12.3.1 分式的加减 课件 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

冀教（2024）版数学8年级上册 第十二章 分式和分式方程 12.3.1 分式的加减 1.通过类比同分母分数的加减法则，探索同分母分式的加减法则. 2.可以确定异分母分式的最简公分母，运用通分转化成同分母分式的加减运算. 3.渗透类比、转化等数学思想方法,培养学生运算能力. 分式的加减分为同分母和异分母两种核心情况，下面依旧以幻灯片分页形式，清晰呈现该知识点的法则、例题、易错点等内容，方便系统学习： # 幻灯片分页内容：12.3.1 分式的加减 ## 第1页：导入——类比旧知，开启新知 - 回顾旧知：先给出分数加减示例，同分母的$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$、$\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；异分母的$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$，回顾分数加减“同分母直接算，异分母先通分再算”的核心思路。再复习分式通分、因式分解知识，为分式加减铺垫基础。 - 情境迁移：抛出分式加减问题$\frac{2}{x}+\frac{3}{x}$和$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，提问：分式加减能否沿用分数加减的逻辑？异分母分式该如何转化后计算？ - 引出主题：本节课学习“分式的加减”，核心是掌握同分母、异分母分式的加减法则，能处理含多项式的分式加减运算，且将结果化为最简形式。 ## 第2页：核心法则——分式加减的两大类型 ### 1. 同分母分式加减 - 文字表述：同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减。 - 符号表示：对于整式$A$、$B$、$C$（$C≠0$），$\frac{A}{C}±\frac{B}{C}=\frac{A±B}{C}$。 - 注意：分子是多项式时，相加减要加括号，避免符号出错。 ### 2. 异分母分式加减 - 文字表述：异分母分式相加减，先通分转化为同分母分式，再按同分母分式加减法则运算。 - 符号表示：对于整式$A$、$B$、$C$、$D$（$B≠0$，$D≠0$），$\frac{A}{B}±\frac{C}{D}=\frac{AD±BC}{BD}$。 - 关键：通分时优先取最简公分母（系数取最小公倍数，字母取最高次幂，多项式因式取各因式乘积）。 ## 第3页：基础题型1——同分母分式的加减 ### 运算步骤 1. 保持分母不变，将分子进行相加减（多项式分子加括号）； 2. 合并分子中的同类项； 3. 约去分子分母的公因式，化为最简分式或整式。 ### 例题解析 - 例题1：计算$\frac{3a}{a - 2}+\frac{a}{a - 2}$ 解：分母不变，分子相加，得$\frac{3a + a}{a - 2}=\frac{4a}{a - 2}$，已是最简形式，注明$a≠2$。 - 例题2：计算$\frac{5x}{x + 1}-\frac{x - 3}{x + 1}$ 解：分子加括号相减，$\frac{5x - (x - 3)}{x + 1}$；去括号合并同类项，$\frac{5x - x + 3}{x + 1}=\frac{4x + 3}{x + 1}$，注明$x≠ -1$。 ## 第4页：进阶题型2——异分母分式的加减 ### 运算步骤 1. 对分母因式分解（多项式需分解彻底）； 2. 确定最简公分母，将各分式通分转化为同分母分式； 3. 按同分母法则计算分子加减； 4. 化简结果并标注字母取值限制。 ### 例题解析 - 例题3：计算$\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 1}$ 解：最简公分母为$x(x + 1)$；通分得$\frac{x + 1}{x(x + 1)}+\frac{x}{x(x + 1)}$；分子相加得$\frac{x + 1 + x}{x(x + 1)}=\frac{2x + 1}{x(x + 1)}$，注明$x≠0$且$x≠ -1$。 - 例题4：计算$\frac{2}{a^2 - 4}-\frac{1}{2a - 4}$ 解：第一步，因式分解分母，$a^2 - 4=(a + 2)(a - 2)$，$2a - 4=2(a - 2)$，最简公分母为$2(a + 2)(a - 2)$；第二步，通分得$\frac{4}{2(a + 2)(a - 2)}-\frac{a + 2}{2(a + 2)(a - 2)}$；第三步，分子相减得$\frac{4 - (a + 2)}{2(a + 2)(a - 2)}=\frac{2 - a}{2(a + 2)(a - 2)}=-\frac{1}{2(a + 2)}$，注明$a≠±2$。 ## 第5页：拓展题型——含整式与混合运算 ### 运算要点 整式可看作分母为1的分式；混合运算遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”的顺序。 ### 例题解析 - 例题5：计算$\frac{x}{x - 1}-1$ 解：将1化为$\frac{x - 1}{x - 1}$；通分后计算$\frac{x - (x - 1)}{x - 1}=\frac{x - x + 1}{x - 1}=\frac{1}{x - 1}$，注明$x≠1$。 - 例题6：计算$(\frac{1}{x + 3}-\frac{1}{x - 3})×\frac{x^2 - 9}{2}$ 解：第一步，算括号内，最简公分母为$(x + 3)(x - 3)$，得$\frac{(x - 3)-(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{-6}{(x + 3)(x - 3)}$；第二步，$x^2 - 9$分解为$(x + 3)(x - 3)$，相乘约分后得$\frac{-6}{(x + 3)(x - 3)}×\frac{(x + 3)(x - 3)}{2}=-3$，注明$x≠±3$。 ## 第6页：高频易错点辨析——避坑指南 1. **分子多项式漏加括号** - 错误：计算$\frac{3x}{x - 2}-\frac{x + 1}{x - 2}$时，误算为$\frac{3x - x + 1}{x - 2}$； - 正确：分子加括号$\frac{3x - (x + 1)}{x - 2}$，结果为$\frac{2x - 1}{x - 2}$。 2. **最简公分母确定错误** - 错误：计算$\frac{1}{2x^2y}$与$\frac{1}{3xy^2}$的和时，误取公分母$6x^3y^3$； - 正确：最简公分母为$6x^2y^2$，通分后计算得$\frac{3y + 2x}{6x^2y^2}$。 3. **通分后分子漏乘因式** - 错误：计算$\frac{2}{x + 1}+\frac{1}{x}$时，误写为$\frac{2 + x + 1}{x(x + 1)}$； - 正确：通分后分子分别乘对应因式，得$\frac{2x + x + 1}{x(x + 1)}=\frac{3x + 1}{x(x + 1)}$。 4. **相反数分母符号处理失误** - 错误：计算$\frac{1}{a - b}-\frac{1}{b - a}$时，未转化符号； - 正确：将$\frac{1}{b - a}$化为$-\frac{1}{a - b}$，结果为$\frac{1 + 1}{a - b}=\frac{2}{a - b}$。 ## 第7页：分层课堂练习——巩固提升 1. **基础题**：计算$\frac{2b}{5a^2}+\frac{3b}{5a^2}$（答案：$\frac{b}{a^2}$，$a≠0$） 2. **提高题**：计算$\frac{3}{x^2 - 9}+\frac{1}{x + 3}$（答案：$\frac{1}{x - 3}$，$x≠±3$） 3. **拓展题**：计算$\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 1}×\frac{x + 1}{x^2}$（答案：$\frac{x - 1}{x^2}$，$x≠0$且$x≠ -1$） ## 第8页：课堂小结 - 核心法则：同分母分式加减“分母不变，分子加减”；异分母分式加减“先通分，再加减”。 - 关键思路：始终围绕“转化思想”，将异分母转化为同分母、将整式转化为分式，降低运算难度。 - 易错提醒：重视分子括号、最简公分母和符号问题，计算后必化简，同时标注使原分式有意义的字母取值，为后续分式混合运算筑牢基础。 学习目标 思考： 1.回忆同分母分数加减法法则； 2.回忆分数的通分； 3.回忆异分母分数的加减法法则. 情景导入 1. 类比同分母分数的加减运算法则，完成下面 同分母分式的加减运算： _____； _____； _____； _____； 分母不变 分子相加减 情景导入 学生观察，并总结： 同分母分式加减法运算法则： 同分母分式相加(减)，分母不变，把分子相加（减）. 即 . 学生活动一 【一起探究】 探究新知 例1　计算下列各式： （1）； （2） ； （3） . 探究新知 注意： （1）分母相同，而分子是多项式，相加减时要把分子看作一个整体，先用括号括起来，再进行加减，能分解因式的要分解因式，最后结果要化为最简分式或整式； （2）两个分式的分母互为相反数时，可通过添加负号把两个分式变为同分母的分式，再按照同分母的分式相加减的法则进行计算． 探究新知 1.异分母的两个分数相加减，是将其化为同分母分数的加减进行的，如： . 学生活动二 【观察与思考】 探究新知 2.类比异分母分数的加减，异分母分式的加减应当怎样进行呢? 3.试计算： . 探究新知 通分定义：把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母．几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母. 探究新知 异分母的分式加减法法则： 异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再相加（减）. 即. 探究新知 例2　计算下列各式：（学生板演） (1) ； . 巩固练习 回顾分数有意义的条件，想一想分式 在满足什么条件下具有意义. 学生活动三 【一起探究】 探究新知 1．在分式中，当分母的值不为0时，分式有意义； 当分母的值为0时，分式无意义． 2．分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零． 探究新知 1.计算： （1）；（2） . 解：（1）原式＝ ＝ ； 当堂训练 解：（2）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 当堂训练 1. ［2025石家庄新华区月考］化简 的结果是 ( ) D A. 1 B. C. D. 3 返回 考试考法 17 2. 若是非负整数，则表示 的 值的对应点落在如图所示的数轴上的范围是( ) B A. ① B. ② C. ③ D. ①或② 考试考法 18 【点拨】原式 ， 则表示 的值的对应点落在数轴上的范围是②. 返回 考试考法 19 3. ［2024河北］已知为整式，若计算 的结果 为，则 ( ) A A. B. C. D. 4. 若，互为倒数，且 ，则分式 的值为___. 1 返回 考试考法 20 5.分式与 的最简公分母是_______________. 【点拨】分式与的分母分别是 ， ，故最简公分母是 . 返回 考试考法 21 6.若将分式与分式通分后，分式 的分母变为 ，则分式 的分子应变为_____. 返回 考试考法 22 7.计算： （1） ; 【解】原式 . （2） ； 原式 . 考试考法 23 （3） . 原式 . 返回 考试考法 24 8. 已知， ，其中 ，则， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 不能确定 返回 考试考法 25 9. ［2024雅安］已知,则 ( ) A. B. 1 C. 2 D. 3 【点拨】 ， ， 故选C. C 返回 考试考法 10. 照相机成像原理用公式 表示，其中表示照相机镜头的焦距， 表 示物体到镜头的距离， 表示胶片（像）到镜头的距离.已知 ，，则 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 27 11. 已知实数，， 满足 ，且，则 的 值为( ) A A. 12 B. 14 C. D. 9 考试考法 28 本节课我们主要学习了哪些内容？与同学交流你的想法。 1.同分母分式的加减法法则：分母不变，分子相加减. 2.分式的通分：找分母的最简公分母，利用分式的基本性质将分式化为相同分母的分式. 3.异分母分式的加减法法则：先通分，化为同分母的分式，再相加减. 课堂小结 谢谢观看！ $