精品解析：山东省淄博市淄川区 2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题（五四学制）

初四期中数学试题2025.11 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为（） A. B. C. D. 2. 中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道(如图所示)．我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜的度数，具体按键顺序是( ) A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 与轴交于 C. 对称轴为直线 D. 与轴没有交点 5. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．当压强（ ）时，气体体积压缩了． A. 加到 B. 加到 C. 加到 D. 加到 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 7. 如图，某梯子长5m，斜靠在竖直的墙面上．当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处．现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为．已知，则梯子顶端上升了（ ） A. B. C. 1m D. 8. 如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数图象的开口向上 B. 关于的方程的两个根是和3 C. 点在一次函数的图象上 D. 代数式的最大值为 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及共上方的部分记作将向左平移得到，与x轴交于点B，D，若直线与，共3个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 11. 请写出一个函数表达式，使其当时，随增大而增大：________． 12. 已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是________． 13. 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为_________m． 14. 如图，已知一个反比例函数的图象经过的直角边的中点，交斜边于点，连接，若的面积为1，则的值为____________． 15. 已知函数（b为常数），时，函数的最大值与最小值之差为25，则b的值为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，中，，． （1）求的长． （2）是边上的高，请你补全图形，并求的长． 18. 已知二次函数． （1）用配方法把这个二次函数的解析式化为的形式； （2）写出这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴； （3）将该抛物线向左平移个单位，使经过点，求值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点B，C，且B（﹣1，m），C（n，﹣4）．过点A作AD⊥y轴交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点D，连接BD． （1）求反比例函数的表达式和点C的坐标． （2）求△ABD的面积． （3）请直接写出不等式＜﹣4x+2的解集． 20. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 21. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A出射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时求的竖直高度为．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． （1）求抛物线表示的二次函数关系式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，他带球向正后方移动米射门，才能让足球经过点O正上方和之内进球，求t的取值范围． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，），的图象经过点，两点． （1）m与n的关系是_________； （2）如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比例函数的表达式； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得的值最小，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 23. 如图1抛物线与轴交于点，与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； （3）如图2，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四期中数学试题2025.11 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设反比例函数为：．∵反比例函数的图象经过点(3，-2)，∴k=3×（-2）=－6．故反比例函数为：．故选B． 2. 中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断是直角三角形，再根据余弦的定义可直接进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键． 3. 为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道(如图所示)．我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜的度数，具体按键顺序是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知三角函数值用计算器求角度，正弦，熟练掌握正弦的定义，并正确使用计算器是解题的关键．先利用正弦的定义得到，然后利用计算器求锐角． 【详解】解：由题意 ， 得， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为， 故选：A． 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 与轴交于 C. 对称轴为直线 D. 与轴没有交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据二次函数的顶点式 ，判断开口方向向上，对称轴为，从而判断选项A、C；将，分别代入，可判断选项B，D，据此找出正确的答案． 【详解】∵ 二次函数为 ， ∴，开口向上，对称轴为，故A、C错误； 当时，， ∴二次函数与轴交于，故B错误； 令，则， ∵， ∴，无实数根， 故二次函数与轴没有交点，故D正确， 故选：D． 5. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．当压强（ ）时，气体体积压缩了． A. 加到 B. 加到 C. 加到 D. 加到 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用；由函数图象可求出反比例函数的解析式，再分别计算出给定不同压强时的体积，即可确定气体体积的变化． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 有图象可知，反比例函数图象过点， 则， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当压强由加到，体积由减少到， 则体积压缩了； 当压强由加到，体积由减少到， 则体积压缩了； 当压强由加到，体积由减少到， 则体积压缩了； 当压强由加到，体积由减少到， 则体积压缩了； 故选C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的性质，解题的关键是运用反比例函数的性质来解题． 过作轴，交轴于点，将阴影部分拆成个三角形面积和，利用、、点都在反比例函数上，可得各个三角形面积，即可求阴影部分面积之和． 【详解】解：过作轴，交轴于点，如图所示： ∵，轴， ∴为的中点，即， ∴， 又∵、、点都在反比例函数上， ∴， ∴ 则，   故选： C． 7. 如图，某梯子长5m，斜靠在竖直的墙面上．当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处．现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为．已知，则梯子顶端上升了（ ） A. B. C. 1m D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数求出梯子顶端在两次位置时的高度，再求高度差． 【详解】解：在中， . 在中，， ， ， 梯子顶端上升了． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用三角函数和勾股定理求出相关线段的长度． 8. 如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取格点，连额吉，不妨设小菱形的边长为1，先证明是的中位线，得到，接着利用菱形的性质，证明为等腰三角形，为等边三角形，接着证明为直角，过点作于点，利用勾股定理求得，最后求得答案． 【详解】解：取格点，连接，设小菱形的边长为1，如图所示： ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵菱形的一个内角为， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 9. 已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数图象的开口向上 B. 关于的方程的两个根是和3 C. 点在一次函数的图象上 D. 代数式的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据表格中点(1,2)和(2,2)的y值相同，可得抛物线对称轴为，进而求得，，逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵ 点和在抛物线上，且y值相同， ∴ 对称轴为， ∴， 将代入函数：， ∴，即， 若，则， 解得：， ∴抛物线开口向下， ∴A错误； 由表格可得：当时，， 又∵对称轴， ∴的另一个解为， ∴B错误； ∵， ∴点即， 将代入中，则， ∴C正确； ∵， ∴当时， 的最大值为， ∴D错误， ∴故选：C． 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及共上方的部分记作将向左平移得到，与x轴交于点B，D，若直线与，共3个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题．首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：将代入， 得， 解得 抛物线与x轴交于点A，B， ， 抛物线向左平移4个单位长度， ， 平移后解析式为， 如图， 当直线过点B，有2个交点， ， 解得， 当直线与抛物线相切时，有2个交点， ， 整理得， 相切， ， 解得， 直线与，共3个不同的交点， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 11. 请写出一个函数表达式，使其当时，随增大而增大：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数的图象和性质，可以考虑一次函数，当 时， 随的增大而增大；或反比例函数，当 时，在时 随的增大而增大． 【详解】解：∵在时， 随的增大而增大． ∴该函数的解析式可以是，其中比例系数，满足条件， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用待定系数法求得两个函数的解析式，然后联立解方程，即可得出答案． 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴直线为，双曲线为， 联立，解得或， 所以它们的另一个交点坐标是； 故答案为：． 13. 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为_________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数解析式是关键． 以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点到水面的距离为， ∴、点的纵坐标为， ∵水面宽为， ， 将点A代入， ， ， ， ∵水位上升就达到警戒水位， ∴点的纵坐标为， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，已知一个反比例函数的图象经过的直角边的中点，交斜边于点，连接，若的面积为1，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，得出，再根据中位线的性质和四边形面积得出结果． 【详解】解：过点作轴于点，交于点，作轴于点，则：MD∥NC∥OA， ∴∠CAO=∠NOA=∠CNO=90°， ∴四边形CNOA是矩形， ∴CN=AO 设点， ∵点是的中点，CN∥OA， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，三角形中位线定理，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 15. 已知函数（b为常数），时，函数的最大值与最小值之差为25，则b的值为___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用函数的最值分四种情况讨论求解． 本题考查二次函数的图像及性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质，数形结合解题是关键． 【详解】， ∴对称轴为，顶点坐标为． ①当即时， 时，， 时，， 则， 解得，（不合题意，舍去）； ②当即时， 时，， 时，， 则 ， 解得，（不合题意，舍去）； ③当即时， 时，， 时，， 则， 解得（不合题意，舍去）； ④当即时， 时，， 时，， 则， 解得（不合题意，舍去）． 综上，b的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，中，，． （1）求的长． （2）是边上的高，请你补全图形，并求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据三线合一得出，在中，勾股定理求得，进而即可求解； （2）过点，作交的延长线于点，根据，以及正弦的定义，结合（1）的结论，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵ ∴， ∵ ∴, ∴ 在中，, ∴ 【小问2详解】 解：如图，过点，作交的延长线于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵, ∴ 【点睛】本题考查了三线合一的性质，解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 18. 已知二次函数． （1）用配方法把这个二次函数的解析式化为的形式； （2）写出这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴； （3）将该抛物线向左平移个单位，使经过点，求值． 【答案】（1） （2）开口方向向下，，对称轴为直线 （3） 【解析】 【分析】（1）根据配方法的操作整理即可得解； （2）根据小于0确定出抛物线开口向下，根据顶点式解析式写出顶点坐标和对称轴． （3）根据平移规律即可得到，代入点，即可解得． 【小问1详解】 解： ， 即； 【小问2详解】 ∵， ∴该抛物线的开口方向向下， 由知，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线； 【小问3详解】 将该抛物线向左平移个单位得到， 平移后的抛物线经过点， ， 解得或， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点B，C，且B（﹣1，m），C（n，﹣4）．过点A作AD⊥y轴交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点D，连接BD． （1）求反比例函数的表达式和点C的坐标． （2）求△ABD的面积． （3）请直接写出不等式＜﹣4x+2的解集． 【答案】（1）y＝﹣；C（，﹣4）；（2）S△ABD＝6；（3）x＜﹣1或0＜x＜． 【解析】 【分析】（1）先得到点B的坐标，再将B点坐标代入y＝（k≠0），利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式，进而即可求得C的坐标； （2）根据一次函数y＝﹣4x+2的图象与y轴交于点A，求出点A的坐标为（0，2），再将y＝2代入y＝﹣，求出x的值，那么AD＝3．根据三角形面积公式即可求得； （3）根据图象即可求得． 【详解】解：（1）∵B（﹣1，m）在一次函数y＝﹣4x+2的图象上， ∴﹣4×（﹣1）+2＝m．解得m＝6， ∴B（﹣1，6）， ∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上， ∴k＝﹣1×6＝﹣6 ∴反比例函数的表达式为y＝﹣， ∵C（n，﹣4）在反比例函数y＝﹣的图象上 ∴﹣4＝﹣，解得n＝， ∴点C的坐标为（，﹣4）； （2）把x＝0代入y＝﹣4x+2，得y＝2， ∴A（0，2）， ∵AD⊥y轴， ∴点D的纵坐标为2， 又∵点D在反比例函数y＝﹣的图象上， ∴2＝﹣，解得x＝﹣3， ∴D（﹣3，2）． ∴AD＝3 ∴S△ABD＝×3×（6﹣2）＝6； （3）观察图象可知，不等式＜﹣4x+2的解集为x＜﹣1或0＜x＜． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式，根据图像确定不等式的解集，熟练掌握交点的意义，运用好数形结合思想是解题的关键． 20. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）解即可； （2）先解得到，再解得到，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，在中，， ， ， 的长为； 【小问2详解】 解：如图3，在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∴遮阳篷的长为． 21. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A出射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时求的竖直高度为．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． （1）求抛物线表示的二次函数关系式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，他带球向正后方移动米射门，才能让足球经过点O正上方和之内进球，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）， ，不能射进球门 （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式； （2）当时，求出的值再与比较，即可知球能不能射进球门； （3）设抛物线向右平移t米后的解析式为：，分别将，；，代入，求出的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方和之内进球． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴球不能射进球门． 【小问3详解】 解：设抛物线向右平移t米后的解析式为：， 将，代入，， 解得，（舍去） 将，代入，， 解得，（舍去） ∴时，才能让足球经过点O正上方和之内进球． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，），的图象经过点，两点． （1）m与n的关系是_________； （2）如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比例函数的表达式； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得的值最小，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）；反比例函数表达 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将点，代入，可得，从而得到m与n的关系； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，得到，然后结合点的坐标，可以得到，结合（1）可得，从而推出点，最后求得答案； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据对称，可得，此时的值最小，最小值为，接着利用待定系数法求得直线的表达式，然后求得其与轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（为常数，）的图象经过点，两点， ， ， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴反比例函数的解析式为：； 【小问3详解】 解：存在，，理由如下： 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： ∴， ∴，此时的值最小，最小值为， 由（2）可知，， ∴， 设直线的表达式为代入点，， ，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，三角形全等的判定与性质，轴对称图形的特征，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 如图1抛物线与轴交于点，与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； （3）如图2，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别计算当时，x的值，当时，y的值，即可得到答案； （2）先证得为等腰直角三角形，则，结合，可知点P在x轴的上方，如图所示，过点A作，交于点M，过点A作x轴的垂线，过点M作于点L，作轴于点R，过点C作于点N，然后利用证明，进而求得点M的坐标，接着利用待定系数法求得直线的表达式，最后联立抛物线方程，即可求得点P的坐标； （3）过点A、E作x轴的垂线，过点D、F作y轴的垂线，交于点G、H、I、J，得到矩形，设，，根据平行四边形的性质可知，，进而推出，，然后根据，得到关于n的一元二次方程，解得n的值即可解答． 【小问1详解】 解：令，得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，， 令，得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ∴，， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为抛物线上一点，且满足， ∴点P在x轴的上方， 如图所示，过点A作，交于点M，过点A作x轴的垂线，过点M作于点L，作轴于点R，过点C作于点N， 则，四边形、、为矩形， ∴， ， ∴，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∵四边形、、为矩形， ∴，， ∴， ∴ 设直线的表达式为，代入，， 得， 解得， ∴直线的表达式为， ∴ 解得，（舍去）， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：过点A、E作x轴的垂线，过点D、F作y轴的垂线，交于点G、H、I、J，如图所示， 则四边形是矩形， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点， ∴设，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 整理得， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴． 【点睛】本题是二次函数与几何综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点，利用几何性质列出方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $