精品解析：湖北省随州市高中教联体2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

2024-2027届高二上学期期中考试 数学试卷 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，为虚数单位，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ） A. 25 B. 15 C. 30 D. 20 4. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D. 若事件与事件相互独立，，，则 10. 在平行六面体中，已知，，为棱的中点，则（ ） A. B. 直线与所成的角为 C. 平面 D. 已知为上一点，则最小值为 11. 已知点M在圆上，点P是直线上一点，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，又设直线l分别交x，y轴于C，D两点，则（ ） A. 的最小值为 B. 直线必过定点 C. 满足的点有一个 D. 的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____. 13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面ABCD， ，则该阳马的外接球的体积为____________. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为_____． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求. 16. 已知点，，以为直径的圆记为圆. （1）求圆的方程； （2）若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积. 17. 如图，五面体中，四边形是正方形． （1）求证：； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小． 18. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组． （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数； （3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率． 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； （3）若，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2027届高二上学期期中考试 数学试卷 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，为虚数单位，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由方程得，再利用复数的乘法和除法运算公式，化简求解. 【详解】由题知，故复数的虚部为. 故选：C. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】若，则， 因此可得，解得. 故选：D 3. 某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ） A. 25 B. 15 C. 30 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】先求出全校女生人数，再根据分层抽样的比例计算即可. 【详解】2500人中女生人数为， 则容量为50的样本中女生的人数为. 故选：D 4. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】,，， 所以点到直线的距离， 故选：A 5. 若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，将问题转化为圆心到直线为1求解. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆上有且仅有3个点到直线的距离为1， 得圆心到直线为1，则，而， 所以. 故选：B 6. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两条直线垂直求出的关系，利用充分条件和必要条件求解. 【详解】，， 若，则， 由可以得到，但是由不一定得到， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 7. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用数形结合，结合椭圆的定义，转化为三点共线问题，即可求解. 【详解】由条件可知椭圆中，，圆的圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，， ， 如图，当点三点共线时，最小，最小值是， 所以的最小值是， 所以的最大值是. 故选：B 8. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用等面积法，而当时，取得最小值，由此计算可得结论. 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，，， ，要使得最小，只要最小，由切线长公式知，只要最小. 当时，，此时, 所以的最小值是， 故选：C. C 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D. 若事件与事件相互独立，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据百分位数的求法，可判断A的正误；根据方差的求法，可判断B的正误；根据互斥事件的定义，可判断C的正误；根据独立事件的概率公式，可判断D的正误. 【详解】选项A：，所以第75百分位数是，故A错误； 选项B：因为样本数据，，，的方差为4， 所以数据，，，的方差为，故B正确； 选项C：事件“第一次正面朝上”时，第二次可能反面朝上， 反之事件“第二次反面朝上” 时，第一次可能正面朝上， 所以两个事件可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 选项D：若事件与事件相互独立，，， 则，故D正确. 故选：BD 10. 在平行六面体中，已知，，为棱的中点，则（ ） A. B. 直线与所成的角为 C. 平面 D. 已知为上一点，则最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先设，得到，的夹角为. 对选项A，根据，再平方即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B错误，对选项C，根据，即可判断C正确，对选项D，根据当且仅当三点共线时，有最小值，即可判断D正确. 【详解】设，则，的夹角为. 对选项A，， ，则，故A正确. 对选项B，，， ， 所以，故B错误. 对选项C，因为四边形为菱形，所以， 又因为，，所以. 因为平面，平面，， 所以平面，故C正确. 对选项D，如图所示： 当且仅当三点共线时，有最小值. ， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 已知点M在圆上，点P是直线上一点，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，又设直线l分别交x，y轴于C，D两点，则（ ） A. 的最小值为 B. 直线必过定点 C. 满足的点有一个 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出，即可判断A，设求出切点弦的方程，从而求出定点坐标，即可判断B，求出以为直径的圆的方程，再判断圆与圆Q的位置关系，即可判断C，设此时满足，则从而求出最小值，即可判断D. 【详解】圆的圆心为，半径， 则到直线的距离， 则，故A正确； 设，则的中点为，， 以为直径的圆， 又圆，两圆的方程相减得，即， 由，解得，因此直线过定点，故B正确； 对于直线，令，则，即， 令，则，所以， 则的中点为，， 则以为直径的圆的方程为，又， 则，所以以为直径的圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C错误； 因为，，设，，则， 则，即 又，，所以， 所以， 当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】因为表示椭圆， 所以，解得且， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面ABCD， ，则该阳马的外接球的体积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题目条件有，，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得外接球的半径，再根据球的体积求解即可. 【详解】因为平面，平面，平面， 则， 又因为四边形为矩形，则， 则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 又， 则外接球的直径为长方体的体对角线， 故外接球半径为：， 则外接球的体积为：. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 则，所以， 过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以为线段的垂直平分线， 所以， 则的周长为 . 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理化简，再用两角和的正弦公式展开即可求出； （2）先根据三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值即可. 【小问1详解】 根据正弦定理，由可得， ，， 故上式化为， 又，，， 故化为，即， 提公因式，得， 又，，，， . 【小问2详解】 的面积为，， 由（1）可知，， 再根据余弦定理可得，， 又，，即，解得. 16. 已知点，，以为直径的圆记为圆. （1）求圆的方程； （2）若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由为直径求出圆心与半径，即可得到圆的方程； （2）先判断点在圆上，由求出直线的斜率，从而求得直线方程，再求点，利用即可求出的面积. 【小问1详解】 因为，，所以中点为，， 又因为圆是以为直径的圆，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，圆的圆心到点的距离为， 故点在圆上，则过点的圆的切线只有一条，因，， 则，故切线方程为，即， 令，解得，则得， 故. 17. 如图，五面体中，四边形是正方形． （1）求证：； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 因四边形是正方形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面平面，则，故. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证明平面，再利用线面平行的性质定理证明，最后利用平行性的传递性即可； （2）利用面面垂直的性质定理证明平面，然后建系，求出平面的法向量，再计算，从而得出线面角的正弦值，计算其夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面平面，，平面平面， 则平面，又平面，平面， 则，， 因，，则，则， 则以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 又因其夹角取值范围为，故直线与平面所成角为. 18. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组． （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数； （3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率． 【答案】（1），150 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由直方图频率和为1，列方程求，再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数； （2）由众数及中位数的计算公式即可求解； （3）由分层抽样的等比例抽取的性质求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 【小问1详解】 由直方图知：，可得， ∴估计500名志愿者中年龄在的人数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得众数为， 前两个小矩形的面积为，第三个小矩形的面积为， 所以中位数在内，为. 【小问3详解】 由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为， 知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， 不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者分别为， 则抽取两人的基本事件有， ，共15种， 恰好来自同一组的基本事件有，，共4种， ∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； （3）若，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式，可得，将点坐标代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，即可求得答案. （2）分析可得直线l斜率存在，设方程为，与椭圆联立，根据韦达定理，可得、表达式，代入弦长公式，可得表达式，再求得O到直线MN的距离，代入面积公式，结合m的范围，即可得答案. （3）由，可得，将直线方程代入，结合韦达定理，化简可得或，分别讨论，分析检验，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得：，解得，椭圆方程为： 【小问2详解】 因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在. 设直线，代入，可得， 设，，则，， 因为弦的中点的纵坐标为， 所以，即， ， O到直线MN的距离， ， 由，，可得， 当即时，取得最大值. 【小问3详解】 ，， 即， ，， 代入（*）式，得， 即， 化简得， 即 ， 或， 当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去， 当时，则直线，此时直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，， 此时，显然成立. 直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $