精品解析：山东省日照市东港区实验中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

山东省日照市东港区实验中学2025-2026学年九年级上学期 期中考试数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A. B. C. D. 6. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知点M，N的坐标分别为，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的最大值为_____． 12. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 13. 如图，在矩形中，平分交于点E，．以点B为圆心，长为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分的面积是______（结果保留π）． 14. 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为________． 15. 如图，在菱形中，，点在边上，连结，将绕点旋转，点恰好落在边上的点处，且，若，，则_______． 16. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是_______． 三、解答题（共7小题，共72分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）把向上平移4个单位长度得的对应点分别是．请做出． （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出的对应点分别是． （3）设点是轴上的动点，当周长取最小时，写出点P的坐标______． 18. 10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． AI 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数； （3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 19. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润． 20. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 21. 如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求图中阴影部分的面积． 22. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图，在正三角形内有一点，且，，，求的度数； 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． （1）请你回答：图中的度数等于________．（直接写答案） 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，． （2）求的度数； （3）求正方形的边长． 23. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）若，当自变量的值满足时，函数的最小值等于2，求b的值； （3）当时，点，在抛物线上．若，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省日照市东港区实验中学2025-2026学年九年级上学期 期中考试数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 2. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键． 4. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，交于， 六边形是的内接正六边形， ，，， ∴为等边三角形， ，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的交点即为所求的的外心， 的外心坐标是． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外心的知识，解题的关键是注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 6. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 7. 如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平行四边形的性质、旋转的性质，延长交轴于点，过点作轴于点，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， 由题意可得，轴，，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：A． 9. 如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的表达式，根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为， ∴，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为． 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，已知点M，N的坐标分别为，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可 【详解】解：抛物线的解析式为． 观察图象可知当时，时，时，且，满足条件，可得； 当时，时，，且抛物线与直线有交点，且满足条件， ， 直线的解析式为， 由，消去得到，， ， ， 满足条件， 综上所述，满足条件的的值为或， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及最值的求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先将其化为顶点式，即可求解最值． 【详解】解：二次函数， ∴化为顶点式得， ∵， ∴当时，函数有最大值为， 故答案为：． 12. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 如图，在矩形中，平分交于点E，．以点B为圆心，长为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分的面积是______（结果保留π）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出的长以及的度数，进而利用图中阴影部分的面积，求出答案． 【详解】解：∵矩形的边，平分， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 故答案为：． 14. 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的顶点式、根据开口方向结合自变量范围确定最值是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分和两种情况，结合的范围求函数的最大值与最小值，根据差值为8列方程求解的值． 【详解】解：将二次函数化为顶点式：， ∴对称轴为直线， 当时， ∵抛物线开口向上，在中，时取最小值，时取最大值， ∴最小值，最大值 ∵最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：， 当时， ∵抛物线开口向下，在中，时取最大值，时取最小值， ∴最大值，最小值， ∵最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：， 综上，的值为或 故答案为：或 15. 如图，在菱形中，，点在边上，连结，将绕点旋转，点恰好落在边上的点处，且，若，，则_______． 【答案】3或1 【解析】 【分析】过点作于点，连接，分两种情况①当在点左侧，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，证明，得出，进而推出为等边三角形，再由直角三角形性质以及勾股定理求出，，，进而即可得解，②当在点右侧，同理即可得解． 【详解】解：过点作于点，连接， 当在点左侧， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵将绕点旋转，点恰好落在边上的点处， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当在点右侧， 与①同理可得，，， ， ∴， ∴， 故答案为：3或1． 【点睛】本题考查了菱形、旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握上述知识，数形结合分析是关键． 16. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴轴的交点，三角形中位线定理，连接，设的延长线交于E，先求出点，点，点，由此得是的中位线，则，因此当为最大时，为最大，根据点与圆的位置关系可知为最大，然后再求出的长即可得出的最大值． 【详解】解：连接，设的延长线交于E，如图所示： 对于抛物线，当时，，当时，，或， ∴点，点，点， ∴， ∵点Q是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当为最大时，为最大， 根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最大， ∴当点P与点E重合时，为最大，最大值为， 在中，由勾股定理得：， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共72分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）把向上平移4个单位长度得的对应点分别是．请做出． （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出的对应点分别是． （3）设点是轴上的动点，当周长取最小时，写出点P的坐标______． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，以及一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，数形结合是解题的关键； （1）根据平移的性质，作出； （2）根据旋转的性质，作出 （3）作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，进而待定系数法求解析式，进而求得点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，作关于轴的对称点，则，连接交轴于点， ∵的长度固定，当在上时，取得最小值，即周长取最小， ∴点即为所求； 设直线解析式为，代入， 解得： ∴ 当时， 解得： ∴ 故答案为：． 18. 10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． AI 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数； （3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）200， 补全条形统计图如下： （2）810人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：结合两幅图可得：（人）， ∴本次调查总人数为200； ∵（人）， ∴喜欢自制地球仪的有50人； 【小问2详解】 解：（人）， ∴该校参加环保调查学生人数约为810人； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是． 19. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润． 【答案】（1），；（2）能，18元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设y与x的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可； （2））根据题意，可得，整理可得，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案． 【详解】解：（1）设y与x的函数表达式为， 将点代入， 可得，解得， ∴y与x的函数表达式为， ∵销售单价不低于成本价， ∴， 又∵， ∴， ∴自变量的取值范围为； （2）根据题意，可得 ， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， 又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元， ∴当时，日销售利润取最大值， 此时（元）， 这种蔬菜的销售能获得日销售利润8600元，蔬菜的销售单价应定为18元． 20. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， 点必在上，即：是直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ，即：， 点在上， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． （1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ，， 在中，， ， ． 21. 如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、扇形和三角形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的有关知识是解答的关键． （1）连接并延长交于点E，连接，先证明，，证明，得出，即可证明结论； （2）连接，是等边三角形，求出，求出，再根据求出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ∵，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ． 22. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图，在正三角形内有一点，且，，，求的度数； 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． （1）请你回答：图中的度数等于________．（直接写答案） 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，． （2）求的度数； （3）求正方形的边长． 【答案】（1）（2）（3）． 【解析】 【分析】（1）将绕点旋转至，利用正三角形性质得为等边三角形，结合勾股定理逆定理证为直角三角形，进而求． （2）将绕点旋转至，利用正方形性质得为等腰直角三角形，结合勾股定理逆定理证为直角三角形，求． （3）构造等腰直角三角形，利用勾股定理计算正方形边长． 【详解】解：（1）将绕点顺时针旋转至，连接， ∵是正三角形， ∴，， ∵旋转， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， ∵旋转得， ∴， 故答案为：； （2）将绕点逆时针旋转至，连接， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形与等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握通过旋转构造全等三角形，将分散的线段集中到同一三角形中分析是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）若，当自变量的值满足时，函数的最小值等于2，求b的值； （3）当时，点，在抛物线上．若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求对称轴，含字母的绝对值的问题，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合点，都在抛物线上，则对称轴为直线，即可作答． （2）先分析得函数的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小，再求出，以及对称轴为，因为当自变量的值满足时，函数的最小值等于2，所以进行分类讨论，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）当时，则的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小，根据点，在抛物线上．得对称轴为直线，又因为点，在抛物线上．且，得，再解出的取值范围，即可作答． 【小问1详解】 解：点，在抛物线上，且当时， ∴点，都在抛物线上， 则抛物线的对称轴为直线， 【小问2详解】 解：∵， ∴， 此时函数的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小， ∵点在抛物线上． ∴， ∴， 即， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当自变量的值满足时，函数的最小值等于2， ∴当时，即， 此时离对称轴近，离对称轴远， 则时，， 故把，代入， 得， 解得； ∴当时，即， 此时在对称轴处取得最小值， 故把，代入， 得， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴； ∴当时，即， 此时离对称轴远，离对称轴近， 则时，， 故把，代入， 得， 解得； ∵ ∴舍去， 综上：满足题意的b的值为或； 【小问3详解】 解：当时，则的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小， ∵点在抛物线上． ∴， ∴， ∴， ∵点，在抛物线上． ∴对称轴为直线 ∵点，在抛物线上．且， ∴，且 ∴，且 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $