精品解析：河南省安阳市北关区安阳市第八中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中学情调研 九年级数学 一.选择题（每小题3分，共30分） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 下列说法中不正确的是(　　) A. “某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件 B. “13名同学至少有2名同学的出生月份相同”属于必然事件 C. “在标准大气压下，当温度降到－1℃时，水结成冰”属于随机事件 D. “某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件 3. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 5. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点A（－1，y1），B（2，y2），C（－3，y3）在抛物线y＝ －x2＋2x＋c上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC是O的内接三角形，∠A＝118°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（　　） A. 28° B. 32° C. 34° D. 62° 9. 二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A. 1或﹣5 B. ﹣1或5 C. 1或﹣3 D. 1或3 二.填空题（共5小题） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 12. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是______． 13. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H、O、O、N的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“一氧化氮”的概率是___________． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C均在小正方形的顶点上，点B在弧AC上，且∠ACB＝15°，则阴影部分的周长为______． 15. 在中，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为_________． 三.解答题（8小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程： （1）x2﹣4x﹣7＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 17. 如图，在中，点A、B、C的坐标分别是，将绕点O顺时针旋转得到． （1）画出，并写出的坐标． （2）求线段扫过的区域的面积． 18. 综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… （4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根． 19. “双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，红星中学开展了丰宫多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大版块课程（依次记为A，B，C，D．若该校小慧和小丽随机选择一个版块课程． （1）小慧选科普活动课程的概率是___________； （2）用画树状图取列表的方法，求小慧和小丽选同一个版块课程的概率． 20. 某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． （1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示） （2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ （3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 21. 【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长． 22. 如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由． （3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______． 23. （1）如图1，点是等边内一点，，你能求出的度数吗? 【基本思路】可以将绕点逆时针旋转得到，连接，可求出的度数，则__________． （2）如图2，点是正方形内一点，，求的大小； （3）点是正方形外一点，，直接写出的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中学情调研 九年级数学 一.选择题（每小题3分，共30分） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 ∴或 解得，． 故选：C． 2. 下列说法中不正确的是(　　) A. “某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件 B. “13名同学至少有2名同学的出生月份相同”属于必然事件 C. “在标准大气压下，当温度降到－1℃时，水结成冰”属于随机事件 D. “某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断． 【详解】A． “某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件，正确； B． “13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件，正确； C． 在标准大气压下，当温度降到-1℃时，水结成冰”属于必然事件； D． “某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件，正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件的定义，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理． 由旋转的性质可得，，，从而得到，再结合，可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：，，， ， ，， ， ， ． 故选：B． 4. 如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先根据根的判别式求出k的取值范围，再从中找到最大整数即可． 【详解】 解得 ∴k的最大整数值是-2 故选：B． 【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键． 5. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 6. 已知点A（－1，y1），B（2，y2），C（－3，y3）在抛物线y＝ －x2＋2x＋c上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，得抛物线的开口向上，且抛物线的对称轴为，根据二次函数的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，得：抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为 ∴当时，y随着x的增大而减小，且当和时，函数值均为y2 ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解． 7. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 8. 如图，△ABC是O的内接三角形，∠A＝118°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（　　） A. 28° B. 32° C. 34° D. 62° 【答案】C 【解析】 【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP=90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC=180°-∠A=62°，由等腰三角形的性质得出∠OCD=∠ODC=62°，求出∠DOC=56°，由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】如图所示：连接OC、CD， ∵PC是⊙O的切线， ∴PC⊥OC， ∴∠OCP=90°， ∵∠A=118°， ∴∠ODC=180°-∠A=62°， ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC=62°， ∴∠DOC=180°-2×62°=56°， ∴∠P=90°-∠DOC=34°． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键． 9. 二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据当和时，函数值相等，求出对称轴，可判断②；得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，可判断①；得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，可判断③；根据和时，，可判定④，进而可得出答案． 【详解】解：∵当和时， ∴函数图象抛物线对称轴为直线，故②错误； ∴为最低点，抛物线的开口向上，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点的对称点为， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，，故③正确； ∵和时，， ∴是方程，即方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的是①③④，共3个， 故选：C． 10. 已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A. 1或﹣5 B. ﹣1或5 C. 1或﹣3 D. 1或3 【答案】B 【解析】 【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果． 【详解】∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1=5， 解得：h=﹣1或h=3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h的值为﹣1或5， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可． 二.填空题（共5小题） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是 故答案为： 12. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 13. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H、O、O、N的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“一氧化氮”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及所标元素能组成“一氧化氮”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： H O O N H O O N 共有12种等可能的结果，其中所标元素能组成“一氧化氮”的结果有：，，，，共4种， 所标元素能组成“一氧化氮”的概率为． 故答案为：． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C均在小正方形的顶点上，点B在弧AC上，且∠ACB＝15°，则阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定出圆心位置根据弧长公式求出弧AB的长度，根据等边三角形性质得BC的长度，再利用勾股定理求出线段AC的长度，即得答案． 【详解】解：由题意知圆心O位置如图所示， ∵∠ACB＝15°， ∴∠AOB=30°， ∴∠BOC=60°， 即△BOC为等边三角形，OC=BC=OB=6， ∴弧AB的长度为：， 由勾股定理得：AC=， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式、勾股定理求格点中线段的长度、等边三角形的判定等知识点．解题关键是：确定出弧所在圆的圆心位置． 15. 在中，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质及勾股定理，能根据题意画出示意图及熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意，画出是等腰直角三角形时的示意图，再结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：当，且点在上方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中，． 当，且点在下方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中， 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 三.解答题（8小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程： （1）x2﹣4x﹣7＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 【答案】（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x1＝﹣，x2＝ 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7， ∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）＝44＞0， 则x＝＝2， 即x1＝2+，x2＝2﹣； （2）∵3x（2x+1）＝2（2x+1）， ∴3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， 则（2x+1）（3x﹣2）＝0， ∴2x+1＝0或3x﹣2＝0， 解得x1＝﹣，x2＝． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17. 如图，在中，点A、B、C的坐标分别是，将绕点O顺时针旋转得到． （1）画出，并写出的坐标． （2）求线段扫过的区域的面积． 【答案】（1）解：如图所示： （2）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图以及勾股定理，扇形面积，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据旋转性质，找出点，再依次连接，得，即可作答． （2）先运用勾股定理算出，，再运用扇形扇形，得出线段扫过的区域的面积，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，，， 线段扫过的区域的面积． 18. 综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… （4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根． 【答案】（1）；（2），； （3）（4）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； （5），． 【解析】 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系，求根公式的应用，倒数的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义即可得出答案； （2）根据“友好方程”的定义得出方程的“友好方程”，求解即可； （3）（4）根据求根公式得出方程的两根为，及其“友好方程”的两根为，，再求得，，即可得出答案； （5）先根据“友好方程”的根的特点求出，即的两根为，，将待求方程变为，把看成一个整体即可求解． 【详解】解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ∴， 解得：，； （3）（4）略 （5）∵关于x的方程的两根是，， ∴方程的“友好方程”，即的两根为，， 设 ∴，即可化为： ， ∴，， ∴或， 解得：，． 19. “双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，红星中学开展了丰宫多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大版块课程（依次记为A，B，C，D．若该校小慧和小丽随机选择一个版块课程． （1）小慧选科普活动课程的概率是___________； （2）用画树状图取列表的方法，求小慧和小丽选同一个版块课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 小慧选科普活动课程的概率是 ， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种， ∴小慧和小丽选同一个板块课程的概率为 20. 某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． （1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示） （2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ （3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 【答案】（1） （2）销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元 （3）0.8 【解析】 【分析】（1）根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”列出函数关系式即可； （2）根据，销量×每件利润=总利润，列式，配方，利用二次函数最值求法得出答案； （3）根据“该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套”得到x的范围，根据题意列式，找到当时，w有最大值，即可求解． 本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质，是解题关键． 【小问1详解】 解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套， ∴日销售量为，即， 故答案为：， 【小问2详解】 解：由题意，∵日销售量为， ∴销售该文具的日利润为， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为2250． 答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元． 【小问3详解】 解：由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套， ∴， ∴， 又此时日销量利润， ∴对称轴为直线． ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， ∴， ∴． 21. 【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长． 【答案】（1）45；（2）； （3）作图如下： （4）①；② 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识． （1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点O，连接．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可； （4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案；②作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：45； （2）如图2，的中点O，连接． ， ， ， ∴点A、B、C、D共圆， ， ， ； （3）由图知，；同理． （4）①． 在上截取，连接，以为直径作，交于E，交于F，连接，过圆心O作于H且交圆O于G，过G作的切线交于K，交于Q，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， ∴满足的点恰好有两个，则的取值范围为， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接． ， ． 在中，， ． ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，， ， ． 22. 如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由． （3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______． 【答案】（1） （2）①8；②反弹后的小球不经过点， 理由为：∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同，且最大高度是， ∴反弹后的抛物线的解析式为， 由①得，代入解析式中，得，解得或（舍去）， ∴设反弹后的抛物线的解析式为， 当时，， ∴反弹后的小球不经过点； （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点问题等知识，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）根据题意，利用二次函数的顶点式求解抛物线L的解析式即可； （2）①令（1）中解析式的，解方程即可求得点A的横坐标； ②求反弹后抛物线的解析式，取，求得对应的y值即可作出判断； （3）求得抛物线L与直线的交点D坐标，进而求得反弹后的抛物线的解析式，进而求得反弹后抛物线与直线的交点的横坐标，进而可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，设抛物线L的解析式为， 将代入，得，解得， ∴抛物线L的解析式为； 【小问2详解】 解：①令，由得，， ∴点A的横坐标为8； ②略 【小问3详解】 解：联立方程组，解得 （舍去），， ∴点D坐标为， 由题意，设反弹后的抛物线解析式为， 将代入，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴反弹后的抛物线解析式为， 联立方程组，解得（舍去），， ∴反弹后抛物线与挡板交点的横坐标为10， ∴挡板端点横坐标的取值范围为， 故答案为：． 23. （1）如图1，点是等边内一点，，你能求出的度数吗? 【基本思路】可以将绕点逆时针旋转得到，连接，可求出的度数，则__________． （2）如图2，点是正方形内一点，，求的大小； （3）点是正方形外一点，，直接写出的大小． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质及已知可得到是等边三角形，是直角三角形，即可求解； （2）利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题； （3）分两种情况：当点P在左侧时或当点P在右侧时，先通过对三角形进行旋转，再根据旋转性质求出即可． 【详解】解：（1）由旋转可知：， ，，， 又， ， 是等边三角形， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：； （2）如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （3）当点P在左侧时， 如图3，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ， ，，， 在中，， ，， ， ， ， ， ； 当点P在右侧时， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ， ，，， 在中，， ，， ， ， 在正方形中，， ， ， ， 三点在同一直线上， ，， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $