6.1 平均数与方差（第3课时 方差与标准差 ）（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦“方差与标准差”，通过复习平均数、众数等集中趋势分析方法，以射击成绩稳定性问题为切入点，引导学生从数据集中趋势过渡到离散程度探究，构建知识学习支架。 其亮点在于以实际情境驱动，通过射击成绩比较等案例培养学生用数学眼光发现数据离散特征，结合方差公式推导与标准差计算训练数学思维中的运算和推理能力，以甲丙成绩稳定性分析等实例强化数学语言的数据表达与解释能力，助力学生理解概念本质，也为教师提供结构化教学与方法指导。

1.平均数与方差 第3课时 方差与标准差 第六章 数据的分析 北师大版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 了解极差的意义，掌握极差的计算方法．（重点） 理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差．（重点、难点） 情景引入 我们已经掌握了哪些概念分析数据呢？ 分析数据： 1 2 3 4 5 5 8 众数 平均数 x = 1+2+3+4+5+5+8 7 平均数、众数体现了数据的集中趋势. 想一想：会有其他分析数据的方法吗？ 新知探究 在本节一开始射击问题中，甲与丁每次的射击成绩如图所示，他们的平均成绩都是8环，两个人的射击表现一样吗?你对甲、丁的射击表现有什么评价? 新知探究 (1) 你觉得谁发挥得更稳定?你的理由是什么? 甲发挥得更稳定， 理由是甲的成绩数据点分布更集中. 新知探究 (2) 你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗? 新知探究 在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况. 在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画. 离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即 . 方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即 . s2 = [ ( x1- x )2 + ( x2 - x )2 + … + ( xn - x )2 ] 1 n 其中， 是x₁,x₂,…, 的平均数.标准差则是方差的算术平方根. 新知探究 总结：(1) 方差、标准差是描述一组数据离散程度的量. 一般而言，一组数据的方差和标准差越小，这组数据就越稳定. (2) 只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用方差或标准差比较两组数据的离散程度. 典例分析 用权重解决实际问题的策略，在实际生活中，当需要在某个方面要求比较高的时候，往往可以加大这方面的权重，以达到预期的效果 . 方法技巧 例1.计算图中甲射击成绩的标准差(结果精确到0.01环). 解：(6+7×3+8×5+9×3+10)=8（环）， ， （环）.所以，甲射击成绩的标准差约为1.04环. 新知探究 思考交流 (1) 计算图中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较. 甲成绩的平均数是8环， 方差约是1.08(环²). 丙成绩的平均数约是8.69环， 方差约是1.29(环²). 新知探究 (1) 计算图中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较. 甲射击成绩的方差小于丙射击成绩的方差， 但甲的射击成绩的平均数小于丙射击成绩的平均数， 故甲射击成绩较丙更稳定，丙的射击成绩更好. 新知探究 (2) 丁又进行了几次射击，这时他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了.你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点？ 丁成绩的平均数是8环， 方差是3(环²). 丁后面几次射击的成绩应集中在7，8，9环且这几次射击成绩的平均数为8环. 典例分析 解此类决策型问题的解题思路：一方面要正确理解平均数、方差的概念，另一方面要熟记并正确运用平均数、方差的计算公式，然后根据平均数与方差的意义作出最优选择 . 方法技巧 例2.小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？ 测试次数 1 2 3 4 5 小明 10 14 13 12 13 小兵 11 11 15 14 11 小明 1 2 3 4 5 10 14 13 12 13 小兵 1 2 3 4 5 11 11 15 14 11 典例分析 方法技巧 解此类决策型问题的解题思路：一方面要正确理解平均数、方差的概念，另一方面要熟记并正确运用平均数、方差的计算公式，然后根据平均数与方差的意义作出最优选择 . 1 2 3 4 5 求平方和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 （每次成绩－ 平均成绩）2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 （每次成绩－ 平均成绩）2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2 计算可得： 小明5次测试成绩的标准差为 1.84， 小兵5次测试成绩的标准差为 3.04. 所以根据结果小明的成绩比较稳定. 课堂小结 数据的离散程度 方差 标准差 变式训练 1. 人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： s2甲 = 24，s2乙 = 18，x甲 = x乙 = 80，则成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D.无法确定 B 变式训练 2.一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示(有两个数据被遮盖)． 那么被遮盖的两个数据依次是( ) A. 80，2 B. 80， C. 78，2 D. 78， 组员 甲 乙 丙 丁 戊 标准差 平均成绩 得分 81分 79分 ■分 80分 82分 ■ 80分 D 变式训练 3.比较下列两组数据的方差： A 组：0，10，5，5，5，5，5，5，5，5； B 组：4，6，3，7，2，8，1，9，5，5. 解： 所以 A 组数据的方差小于 B 组数据的方差. 感谢聆听! $