精品解析：江西省上犹中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度上学期上犹中学 高一年级数学学科综合检测（二） 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1. 设集合 则（ ） A. B. C. D. 2. 命题p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命题q：指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）为减函数，则P是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 幂函数图象过点，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 6. 若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在R上的奇函数，，对，，且有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列不等关系正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B. 函数在上的值域为 C. 若关于的方程的两根分别为，，且，则有 D. 函数，则不等式的解集为 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，是增函数 B. 当时，的值域为 C. 当时，曲线关于点对称 D. 当时，，则 三、填空题 12. ___________. 13. 若，且，则的最小值是________． 14. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围是_________． 四、解答题 15. 已知全集为，集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）试判断的单调性， 并用定义证明； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数. （1）若不等式恒成立，求的取值范围； （2）解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足. （1）求和的解析式. （2）求证. （3）求函数，的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期上犹中学 高一年级数学学科综合检测（二） 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1. 设集合 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式得集合，求函数定义域得集合，然后根据交集的定义求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C. 2. 命题p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命题q：指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）为减函数，则P是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】命题p：∀x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命题p：①当a≠0时，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且a>0， ∴解得：0＜a＜1， ②当a＝0时，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立， ∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1； 命题q：指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）为减函数，则0＜a＜1； 所以当0≤a＜1；推不出0＜a＜1；当0＜a＜1；能推出0≤a＜1； 故P是q的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了二次型函数恒成立的问题，考查了指数函数的单调性，属于基础题． 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数，排除AB选项， 当时，，，则，排除C选项. 故选：D. 4. 幂函数图象过点，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 5. 已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先求得图象的定点，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，所以图象的定点， 又由函数的图象过函数图象的定点， 可得，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 6. 若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解. 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C. 7. 已知是定义在R上的奇函数，，对，，且有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意构造函数，可以证明它是偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，由即可得解. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，令， 则是定义在R上的偶函数， 且在上单调递增，， 由题意不妨设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，，， 解得：，即关于的不等式的解集为. 故选：B. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的单调性，求出该函数在、上的值域，分析可知，函数的值域为，结合分段函数的值域可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为，且， 由题意可知，函数的值域为， 因为函数在上单调递增，当时，， 函数在上为增函数， 当时，， 由题意可得，则有，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分段函数的单调性，求出函数在每段区间上的值域，再由并集运算得出不等式组求解. 二、多选题 9. 下列不等关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数，幂函数的单调性及中间值比大小. 【详解】对于A，因为是R上单调减函数，，所以，故A正确； 对于B，因为在上单调递减，，所以，故B正确； 对于C，因为是R上单调减函数，是R上单调增函数，所以，，故C错误； 对于D，因为在R上单调递减，则， 又在上单调递增，则，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B. 函数在上的值域为 C. 若关于的方程的两根分别为，，且，则有 D. 函数，则不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用复合函数的单调性求的取值范围；B选项，利用函数定义域结合解析式求值域；C选项，解含绝对值的方程；D选项，构造函数，利用为奇函数，且在上单调递增，解不等式. 【详解】对于A，函数在区间上是增函数， 由函数是R 上的减函数，有函数在上单调递减， 时符合题意，A选项错误； 对于B，， 时，，有，得， 所以函数在上的值域为，B选项正确； 对于C，若关于的方程的两根分别为，，且， 则有，，所以，C选项正确； 对于D，设，， ， ，即， 设， ， 由于，故，，故， 则，故为奇函数，且在上单调递增， 则， 即， 故，解得，D选项正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，是增函数 B. 当时，的值域为 C. 当时，曲线关于点对称 D. 当时，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性判断A，利用特殊值判断B，计算即可判断C，根据函数的对称性与单调性转化为，再结合二次不等式的性质计算可得D. 【详解】对于A：因为定义域为， 当时在定义域上单调递增，且，又在上单调递增， 所以在定义域上单调递增，故A正确； 对于B：当时，但是，故B错误； 对于C：当时，， 则，所以曲线关于点对称，故C正确； 对于D：当时，的图象是由图象向右平移个单位得到， 所以的对称中心为，且在定义域上单调递增， 所以，可得， 即，从而得到， 即恒成立，所以，解得，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：D选项的关键是推导出的对称中心为，且在定义域上单调递增，从而将不等式转化为恒成立. 三、填空题 12. ___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则与性质求解. 【详解】 . 13. 若，且，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可借助、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得. 【详解】由，则， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 14. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式画出图象，数形结合可得时，存在，使得，根据解析式可以求出，，所以可化成，再结合范围即可求出取值范围． 【详解】解： 可得函数图象如下所示 由图可知，当时，存在，使得， 不妨令此时，则对于、满足方程，即，所以； 对于、满足方程，即，所以，则有， ， 其中，则， 即 故答案为： ． 【点睛】本题考查函数的图象，函数与方程的结合，数形结合是关键，属于中档题． 四、解答题 15. 已知全集为，集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1)由集合的运算性质求解； (2)分和求解即可． 【小问1详解】 由，得，得， 则， 当时，得，得或， 得或． 【小问2详解】 当时，得，得， 当时，则，解得， 综上知，实数的取值范围：. 16. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）试判断的单调性， 并用定义证明； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）函数在上为增函数， 任取，，且， 则， 因为，所以，又， 所以，即， 所以函数在上为增函数． （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值； （2）函数在上为增函数，由单调性的定义和指数函数的单调性、不等式的性质可得证明； （3）由奇函数在上为增函数，可将原不等式的两边的“”去掉，从而利用基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由定义域为的函数是奇函数， 可得，即有， 即恒成立， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，奇函数在上为增函数， 则等价于， 即， 令，则在上有解， 因为，当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即. 【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是利用函数单调性与奇偶性，将问题转化为在上有解的问题，从而得解. 17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大利润，最大利润为480元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由已知 ； 【小问2详解】 由（1）得， 即由二次函数的单调性可知，当时，， 由基本不等式可知，当时， ， 当且仅当，即时取得最大值， 综上，当时取得最大利润，最大利润为480元. 18. 已知函数. （1）若不等式恒成立，求的取值范围； （2）解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由不等式恒成立，转化为恒成立，分类讨论，结合二次函数的性质列出不等式组，即可求解； （2）由不等式，得到， 结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （1）由不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 因为不等式恒成立，即不等式恒成立， 当时，不等式即为，显然不成立，舍去； 当时，要使得恒成立，则满足， 即，解得，即的取值范围为. 【小问2详解】 解：由不等式，可得， 即， 若时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 若时，不等式可化为， ①当时，不等式等价于，解得或， 不等式的解集为； ②当时，不等式等价于， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 解：由不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 因为， 则可转化为不等式在上恒成立， 设，可得， 所以的最大值为，所以，可得， 所以实数的取值范围为 19. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足. （1）求和的解析式. （2）求证. （3）求函数，的最小值. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇偶性求解即可； （2）代入运算即可证明； （3），令，则，令，对进行分类讨论求解． 【小问1详解】 定义在上的奇函数和偶函数， 则，， ∵①， ∴，即②， 联立①②解得：，． 【小问2详解】 ， 再计算：由，可得， 所以． 【小问3详解】 ， 令，可知时单调递增，则，， 令， 当，即时，在时单调递增，则； 当，即时， 在时单调递减，在时单调递增， 则； 当，即时，在时单调递减， 则； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $