精品解析：福建省厦门第一中学2026-2027学年第一学期第一次适应性练习高二年数学试卷

福建省厦门第一中学2026—2027学年度第一学期第一次适应性练习 高二年数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系知，直线的倾斜角为. 2. 若方程表示圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得， 所以m的取值范围是. 3. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 4. 已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可得关系和范围，据此可得答案. 【详解】，则直线方程为. 因点在线段上，则，. 则，即最小值为. 5. 在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设， 结合知，. 6. 已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两直线平行的充要条件求解参数m，排除重合情况后，代入平行线间距离公式计算得结果. 【详解】由题意得 ，解得.验证常数项：，即，两直线不重合，符合要求. 将代入两直线方程，得，. .  . 7. 已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系，利用空间向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】连接，交于点，连接，， 因为正四棱锥与正四棱锥， 所以平面，平面， 因为，， 所以，，， 以为原点，分别为轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以. 故选：D. 8. 空间中有四个平行平面，相邻两个平面的距离从上到下依次为1，2，3，则在各平面上分别取一点构成的正四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正四面体为补成正方体，建系并标点，设正方体的棱长为，四个平面的法向量均为，根据点到面的距离公式列方程，不妨设，解得，进而可得正四面体的体积. 【详解】设四个平行平面从上到下依次为，，，，正四面体为， 其中，，，， 如图所示，将正四面体为补成正方体，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，，， 可得，，， 因为，设4个平面的法向量均为，， 在平面上任取一点，则， 可得，即平面的方程为， 同理可得：平面的方程为， 平面的方程为， 平面的方程为， 因为平面，，均在平面的同侧， 则，，同号，即，，同号， 由题意可知：点A为到平面，，的距离依次为1，3，6， 根据点到面的距离公式可得， 整理可得， 若，解得，不合题意，可知，不妨设， 可得，解得，即， 代入可得，即， 由正方体性质可知：正四面体的体积为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 可以构成空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，向量，， 所以，，， 所以， 又，所以向量与向量的夹角为，正确； 对于B，，， ， 所以不成立，错误； 对于C，向量在向量上的投影向量为，正确； 对于D，由选项B可知，所以共面， 故不可以构成空间的一个基底，错误. 10. 记直线，，则（ ） A. 过定点 B. 的倾斜角为钝角 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对直线方程进行整理变形即可得出过定点，利用直线一般方程中的系数的关系即可得出直线关系和倾斜角的范围. 【详解】对于选项A，整理直线方程：，则，解得，即过定点，故A正确； 对于选项B，整理直线方程：，当，即时，的倾斜角为直角，故B错误； 对于选项C，代入，可得直线，，显然，故C正确； 对于选项D，若，则，解得，故D正确. 故选：ACD 11. 已知直线，，，点，位于的两侧，现将半平面沿直线翻折，设二面角的大小为，，，则（ ） A. 当时，为钝角 B. 当时， C. 当时，的最小值为 D. 翻折过程中，不存在某个位置，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】把 ， 分别分解为沿 方向的分量和垂直于 的分量，可得到 ，， 之间的关系，再逐项判断． 【详解】 设沿 方向的单位向量为 ．在两个半平面内，分别取垂直于 的单位向量 ，其中 指向 所在一侧， 指向 所在一侧，则 . 只需考虑方向，令 ． 因为 ，且 ， 在直线 上位于 的两侧，则， 所以 ，． 又因为 ，，所以 ． 对于 A，当 时，因，则，所以 为钝角，A 正确． 对于 B，当 时，．因为 ，所以 ， 从而 ．又余弦函数在上单调递减，则 ，即 ，故B 正确． 对于 C，当 时，设 ，则 ， ， 所以 ． 因，则 ．当 ，即 ， 时取等，即 的最小值为 ，故C 正确． 对于 D，若存在 ，则有 ，．把 代入关系式，需满足 ． 令 ，则 ，． 由零点存在定理，存在 ，使 ，即存在位置满足 ，故 D 错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 【答案】 【解析】 【详解】因为空间点关于坐标平面对称时，坐标取反，坐标不变， 所以关于坐标平面的对称点为， 因为空间点关于轴对称时，坐标不变，坐标都取反， 所以关于轴的对称点为， 所以． 13. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上， 又的斜率，则直线的方程为， 设，所以，解得， 所以圆的方程为. 14. 已知，，若曲线和有公共点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由曲线有公共点，整理得到关于的直线方程，为原点到点距离的平方，利用点到直线距离不等式放缩，化简分母并用辅助角公式求其最值，从而得到的最小值. 【详解】与有公共点， 可知存在实数，使得， 整理得， 将上式看作关于变量的直线方程， 表示坐标原点到点的距离的平方，点在上述直线上， 根据点到直线的距离公式，原点到该直线的距离：， ，即， ， ，其中， 又，故， 所以， 要使最小，则分母取最大值， 所以， 故的最小值为, 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合三角函数值求出半径，即可得出答案； （2）分为直线的斜率是否存在两种情况，再结合直线与圆相切的条件即可求解. 【小问1详解】 由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上，所以，解得， 故圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 圆心到直线的距离， 因为，所以， 在直角中，，即， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为， 此时直线与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16. 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）因为是正方形，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以为原点，、所在直线为、轴，在平面内垂直于所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，、所在直线为、轴，在平面内垂直于所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、， 因为，，， 在等腰梯形中，，，， 所以四边形为矩形，所以，， 在和中，，，， 故，所以， 因为，故， 、、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 17. 已知，直线， （1）若，分别是，上的两个动点，求周长的最小值； （2）过点的直线与，分别交于，两点，若的中点在直线上，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出关于的对称点，则，据此可得答案； （2）设出过点的直线，表示出两点，利用两点在上可得答案. 【小问1详解】 设关于的对称点分别为. 因，则， 解得，对于上任意两点，易得， 则， 当且仅当四点共线时取等号. 【小问2详解】 当过点的直线斜率不存在，，则此时， 中点坐标为，该点不在直线上，不满足题意； 当过点斜率存在，设. 将其与联立可得，与联立可得 从而中点为，代入并化简可得： 或(舍去).则的方程为. 18. 已知底面ABCD是正方形，平面，点E、F分别为线段PB、CQ的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点是线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 【答案】（1） 因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、，、， 所以， 所以，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）先求出平面与平面的法向量，再利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）先设，其中，得出向量的坐标，得到平面的一个法向量，再利用空间向量法可得线面角的正弦是关于的式子，结合值域计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； 【小问3详解】 假设存在点，使得，其中， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 由题意可得， 设，即， 当即时，取最大值； 因为，所以，所以． 19. 已知圆过点和，圆心在轴上． （1）若过点的直线与圆交于，两点，当时，求直线的一般式方程； （2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，两点，记，的面积为，，求的最大值； （3）过点斜率存在且不为0的直线与圆交于，两点，是否存在轴上的定点（不同于），使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或； （2） （3）存在，或，理由如下： 设，，， 联立，得， 则， 因为， 同理可得， 所以 ， 若为定值，则， 即，即， 得或（舍去），此时或. 【解析】 【分析】（1）先求出圆的标准方程，再依据直线的斜率是否存在进行讨论，利用弦长公式可求； （2）设，，与圆的方程联立，再根据可得； （3）设，，，将直线与圆的方程联立得出韦达定理，再利用两点间距离公式求出并化简即可得出. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则，得， 则圆的方程为， 若直线的斜率不存在，则，则，符合题意； 若直线的斜率存在，设，即， 则点到直线的距离为，得， 则直线的一般式方程为或； 【小问2详解】 设，， 联立，得，则， 则，， 因为，则，同理可得 则，等号成立时， 故的最大值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2026—2027学年度第一学期第一次适应性练习 高二年数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 8. 空间中有四个平行平面，相邻两个平面的距离从上到下依次为1，2，3，则在各平面上分别取一点构成的正四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 可以构成空间的一个基底 10. 记直线，，则（ ） A. 过定点 B. 的倾斜角为钝角 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知直线，，，点，位于的两侧，现将半平面沿直线翻折，设二面角的大小为，，，则（ ） A. 当时，为钝角 B. 当时， C. 当时，的最小值为 D. 翻折过程中，不存在某个位置，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 13. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 14. 已知，，若曲线和有公共点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 16. 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 17. 已知，直线， （1）若，分别是，上的两个动点，求周长的最小值； （2）过点的直线与，分别交于，两点，若的中点在直线上，求直线的方程． 18. 已知底面ABCD是正方形，平面，点E、F分别为线段PB、CQ的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点是线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 19. 已知圆过点和，圆心在轴上． （1）若过点的直线与圆交于，两点，当时，求直线的一般式方程； （2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，两点，记，的面积为，，求的最大值； （3）过点斜率存在且不为0的直线与圆交于，两点，是否存在轴上的定点（不同于），使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $