12.4 分式方程 课件 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

冀教（2024）版数学8年级上册 第十二章 分式和分式方程 12.4 分式方程 1.经历从实际问题中建立分式方程的过程. 2.了解分式方程、分式方程的解、分式方程的增根. 3.会解分式方程，理解分式方程有时可能无解的原因，并掌握分式方程的验根方法. 分式方程的核心是把分式转化为整式方程求解，且必须验根避免增根问题，同时它在实际场景中应用广泛。下面以幻灯片形式，系统呈现其概念、解法、应用题及易错点，方便全面学习： # 幻灯片分页内容：12.4 分式方程 ## 第1页：导入——认识分式方程 - 回顾旧知：先给出整式方程示例$2x + 3 = 7$、$3x - 2y = 5$，强调其分母不含未知数；再对比呈现$\frac{1}{x}=2$、$\frac{2}{x - 1}=\frac{3}{x}$，引导观察分母特点。 - 概念引出：提问“这类分母含未知数的方程是什么？和整式方程有何区别？”，进而给出分式方程定义：**分母里含有未知数或含未知数整式的有理方程**。 - 学习目标：掌握分式方程的解法，理解增根的意义，能列分式方程解决行程、工程等实际问题。 ## 第2页：核心解法——三步法求解分式方程 解分式方程的核心思路是**转化思想**，即将分式方程化为整式方程，具体分三步，且验根是必不可少的环节。 1. **去分母，化整式方程** 先对分母因式分解（若可分解），确定最简公分母（系数取最小公倍数，未知数取最高次幂，因式取各因式乘积），再方程两边同乘最简公分母，消去分母得整式方程。注意：不含分母的整式项也要乘最简公分母，避免漏乘。 2. **解整式方程** 按一元一次方程等常规解法，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出未知数的值。 3. **验根，定结果** 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，该解是原分式方程的根；若为0，该解是增根，原方程无解。 ## 第3页：基础题型1——常规分式方程求解 ### 例题解析 - 例题1：解方程$\frac{2}{x}=\frac{3}{x + 1}$ 解：第一步，最简公分母为$x(x + 1)$，两边同乘得$2(x + 1)=3x$；第二步，去括号移项得$2x + 2 = 3x$，解得$x = 2$；第三步，验根：将$x = 2$代入$x(x + 1)=2×3 = 6≠0$，故$x = 2$是原方程的解，注明$x≠0$且$x≠ -1$。 - 例题2：解方程$\frac{1}{x - 2}+3=\frac{x - 1}{2 - x}$ 解：第一步，化简分母，$2 - x=-(x - 2)$，最简公分母为$x - 2$，两边同乘得$1 + 3(x - 2)=-(x - 1)$；第二步，去括号得$1 + 3x - 6=-x + 1$，移项合并得$4x = 6$，解得$x=\frac{3}{2}$；第三步，验根：代入$x - 2=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}≠0$，故$x=\frac{3}{2}$是原方程的解，注明$x≠2$。 ## 第4页：进阶题型2——含增根的分式方程问题 ### 核心认知 增根是去分母后整式方程的解，但会使原分式方程分母为0，导致原方程无意义，其产生原因是去分母时同乘的最简公分母可能为0，扩大了未知数取值范围。 ### 例题解析 - 例题3：解方程$\frac{x}{x - 1}-\frac{1}{x^2 - 1}=1$ 解：第一步，因式分解分母$x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$，最简公分母为$(x + 1)(x - 1)$，两边同乘得$x(x + 1)-1=(x + 1)(x - 1)$；第二步，展开化简得$x^2 + x - 1=x^2 - 1$，解得$x = 0$；第三步，验根：代入最简公分母得$(0 + 1)(0 - 1)=-1≠0$，故$x = 0$是原方程的解。 - 例题4：解方程$\frac{3}{x - 2}=\frac{1}{x}$ 解：两边同乘$x(x - 2)$得$3x=x - 2$，解得$x=-1$；验根：$x(x - 2)=(-1)×(-3)=3≠0$，$x=-1$是原方程的解。 - 例题5：解方程$\frac{2}{x - 3}=\frac{1}{x + 3}+\frac{6}{x^2 - 9}$ 解：最简公分母为$(x + 3)(x - 3)$，同乘得$2(x + 3)=x - 3 + 6$；解得$x=-3$；验根：代入最简公分母得$0$，故$x=-3$是增根，原方程无解。 ## 第5页：拓展题型——分式方程的实际应用 分式方程常用于解决行程、工程等实际问题，解题步骤为“审—设—列—解—验—答”，验根时既要判断是否为增根，也要验证是否符合实际意义。 ### 例题解析 - 例题6（行程问题）：甲、乙两地相距828km，直达快车速度是普通快车的1.5倍，普通快车先出发2h，直达快车却早到4h，求两车速度。 解：设普通快车速度为$x$km/h，则直达快车为$1.5x$km/h；根据时间关系列方程$\frac{828}{x}-\frac{828}{1.5x}=2 + 4$；解得$x = 46$；验根：$x≠0$且$1.5x≠0$，符合实际；故普通快车速度46km/h，直达快车速度$1.5×46 = 69$km/h。 - 例题7（工程问题）：某工程甲队单独做比乙队单独做少用5天，若两队合作3天可完成，求乙队单独完成需几天？ 解：设乙队单独完成需$x$天，则甲队需$x - 5$天；列方程$3(\frac{1}{x}+\frac{1}{x - 5})=1$；解得$x = 15$（$x=2$舍去，因甲队工期不能为负）；验根符合题意，故乙队单独完成需15天。 ## 第6页：高频易错点辨析——避坑指南 1. **去分母漏乘整式项** - 错误：解方程$\frac{1}{x - 1}=1+\frac{2}{x}$时，误化为$x=x(x - 1)+2(x - 1)$； - 正确：两边同乘$x(x - 1)$，得$x=x(x - 1)+2(x - 1)$？不，正确应为$x = x(x - 1) + 2(x - 1)$？更正：原方程右边1需乘公分母，正确转化为$x = x(x - 1) + 2(x - 1)$？实际正确步骤：$\frac{1}{x - 1}=1+\frac{2}{x}$同乘$x(x - 1)$得$x = x(x - 1) + 2(x - 1)$。 2. **忽略验根步骤** - 错误：解完直接写结果，未判断增根； - 正确：无论结果如何，必须验根，这是分式方程求解的必要步骤。 3. **最简公分母确定错误** - 错误：解方程$\frac{1}{2x^2y}+\frac{3}{xy^2}=1$时，误取公分母$2x^3y^3$； - 正确：最简公分母为$2x^2y^2$。 4. **实际应用未验证实际意义** - 错误：行程问题解得速度为负数未舍去； - 正确：解需符合实际，如速度、时间、人数等不能为负或零。 ## 第7页：分层课堂练习——巩固提升 1. **基础题**：解方程$\frac{1}{x}+1=\frac{3}{x}$（答案：$x = 2$，$x≠0$） 2. **提高题**：解方程$\frac{5}{x - 1}-\frac{3}{x + 1}=0$（答案：$x = -4$，$x≠±1$） 3. **拓展题**：某工厂计划生产一批零件，原效率每天生产10个，实际效率提高20%，结果提前2天完成，求零件总数（答案：120个） ## 第8页：课堂小结 - 核心概念：分母含未知数的有理方程是分式方程，与整式方程的核心区别在于分母是否含未知数。 - 核心解法：“去分母化整式方程—解整式方程—验根”，验根是避免增根的关键。 - 实际应用：聚焦行程、工程等题型，紧扣等量关系建模，兼顾增根检验和实际意义验证，形成完整解题逻辑。 学习目标 学生活动一 【一起探究】 1.上述问题中有哪些等量关系？ (1)小红乘公共汽车的时间+小红步行的时间 =小红上学路上的时间； (2)公共汽车的速度=9×小红步行的速度. 探究新知 2.根据你所发现的等量关系，设未知数并列出方程. 如果设小红步行的速度为x km/h，那么公共汽车的速度为9x km/h， 根据等量关系(1)，可得到方程＋ 1. 探究新知 2.根据你所发现的等量关系，设未知数并列出方程. 如果设小红步行的时间为x h，那么她乘公共汽车的时间为(1－x) h， 根据等量关系(2)，可得到方程＝9× . 探究新知 上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？ 学生活动二 【大家谈谈】 探究新知 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 归纳：(1)分式方程的两个特点： ①方程中含有分母；②分母中含有未知数． 探究新知 (2)分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，是区分分式方程和整式方程的依据． (3)分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数． 探究新知 问题：我们学习过整式方程的解法，试着解下面这个分式方程. . 解：方程两边同乘（30＋v）（30－v），得 90 （30－v）＝60 （30＋v）， 解得 v＝6. 检验：将v＝6代入原分式方程中，左边＝＝右边， 因此v＝6是原分式方程的解. 探究新知 在这里使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根). 探究新知 例1　解方程: （1）＝9× ；（2） ＋ 解：(1) 方程两边同乘x(1-x),得36x＝18(1－x). 解这个整式方程，得 x＝ . 经检验，x＝ 是原分式方程的解. 巩固练习 例1　解方程: （1）＝9× ；（2） ＋ 解： (2) 方程两边同乘9x,得36＋18＝9x， 解这个整式方程，得x＝6. 经检验，x＝6 是原分式方程的解. 巩固练习 下列是小华解方程 的过程： 方程两边同乘x－1，得x＋1＝－(x－3)＋(x－1). 解这个整式方程，得x＝1 你认为x＝1是方程 的解吗？为什么? 学生活动三 【观察与思考】 探究新知 分式方程根的检验： 在解分式方程时，首先是通过去分母将分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程，然后要将整式方程的根代入分式方程（或公分母）中检验.当分母的值不等于0 时，这个整式方程的根就是分式方程的根；当分母的值为0 时，分式方程无解，我们把这样的根叫做分式方程的增根. 探究新知 例2 解方程： . 解：方程两边同乘x+2，得2- (2-x)＝3(x+2)， 解这个整式方程，得 x＝-3， 经检验，x＝-3是原分式方程的解. 巩固练习 小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2km，才能到学校，路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度. 导入新课 3.分式方程的增根： （1）分式方程有增根时的应用：①最简公分母为0，求增根；②将增根代入整式方程求其他参数. （2）分式方程无解： ①分式方程有增根；②化为的整式方程无解. 回顾反思 1.解方程－ 解：方程两边同乘（ ）（ ），得 （ ） （ 9. 解这个整式方程，得 . 经检验， 是原分式方程的解. 当堂训练 1. 在；； ； ； 中，分式方程有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. ［2024广东］方程 的解是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 19 3. ［2024济宁］解分式方程 时，去分母变 形正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 20 4. 秦始皇统 一度量衡意义重大，这一举措 A A. B. C. D. 极大地方便了生产与生活.如图①和图②，欣欣通过对比两把 不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两 把直尺有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程为( ) 返回 考试考法 21 5. 已知关于的分式方程无解，则 的值为 ( ) A A. 或 B. C. 或 D. 6.若关于的方程的解是，则 的值为____. 返回 考试考法 22 7.［2025沧州月考］关于的方程 的解为非负 数，则 的取值范围是_______________. 且 【点拨】方程两边同乘，得 ，解 得 . 由题意得，且 ， 解得且 . 返回 考试考法 23 8. 教材P23习题 解方程： （1） ； 【解】两边同乘,得 . 解这个整式方程，得 . 检验:当时， ， 是原方程的增根. 原方程无解. 考试考法 24 （2） . 两边同乘 ， 得 . 解这个整式方程，得 . 检验:当时， ， 原方程的解为 . 返回 考试考法 25 9. 对于实数， ，定义一种新运 算“☆”为：☆.例如：1☆，则方程 ☆ 的解是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 26 10.如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的， 后，按 照程序图运行，会输出一个结果.当， 时，输出的 结果为2，则 的值为_______. 或10 考试考法 27 本节课我们主要学习了哪些内容？与同学交流你的想法。 1.分式方程的定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2.解分式方程： 解分式方程的一般步骤：一化 二解 三检验 课堂小结 谢谢观看！ $