精品解析：河南省新乡市延津县2025-2026学年上学期九年级11月期中数学试题

2025—2026九年级上学期期中学情检测 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 在具有对称性的平面图形中，圆虽然简单，却很神奇．它既是具有无穷多条对称轴的轴对称图形，又是特殊的中心对称图形．下列与圆有关的图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，中心对称图形∶在平面内，一个图形绕某个点旋转如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 【详解】解：．是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项符合题意； ．是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由抛物线的解析式可求得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， 故选：A． 3. 如图，是的直径，C，D为圆上两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角及等腰三角形、三角形内角和的相关性质，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．根据同弧所对的圆周角相等即可求得的度数，再由等腰三角形的性质得出，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵， ∴由圆周角定理推论得：， ∵， ∴， ∴， 故选B． 4. 近年来，随着人工智能和技术的快速发展，某半导体公司的芯片产量呈现爆发式增长．该公司的芯片产量在今年3月为10000片，由于市场需求旺盛，5月产量大幅提升至16900片．设该公司4，5两个月芯片产量的月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 从3月到5月经过两个月增长，每次增长率为x，因此4月产量为，5月产量为，据此列方程． 【详解】解：设月平均增长率为， ∵4月产量为， 5月产量为， 又∵5月产量为16900， ∴， 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根． 根据一元二次方程有两个实数根的条件，判别式，求出a的取值范围，再结合选项判断． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， ∴． 选项A、B、C均大于1，不满足；选项D为1，满足条件． 故选D． 6. 如图，四边形内接于，过点A作，交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，圆内接四边形的性质，由平行线的性质得出，再由圆的内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选C． 7. 二次函数（为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示．根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（ ） … … … … … … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，通过观察函数值的变化，发现当 从 到 时， 从正数变为负数，根据连续函数的性质，方程 在此区间内存在一个根，且为负数解． 【详解】解： 当 时，； 当 时，； 又因为二次函数 是连续函数， 所以在 区间内，必存在 使得 ，即方程 有一个负数解在此区间内； 故选B． 8. 将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据利润每个利润销售量列出关系式即可． 【详解】解：售价上涨元后，每个利润为元， 销售量减少个，即为个， ∴利润． 故选：A． 9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象与系数的关系，根据一次函数图象经过的象限，找出、是解题的关键．根据一次函数的图象的性质先确定出a、b的取值范围，再根据二次函数的性质即可做出判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，， ∴二次函数的图象的开口向上， 对称轴直线，在y轴左侧， 图象与y轴的交点为，在y轴的负半轴， ∴选项D符合题意． 故选：D． 10. 如图，在中，顶点在第一象限内，点，，．将绕点每次顺时针旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，点坐标规律探索，先求出，再根据旋转的性质得出4次旋转为一个周期，即2025次旋转相当于第1次旋转的结果．求出点B第一次旋转的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴，轴， ∴， 设， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∵将绕点每次顺时针旋转， ∴4次旋转为一个周期， ∴， 即2025次旋转相当于第1次旋转的结果． 如下图，将绕点每次顺时针旋转得到， 则，即， 过点作轴与点D， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为，横坐标为， 则． 故选B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知函数，当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是，对称轴是直线．根据二次函数的性质，通过顶点坐标和开口方向判断函数的增减性． 【详解】解：∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴对称轴为直线． 当时，即对称轴左侧，随的增大而减小． 故答案为：减小． 12. 如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点．连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的直径为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则阴影部分的面积为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是利用旋转性质转化阴影面积，并通过作高结合30°角性质求三角形的高． 由旋转性质得，故阴影面积等价于的面积；过作于，利用含30°角的直角三角形中，30°角对的直角边是斜边的一半，求出高，再用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由旋转性质，得，，，且， 故； 过作于，在中，， ∴； 则， 即阴影部分的面积为36． 故答案为：36． 14. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，得出，点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为，令和分别求得的坐标，求出直线的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：如图所示，连接， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴点A和点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵当时，，则 当时，， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 则， 解得： 则的解析式为：， 令，则， 则， 故答案为： 15. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG．若，，当点E落在直线上时，线段的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质及勾股定理，解题的关键是利用旋转性质得对应边相等，同时考虑点E在直线上的两种位置． 由旋转性质得、；分点E在线段上和的延长线上两种情况，在中用勾股定理求，结合长度得，再在中用勾股定理求． 【详解】解：∵矩形绕点旋转得矩形， ∴，， ①当点在线段上时， 在中，， ∵， ∴， 在中，． ②当点在的延长线上时： ，， 在中，． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求，的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，关于原点对称的点的坐标特征， （1）将原方程转化为，然后将方程的左边进行因式分解，再转化为两个一元一次方程进行求解即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， 解得：，； （2）∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：． 17. 如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆的半径相等的性质、平行线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线的角的关系结合等腰三角形的等角转化，推导圆心角相等． 由得同位角、内错角相等，结合得等腰三角形的角相等，进而转化得到 【详解】证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，抛物线经过点． （1）求m的值以及此抛物线的顶点坐标． （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质． （1）把点代入，即可求出点m的值，进而可求出抛物线解析式，再把解析式化成顶点式即可得出顶点坐标． （2）根据二次函数的图象和性质得出当时的最小值，再分别把和3分别代入解析式求出对应的y值，得出最大的y值即可． 【小问1详解】 解：把点代入， 则， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线的顶点坐标为 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向上，顶点在内， 所以最小值为． 当时，， 当时，， ∴最大值为6， ∴y的取值范围是． 19. 如图，的顶点B的坐标为． （1）将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，请在图中画出． （2）将绕点B逆时针旋转，得到，请在图中画出，并直接写出的长：________． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，勾股定理． （1）利用平移变换的性质分别作出各顶点的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点， ，然后依次连接得到；利用勾股定理求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 20. 如图，考古学家发掘出一面残缺的圆形铜镜，为了对其进行修复，需要先确定铜镜原本的大小．已知圆形铜镜的一条弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D，测得． （1）修复师需要先找到这面铜镜所在圆的圆心，才能进行后续的修复工作，请你确定该圆的圆心．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）求这面铜镜所在圆的半径． 【答案】（1） 如图，点O即为该圆的圆心． （2）圆的半径为 【解析】 【分析】本题考查了圆的圆心确定（垂直平分线的性质）、勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求半径． （1）作弦外另一条弦的垂直平分线，与的延长线的交点即为圆心； （2）设圆的半径为，由题意得的长度，用代数式表示出，利用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接,设该圆的半径为， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即，，， 解得． 答：这面铜镜所在圆的半径为． 21. 实践活动：某中学“生态园”小组准备围建一个矩形苗圃（如图）． （素材1）苗圃的一边靠墙，长为，另外三边用总长为的竹篱笆围建． （素材2）与墙平行的一边上要预留宽的入口． （任务1）当矩形苗圃的边为多少米时，矩形苗圃的面积为？ （任务2）能否围成面积为的矩形苗圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（任务1）时，矩形苗圃的面积为； （任务2）不能围成面积为的矩形苗圃，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键， （1）设米，根据题意列出一元二次方程，解方程并验证根是否符合实际问题即可得到答案； （2）设米，根据题意列出一元二次方程，利用根的判别式判断方程根的情况，可得到答案． 【详解】解：（任务1）设米，则米， 由题可得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：当矩形苗圃的边为米时，矩形苗圃的面积为． （任务2）不能围成面积为的矩形苗圃，理由如下： 假设围成苗圃的面积为，设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即不能围成面积为的矩形苗圃． 22. 某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线．以喷泉池底的最低点为坐标原点，水平方向为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．喷泉的初始高度为，经测量，当水柱的水平喷射距离为时，高度为；当水柱的水平喷射距离为时，高度为． （1）求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式． （2）计算水柱喷射的最大高度． （3）现要在水池边缘安装一圈宽度为的环形观景台（内径，外径），为确保水柱落点能精准喷入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度的可调节范围． 【答案】（1） （2）水柱喷射的最大高度为 （3）喷口高度的可调节范围为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数与不等式的结合，根据题意进行平面直角坐标系的建模是解题关键． （1）根据题意可得抛物线的三个点为，，，采用待定系数法即可求出解析式． （2）将抛物线解析式化为顶点式求出最值即可． （3）设喷口高度为h，重新建立抛物线解析式，利用抛物线分别经过，，建立不等式求解． 【小问1详解】 解：设水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． 将，代入，得， 解得， ∴水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：． ， ∴当时，取最大值22， ∴水柱喷射的最大高度为． 答：水柱喷射的最大高度为． 【小问3详解】 解：设平移后的抛物线的函数解析式为． 将代入，得， 解得， 将代入，得， 解得， ，即． 答：喷口高度的可调节范围为． 23. 综合与实践 问题情境 在等腰直角中，D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到线段，连接． 问题解决 （1）如图与之间的位置关系是______，数量关系是______． 拓展应用 （2）如图2，以为边作正方形，连接．已知，设，正方形的面积为y． ①求y与x的函数解析式． ②若，请直接写出的长． 【答案】（1）垂直；相等． （2）①；②的长为或． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及函数解析式的求解，解题的关键是利用旋转性质构造全等三角形，结合勾股定理推导线段关系与函数表达式． （1）由旋转得、，证，推导与的位置和数量关系； （2）①作辅助线用勾股定理表示，得正方形面积的解析式； ②结合（1）的结论与勾股定理列方程求的长． 【详解】（1）解∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即 故答案为：垂直；相等． （2）①解∵，是等腰直角三角形， ∴，作于H，则，， 在中，， ∵正方形的面积， ∴． ②解：如下图，连接， ∵， ∴点D、E、B、F四点共圆（是圆的直径）， ∴，又， ∴， ∴， ． 即 解得：或． 答：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026九年级上学期期中学情检测 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 在具有对称性的平面图形中，圆虽然简单，却很神奇．它既是具有无穷多条对称轴的轴对称图形，又是特殊的中心对称图形．下列与圆有关的图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，C，D为圆上两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 近年来，随着人工智能和技术的快速发展，某半导体公司的芯片产量呈现爆发式增长．该公司的芯片产量在今年3月为10000片，由于市场需求旺盛，5月产量大幅提升至16900片．设该公司4，5两个月芯片产量的月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 6. 如图，四边形内接于，过点A作，交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数（为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示．根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（ ） … … … … … … A. B. C. D. 8. 将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，顶点在第一象限内，点，，．将绕点每次顺时针旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知函数，当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）． 12. 如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为______． 13. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则阴影部分的面积为______． 14. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为______． 15. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG．若，，当点E落在直线上时，线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求，的值． 17. 如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：． 18. 如图，抛物线经过点． （1）求m的值以及此抛物线的顶点坐标． （2）当时，求y的取值范围． 19. 如图，的顶点B的坐标为． （1）将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，请在图中画出． （2）将绕点B逆时针旋转，得到，请在图中画出，并直接写出的长：________． 20. 如图，考古学家发掘出一面残缺的圆形铜镜，为了对其进行修复，需要先确定铜镜原本的大小．已知圆形铜镜的一条弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D，测得． （1）修复师需要先找到这面铜镜所在圆的圆心，才能进行后续的修复工作，请你确定该圆的圆心．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）求这面铜镜所在圆的半径． 21. 实践活动：某中学“生态园”小组准备围建一个矩形苗圃（如图）． （素材1）苗圃的一边靠墙，长为，另外三边用总长为的竹篱笆围建． （素材2）与墙平行的一边上要预留宽的入口． （任务1）当矩形苗圃的边为多少米时，矩形苗圃的面积为？ （任务2）能否围成面积为的矩形苗圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 22. 某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线．以喷泉池底的最低点为坐标原点，水平方向为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．喷泉的初始高度为，经测量，当水柱的水平喷射距离为时，高度为；当水柱的水平喷射距离为时，高度为． （1）求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式． （2）计算水柱喷射的最大高度． （3）现要在水池边缘安装一圈宽度为的环形观景台（内径，外径），为确保水柱落点能精准喷入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度的可调节范围． 23. 综合与实践 问题情境 在等腰直角中，D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到线段，连接． 问题解决 （1）如图与之间的位置关系是______，数量关系是______． 拓展应用 （2）如图2，以为边作正方形，连接．已知，设，正方形的面积为y． ①求y与x的函数解析式． ②若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $