专题04 双曲线（五大题型）（期末真题分类汇编 上海专用）高二数学上学期沪教版

【解析版】 专题04 双曲线（五大题型） 5大高频考点概览 考点01 双曲线的定义 考点02 双曲线的标准方程 考点03 双曲线的几何性质 考点04 与双曲线相关的位置关系 考点05 综合题 地 城 考点01 双曲线的定义 1．(24-25高二上·上海市徐汇区··期末) 已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解. 【详解】由双曲线的标准方程可得， 由满足方程，知点在双曲线的右支上， . 故答案为：4. 地 城 考点02 双曲线的标准方程 2．(24-25高二上·上海市大同中学··期末) 已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为 ． 【答案】 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据给定条件，结合双曲线渐近线方程求出即可. 【详解】由双曲线C：的实轴长为4，得， 双曲线C：的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线方程为， 则，解得，所以C的方程为. 故答案为： 3．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 双曲线与双曲线共渐近线且过点，则的标准方程为 ． 【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】根据两个双曲线共渐近线，设双曲线的方程为，，再代入点的坐标，即可求双曲线方程. 【详解】设双曲线的方程为，， 代入点，得，即， 所以双曲线方程为，整理为. 故答案为： 4．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 双曲线C：的渐近线方程为 ． 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的渐近线方程可得. 【详解】由可得， 故其渐近线方程为， 故答案为. 5．(24-25高二上·上海市通河中学··期末) 若双曲线经过点，则此双曲线的渐近线夹角的为 ． 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】将点代入双曲线，求出，然后求出渐近线方程，根据渐近线的斜率判断 【详解】将点代入双曲线得，解得， 所以双曲线，所以双曲线的渐近线为， 设的倾斜角为且，则，， 所以两条渐近线的夹角为，所以， 所以由得. 故答案为： 地 城 考点03 双曲线的几何性质 6．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 .    【答案】/ 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意，根据双曲线的定义，结合矩形的性质，可得椭圆长轴长，由离心率的计算公式，可得答案. 【详解】设，，因为在双曲线上，所以， 又四边形为矩形，所以， 所以，， 设椭圆方程为，则，，又因与双曲线有相同焦点，则， 所以离心率为． 故答案为：． 7．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期末) 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、由双曲线的离心率求参数的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设与渐近线交于，则，利用点到直线的距离公式求得，利用勾股定理可得出，利用中位线的性质可求出的值，进而可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设与渐近线交于，则， 点到直线的距离为， 因为点关于直线的对称点为，则为线段的中点， 又因为为的中点，则，且， 由勾股定理可得， 由双曲线的离心率为，则， 所以，， 则. 故答案为：. 8．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期末) 双曲线的离心率为 ． 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线方程可得的值，利用离心率的公式，可得答案. 【详解】由双曲线方程可得，则， 所以离心率. 故答案为：. 9．(24-25高二上·上海市闵行中学··期末) 如图，已知分别为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由已知得到，根据得到，进而得到为的中点，设，根据双曲线定义分别表示各线段长，再利用勾股定理求解即可. 【详解】因为以为直径的圆经过点，所以， 又，故点在以为直径的圆上，所以, 所以，因为为的中点，所以为的中点， 设，则，，， ， 在中，， 即，得，所以，， 在中，，即， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 地 城 考点04 与双曲线相关的位置关系 10．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据方程两侧对应的曲线性质，数形结合研究临界值求参数范围. 【详解】，即为，表示双曲线的上支， ，表示过且斜率为的直线， 由题意知与的图象恰有两个不同的交点， 即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时， 由，得， 则，解得， 当时，切点在轴下方，舍去； 当时，直线与双曲线的渐过线平行，直线与双曲线只有一个交点， 所以当直线与双曲线有两个交点且都在轴上方时，． 故选：A 11．(24-25高二上·上海市金山中学··期末) 双曲线的左焦点F到其中一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线方程可得焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】详根据题意可得， 所以左焦点为，渐近线方程为， 即，所以左焦点到其中一条渐近线的距离为． 故答案为：. 12．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期末) 设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设椭圆的左，右焦点分别为，若外接圆的半径为，则实数a= . 【答案】/ 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解 【分析】利用正弦定理求出，利用余弦定理及椭圆定义求出，再利用双曲线定义求出值. 【详解】依题意，椭圆长半轴长为，焦点， 由椭圆定义得，在中，由正弦定理得， 由椭圆半焦距2小于其短半轴长，得以线段为直径的圆在椭圆内，因此点在此圆外， 为锐角，由余弦定理得， 则，即，解得， 由双曲线定义得， 所以. 故答案为： 13．(24-25高二上·上海市彭浦中学··期末) 已知实数满足，则的取值范围是 【答案】 【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】就的正负分类讨论后可得方程对应的曲线，从而可求的取值范围. 【详解】根据题意，对于方程， 当时，原方程为，为椭圆在第一象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第四象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第二象限的部分； 当时，原方程无解，曲线在第三象限没有图象， 所以方程对应的曲线的图象如图所示， 记，动直线与双曲线的渐近线平行， 当动直线与第一象限内的椭圆相切时取最大值， 由可得， 令，解得（负值舍去）， 故相切时， 结合曲线图形可得 故答案为： 【说明】本题考查了对于曲线方程对应的曲线刻画，应该根据解析式的特征合理变形化简，以便用常用的曲线刻画前者. 14．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期末) 已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】设是左焦点，由双曲线定义转化，取最小值时，的最小值是在线段上即得． 【详解】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6 地 城 考点05 综合题 15．(24-25高二上·上海市大同中学··期末) 已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则下列结论正确的是（    ） ①关于轴对称；  ②；  ③；  ④“”的充要条件是“”． A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、由方程研究曲线的性质、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】分和两种情况讨论，可以得到曲线的图象，根据点关于轴对称点是判断曲线的对称性，得到①，利用双曲线的渐近线判断②，结合与圆相切和双曲线的渐近线，判断③，当时，直线恒过定点，根据直线和圆相切，直线和双曲线相切，数形结合判断④. 【详解】当时，，是以为圆心，以为半径的上半圆； 当时，，表示焦点在轴，对称中心在原点的双曲线的轴下方部分； 所以曲线的图象如图所示， 设点在曲线上，则，点关于轴对称点是， 因为，所以曲线关于轴对称，①正确； 当时，直线恒过定点，因为双曲线的渐近线是， 所以当或时，与直线有个交点，当时，与直线有个交点， 所以，②正确； 当时，直线，恒过定点， 当直线与相切时，由得（舍去）， 结合双曲线的渐近线是，当时，直线与曲线有个交点，如， 当或或时，直线与曲线有个交点，如 当时，直线与曲线没有交点，如， 所以，③错误； 当时，直线恒过定点， 由得， 联立得， 由得， 所以要使得直线与曲线有个交点，则或， 即，故④正确； 故选：D. 16．(24-25高二上·上海市同济大学第一附属中学··期末) 已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值； (3)已知点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由渐近线方程得到，代入点即可求解； （2）由点到线的距离公式求解即可； （3）设直线方程，联立双曲线方程，结合韦达定理，由即可求证； 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为， 又双曲线过点， 则，所以双曲线的方程为， 即. （2）因为在曲线上， 则， 渐近线方程：， 所以： （3）由（1）可知的斜率存在且不为0，设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 则， 所以 ， 所以得证.    【点睛】关键点点睛：由，求证； 17．(24-25高二上·上海市实验学校学··期末) 已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）依据题意设出，代入双曲线中建立方程，再结合双曲线中基本量的运算关系得到另一个方程，求解基本量，得到双曲线方程即可. （2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算表示，再结合题意建立方程，求解参数即可. （3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可. 【详解】（1）因为当直线与轴垂直时，， 且点位于第一象限内，所以设， 代入方程中得到，而， 解得，，则双曲线的方程为. （2）由上问得双曲线的方程为， 如图，则点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为，且恒成立 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为；直线方程为：， 令，则，故点的坐标为； 若右焦点恒位于以线段为直径的圆上，则， 则 ，令，解得， 故存在，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，， 此时直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【说明】本题考查双曲线中存在常数满足条件的问题；其中第二问的关键是能够分析出向量数量积是定值，再表示出数量积，进而求解参数，第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系即可. 18．(24-25高二上·上上海市建平中学··期末) 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析. 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）根据条件计算双曲线焦点坐标，结合渐近线方程可得结果. （2）利用点差法计算直线的方程，与双曲线方程联立可得无交点，故点N不能是线段的中点. 【详解】（1）由题意得，椭圆焦点坐标为. ∵双曲线渐近线方程为， ∴，解得， ∴双曲线C的标准方程为. （2）假设点N能是线段的中点，设，则， 由得 ， ∴， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 由得， ∵，∴直线与双曲线无交点， ∴点N不能是线段的中点. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 【解析版】 专题04 双曲线（五大题型） 5大高频考点概览 考点01 双曲线的定义 考点02 双曲线的标准方程 考点03 双曲线的几何性质 考点04 与双曲线相关的位置关系 考点05 综合题 地 城 考点01 双曲线的定义 1．(24-25高二上·上海市徐汇区··期末) 已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 地 城 考点02 双曲线的标准方程 2．(24-25高二上·上海市大同中学··期末) 已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为 ． 3．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 双曲线与双曲线共渐近线且过点，则的标准方程为 ． 4．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 双曲线C：的渐近线方程为 ． 5．(24-25高二上·上海市通河中学··期末) 若双曲线经过点，则此双曲线的渐近线夹角的为 ． 地 城 考点03 双曲线的几何性质 6．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 .    7．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期末) 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ． 8．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期末) 双曲线的离心率为 ． 9．(24-25高二上·上海市闵行中学··期末) 如图，已知分别为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为 . 地 城 考点04 与双曲线相关的位置关系 10．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高二上·上海市金山中学··期末) 双曲线的左焦点F到其中一条渐近线的距离为 ． 12．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期末) 设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设椭圆的左，右焦点分别为，若外接圆的半径为，则实数a= . 13．(24-25高二上·上海市彭浦中学··期末) 已知实数满足，则的取值范围是 14．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期末) 已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 地 城 考点05 综合题 15．(24-25高二上·上海市大同中学··期末) 已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则下列结论正确的是（    ） ①关于轴对称；  ②；  ③；  ④“”的充要条件是“”． A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④ 16．(24-25高二上·上海市同济大学第一附属中学··期末) 已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值； (3)已知点，求证：. 17．(24-25高二上·上海市实验学校学··期末) 已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 18．(24-25高二上·上上海市建平中学··期末) 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $