案】 D　 【 解析】 在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∴AB=2CD=5,∴AC 2 +BC 2 =AB 2 =25,故选D. 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果△DAB的面积为40,那么DC的长为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 【 答案】 A　 【 解析】 ∵△DAB的面积= DA·BC,∴ ×10·BC=40,解得BC=8,在Rt△DBC中,∠C=90°, DB=10,CB=8,∴CD 2 =BD 2 -BC 2 =10 2 -8 2 =36,∴CD=6,故选A. 3 ．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（　　） A．3 B．5 C．6 D．4 【 答案 】B 【 解析 】由勾股定理得：AB＝ ＝5；故选：B． 4 ．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） A．8 B．9 C．27 D．45 【 答案 】B 【 解析 】设正方形D的面积为x， ∵ 正方形A、B、C的面积依次为2、4、3， ∴ 根据图形得：2+4＝x ﹣ 3，解得：x＝9，故选：B． 5 ．如图，小方格都是边长为1的正方形，则 △ ABC中BC边上的高是（　　） A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2 【 答案 】B 【解答】 ∵ BC＝ ＝5， ∵ S △ ABC ＝4 × 4 ﹣ × 1 × 1 ﹣ × 3 × 4 ﹣ × 3 × 4＝ ， ∴△ ABC中BC边上的高＝ ＝ ，故选：B． 6 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则 △ ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【 答案 】A 【 解析 】 ∵ AB的垂直平分线交BC于点D， ∴ AD＝BD， ∵ BC＝4，AC＝3， ∴ CD+AD＝CD+BD＝BC＝4， ∴△ ACD的周长为：4+3＝7．故选：A． ) ( 7 ．已知a、b、c分别为 △ ABC中 ∠ A、 ∠ B、 ∠ C的对边，下列说法错误的是（　　） A． ∠ C＝90 ° ，则a 2 +b 2 ＝c 2 B． ∠ B＝90 ° ，则a 2 +c 2 ＝b 2 C． ∠ A＝90 ° ，则b 2 +c 2 ＝a 2 D．总有a 2 +b 2 ＝c 2 【 答案 】D 【 解析 】选项A： ∠ C＝90 ° ，则c为 △ ABC中斜边，a，b为直角边，由勾股定理可得： a 2 +b 2 ＝c 2 ，故A正确，不符合题意；同理可得，选项B和选项C正确，故选项B和选项C不符合题意；选项D：只有直角三角形，且 ∠ C为直角时，a 2 +b 2 ＝c 2 ，故D错误，符合题意．故选：D． 8 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ，AE为 △ ABC的角平分线，且ED ⊥ AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【 答案 】C 【 解析 】 ∵ 在Rt △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ，AC＝6，BC＝8， ∴ AB＝ ， ∵ AE为 △ ABC的角平分线，ED ⊥ AB， ∴ AD＝AC＝6， ∴ BD＝10 ﹣ 6＝4，故选：C． （ 二）填空题 9 ．如图， △ ABC中， ∠ ABC＝90 ° ，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为 _______. 【 答案】65 【 解析 】 ∵ 在Rt △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＝9，BC＝4， ∴ AB＝ ＝ ，则正方形ABDE的面积为：（ ） 2 ＝65． 10．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为 _____. 【 答案 】 12 【 解析 】过点A作AD ⊥ BC， ∵ AB＝AC， ∴ BD＝CD＝ BC＝ 18＝9， ∴ AD＝ ＝12（cm）， ∴ 它底边上的高为12cm； 11. 如图，在 △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AD平分 ∠ CAB，DE ⊥ AB于点E，若DE＝15cm，BE＝8cm，则BC的长为 _______. 【 答案 】32cm 【 解析 】 ∵ AD平分 ∠ CAB，DC ⊥ AC，DE ⊥ AB， ∴ DC＝DE＝15， 在Rt △ BDE中，BD＝ ＝17， ∴ BC＝CD+BD＝15+17＝32（cm）． 1 2 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＝6cm，AB＝10cm，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 　　 cm． ) ( 【 答案 】 1.75 【 解析 】连接AD，如图， ∵∠ C＝90 ° ，AC＝6cm，AB＝10cm， ∴ BC＝ ＝ ＝8（cm），由作法得PQ垂直平分AB， ∴ DA＝DB，设CD＝x，则DB＝DA＝8 ﹣ x，在Rt △ ACD中，x 2 +6 2 ＝（8 ﹣ x） 2 ，解得x＝ 1.75 ，即CD的长为 1.75 cm．故答案为： 1.75 ． 1 3 ．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D ′ 处，则重叠部分 △ AFC的面积为 　　 ． 【 答案 】 10 【解答】易证 △ AFD ′≌△ CFB， ∴ D ′ F＝BF，设D ′ F＝x，则AF＝8 ﹣ x，在Rt △ AFD ′ 中，（8 ﹣ x） 2 ＝x 2 +4 2 ，解之得：x＝3， ∴ AF＝AB ﹣ FB＝8 ﹣ 3＝5， ∴ S △ AFC ＝ • AF • BC＝10．故答案为：10． （ 三）解答题 1 4 ．如图，在 △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ，AC＝3，BC＝4． （1）求AB的长； （2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结CP．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时， △ ACP为等腰三角形． 解：（1） ∵∠ ACB＝90 ° ，AC＝3，BC＝4，由勾股定理可得AB＝5； （2）依题意得AP＝t，当AP＝AC时，t＝3，当AP＝PC时， ∠ A＝ ∠ ACP， ∴∠ PCB＝ ∠ B，t＝5 ﹣ t， ∴ t＝2.5； 当AC＝PC＝3时，过点C作CD ⊥ AB，垂直为D， 在 △ ABC中， × 3 × 4＝ × 5CD， ∴ CD＝2.4，在 △ ACD中，AD 2 ＝AC 2 ﹣ CD 2 ， ∴ AD＝ ， ∴ t＝3.6，当t＝3或t＝2.5或t＝3.6时， △ ACP为等腰三角形． 1 5 ．如图，Rt △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＝6，BC＝8． （1）用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD． （2）计算（1）中线段CD的长． 解：（1）画角平分线正确，保留画图痕迹（2）设CD＝x，作DE ⊥ AB于E， 则DE＝CD＝x， ∵∠ C＝90 ° ，AC＝6，BC＝8． ∴ AB＝10， ∴ EB＝10 ﹣ 6＝4． ∵ DE 2 +BE 2 ＝DB 2 ， ∴ x 2 +4 2 ＝（8 ﹣ x） 2 ，x＝3，即CD长为3． ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1.下列说法正确的是(　　) A.若a、b、c是 △ ABC的三边长,则a 2 +b 2 =c 2 B.若a、b、c是Rt △ ABC的三边长,则a 2 +b 2 =c 2 C.若a、b、c是Rt △ ABC的三边长, ∠ A=90 ° ,则a 2 +b 2 =c 2 D.若a、b、c是Rt △ ABC的三边长, ∠ C=90 ° ,则a 2 +b 2 =c 2 【 答案】 D　 【 解析】 勾股定理只应用在直角三角形里,并且要指出明确的直角,故选项A、B中的说法错误;选项C中的斜边长为a,得出的表达式应为b 2 +c 2 =a 2 ,故选项C中的说法错误;只有选项D中的说法正确.故选D. 2.如图,以Rt △ ABC(AC ⊥ BC)的三边为边,分别向外作正方形,它们的面积分别为S 1 、S 2 、S 3 ,若S 1 +S 2 +S 3 =12,则S 1 的值是(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 【 答案】 C　 【 解析】 由勾股定理得AC 2 +BC 2 =AB 2 , ∴ S 3 +S 2 =S 1 . ∵ S 1 +S 2 +S 3 =12, ∴ 2S 1 =12, ∴ S 1 =6,故选C. 3.如图所示,已知Rt △ ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S 1 ,S 2 ,则S 1 +S 2 的值等于(　　) A.2 π 　　　　B.4 π 　　　　C.8 π 　　　　D.16 π 【 答案】 A　 【 解析】 在Rt △ ABC中,AB 2 =AC 2 +BC 2 =4 2 =16,S 1 = π = · AC 2 ,S 2 = π = · BC 2 , ∴ S 1 +S 2 = (AC 2 +BC 2 )= × 16=2 π .故选A. 4 .如图,在Rt △ ABC中, ∠ C=90 ° ,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果 △ DAB的面积为40,那么DC的长为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 【 答案】 A　 【 解析】 ∵△ DAB的面积= DA · BC, ∴ × 10BC=40,解得BC=8,Rt △ DBC中, ∠ C=90 ° ,DB=10,CB=8, ∴ CD 2 =BD 2 -BC 2 =10 2 -8 2 =36, ∴ CD=6,故选A. 5 .如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度是h cm,则h的取值范围是(　　) A.5 ≤ h ≤ 12　 　B.12 ≤ h ≤ 19 C.11 ≤ h ≤ 12　　　 D.12 ≤ h ≤ 13 【 答案】 C　 【 解析】 如图1,此时筷子露在杯子外面的长度最大,为24-12=12 cm.如图2,此时筷子露在杯子外面的长度最短,AB 2 =BC 2 +AC 2 =5 2 +12 2 =169, ∴ AB=13 cm,此时h=24-13=11.故h的取 ) ( 值范围是11 ≤ h ≤ 12.故选C. 6 .如图,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的鱼线BC长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m,则BB'的长为(　　) A.1 m　　　　B.2 m　　　　C.3 m　　　　D.4 m 【 答案】 B　 【 解析】 在Rt △ ABC中,AC=10 m,BC=6 m, ∴ AB 2 =AC 2 -BC 2 =100-36=64, ∴ AB=8 m,在Rt △ AC'B'中,AC'=10 m,B'C'=8 m, ∴ AB' 2 =AC' 2 -B'C' 2 =36, ∴ AB'=6 m, ∴ BB'=AB-AB'=8-6=2(m).故选B. 7 .四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为(　　) A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.3 【 答案】 A　 【 解析】 设小直角三角形的两条直角边的边长分别为a、b,由题意可得 ab×4=13-1,a 2 +b 2 =13, ∴ ab=6, ∴ (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 =(a 2 +b 2 )+2ab=13+2×6=13+12=25, ∴ a+b=5或a+b=-5(舍去),故选A. 8 .如图,在△ABC中, ∠ C=90°,M是AB的中点,点N在AC上,MN ⊥ AB,若AC=8,BC=4,则NC的长为(　　) A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2 【 答案】 C　 【解析】 如图所示,连接BN, ∵ M为AB的中点,MN ⊥ AB, ∴ AN=BN,设NC=x,则AN=BN= AC-NC=8-x, ∵∠ C=90°, ∴ CN 2 +BC 2 =BN 2 , ∴ x 2 +4 2 =(8-x) 2 ,解得x=3, ∴ NC=3,故选C. 9. 在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长度是 的线段是（　　） A. AB B．AC C．AD D．AE 【 答案】 B ) ( 【 解析 】由勾股定理得：AB＝ ＝ ；AC＝ ＝ ； AD＝ ＝2 ，AE＝ ＝ ．所以长度是 的线段是AC．故选：B． 10. 已知三角形的边长是10、14、16，则这个三角形的面积是（　　） A．36 B．36 C．40 D．40 【 答案】 D 【 解析 】如图， △ ABC中，AB＝10，AC＝14，BC＝16，作AD ⊥ BC于D， ∴∠ ADB＝ ∠ ADC＝90 ° ，由勾股定理得，AB 2 ﹣ BD 2 ＝AC 2 ﹣ CD 2 ， ∴ 10 2 ﹣ BD 2 ＝14 2 ﹣ （16 ﹣ BD） 2 ，解得BD＝5， ∴ AD＝ ＝ ＝5 ， ∴ S △ ABC ＝ ＝ ＝40 ，故选：D． 二．填空题 11 .如图,Rt △ ABC中, ∠ C=90 ° ,AC=5,BC=12,则正方形ABDE的面积是 　　　　 .   【 答案】 169 【 解析 】 　Rt △ ABC中, ∠ C=90 ° , ∴ AB 2 =AC 2 +BC 2 =5 2 +12 2 =169, ∴ 正方形ABDE的面积=AB 2 =169. 1 2 如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为 　　　　 .  【 答案】 100 【 解析 】 　由题意可知,直角三角形中,一条直角边的平方=36,另一条直角边的平方=64, 则斜边的平方=36+64=100.故答案为100. 1 3 .对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB 2 +CD 2 = 　　　　 .  【 答案】 20 【 解析 】 　 ∵ AC ⊥ BD, ∴∠ AOD= ∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD=90°,由勾股定理得AB 2 +CD 2 =AO 2 +BO 2 +CO 2 +DO 2 ,AD 2 +BC 2 =AO 2 +DO 2 +BO 2 +CO 2 , ∴ AB 2 +CD 2 =AD 2 +BC 2 . ∵ AD=2,BC=4, ∴ AB 2 +CD 2 =2 2 +4 2 =20.故答案为20. 14 ．如图， △ ABC中AB=AC，AD是 ∠ BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为 _____. 【 答案 】 8 【 解析 】 ∵ AB=AC，AD是 ∠ BAC的平分线， ∴ AD ⊥ BC，BD=CD， ∵ AB=5，AD=3， ∴ BD= =4， ∴ BC=2BD=8， ) ( 15 ．如图，在 △ ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有 ____ 个 . 【 答案 】 3 【 解析 】过A作AE ⊥ BC， ∵ AB=AC， ∴ EC=BE= BC=4， ∴ AE= =3， ∵ D是线段BC上的动点（不含端点B、C）． ∴ 3 ≤ AD ＜ 5， ∴ AD=3或4， ∵ 线段AD长为正整数， ∴ 点D的个数共有3个， 16 ．如图， ∠ C＝90 ° ， ∠ B＝30 ° ，AD是 △ ABC的角平分线，DC＝1，则DB＝ 　 　 ． 【答案】2 【 解析 】 ∵∠ C＝90 ° ， ∠ B＝30 ° ， ∴∠ CAB＝60 ° ， ∵ AD是 △ ABC的角平分线， ∴∠ CAD＝ ∠ BAD＝30 ° ， ∴ AD＝2CD＝2， ∠ B＝ ∠ BAD， ∴ DB＝AD＝2，故答案为：2． 17 ．如图，四边形ABCD中， ∠ ABC＝ ∠ ADC＝90 ° ，AB＝1，CD＝ ，若BD恰好平分 ∠ ABC，则BD之长为 　 　 ． 【 答案】 【 解析 】过点D作DE ⊥ BD，交BC的延长线于E，作CH ⊥ DE于H， ∵∠ ADC＝ ∠ BDE＝90 ° ， ∴∠ ADB＝ ∠ CDE， ∵ BD平分 ∠ ABC， ∴∠ DBE＝ ∠ ABD＝45 ° ， ∴ BD＝DE， ∴∠ E＝ ∠ ABD＝45 ° ， ∴△ ABD ≌△ CED（ASA）， ∴ AB＝CE＝1， ∴ CH＝EH＝ ，在Rt △ DCH中，由勾股定理得，DH＝ ＝ ， ∴ DE＝DH+EH＝ + ＝3 ， ∴ BD＝3 ，故答案为：3 ． 18 ．如图，在四边形ABCD中， ∠ BAD＝ ∠ BCD＝90 ° ， ∠ ADC＝45 ° ，若对角线BD的长度是3，则对角线AC的长度是 　 　 ． 【 答案】 【 解析 】取BD的中点O，连接AO，CO， ∵∠ BAD＝ ∠ BCD＝90 ° ，BD的长度是3， ∴ AO＝CO＝ BD＝ ，AO＝DO＝CO， ∴∠ ODA＝ ∠ OAD， ∠ ODC＝ ∠ OCD， ∵∠ ADC＝45 ° ， ∴∠ ODA+ ∠ ODC＝45 ° ， ∴∠ AOC＝ ∠ AOB+ ∠ COB＝ ∠ ODA+ ∠ OAD+ ∠ ODC+ ∠ OCD＝90 ° ， ∴ AC＝ ＝ ＝ ，故答案为： ． ) ( 19 ．如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为 “ 匀称三角形 ” ．在Rt △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＞BC，若Rt △ ABC是 “ 匀称三角形 ” ，那么BC：AC：AB＝ 　 　 ． 【 答案】 ：2： ． 【 解析 】根据题意作图如： ∵ BD＝AC＝2CD， ∴∠ CBD＝90 ° ，设CD＝x，则AC＝2x，BC＝ x， ∴ AB＝ ＝ x， ∴ BC：AC：AB＝ ：2： ，故为： ：2： ． 20 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ ABC＝90 ° ， ， ，分别以Rt △ ABC的三条边AC、AB、BC为直径画半圆，则两个月牙形图案的面积之和（阴影部分）为 　 　 ． 【 答案】 【 解析 】在Rt △ ABC中， ∠ ABC＝90 ° ，由勾股定理得：AB＝ ＝3 ，设以AB，BC，AC为直径的半径分别为 ① ， ② ， ③ ， ∴ S ① ＝ ，同理S ，S ， ∴ S ① +S ② ＝S ③ ， ∴ S 阴影 ＝ S ① +S ② +S △ ABC ﹣ S ③ ＝S × ＝ ，故答案为： ． 三．解答题（60分） 21 ．如图，阴影部分是一个长方形，求它的面积． 解：由勾股定理得 （cm）， ∴ 长方形的面积为5 × 1＝5（cm 2 ）． 22 ． “ 中华人民共和国道路交通管理条例 ” 规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h） 解：在Rt △ ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得： （m） ∴ 小汽车的速度为v＝ ＝20（m/s）＝20 × 3.6（km/h）＝72（km/h）； ∵ 72（km/h）＞70（km/h）； ∴ 这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了． ) ( 23 ．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA ⊥ AB于点A，CB ⊥ AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ 解： ∵ 使得C，D两村到E站的距离相等． ∴ DE＝CE， ∵ DA ⊥ AB于A，CB ⊥ AB于B， ∴∠ A＝ ∠ B＝90 ° ， ∴ AE 2 +AD 2 ＝DE 2 ，BE 2 +BC 2 ＝EC 2 ， ∴ AE 2 +AD 2 ＝BE 2 +BC 2 ， 设AE＝xkm，则BE＝AB ﹣ AE＝（25 ﹣ x）km． ∵ DA＝15km，CB＝10km， ∴ x 2 +15 2 ＝（25 ﹣ x） 2 +10 2 ，解得：x＝10， ∴ AE＝10km， ∴ 收购站E应建在离A点10km处． 24. 已知在Rt △ ABC中 ∠ ACB＝90 ° ，AC＝6cm，BC＝8cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着 △ ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为t． （1）求CD的长； （2）当P在AB边上运动，t为何值时， △ ACP为等腰三角形？ 解：（1） ∵ AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm， ∴ AC 2 +BC 2 ＝AB 2 ， ∴∠ ACB＝90 ° ， ∵ CD为AB边上的高， ∴ AC • BC＝AB • CD， ∴ CD＝4.8cm； （2）当点P在AB上，CA＝CP时，在Rt △ ADC中，AD＝ ＝3.6，如图1， ∵ CA＝CP，CD为AB边上的高， ∴ DP＝AP＝3.6，则t＝（6+8+10 ﹣ 3.6 × 2） ÷ 2＝8.4， 当AC＝AP时，t＝（24 ﹣ 6） ÷ 2＝9，当PA＝PC时，如图2，作PH ⊥ AC于H，则AH＝CH＝3，HP＝ BC＝4，由勾股定理得，AP＝5，则t＝（24 ﹣ 5） ÷ 2＝9.5，故当t＝8.4、9、9.5时， △ ACP为等腰三角形． 2 5．如图，在 △ ABC中，AB＝AC＝25cm，BC＝30cm，BD ⊥ AC交AC于点D．动点P从点C出发，按C → A → B → C的路径运动，且速度为2cm/s，设出发时间为ts． （1）求BC上的高； （2）当点P在BC边上运动时，若 △ CDP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值． 解：（1）过点A作AH ⊥ BC于H， ∵ AB＝AC，AH ⊥ BC， ∴ BH＝ BC＝15（cm），在Rt △ ABH中，由勾股定理得，AH＝ ＝20（cm）， ∴ BC上的高为20cm； （2）由S △ ABC ＝ × BC × AH＝ × AC × BD得，30 × 20＝25 × BD， ∴ BD＝24cm，在Rt △ BDA中，由勾股定理得，AD＝ （cm）， ∴ CD＝CA ﹣ CD＝25 ﹣ 7＝18（cm），当CP＝CD＝18cm时，t＝（25+25+30 ﹣ 18） ÷ 2＝31，当DC＝DP时，过点D作DF ⊥ BC于F， 由面积法得，DF＝ ＝ （cm），由勾股定理得，CF＝ ＝ ＝ （cm）， ∴ PC＝2CF＝ （cm）， ∴ t＝（25+25+30 ﹣ ） ÷ 2＝29.2，当PD＝PC时，设PC＝xcm，则PF＝（x ﹣ ）cm，在Rt △ PDF中，由勾股定理 ) ( 得，x 2 ＝（x ﹣ ） 2 + ，解得x＝15， ∴ PC＝15cm， ∴ t＝（25+25+30 ﹣ 15） ÷ 2＝32.5，综上：t＝31或14.2或32.5． 26 ．已知：如图，在Rt △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当 △ ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当 △ ABP为等腰三角形时，求t的值． 解：（1）在Rt △ ABC中，BC 2 ＝AB 2 ﹣ AC 2 ＝5 2 ﹣ 3 2 ＝16， ∴ BC＝4（cm）； （2）由题意知BP＝tcm， ① 当 ∠ APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4； ② 当 ∠ BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t ﹣ 4）cm，AC＝3cm，在Rt △ ACP中，AP 2 ＝3 2 +（t ﹣ 4） 2 ，在Rt △ BAP中，AB 2 +AP 2 ＝BP 2 ，即：5 2 +[3 2 +（t ﹣ 4） 2 ]＝t 2 ，解得：t＝ ，故当 △ ABP为直角三角形时，t＝4或t＝ ； （3） ① 当AB＝BP时，t＝5； ② 当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8； ③ 当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4 ﹣ t）cm，AC＝3cm，在Rt △ ACP中，AP 2 ＝AC 2 +CP 2 ，所以t 2 ＝3 2 +（4 ﹣ t） 2 ，解得：t＝ ，综上所述：当 △ ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝ ． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$