专题05 抛物线+曲线方程（六大题型） （期末真题分类汇编 上海专用）高二数学上学期沪教版

【解析版】 专题05 抛物线+曲线方程（六大题型） 6大高频考点概览 考点01 抛物线的定义 考点02 抛物线的标准方程 考点03 抛物线的几何性质 考点04 与抛物线相关的位置关系 考点05 曲线与方程 考点06 综合题 地 城 考点01 抛物线的定义 1．(24-25高二上·上海市川沙中学··期末) 已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求平面轨迹方程、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 地 城 考点02 抛物线的标准方程 2．(24-25高二上·上海市金山中学··期末) 若抛物线：的焦点在直线上，则p等于 . 【答案】4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数的值. 【详解】根据题意，拋物线的方程为，其拋物线的焦点在轴的正半轴上，其焦点坐标为， 又由抛物线的焦点在直线上，则有，解可得． 故答案为：. 3．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期末) 一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 米. 【答案】2 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】由题意建系，设抛物线的方程为，由抛物线经过的点求出的值，则易得焦点到顶点的距离. 【详解】 如图建系，设抛物线的方程为，由题意抛物线过点， 代入解得，故拋物线的焦点到顶点的距离为米. 故答案为：2. 4．(24-25高二上·上海市建平中学··期末) 已知抛物线 ： ，若点M横坐标为1，且到C的准线的距离为2，则 . 【答案】2 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线焦半径公式，列式计算，求出p，即可得答案. 【详解】由题意知抛物线：上一点M的横坐标为1，点M到准线的距离为2， 则，所以. 故答案为：2. 5．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为 ． 【答案】 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】将已知点代入抛物线方程求得，结合抛物线定义求解即可. 【详解】由题意，解得，所以抛物线的准线为， 故所求为. 故答案为：. 6．(24-25高二上·上海市嘉定区第二中学··期末) 已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】． 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，得出圆的圆心坐标，即焦点坐标，最后写出抛物线的标准方程． 【详解】圆的标准方程为， 圆心坐标为，即焦点坐标为， ，抛物线的标准方程为． 故答案为：． 地 城 考点03 抛物线的几何性质 7．(24-25高二上·上海市同济大学第一附属中学··期末) 已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 【答案】 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可. 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 地 城 考点04 与抛物线相关的位置关系 8．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上（在第一象限），点为点关于原点的对称点，且，若，①点在一条定直线上；②是定值.则（    ） A．①正确， ②不正确 B．①不正确， ②正确 C．①正确， ②正确 D．①不正确， ②也不正确 【答案】C 【知识点】抛物线中的定值问题 【分析】根据给定条件，可得点在以原点为圆心，为半径的圆上，求出点的坐标即可判断. 【详解】抛物线的焦点， 由，得共线，，即，又为中点， 则点在以原点为圆心，为半径的圆上，此圆的方程为， 由消去得，解得，， 直线的方程为，因此点在定直线上，①正确； 设直线方程为，由消去得，设， 由，得，因此，为定值，②正确. 故选：C 9．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、数量积的坐标表示、已知斜率求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】不妨设点在x轴上方，根据正弦定理可得，结合直线的倾斜角可知x轴，且直线的斜率为，设，根据斜率公式整理可得，再根据数量积的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可知：，不妨设点在x轴上方， 取的中点，过分别作直线平行与x轴，分别交于点， 因为，由正弦定理可得， 设，则， 则，且， 可得， 又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可得，， 则，可得，即x轴， 则，可得直线的斜率为， 设，则， 则，， 整理可得，解得， 又因为， 且，可得， 即，所以. 故答案为：. 【说明】本题考查了根据题中的长度和直线的倾斜角可知x轴，且直线的斜率为，进而可得坐标值. 地 城 考点05 曲线与方程 10．(24-25高二上·上海市建平中学··期末) 在平面直角坐标系中， 动点到两个定点，的距离之积等于，则下列命题中正确的个数是（    ） ①曲线关于轴对称；                     ②的最大值为； ③的最小值为；              ④的最大值为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值、由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程 【分析】利用直接法可得轨迹方程，再根据曲线的对称性可判断①；由基本不等式可判断③；化简轨迹方程可得，即，由可得，利用换元法结合二次函数性质可判断②④. 【详解】由已知， 代入点，则，成立，①正确； 则，当且仅当，即点时，等号成立，③错误； 化简，可得， 即， 又， 即，解得，即， 设，则，， 所以，即，②错误； 且，即， 即，④正确； 综上所述正确的个数为， 故选：B. 11．(24-25高二上·上海市建平中学··期末) 已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（    ）. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【知识点】求平面轨迹方程、判断方程是否表示双曲线 【分析】设出点坐标，结合，将点坐标代入椭圆方程，求出点的轨迹方程即可得. 【详解】设，，则， 由及椭圆对称性，可取、， 故有、， 消去，可得，即， 即，则点为双曲线上一点. 故选：C. 12．(24-25高二上·上海市青浦高级中学··期末) 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 13．(24-25高二上·上海市同济大学第一附属中学··期末) 小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是；③的取值范围是；④的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】由方程研究曲线的性质、圆锥曲线新定义 【分析】设，由题设可得曲线C为，将、、代入即可判断①；令，由在上有解，结合二次函数性质求P的横坐标的取值范围判断②；由②分析可得，进而求范围判断③；由基本不等式、余弦定理确定范围，再根据三角形面积公式求最值判断④. 【详解】令，则， 所以，则， 将、、代入上述方程后，均有， 所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确； 令，则， 对于，对称轴为， 所以在上递增，要使在上有解，只需， 所以，即，可得，②正确； 由，由中，， 所以，其中负值舍去， 综上，，又，即， 所以，则，③正确； 由，仅当时等号成立， 的面积， 而，所以， 所以的面积的最大值为1，④正确. 综上，正确结论的个数为4个. 故选：D 【说明】关键点点睛：②③通过换元，构造，利用根的分布求P的横坐标、的取值范围. 14．(24-25高二上·上海市建平中学··期末) 参数方程（为参数）的普通方程是 . 【答案】 【知识点】参数方程化为普通方程 【分析】消参，可得普通方程. 【详解】由已知， 即， 即， 化简可得， 故答案为：. 地 城 考点06 综合题 15．(24-25高二上·上海市川沙中学··期末) 已知集合，若实数、满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”，给出以下两个命题，则（    ） ①中存在“可行数对” ②中存在“可行数对”； A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 【答案】D 【知识点】判断命题的真假、根据双曲线方程求a、b、c、抛物线方程的四种形式与位置特征、集合新定义 【分析】根据可行数对的概念，结合特值即可求解． 【详解】对于命题（1），，取，得， ， 所以对任意的，均有是集合的＂可行数对＂，所以（1）为真命题； 对于命题（2），，取， 则，而， 所以，任何满足的数对都不是集合的＂可行数对＂，所以（2）为假命题， 故选：D. 16．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 带着数学的眼光看世界，则生活中处处有数学．以一种常见的生活用品——酒杯为例，根据其造型，不妨将其抽象为开口向上的抛物线，并假设其内壁足够光滑. (1)将一定长度，质量分布均匀，各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中，想要研究小木棍自然静止下来后所处位置的特征．查阅资料后可知，物理中有被称为“重心最低”的原理．试将该物理原理抽象为这一抛物线酒杯模型中的数学语言，并借助之给出研究结论. 【注】①请将“抽象出的数学问题：XXX……”与“问题解答：XXX……”分开书写，不明确问题直接开始解答的不得分； ②自行定义必要的字母记号，并配以相应的图形说明． (2)将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，发现它们全部交汇于同一点，请解释该现象． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】基本不等式求和的最小值、抛物线的应用、抛物线的中点弦、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据“重心最低”原理，可转化为木棍中点到杯底距离最小，从而抽象数学问题；联立直线与抛物线方程利用韦达定理求解中点坐标，并表示中点到轴的距离，利用双勾函数求最值即得； （2）借助（1）结论分析可得. 【详解】（1）抽象出的数学问题： 已知抛物线上有一条长度为的动弦，求中点到轴的距离的最小值. 问题解答： 设，直线， 联立得，， ，，， 所以， 解得， 中点， 则中点到轴的距离为 ， 令，设， ①当时，， 当且仅当，即时等号成立. 此时， 故直线，恒过抛物线的焦点； ②当时，在上单调递增，则. 当，即时，中点到轴的距离最小，最小值为. 此时斜率，即关于轴对称. 回归实际问题，研究结论是： 当木棍长时，小木棍自然静止下来后对应木棍处于水平位置； 当木棍长时，小木棍自然静止下来后对应木棍通过抛物线焦点. （2）由题意，小木棍长短不一，但均足够长，不妨认为木棍长度均满足. 由（1）可知，当时，小木棍自然静止下来后对应木棍通过抛物线焦点. 故将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后， 它们全部交汇于同一点，即抛物线的焦点. 【说明】解决此题的关键有二，一是理解题意，将实际问题抽象为数学问题；二是根据与的大小，分类讨论双勾函数的最值. 17．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期末) 设为椭圆的右焦点，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离； (3)斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆中的定值问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】（1）将代入椭圆方程求解即可； （2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可； （3）设直线，，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可. 【详解】（1）将代入椭圆方程得可得：， 所以椭圆方程为：； （2） 因为，，所以只需找到的最大值即可， 设，而，则， 由可得，代入消去可得： ， 因为，所以当时，， 从而； （3） 设直线，， 与椭圆联立方程：， ∴， ∴； 直线与抛物线联立方程：， ∴， ∵是焦点弦， ∴， ∴ 若为常数，则，∴，常数为. 所以存在实数，使为常数. 【说明】本题的关键在于处理弦长问题时，常利用韦达定理代入弦长公式求解；在处理抛物线中的焦点弦问题时，常利用焦点弦公式求解. 18．(24-25高二上·上海市上海大学附属中学··期末) 已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【答案】(1)焦点坐标，准线方程为； (2)． 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可； （2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可． 【详解】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 19．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期末) 已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过曲线上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线于（异于点）两点，求证：直线恒过定点； (3)若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据三角形面积求出，得出抛物线方程； （2）设直线方程为,直曲联立，由韦达定理得到，由两条直线垂直，借助.得到关系式代入得定点. （3）利用重心的性质可得，再由直线与抛物线联立，利用根与系数的关系化简，由均值不等式及不等式的性质求值域即可. 【详解】（1）当时，，，所以， 由题意可知，， 所以，所以抛物线的方程为 （2）根据题意,设直线方程为,联立，得到，所以，由于两条直线垂直，则. 即 化简整理得到所以，代入得，故直线恒过定点. （3）如图， 设， 因为为的重心， 所以； 因为， 且..； 所以； 设，与联立得：，所以， 所以，则； 所以； 所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 【解析版】 专题05 抛物线+曲线方程（六大题型） 6大高频考点概览 考点01 抛物线的定义 考点02 抛物线的标准方程 考点03 抛物线的几何性质 考点04 与抛物线相关的位置关系 考点05 曲线与方程 考点06 综合题 地 城 考点01 抛物线的定义 1．(24-25高二上·上海市川沙中学··期末) 已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 地 城 考点02 抛物线的标准方程 2．(24-25高二上·上海市金山中学··期末) 若抛物线：的焦点在直线上，则p等于 . 3．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期末) 一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 米. 4．(24-25高二上·上海市建平中学··期末) 已知抛物线 ： ，若点M横坐标为1，且到C的准线的距离为2，则 . 5．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为 ． 6．(24-25高二上·上海市嘉定区第二中学··期末) 已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ． 地 城 考点03 抛物线的几何性质 7．(24-25高二上·上海市同济大学第一附属中学··期末) 已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 地 城 考点04 与抛物线相关的位置关系 8．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上（在第一象限），点为点关于原点的对称点，且，若，①点在一条定直线上；②是定值.则（    ） A．①正确， ②不正确 B．①不正确， ②正确 C．①正确， ②正确 D．①不正确， ②也不正确 9．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为 ． 地 城 考点05 曲线与方程 10．(24-25高二上·上海市建平中学··期末) 在平面直角坐标系中， 动点到两个定点，的距离之积等于，则下列命题中正确的个数是（    ） ①曲线关于轴对称；                     ②的最大值为； ③的最小值为；              ④的最大值为 A．个 B．个 C．个 D．个 11．(24-25高二上·上海市建平中学··期末) 已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（    ）. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 12．(24-25高二上·上海市青浦高级中学··期末) 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高二上·上海市同济大学第一附属中学··期末) 小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是；③的取值范围是；④的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．(24-25高二上·上海市建平中学··期末) 参数方程（为参数）的普通方程是 . 地 城 考点06 综合题 15．(24-25高二上·上海市川沙中学··期末) 已知集合，若实数、满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”，给出以下两个命题，则（    ） ①中存在“可行数对” ②中存在“可行数对”； A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 16．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 带着数学的眼光看世界，则生活中处处有数学．以一种常见的生活用品——酒杯为例，根据其造型，不妨将其抽象为开口向上的抛物线，并假设其内壁足够光滑. (1)将一定长度，质量分布均匀，各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中，想要研究小木棍自然静止下来后所处位置的特征．查阅资料后可知，物理中有被称为“重心最低”的原理．试将该物理原理抽象为这一抛物线酒杯模型中的数学语言，并借助之给出研究结论. 【注】①请将“抽象出的数学问题：XXX……”与“问题解答：XXX……”分开书写，不明确问题直接开始解答的不得分； ②自行定义必要的字母记号，并配以相应的图形说明． (2)将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，发现它们全部交汇于同一点，请解释该现象． 17．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期末) 设为椭圆的右焦点，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离； (3)斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．(24-25高二上·上海市上海大学附属中学··期末) 已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 19．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期末) 已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过曲线上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线于（异于点）两点，求证：直线恒过定点； (3)若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $