5.1.1 变化率问题-割线斜率、切线斜率第2课时（2）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦割线斜率与切线斜率，通过复习平均速度、瞬时速度及平均与瞬时变化率导入，搭建物理背景与数学概念的联系支架，引导学生从变化率问题自然过渡到切线斜率的探究。 其亮点在于以抛物线实例为载体，通过“观察-推导-验证”流程，用Δx数值表格直观呈现极限思想，体现数学抽象与逻辑推理（数学思维），结合符号表达与几何意义（数学语言）。学生能培养用数学眼光观察变化规律的意识，教师可依托结构化探究流程提升教学效率。

5.1.1变化率问题-第2课时（2）P62-P64 割线斜率、切线速度 陶新军 1（1） 学习目标 核心素养 1.通过实例分析，探究割线斜率。 数学抽象 2.通过实例分析，经历由割线斜率过渡到切线斜率的过程。 数学抽象 3.感悟运动变化的观点；感悟极限的思想; 数学抽象 1分钟（读） 1. 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 2. 瞬时速度： 一.新课引入：复习回顾: 3. 平均变化率： 4. 瞬时变化率： 1（2） 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢? 下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究. 研究思路：与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线，我们通常在点P0(1, 1)的附近任取一点P(x, x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况. 二.概念形成：割线斜率 问题2 抛物线的切线的斜率 探究1 如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线? 问题1:函数在点(0,1)处的切线方程. 2（4） x y 1 2 1 2 3 4 O • P P0 • 观察 如图示，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于 点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势? T • 我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线. 二.概念形成：割线斜率 探究1 如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线? 2（6） 探究2 我们知道，斜率是确定直线的一个要素. 如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0呢? 由切线定义可知，抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系. 记∆x＝x－1 ，则点P的坐标是(1+∆x, (1+∆x)2)，于是，割线P0P的斜率为 注： ∆x可以是正值，也可以是负值，但不为0. x y 1 2 1 2 3 4 O P • P0 • T • 二.概念形成：割线斜率 2（8） ∆x <0 ∆x >0 ∆x ∆x 通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2. 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： 二.概念形成：切线斜率 1（9） 7 事实上，由 可以发现， 当∆x， 我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为 也就是说，当点P无限靠近点P0，即∆x无限趋近于0时，割线P0P无限趋近于切线P0T，因此切线P0T的斜率为 二.概念形成：切线斜率 2（11） 二.概念形成：切线斜率 (4)x=1时的切线斜率： (1)在1处x增量：（1+∆x）∆x (3)[1,1+∆x]割线斜率： (2)在1处函数值增量：f（1+∆x） 抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处切线斜率步骤： 1（12） 例1. 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线斜率? 课本P64 三.概念深化：切线斜率 4（16） 三.概念深化：切线斜率 (4)x=时的切线斜率： (1)在x0处x增量：（x0+∆x）∆x (3)[,+∆x]割线斜率： (2)在处函数值增量：f（+∆x） 抛物线f(x)=x2在点P0(x0, x02)处切线斜率步骤： 1（17） 思考 观察问题1中的函数 的图象，平均速度 的几何意义是什么? 瞬时速度几何意义呢? t h 1 O • (1, h(1)) • (1+∆t, h(1+∆t)) 三.概念深化：物理意义与几何意义 2（19） 平均变化率的极限，即瞬时变化率： 三.概念深化：函数的平均变化率与瞬时变化率（教材64页） 1（20） 1.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度 3.抛物线的割线及切线的斜率 瞬时变化率： 三.概念深化：三率关系 1（21） 例2 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处切线的斜率. 四.应用探究：1切线斜率 3（4） 例2变式 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处的切线方程. 四.概念深化：1切线斜率 1（25） 练习2-1 求抛物线f(x)=2x2-1在x=1处的切线方程. 四.概念深化：1切线斜率 3+1（29） 练习2-2. 求抛物线f(x)=x2+1在点(0, 1)处的切线方程. 课本P64 四.概念深化：1切线斜率 3+1（33） 四.概念深化：2瞬时变化率 2（35） 四.概念深化：2瞬时变化率 3+1（39） 五.总结归纳 知识点： 题型： 方法： 作业：5.1.1变化率问题第2课时(割线斜率、切线斜率) 1（40） 1割线斜率； 2切线斜率。 1求切线斜率； 2求瞬时变化率。 1数形结合 1.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度 3.抛物线的割线及切线的斜率 瞬时变化率： 板书设计 函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率:＝． 对于函数y＝f(x)， 设自变量x从x0变化到x0＋Δx，x的变化量为Δx＝(x0＋Δx)－x0； 函数值y从f(x0)变化到f(x0＋Δx),y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). ＝． 2函数y＝f(x)平均变化率:＝． ＝． 例3 求函数y＝在点A(，2)处的瞬时变化率． 解：f(x)＝，∵Δy＝f(＋Δx)－f()＝－2＝， ∴平均变化率：＝， ∴瞬时变化率： ＝－4 练习3 求函数f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程． 解：f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－4＋2＝3Δx＋(Δx)2， 所以切线的斜率k＝ ＝ ＝ (3＋Δx)＝3. 则所求切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0. 2函数y＝f(x)平均变化率:＝． ＝． $