精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高三上学期11月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期11月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足,则 A. B. C. D. 2. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”的充要条件是（   ） A. 不都为1 B. 都不为1 C. 不都为0 D. 中至少有一个为1 5. 在中，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 6. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数,，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是任意的非零向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. 的面积为 B. BC边上的高为 C. 的最小值为 D. 最大值为 11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ） A. 为定值 B. 的取值范围是 C. 当时，为定值 D. 的最大值为12 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量若，则___________ 13. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 14. 已知函数，若且满足，则的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 16. 已知向量，记函数． （1）求函数在上的取值范围； （2）若为偶函数，求的最小值； （3）若在区间上单调递增，求的取值范围． 17. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． （1）求岸线上点A与点B之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 18. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，证明：当时，在区间上恒成立． 19. 若定义域为的函数满足，则称函数为“a型”弱对称函数. （1）若函数为“1型”弱对称函数，求m的值； （2）若函数为“4型”弱对称函数，且恰有3个零点，，，求的值； （3）若函数为“2025型”弱对称函数，且恰有101个零点，当对任意满足条件的函数恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期11月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足,则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求得，利用复数的除法运算法则化简即可. 【详解】由得， 所以=，故选A． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用投影向量的定义得，再利用数量积的运算，即可求解. 【详解】由题意，在上的投影向量为，则， 因为是单位向量，即，所以， 则． 故选：B． 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 4. 设，则“”的充要条件是（   ） A. 不都为1 B. 都不为1 C. 不都为0 D. 中至少有一个为1 【答案】B 【解析】 【分析】将整理得到，从而得到且. 【详解】， ， ， ， ， 且，即都不为1， 故选：B. 5. 在中，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积得定义，化简求得，进而求得，可判定为等边三角形. 【详解】由 ，所以， 因为,可得， 又由，因为，可得， 所以是等边三角形，所以C正确； 故选：C. 6. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有1个零点， 由函数有4个零点，得函数有3个零点， 由，得，则，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：D 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的形式构造新函数，根据的形式构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，利用单调性进行运算判断即可. 【详解】构造新函数， 当时，，函数单调递减， 于是由， 所以有， 所以， 构造新函数， 当时，，函数单调递增， 由， 故，所以，故， 故选：D 8. 已知函数,，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数，变形后可得 所以的图像关于对称 由函数单调性可知，当时，函数单调递增 因为， 所以， 变形可得，展开可知， 解不等式可得， 即实数的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是任意的非零向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数量积的定义与数量积的运算律逐一判断即可. 【详解】对于A选项，时，或，故A错误； 对于B选项，若，则，所以， ，所以，故B正确； 对于C选项，，则，即， 所以，故C正确； 对于D选项，，则与共线同向，故D错误． 故选：BC. 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. 的面积为 B. BC边上的高为 C. 的最小值为 D. 最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据边角互化，结合面积公式即可求解A、B，根据正弦的和差角公式以及弦切互化可得，即可求解C，根据余弦定理，结合辅助角公式以及三角函数的性质可求解，即可利用不等式求解D. 【详解】由可得，, 故,即， 对于A，，A正确， 对于B，由于，故，其中为边上的高，B错误， 对于C，由可得， 即，故， 故，当时，，故不是的最小值，故C错误， 对于D， ，， 故 ，其中锐角满足， 因此的最大值为，即 令则，故，因此最大值为，D正确， 故选：AD 11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ） A. 为定值 B. 的取值范围是 C. 当时，为定值 D. 的最大值为12 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆幂定理的结论、平面向量的数量积定义、基本不等式的性质等知识对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于A：设直线与圆相较于点，注意，， 则为定值，正确； 对于B：取的中点，连接， 则. 因为，所以的取值范围为，错误； 对于C：当时，为定值，正确； 对于D：当均为直径（与重合）时，两者乘积最大. 因为，所以，所以D错误. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以. 故答案为：2 14. 已知函数，若且满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可判断函数在时，单调递减，在时，单调递减，又且满足，所以可得且，代入化简整理，再构造函数，结合函数性质求值域即可. 【详解】由题意，当时，是减函数，且， 当时，是减函数，且， 由且得，，则，， 所以，即， 所以， 设，则， 因为时，所以恒成立，所以是增函数， 所以，即， 所以，即取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； 【小问2详解】 由正弦定理得：，则，则，. 16. 已知向量，记函数． （1）求函数在上的取值范围； （2）若为偶函数，求的最小值； （3）若在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为，最后根据正弦函数性质求值域； （2）先根据为偶函数求得，再求的最小值； （3）根据题意，根据正弦函数单调递增区间求解. 【小问1详解】 ， ∵，， ， ∴的取值范围为. 【小问2详解】 因为为偶函数， 所以， 因此当时. 【小问3详解】 ， 因为，所以， 根据正弦函数单调递增区间可得， 得，所以， 即的取值范围为. 17. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． （1）求岸线上点A与点B之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 【答案】（1）千米 （2）万元 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可； （2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得 即岸线上点与点之间的直线距离为 千米． 【小问2详解】 在中， ， 则， 设两段网箱获得的经济总收益为 万元，则 因为，所以，所以 所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元． 18. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，证明：当时，在区间上恒成立． 【答案】（1） （2） 的定义域为， 设为图象上任意一点，故， 而， 所以，所以的图象为中心对称图形，且对称中心为． （3） 若，，原命题等价于证明在区间上恒成立， 设，则需满足在区间上恒成立， 设，则， 因为，所以，，若，则， 故恒成立，故在区间上为增函数， 故，即在区间上恒成立． 【解析】 【分析】（1）把代入函数化简解析式后求导，利用基本不等式求出导数最小值，再根据，解关于的不等式求出的最小值. （2）设为图象上任意一点，计算出，从而命题得证. （3）若，原命题等价于证明在区间上恒成立，通过换元法化简不等式，构造函数后求导，利用导数恒正得出函数单调递增，进而得出结论. 【小问1详解】 当时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故，即， 所以的最小值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 若定义域为的函数满足，则称函数为“a型”弱对称函数. （1）若函数为“1型”弱对称函数，求m的值； （2）若函数为“4型”弱对称函数，且恰有3个零点，，，求的值； （3）若函数为“2025型”弱对称函数，且恰有101个零点，当对任意满足条件的函数恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）8 （3）4545 【解析】 【分析】（1）根据“1型”弱对称的条件，代入运算求得； （2）利用“4型”弱对称性，零点成对出现，结合有奇数个零点，确定必有一个零点为2，进而求得答案； （3）根据题意，设，则，讨论和，且，得到，利用基本不等式求的范围，进而求得的最大值. 【小问1详解】 因为为“1型”弱对称函数，所以， ，化简整理得恒成立， ，即. 【小问2详解】 因为为“4型”弱对称函数，所以， 若是的零点，则也是零点，而恰有3个零点， 所以2显然是其中一个零点，不妨设，则， . 【小问3详解】 由题，，且， 对于的零点，有，则， 若，则，故45必为的一个零点， 若，且，则， 所以 ， 又对任意满足条件的函数恒成立，故， 所以的最大值为4545. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $