精品解析：云南保山天润高级中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试题

2026-2027学年高一上学期9月月考 数学试卷 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 同学们，这是大家升入高中后的第一次数学月考.和初中相比，高中数学的难度有所提升，试卷的题型、结构以及分值也都有了新的变化.初次面对全新的考试模式，有些同学感到不适应是很正常的.希望大家放平心态，沉着审题，认真思考.遇到难题也不要轻易放弃、不要空卷，尽量写下自己的思路与解题步骤，端正态度尽力完成每一道试题.本次考试重在摸底自查，愿大家借此找准知识漏洞、调整学习方法，勇敢迎接挑战，稳步开启高中数学的求索之路！ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】， 是以空集为元素的集合，不是集合的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 【详解】， 故选：D. 3. 已知命题：，，则命题的否定为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题的否定为，. 故选：B 4. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法判断正确选项. 【详解】A选项，时，，但，A选项错误； B选项，时，，但，B选项错误； C选项，时，，但，C选项错误； D选项，，，， 所以，D选项正确. 故选：D 5. 已知命题， 则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解二次不等式，得命题成立的充要条件，根据充分不必要条件的定义可得正确答案. 【详解】由，得，解得. 对于A，因为 ，所以是命题成立的一个必要不充分条件，所以A错误； 对于B，因为 ，所以是命题成立的一个必要不充分条件，所以B错误； 对于C，因为 ，所以是命题成立的一个充分不必要条件，所以C正确； 对于D，是命题成立的充要条件，所以D错误. 故选：C. 6. 若不等式的解集是，则的范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接分和两种情况计算，并结合一元二次不等式恒成立条件可得. 【详解】因为不等式的解集是， 当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为； 当，即时，一元二次不等式的解集是， 则，，，解得. 综上所述，的取值范围为． 7. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 【答案】A 【解析】 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 8. 某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】如图所示：设矩形为表演区，，则有， 由题意可知：， 所以， 设矩形的面积为， 所以， 由， 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（    ） A. 命题 ，则命题的否定为 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D. 命题“若，则”是假命题 【答案】CD 【解析】 【详解】选项A：命题，则命题的否定为，A错误； 选项B：当时，满足，但不满足， 所以“”不是“”的充要条件，B错误； 选项C：对任意实数，二次函数的图象关于轴对称，C正确； 选项D：当时，得， 所以命题“若，则”是假命题，D正确. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二次不等式与二次方程的关系，可借助韦达定理来求解即可. 【详解】由不等式的解集为可得： 方程的两根为，且，故A正确； 再由韦达定理可得即， 所以，故B错误； 由不等式， 解得，所以不等式的解集为，故C正确； 由，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ACD. 11. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、B；利用二次函数的性质可判断C、D． 【详解】对于A，由于，当且仅当时等号成立， 因此的最大值为，故A正确； 对于B，由于， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为9，故B错误； 对于C，由于， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确； 对于D，由于， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合 ，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由于集合 ，，根据集合的互异性可知，， 故，解得或（舍去）. 13. 已知方程的两个根为，，则________ 【答案】 【解析】 【详解】由题设，则. 14. 某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有__________人． 【答案】43 【解析】 【分析】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，根据题意画出维恩图求解. 【详解】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C， 由题意画出维恩图，如图所示： 全班人数为（人）. 故答案为：43 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集. （1）求； （2）求. 【答案】（1）或或 （2）或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集、并集的定义逐项计算判断即得. 【小问1详解】 由于 所以或或. 【小问2详解】 方法一 ，所以或. 方法二 利用德摩根定律结合（1）得或. 16. 根据题意，求解下列问题： （1）已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ （2）已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ （3）已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 【答案】（1）， （2）6， （3）， 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，将各项转化为正数利用基本不等式求解即可. （2）根据基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，构造出积为定值的形式利用基本不等式求解即可. （3）根据基本不等式可得，结合条件可得，化简可得结论. 【小问1详解】 因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故当时，的最大值为，此时. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，的最小值为6，此时. 【小问3详解】 因为，，所以，即， 所以，即，当且仅当，时，等号成立. 故的最大值为，此时，. 17. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）通过代入得到集合的范围，通过并集和交集的概念计算即可 （2）利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围， （3）根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 当时，，因为， 则；. 【小问2详解】 若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得（舍）或，即， 时，实数的取值范围为或． 【小问3详解】 若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又，解得， 又，故． 综上，实数的取值范围为． 18. 目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元. （1）写出前年总盈利关于的函数关系式； （2）估计该设备从第几年开始实现总盈利； （3）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】（1） （2）第2年 （3）方案二更合理，理由如下： 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：平均盈利额为 ， 当且仅当，即时，等号成立； 即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备， 总利润为万元； 综上所述：两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适. 【解析】 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 第2年，理由如下： 由（1）得， 由得，又，故该设备从第2年开始实现总盈利； 【小问3详解】 略 19. 已知关于的不等式． （1）若此不等式的解集为，求实数的值； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） ①若，可得，解集为； ②若，，可得解集为； ③若，，可得解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，为方程的两根，由代入法可得所求值； （2）讨论，又分时，由二次不等式的解法，即可得到所求解集； （3）利用分离参数法将原问题等价为可得在恒成立，再令，结合对勾函数的单调性可得的最大值，可得的范围． 【小问1详解】 关于的不等式的解集为， 可得为方程的两根， 可得，即； 【小问2详解】 当时，原不等式即为，解得，解集为； 当时，原不等式化为，解集为或； 当时，原不等式化为， ①若，可得，解集为； ②若，，可得解集为； ③若，，可得解集为； 【小问3详解】 对，恒成立， 等价于在恒成立， 由于恒成立， 可得在恒成立， 由，可得， 而在上单调递增， 所以在时取得最小值，在时取得最大值， 可得的最大值为，可得． 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期9月月考 数学试卷 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 同学们，这是大家升入高中后的第一次数学月考.和初中相比，高中数学的难度有所提升，试卷的题型、结构以及分值也都有了新的变化.初次面对全新的考试模式，有些同学感到不适应是很正常的.希望大家放平心态，沉着审题，认真思考.遇到难题也不要轻易放弃、不要空卷，尽量写下自己的思路与解题步骤，端正态度尽力完成每一道试题.本次考试重在摸底自查，愿大家借此找准知识漏洞、调整学习方法，勇敢迎接挑战，稳步开启高中数学的求索之路！ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：，，则命题的否定为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知命题， 则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式的解集是，则的范围是（     ） A. B. C. D. 7. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 8. 某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（    ） A. 命题 ，则命题的否定为 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D. 命题“若，则”是假命题 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 的最小值为2 11. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合 ，，则__________． 13. 已知方程的两个根为，，则________ 14. 某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有__________人． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集. （1）求； （2）求. 16. 根据题意，求解下列问题： （1）已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ （2）已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ （3）已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 17. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. 目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元. （1）写出前年总盈利关于的函数关系式； （2）估计该设备从第几年开始实现总盈利； （3）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由. 19. 已知关于的不等式． （1）若此不等式的解集为，求实数的值； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $