精品解析：甘肃省定西市临洮县文峰中学2023-2024学年高一下学期期末质量检测（二）数学试题

临洮县文峰中学2023～2024学年度第二学期高一期末质量检测（二） 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：湘教版必修第一册，必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知虚数单位，若，则（ ） A. B. C. i D. 3. 某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 某人抽奖100次，一定能中奖15次 B. 某人抽奖200次，至少能中奖3次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖20次，可能1次也没中奖 4. 已知指数函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数满足，则最小值为（ ） A. B. C. D. 5 7. 已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（ ） A. 72 B. 82 C. 92 D. 112 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两组数据，第一组：：第二组，则下列说法正确的是（ ） A. 两组数据的平均数相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的极差相同 D. 两组数据的方差相同 10. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件相互独立 D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A B. 函数图象关于点对称 C. 直线是函数的一条对称轴 D. 函数在上有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则向量的夹角的余弦值为______. 13. _______. 14. 已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 已知复数． （1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 16 已知． （1）若为锐角，求的值； （2）求的值． 17. 在中，分别是内角的对边，已知. （1）求的大小； （2）若，求的面积. 18. 共享单车企业通过在校园､地铁站点､公交站点､居民区､商业区､公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组：（满意度评分值均在内），制成如图所示的频率分直方图. （1）求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （2）用分层抽样的方法在满意度评分值在内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率. 19. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且． （1）若二面角的大小为，求DM的长； （2）当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临洮县文峰中学2023～2024学年度第二学期高一期末质量检测（二） 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：湘教版必修第一册，必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式可得集合与，进而可得. 【详解】因为，， 所以， 故选：B． 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算及共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，所以，得到， 所以． 故选：B. 3. 某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 某人抽奖100次，一定能中奖15次 B. 某人抽奖200次，至少能中奖3次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【解析】 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 4. 已知指数函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合指数函数定义求出即可计算得解. 【详解】由指数函数的图象经过点，得，解得， 所以. 故选：A 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用同角三角函数的基本关系求，再运用三角形面积公式计算即得结果. 【详解】因为，，故， 所以的面积为. 故选：A. 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】正实数满足， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：C 7. 已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（ ） A. 72 B. 82 C. 92 D. 112 【答案】C 【解析】 【分析】先计算棱台的侧面的高，再计算侧面积和底面积，即可求解. 【详解】因为正棱台的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为， 棱台的侧面是等腰梯形，所以棱台侧面的高， 所以一个侧面积， 棱台的上、下底面面积和为， 所以该棱台的表面积为. 故选:C． 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的和差公式与三角函数的商数关系得到关于的方程组，进而结合三角函数的正负情况求得的取值范围，再次利用正弦函数的和差公式求得的值，由此得到的值. 【详解】因为，所以， 又因为，即，则，故， 联立，解得， 因为，，所以， 又，，所以，， 所以，，则， 因为， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两组数据，第一组：：第二组，则下列说法正确的是（ ） A. 两组数据的平均数相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的极差相同 D. 两组数据的方差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】分别求出平均数、中位数、极差、方差即可判断. 【详解】第一组数据的平均数； 第二组数据的平均数，故A错误； 第一组数据的中位数为，第二组数据的中位数为，故B错误； 第一组数据的极差为，第二组数据的极差为，故C正确； 第一组数据的方差， 第二组数据的方差为，故D正确； 故选：CD 10. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C 事件与事件相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案. 【详解】样本空间为． 因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 因为，所以事件与事件为对立事件，故正确； 因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确； 因为，所以，故D错误． 故选：BC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 直线是函数的一条对称轴 D. 函数在上有最小值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象得到解析式，利用余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由题图知：函数的最小正周期， 则，，所以函数． 将点代入解析式中可得， 则，得， 因为，所以， 因此，故A错误； 因为， 所以函数的图象关于点对称，故B正确； 因为， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误； 当时，，所以， 即最小值为，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则向量的夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的夹角坐标运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. _______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式及诱导公式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 14. 已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将所求不等式化为，可令，根据奇函数定义和单调性性质可确定为奇函数且在上单调递增，由定义域、奇偶性和单调性可构造不等式组求得结果. 【详解】由， 得：， 令，则； 关于对称，， ， 为定义在上的奇函数； 又为上的增函数，为增函数， 在上单调递增， 则由， 得：， ，解得：， 即的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 已知复数． （1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由条件可得实部零，虚部不为零得出答案； （2）由条件可得可得答案. 【小问1详解】 由复数是纯虚数，得，解得； 【小问2详解】 由复数的实部和虚部互为相反数，得， 化简得，解出或， 当时，不符合题意，（舍去），而满足， 所以实数的值为． 16. 已知． （1）若为锐角，求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）化简得，结合平方关系求出，再利用两角差余弦公式，即可求得答案； （2）由（1）可得，化简为，利用齐次式法求值，即可得答案. 【小问1详解】 由，得， 因为锐角，，所以， 可得； 【小问2详解】 由得， 则 ． 17. 在中，分别是内角的对边，已知. （1）求的大小； （2）若，求面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题中等式利用余弦定理解出答案； （2）利用等式变形可计算出，再根据三角形面积公式计算的结果； 【小问1详解】 由， 有. 又， 因为,所以. 【小问2详解】 由，有， 可得，得.， 的面积为. 18. 共享单车企业通过在校园､地铁站点､公交站点､居民区､商业区､公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组：（满意度评分值均在内），制成如图所示的频率分直方图. （1）求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （2）用分层抽样的方法在满意度评分值在内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率. 【答案】（1），平均数75.5，中位数75 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求a；以每组区间中点值为代表，结合加权平均数求平均数的估计值；根据中位数的左右两侧频率和均为0.5，运算求解． （2）利用分层抽样可得在区间应抽取4人，在区间应抽取2人，再利用古典概型求解即可． 【小问1详解】 由题意知，解得. 满意度评分值的平均数； 设满意度评分值的中位数为，所以，解得，即满意度评分值的中位数为75. 【小问2详解】 满意度评分值在内的有（人），满意度评分值在内的有20（人）， 抽取的6人中满意度评分值在）内的有（人），记为， 满意度评分值在内的有（人），记为. 从这6人中随机抽取2人有，，共15种基本事件， 其中抽到的2人满意度评分值均在内的有，共6种基本事件， 所以抽到的2人满意度评分值均在内的概率. 19. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且． （1）若二面角的大小为，求DM的长； （2）当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用直棱柱和底面是有角的菱形，可作出二面角的平面角，从而解直角三角形即可. （2）利用等体积法来求线面角，即只需要求出点N到平面的距离，再用距离与长度的比值就是线面角的正弦值，从而可求解. 【小问1详解】 取中点P，过P点作，交于点Q，连接． 由直四棱柱，可得平面， 而平面，所以，即， 又因为，所以， 因为底面是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 即为二面角的平面角，所以． 在平面中，由，可得． 在中，，， 则，解得； 【小问2详解】 因为平面，所以， ． 因为三棱锥的体积为， 所以，解得， 因为平面，所以． 在中，， ， 所以． 设N到平面的距离为d， 在中，，， 所以， 所以． 因为，所以，解得． 在中，由余弦定理得， 所以． 设与平面所成的角为． 所以． 令，则． 因为，所以，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$