专题03 椭圆（五大题型）（期末真题分类汇编 上海专用）高二数学上学期沪教版

【解析版】 专题03 椭圆（五大题型） 5大高频考点概览 考点01 椭圆的定义 考点02 椭圆的标准方程 考点03 椭圆的几何性质 考点04 与椭圆相关的位置关系 考点05 综合题 地 城 考点01 椭圆的定义 1．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 地 城 考点02 椭圆的标准方程 2．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 椭圆 的右焦点坐标为 . 3．(24-25高二上·上海市上海师范大学附属中学宝山分校··期末) 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”. 事实上很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解是 . 地 城 考点03 椭圆的几何性质 4．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期末) 已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期末) 已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C．4 D．6 6．(24-25高二上·上海市川沙中学··期末) 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率 ． 7．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 一个圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率等于 ． 8．(24-25高二上·上海市嘉定区第二中学··期末) 椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 . 地 城 考点04 与椭圆相关的位置关系 9．(24-25高二上·上海市嘉定区第一中学··期末) 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点05 综合题 10．(24-25高二上·上海市东昌中学··期末) 某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 11．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为 ． 12．(24-25高二上·上海市建平中学··期末) 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面.为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以O为原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为H.图乙中线段OH卷后形成圆弧（图甲），通过同学们的计算发现y与x之间满足关系式：则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为 . 13．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期末) 已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程 为 ． 14．(24-25高二上·上海市东昌中学··期末) 已知椭圆．记椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于不同的两点、． (1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程和离心率； (2)设，若直线过点，且以线段为直径的圆过点，求直线的方程； (3)设，若，求的面积． 15．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 16．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 在平面直角坐标系中，椭圆方程为．已知椭圆的长轴长为，离心率为，，分别是椭圆左、右焦点，直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线是圆的任意一条切线，求的值； (3)若直线不经过左焦点，设焦点到直线的距离为，如果直线，，的斜率依次成等差数列，求的取值范围. 17．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 18．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期末) 已知椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B，C是线段的中点，其中. (1)求椭圆方程； (2)记椭圆的左右焦点分别为、，M为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围； (3)过点的动直线与椭圆有两个交点P、Q，在y轴上是否存在点T使得恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 19．(24-25高二上·上海市彭浦中学··期末) 已知曲线的方程为. (1)若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值； (2)若，时，直线：与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程； 20．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 已知椭圆，点，点是椭圆上的三个动点. (1)若，求的值； (2)已知，若，求的取值范围； (3)已知，请研究面积的最大值. 21．(24-25高二上·上海市闵行中学··期末) 已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 【解析版】 专题03 椭圆（五大题型） 5大高频考点概览 考点01 椭圆的定义 考点02 椭圆的标准方程 考点03 椭圆的几何性质 考点04 与椭圆相关的位置关系 考点05 综合题 地 城 考点01 椭圆的定义 1．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据题意结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由，得，则， 因为过的直线交椭圆于，两点， 所以的周长为 . 故答案为： 地 城 考点02 椭圆的标准方程 2．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 椭圆 的右焦点坐标为 . 【答案】 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c 【分析】方程已知，表达相关量，结合性质可求出，直接给出焦点坐标即可. 【详解】由方程可知，焦点位于x轴，且， 所以，所以右焦点坐标为. 故答案为： . 3．(24-25高二上·上海市上海师范大学附属中学宝山分校··期末) 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”. 事实上很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解是 . 【答案】 期1月期末联考数学试题 【知识点】求平面两点间的距离、利用椭圆定义求方程 【分析】根据两点距离公式可将问题转化为点到点和点的距离之和为，可知点在椭圆，即可求解. 【详解】因为，所以， 可转化为点到点和点的距离之和为， 则点的轨迹为以点和点为焦点，以的椭圆， 故， 故椭圆方程为， 所以点在椭圆上， 则，解得. 故答案为：. 地 城 考点03 椭圆的几何性质 4．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期末) 已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可知：点在以为直径的圆上，即，根据得到离心率的取值范围即可. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上，即， 由题意可知，圆在椭圆内部，故， 所以， 所以. 故选：C. 5．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期末) 已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有即可求椭圆的长轴长. 【详解】由外接圆的面积为，则其外接圆半径为. ∵是以为底边的等腰三角形，设，则， ∴，得， ∴或. 不妨设点在轴下方， 由是以为底边的等腰三角形，知：或 设，则 ，， 所以， 所以， 因为四点共线，为线段的中点， 所以，， 所以， 所以或（此时焦点在轴上，舍去） ∵为椭圆的右焦点， ， ∴，故椭圆的长轴长为.    故选：B. 【说明】本题考查了圆锥曲线中解决弦的中点相关问题，经常利用点差法解决. 6．(24-25高二上·上海市川沙中学··期末) 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率 ． 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据条件得到，再由，即可求解. 【详解】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍， 则，即，所以， 故答案为：. 7．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 一个圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率等于 ． 【答案】/ 【知识点】圆柱的结构特征辨析、二面角的概念及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据几何关系用圆柱的底面半径表示椭圆的长轴和短轴，再计算椭圆的离心率即可. 【详解】如图，设圆柱底面半径为R，由题意知截面与底面所成角为， 设截面椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c， 根据题意可知，， 则，故离心率. 故答案为：. 8．(24-25高二上·上海市嘉定区第二中学··期末) 椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题可得直线的方程，再计算到直线的距离，从而可表示出面积，又利用焦点三角形及内切圆的性质，也可表示出面积，则两面积相等即可求椭圆的离心率. 【详解】由题知直线的方程为，即， 所以到直线的距离， 又因为的内切圆面积为，则半径， 所以由等面积可得， 解得. 故答案为：. 地 城 考点04 与椭圆相关的位置关系 9．(24-25高二上·上海市嘉定区第一中学··期末) 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、由标准方程确定圆心和半径、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 地 城 考点05 综合题 10．(24-25高二上·上海市东昌中学··期末) 某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、星体运行轨道问题 【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项. 【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 11．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】椭圆中x、y的取值范围、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值. 【详解】椭圆方程为，则圆的右顶点 设，则，， 则， 所以，， 当恰与点重合时，取得最小值， 即要使时取最小值，则必有，所以. 故答案为：. 12．(24-25高二上·上海市建平中学··期末) 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面.为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以O为原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为H.图乙中线段OH卷后形成圆弧（图甲），通过同学们的计算发现y与x之间满足关系式：则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【知识点】三角函数在生活中的应用、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】结合题意，利用函数的周期，求出圆柱底面圆半径，继而求得椭圆短轴长，结合函数的最大值求得椭圆的长轴长，结合椭圆的离心率定义，即可求得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 图乙中虚线即为函数的一个周期的图象， 则， 所以相应圆柱的底面圆的周长即为，故其直径为6， 故根据题意可知该椭圆的短轴长为，即； 又的最大值为6， 故椭圆的长轴长为，故， 则， 故椭圆的离心率为. 故答案为：. 13．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期末) 已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程 为 ． 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【详解】依题意可得，，则，所以双曲线方程为，则其渐近线方程为，即 14．(24-25高二上·上海市东昌中学··期末) 已知椭圆．记椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于不同的两点、． (1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程和离心率； (2)设，若直线过点，且以线段为直径的圆过点，求直线的方程； (3)设，若，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）可将已知点代入椭圆方程求出，进而得到标准方程和离心率； （2）可先设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和向量垂直的条件求解； （3）可根据向量坐标关系，设出题中向量与横轴所成的角和他们的模长，用之表示的坐标，代入椭圆方程，进而求得角和模长，然后利用面积割补思想求得要求三角形的面积. 【详解】（1）已知椭圆过点， 将点代入椭圆方程可得：，解得，则椭圆的标准方程为. 又因为，所以，，则离心率. （2）当时，椭圆方程为，. 当斜率不存在时，此时，，，，则.满足题意. 当斜率存在时，设直线的方程为，，. 联立，消去得： 则，即. 由韦达定理得，. 因为以线段为直径的圆过点，所以. ，，则. ，代入上式可得： ， ， ， 将，代入上式得： ， ， ， ，解得，满足. 所以直线的方程为，即. 故直线的方程为或. （3）当时，椭圆的方程为，即， 焦点坐标. 设轴正方向转到与向量相同的方向所转过的角为，根据椭圆的对称性，不妨设. 再设，由得，且同向. 则向量， 所以， 分别代入椭圆方程， ， ， 整理得， ， 由，分别解得， 所以， 解得，所以，， 15．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）直接由离心率定义求解； （2）设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【详解】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 16．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 在平面直角坐标系中，椭圆方程为．已知椭圆的长轴长为，离心率为，，分别是椭圆左、右焦点，直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线是圆的任意一条切线，求的值； (3)若直线不经过左焦点，设焦点到直线的距离为，如果直线，，的斜率依次成等差数列，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的参数及范围、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用待定系数法，即可求椭圆方程； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，根据直线与椭圆相交，以及直线与圆相切的条件，求的值； （3）首先利用坐标表示直线和的斜率，根据斜率成等差数列，列式得到，整理后代入韦达定理得到，根据条件得，，结合韦达定理了，以及点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，椭圆的长轴长为，即有，即，又，解得，即有椭圆的标准方程为； （2）圆，设，则. 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得，此时. 若，同理得：. ②当直线的斜率存在时，设.    由，得，① ，又直线是圆的切线， 故，可得，恒成立， 又，而， ，即. 综上，恒有. （3）分别是椭圆的左、右焦点，可得， 则，②， 由直线的斜率依次成等差数列， 可得， 所以有， 化简井整理得: 假设，则直线的方程为:，即直线经过点，不符合条件， 则，    由方程（1）及韦达定理可知:，则，③ 由②③可知，，化简得:，这等价于:， 反正，当满足③及时，直线必不经过（否则将导致，与③矛盾）， 而此时满足②，从而直线1与椭圆有两个不同的交点 同时也保证了的斜率存在（否则中的某一个为-1， 结合可知，与方程①有两个不同的实根矛盾） 记点到直线的距离为，则 ，注意到， 令，则，从而④式可改写为:， 考虑到函数在上单调递减，则. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标，结合韦达定理表示条件中的几何关系，尤其是第三问，利用，表示的不等式关系. 17．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【答案】(1) (2) 【知识点】轨迹问题——椭圆、求椭圆中的弦长 【分析】（1）利用轨迹法，结合条件列式，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设，， 所以，整理为，； （2）设直线与曲线的两个交点分别为，， 联立，得，得，， 所以弦长. 18．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期末) 已知椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B，C是线段的中点，其中. (1)求椭圆方程； (2)记椭圆的左右焦点分别为、，M为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围； (3)过点的动直线与椭圆有两个交点P、Q，在y轴上是否存在点T使得恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，T点纵坐标的取值范围为 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设，由，得到，再利用即可得到结果. （3）设该直线方程为：，设，，，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用k,t表示，再根据可求的t范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为， 所以，即，其中c为半焦距，，则， 所以，，， ，解得， 故，，故椭圆方程为. （2）设，由，有， 故而，所以， 所以. 又，所以的取值范围是. （3）①若过点的动直线的斜率不存在， 则，或，，此时. ②若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设，，，， 化简整理可得， 故， ，. ，， 故 . 恒成立，故，解得， 若恒成立.结合①②可知，. 故T点纵坐标的取值范围为. 【说明】本题考查了圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 19．(24-25高二上·上海市彭浦中学··期末) 已知曲线的方程为. (1)若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值； (2)若，时，直线：与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程； 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数、根据弦长求参数 【分析】（1）根据椭圆离心率的公式以及椭圆中的关系即可求解， （2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理以及弦长公式求解. 【详解】（1）∵曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆 ∴曲线为：，且，， ∴， 又离心率为，则， 又因为， 因此，； （2）设，， 联立方程得， 因为，， 则，， 所以，， 解得或. 因此，曲线的方程为：或. 20．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 已知椭圆，点，点是椭圆上的三个动点. (1)若，求的值； (2)已知，若，求的取值范围； (3)已知，请研究面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、求椭圆的切线方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由，得到 代入椭圆方程求解； （2）设 ，由 ，得到 ，再由 代入椭圆方程化简得到 ，再利用基本不等式求解； （3）假设直线MN的斜率存在，设直线MN为 代入椭圆方程，由 ，结合韦达定理，得到 ，由点P与点 不重合，得到 然后求得弦长 和点P到直线MN的最大距离即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 代入椭圆得 ， 即 ； （2）设 ，由题意可知 ，则 . 又有 代入椭圆得 ， 化简得 ，所以 . 因为 ，所以 . （3）如图所示： 假设直线MN的斜率存在， 设直线MN为 . 将 代入椭圆得， . 由韦达定理得 ，则 ， 由题意可知， ，则 ， 化简得 代入得 ， 得 ，因为点P与点 不重合，所以 所以 ， 下面求点P到直线 的最大距离: 设平行于直线 的椭圆切线 ， 将 代入椭圆得 ， 即 ，切线1到直线 的距离为 . 当点P在这条切线上时，点P到直线 的距离最大， . 所以 面积的最大值 . 若直线 的斜率不存在，则 . 由 ，得到 ，化简得 ，所以 . 所以直线 . 所以 ，且当点 时，点P 到直线MN 的距离最大， . 所以 面积的最大值 . 综上所述： 面积的最大值 . 【说明】本题考查了当直线MN的斜率存在时，设直线MN为 ，与椭圆方程联立，根据 ，结合韦达定理得到 ，由点 与点 不重合，得到从而表示弦长 ，再设平行于直线MN的椭圆切线 ，当点P为切点时，点P到直线MN的距离最大而得解. 21．(24-25高二上·上海市闵行中学··期末) 已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)直线经过定点. 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）根据椭圆方程确定、，利用解出即可求解； （2）设直线的方程，直曲联立根据韦达定理得：，结合为中点解出坐标，再利用，解出，即可求解； (3)分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时，设出方程，直曲联立，利用韦达定理，结合已知条件，求出直线过定点；斜率不存在时，设出、两点坐标，根据中点坐标公式，求出、坐标，结合已知条件，求出直线过定点，两种情况综合即可求解. 【详解】（1）由得，所以焦距，离心率 . （2）   ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：. （3）    ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于设分斜率存在与不存在两种情况设出直线方程， 利用直曲联立得到方程，结合韦达定理解决问题. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $