精品解析：江西省景德镇市乐平市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

乐平市2025-2026学年度上学期期中学业评价 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程），逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：选项A：中含有分式，不是整式方程，故不符合； 选项B：中含有两个未知数x和y，不是关于x的一元方程，故不符合； 选项C：中，若，则不是二次方程，因此不一定是一元二次方程，故不符合； 选项D： 展开得 ，即 ，满足一元二次方程的定义，故符合， 故选：D． 2. 数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色 【答案】A 【解析】 【分析】利用简单地概率公式，求得各色球的概率，结合图象，发现该球频率稳定在，比较解答即可． 本题考查了频率估计概率，简单地概率公式应用，熟练掌握公式，理解频率估计概率意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别， 故，， ，， 根据图象，得该球频率稳定在， 故其概率约为． 故选：A． 3. 如图所示，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形对角线互相平分且相等是解题关键．由矩形的性质可得，，从而推出是等边三角形，得到，，再利用等边对等角和三角形内角和定理进一步求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ∴． 故选：C． 4. 关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（ ） A. 12 B. 12或16 C. 16 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程及根的判别式，等腰三角形的性质，分6为底边和6为腰两种情况讨论，利用一元二次方程根的性质和三角形三边关系求解即可 【详解】解：①当6为底边时，则， ∵， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为4, 4, 6，满足，故成立； ②当6为腰时，设， 则，即， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为6, 2, 6，满足，故成立； 综上，m的值为12或16， 故选：B 5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算即可．本题的关键是理解并能灵活运用位似变换的性质：“在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．” 【详解】解：以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，， 点A的对应点的坐标是或， 即或． 故选：B． 6. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以、为邻边作矩形，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确； ②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确； ③根据②的结论可得，所以，故③正确； ④当时，点C与点F重合，得到不一定等于，故④错误． 【详解】解：①过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ，， ， 又， 在和中，， ， ， 故①正确； ②∵矩形为正方形； ，， ∵四边形是正方形， ，， ， 在和中，， ， 故②正确； ③根据②得， ， ， 故③正确； ④当时，点C与点F重合， 不一定等于， 故④错误， 综上所述：①②③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和菱形的面积公式，通过根与系数的关系求得两根的乘积，再代入菱形面积公式计算． 【详解】解：设一元二次方程 的两个根为 ， 根据根与系数的关系：， 菱形的面积等于对角线乘积的一半，即， 故答案为：8． 8. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图1，2中，连接．在图2中，利用勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图1，2中，连接． 如图1中，∵， ∴是等边三角形， ∴， 在图2中，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9. 若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一次函数图象与系数的关系．由一元二次方程没有实数根可得判别式小于零，从而求出的取值范围，再根据一次函数的斜率与截距判断直线所经过的象限． 【详解】解：∵ 一元二次方程 没有实数根， ∴ 判别式 ， 解得 ， ∵ ， ∴ 一次函数 中，斜率，截距， ∴直线经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 10. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求表达式因式分解后代入计算． 【详解】解：设方程 的两个根为和， 根据根与系数的关系，有：，， ， 故答案为：． 12. 如图是一张长方形纸片，已知，，E为上一点，，现要剪下一张以为一边的等腰三角形纸片()，且使点P落在长方形的某一条边上，则等腰三角形的底边长是______________． 【答案】6或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，结合等腰三角形的性质分三种情况计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由矩形的性质可得：， 如图，的垂直平分线交于点， ， 此时为等腰三角形，底边为； 如图，以点为圆心，以为半径画弧交于点， ， 此时为等腰三角形，底边为； 如图，以点为圆心，以为半径画弧交于点， ， 此时为等腰三角形，，， ∴， ∴底边； 综上所述：等腰三角形的底边长是6或或， 故答案为：6或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 14. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． （3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求； （2）取格点C和点D，使，，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，可得，所以点M就是所求的点； （3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； ； 【小问2详解】 解：如图，点M就是所求的点； ； 【小问3详解】 解：如图，点D就是所求的点． ． 15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实根． （1）求a的值． （2）求代数式的值． 【答案】（1）， （2）当时，原式；当时，无意义 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分式的化简求值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，求解即可； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入（1）中的值计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实根， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解： ， 当时，原代数式无意义， 当时，原式． 16. 如图为四张背面完全相同正面画有常见生活现象的卡片，现将所有卡片背面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张． （1）化学反应的有______和______； （2）画树状图求抽到的生活现象均为化学反应的概率． 【答案】（1）食物发霉，火柴燃烧 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）根据生活现象直接解答即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：属于化学反应的有食物发霉和火柴燃烧， 故答案为：食物发霉，火柴燃烧． 【小问2详解】 解：“冰雪消融”，“食物发霉”，“火柴燃烧”和“灯泡发光”分别用、、、表示，画树状图如下： 共有12种得可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“食物发霉”和“火柴燃烧”的结果有2种， 则恰好抽到的生活现象均为化学反应的概率是． 17. 如图，矩形的顶点E，G分别在的边，上，顶点F，H在的对角线上． （1）求证：； （2）若E为的中点，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，求得，根据平行四边形性质得到，得，证明即可得到结论； （2）连接，根据中点的性质求得，在证四边形是平行四边形，得，求得，根据．得，即可得出结论． 【小问1详解】 四边形是矩形， ，， ，得， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ． 【小问2详解】 连接， E为的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ． ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程两根为，，且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴不论为任何实数，原方程必有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得解； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ∵， ∴， 解得：． 19. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵， 延长交于，连接， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 20. 为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量教学大楼的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 说明 为大楼的影长，人站在点D上，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆顶端E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到大楼顶端 A 测量数据 ， ， ， ，， ， ， 图中所有点都在同一平面内 （1）老师发现，三组中有一组数据有误，是第________组； （2）请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 【答案】（1）一 （2）选择第二或三组的方案，教学大楼的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）第一组的方案：直接证明即可；第二组的方案：延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；第三组的方案：直接利用相似三角形的判定和性质求解即可，然后进行最终数据比较即可判断哪一组数据错误； （2）选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：第一组的方案： 由题意可得，， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴教学大楼的高度为； 第二组的方案： 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 第三组的方案： 根据题意得，， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． ∵第二、三组数据求出的大楼高度一致，与第一组的数据求得的大楼高度不一致， ∴第一组数据错误， 【小问2详解】 解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得，，， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了更好推广乐平特产——乐平桃酥，让我们一起制定销售方案吧： 主题：乐平桃酥销售方案制定问题 乐平桃酥被国内食品专家誉为“中国桃酥王”，为了满足消费者的不同需求， 某线上平台推出“桶装原味桃酥”，“经典原味桃酥”两种不同包装的乐平桃酥． 素材1 桶装原味桃酥 经典原味桃酥 素材2 经统计，该线上平台8月份“桶装原味桃酥”销售量为320桶，10月份销售量为500桶；“经典原味桃酥”10月份销售量为600箱． 素材3 为了尽快减少库存，决定11月份对“经典原味桃酥”作降价促销，已知每箱“经典原味桃酥”的成本为24元．经试验发现该款经典原味桃酥售价每降低元，月销售量就会增加50箱． 问题解决 任务1 求该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店11月份“经典原味桃酥”的总利润达到5600元，求该款经典原味桃酥应该降价多少元? 【答案】任务1：该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是；任务2：该店总利润达到5600元，经典原味桃酥应该降价2元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据增长率问题和利润问题的数量关系，建立一元二次方程求解． 任务1，设月平均增长率为x，根据8月份销售量和10月份销售量的关系，列出一元二次方程求解；任务2，设“经典原味桃酥”应该降价m元，则每份的利润为元，月销售量为箱，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设月平均增长率是x， ∴，整理得， ∴或（不合题意，舍去）， 答：该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是； 任务2，∵每降低元，月销售量就会增加50箱， ∴每降低1元，月销售量就会增加100箱． 设经典原味桃酥应该降价m元，则每箱的利润为元，月销售量为箱， ∴， ∴， ∴，， 为了减少库存，∴ 答：该店总利润达到5600元，经典原味桃酥应该降价2元． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； （3）直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 【答案】（1）六 （2）12 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“六倍根方程”； 【小问2详解】 解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 当点P在的内部时，则 由条件可知． 六、（本大题共12分） 23. 在矩形中，M为直线上的点（不与点B重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，点P为线段上一点，连接和，与相交于点H． （1）如图1，若，平分，求证：． （2）如图2，若，点M与点A重合，P为的中点，与还会相似吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质可得：，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 解：，理由如下： 如图，设与的交点为点， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， ∴，，，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵P为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，则，由矩形的性质可得，，从而得出，，由角平分线的定义可得，从而推出，由等腰三角形的性质可得，进而可得，即可得证； （2）设与的交点为点，由题意可得四边形为正方形，则，，，，由旋转的性质可得，，从而可得为等腰直角三角形，证明，得出，，证明，得出，求出，由平行线的性质可得，即可得证； （3）由（2）可得，，再结合，得出，由相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可得：，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平市2025-2026学年度上学期期中学业评价 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色 3. 如图所示，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（ ） A. 12 B. 12或16 C. 16 D. 14 5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以、为邻边作矩形，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为____________． 8. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为___________． 9. 若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第________象限． 10. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是________． 11. 已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是________． 12. 如图是一张长方形纸片，已知，，E为上一点，，现要剪下一张以为一边的等腰三角形纸片()，且使点P落在长方形的某一条边上，则等腰三角形的底边长是______________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． （3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实根． （1）求a的值． （2）求代数式的值． 16. 如图为四张背面完全相同正面画有常见生活现象的卡片，现将所有卡片背面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张． （1）化学反应的有______和______； （2）画树状图求抽到的生活现象均为化学反应的概率． 17. 如图，矩形的顶点E，G分别在的边，上，顶点F，H在的对角线上． （1）求证：； （2）若E为的中点，，求证：四边形是菱形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程两根为，，且满足，求m的值． 19. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面的距离． 20. 为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量教学大楼的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 说明 为大楼的影长，人站在点D上，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆顶端E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到大楼顶端 A 测量数据 ， ， ， ，， ， ， 图中所有点都在同一平面内 （1）老师发现，三组中有一组数据有误，是第________组； （2）请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了更好推广乐平特产——乐平桃酥，让我们一起制定销售方案吧： 主题：乐平桃酥销售方案制定问题 乐平桃酥被国内食品专家誉为“中国桃酥王”，为了满足消费者的不同需求， 某线上平台推出“桶装原味桃酥”，“经典原味桃酥”两种不同包装的乐平桃酥． 素材1 桶装原味桃酥 经典原味桃酥 素材2 经统计，该线上平台8月份“桶装原味桃酥”销售量为320桶，10月份销售量为500桶；“经典原味桃酥”10月份销售量为600箱． 素材3 为了尽快减少库存，决定11月份对“经典原味桃酥”作降价促销，已知每箱“经典原味桃酥”的成本为24元．经试验发现该款经典原味桃酥售价每降低元，月销售量就会增加50箱． 问题解决 任务1 求该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店11月份“经典原味桃酥”的总利润达到5600元，求该款经典原味桃酥应该降价多少元? 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； （3）直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 六、（本大题共12分） 23. 在矩形中，M为直线上的点（不与点B重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，点P为线段上一点，连接和，与相交于点H． （1）如图1，若，平分，求证：． （2）如图2，若，点M与点A重合，P为的中点，与还会相似吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $