专题14 指数及其复合函数的图像与性质（压轴题6大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题14 指数及其复合函数的图像与性质 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、图像过定点问题 1 类型二、图像辨析问题 2 类型三、解指数不等式 4 类型四、指数（型）函数的值域 5 类型五、指数（型）函数的单调性及参数问题（含比较大小） 6 类型六、指数（型）函数的奇偶性与对称性 7 压轴专练 8 类型一、图像过定点问题 解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),据此,可解决形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函数图象过定点的问题,即令x=-c,得y=k+b,则函数图象过定点(-c,k+b). 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽·期中）函数且的图象过定点，则 ． 3．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知函数（，）图象恒过定点，且点在函数（，）图象上，则的最小值为 . 类型二、图像辨析问题 1、在同一平面直角坐标系内,识别多个指数函数图象底数的大小,可借助直线x=1,根据直线x=1与各图象交点纵坐标大小确定底数的大小. 2、对称变换 ； ； ． 3、翻折变换 ； ． 1．已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广西玉林·期中）在同一直角坐标系中，函数与且的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建·期中）函数的图象大致为（   ）. A． B． C． D． 4．如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   5．函数，且的图象大致是（    ） A． B． C． D． 类型三、解指数不等式 简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解； 2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 1．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为 ． 2．（25-26高一上·北京·期中）函数的定义域是 . 3．（24-25高一上·河北张家口·月考）不等式的解集为 ． 4．（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是 ． 5．若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 类型四、指数（型）函数的值域 1、对于y=af(x)这类函数: ①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围. ②值域问题,应分以下两步求解: a.由定义域求出u=f(x)的值域; b.利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域. 2、利用指数函数y=ax的定义域和值域求与之有关的初等函数的定义域与值域时的方法如下. ①由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,利用指数函数的单调性求值域. ②形如f(x)=k·a2x+m·ax+t(a>0,且a≠1,k,m≠0)型函数的值域,常用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 1．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津滨海新·期中）函数的值域为 ． 5．（25-26高一上·重庆·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 6．（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 类型五、指数（型）函数的单调性及参数问题（含比较大小） 1、在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 2、比较指数幂的大小 （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 1．（25-26高一上·河南·期中）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）若，记，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东中山·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·海南·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·福建厦门·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 类型六、指数（型）函数的奇偶性与对称性 1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．在上是减函数 C．的值域为 D．不等式的解集为 3．（24-25高一上·浙江温州·期中）（多选题）设常数，函数，则（   ） A．函数在上单调递减 B．当时，的图像关于直线对称 C．对任意，的图像是中心对称图形 D．若，则 4．（23-24高一上·河北·月考）教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系：若为奇函数，则的图象关于点中心对称，易知：是奇函数，则图象的对称中心是 . 5．（24-25高一上·贵州六盘水·月考）写出一个同时具有下列性质①②的非常数函数： ． ①的图象关于直线对称； ②，，且，． 6．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 7．（25-26高一上·山东·期中）已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值. 8．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数（，），. (1)求c的值； (2)已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何x恒成立”，试用此结论判断函数的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若存在实数，使得对任意，都存在，使得，求实数n的最大值. 1．（25-26高一上·安徽·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川成都·期末）若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 6．（25-26高一上·四川广元·期中）设 满足，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于y轴对称 D．若，且（a，b均不为0），则 11．（25-26高一上·福建莆田·期中）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 12．（24-25高一上·江苏无锡·期中）（多选题）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．若是奇函数，则 C．是上的减函数 D．不等式的解集 13．（25-26高一上·吉林·期中）不等式的解集为 ． 14．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）方程的解为 . （2）设，则关于x的不等式的解集为 . 15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为 . 16．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是 . 17．已知函数（且）的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为 ． 18．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数，则的图象经过定点 ；的值域为 . 19．（25-26高一上·北京·期中）已知函数. (1)当时，求的值域; (2)若的最小值为，求的值. 20．已知函数（为常数，），且为偶函数， (1)求a的值； (2)若方程在上有解，求实数k的取值范围． 21．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 22．已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 指数及其复合函数的图像与性质 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、图像过定点问题 1 类型二、图像辨析问题 3 类型三、解指数不等式 6 类型四、指数（型）函数的值域 8 类型五、指数（型）函数的单调性及参数问题（含比较大小） 12 类型六、指数（型）函数的奇偶性与对称性 16 压轴专练 23 类型一、图像过定点问题 解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),据此,可解决形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函数图象过定点的问题,即令x=-c,得y=k+b,则函数图象过定点(-c,k+b). 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 2．（25-26高一上·安徽·期中）函数且的图象过定点，则 ． 【答案】3 【分析】根据指数型函数定点问题，当指数求解即可． 【详解】令，则，故的图象过定点， 则，故． 故答案为：3． 3．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知函数（，）图象恒过定点，且点在函数（，）图象上，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据指数函数的性质可得定点得坐标，利用点在函数上可得，结合基本不等式求解的最值即可. 【详解】当时，函数，则定点，所以， 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2. 故答案为：2. 类型二、图像辨析问题 1、在同一平面直角坐标系内,识别多个指数函数图象底数的大小,可借助直线x=1,根据直线x=1与各图象交点纵坐标大小确定底数的大小. 2、对称变换 ； ； ． 3、翻折变换 ； ． 1．已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 2．（25-26高一上·广西玉林·期中）在同一直角坐标系中，函数与且的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，两种情况下指数函数图象及二次函数对称轴及与轴交点的纵坐标，据此可判断选项正误. 【详解】当时，函数在上单调递减， 函数的对称轴为， 且函数与轴交点的纵坐标为，D不符合，C符合． 当时，函数在上单调递增， 函数的对称轴为，B不符合， 且函数与轴交点的纵坐标为，不符合． 故选： C． 3．（25-26高一上·福建·期中）函数的图象大致为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的奇偶性及函数值的范围，运用排除法求解． 【详解】因为的定义域为R，关于原点对称，又， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B； 当时，，，排除选项D； 当时， ，排除选项C． 故选：A 4．如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解. 【详解】∵， ∴时，， 当时，函数为上的单调递增函数，且， 当时，函数为上的单调递减函数，且， 故选：B 5．函数，且的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象平移及函数的对称性和单调性易排除错误选项. 【详解】由题意知，关于对称，当时，对称轴，时函数单调递增， 当时,对称轴，时函数单调递减，排除A,C,D. 故选：B. 类型三、解指数不等式 简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解； 2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 1．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】; 【分析】根据指数函数的单调性和绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】由指数函数单调性，原不等式可化为， 两边平方得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 2．（25-26高一上·北京·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数有意义，列出不等式，利用指数函数的单调性解不等式即可得函数的定义域. 【详解】由函数有意义，可得，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 【点睛】 3．（24-25高一上·河北张家口·月考）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性转化为一元二次不等式求解即可 【详解】由，得， 因为在上是增函数，所以， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】利用根式性质及指数函数的单调性、一元二次不等式解法，求函数定义域. 【详解】由解析式知，则， 所以，故定义域为. 故答案为： 5．若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】按照和分类讨论，利用指数函数单调性将不等式转化为二次不等式的求解，即可得解. 【详解】当时，单调递增，故等价于， 即，解得或，不符合题意； 当时，单调递减，故等价于， 即，解得，符合题意，故的取值范围是. 故答案为： 类型四、指数（型）函数的值域 1、对于y=af(x)这类函数: ①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围. ②值域问题,应分以下两步求解: a.由定义域求出u=f(x)的值域; b.利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域. 2、利用指数函数y=ax的定义域和值域求与之有关的初等函数的定义域与值域时的方法如下. ①由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,利用指数函数的单调性求值域. ②形如f(x)=k·a2x+m·ax+t(a>0,且a≠1,k,m≠0)型函数的值域,常用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 1．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 2．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求关于指数函数的复合函数的值域即得, 【详解】因为函数的定义域为 所以，解得. 所以的定义域为 由得 所以. 当，即时，， 当，即时，. 所以的值域为, 故选：A. 3．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 4．（25-26高一上·天津滨海新·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由换元法，借助二次函数性质及指数函数单调性计算即可求解. 【详解】令， 则，所以， 设，， 因为在区间上单调递增， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·重庆·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，由题意得出的值域为，结合的值域即可求解． 【详解】令， 函数的值域为， 的值域为， 的值域为， ， 故实数的取值范围为：， 故答案为：． 6．（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，，求得值域为，当时，，分和，两种情况讨论，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 类型五、指数（型）函数的单调性及参数问题（含比较大小） 1、在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 2、比较指数幂的大小 （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 1．（25-26高一上·河南·期中）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性分析得出的大小关系． 【详解】，函数在R上单调递增， ，即，故； ，函数在上单调递增， ，即，故， ． 故选：C． 2．（2025高一上·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性及中间值法比较大小即可. 【详解】因为，函数在上是减函数， 所以， 同理，函数在上是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B. 3．（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，在定义域内求出函数的单调增、减区间，判断函数的单调性，再根据复合函数单调区间的求法求解即可. 【详解】函数的定义域为. 令，则. 因为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数在定义域内单调递减， 所以由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A 4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）若，记，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别代入求值表示，对于，结合根式以及二次函数求出取值范围，最后借助指数函数单调性比较大小. 【详解】因为，所以，， 因为， 所以， 因为，所以， 当时，在上单调递减，， 所以， 故选：A. 5．（25-26高一上·广东中山·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 则函数在上为增函数，所以，可得， 函数在上为增函数，则， 且有，解得. 综上所述，. 故选：C. 6．（24-25高一上·海南·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则或， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 易知函数在定义域上的单调递增， 故要求函数的单调递增区间， 即求在上的单调递增区间， 而在区间上单调递增，在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故函数的单调递增区间是. 故选：B 7．（25-26高一上·福建厦门·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数，根据复合函数的单调性的判定方法，以及指数函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】设函数， 则函数是由二次函数与指数函数复合而成的. 函数单调递增，要使函数在区间上单调递增， 则二次函数在区间上单调递增， 又因为的图象开口向上，且其对称轴为，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 类型六、指数（型）函数的奇偶性与对称性 1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的性质，利用性质求解不等式. 【详解】依题意，函数，函数是上的奇函数， ，函数分别是上的减函数和增函数， 因此函数是上的增函数，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是准确分析出给定函数的单调性和奇偶性. 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．在上是减函数 C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】A选项，计算出，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，分离常数后求出函数值域；D选项，根据A选项得到，再得到函数的单调性，从而得到不等式，求出解集. 【详解】A选项，， 则， 故的图象关于点对称，A正确； B选项，，，，故在上不是减函数，B错误； C选项，因为，所以， 则，故的值域为，C正确； D选项，由A知，，故， 又，且， 则， 因为在R上单调递增，又，所以， 故，故在R上单调递增， 故，解得，D正确. 故选：ACD 3．（24-25高一上·浙江温州·期中）（多选题）设常数，函数，则（   ） A．函数在上单调递减 B．当时，的图像关于直线对称 C．对任意，的图像是中心对称图形 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对A，根据指数函数的单调性判断即可；对B，判断是否成立即可；对C，求解为定值判断即可；对D，根据的单调性与对称性判断即可. 【详解】对A，因为为减函数，为增函数，为增函数， 故为减函数，故A正确； 对B，当时，， ， 故的图像关于对称，故B错误； 对C，因为， 故对于任意，的图像关于对称，故C正确； 对D，由C可知， 故即， 又为减函数，故，即，故D正确. 故选：ACD 4．（23-24高一上·河北·月考）教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系：若为奇函数，则的图象关于点中心对称，易知：是奇函数，则图象的对称中心是 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质把变形成，即，再找出对称中心. 【详解】因为， ， ， 所以， 因为为奇函数，则也奇函数， 所以关于点对称， 故答案为： 5．（24-25高一上·贵州六盘水·月考）写出一个同时具有下列性质①②的非常数函数： ． ①的图象关于直线对称； ②，，且，． 【答案】 【分析】借助指数函数性质分析确定函数，再验证即可. 【详解】， ①满足； ①对，，且，， ，满足， 故答案为：（答案不唯一） 6．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，； (2). 【分析】（1）根据函数是奇函数应用计算求参，再代入验证，根据指数函数单调性判断函数单调性，再应用单调性解不等式即可； （2）根据解析式及不等式化简，得出恒成立，再结合指数函数及二次函数最值计算求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，所以， 所以， ，所以符合函数是奇函数，所以； 因为单调递增，单调递减， 所以单调递增， 因为，所以， 所以，所以，解集为：. （2），，所以， 所以， 令，所以，， 当时，， 所以，即. 7．（25-26高一上·山东·期中）已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义直接计算； （2）根据复合函数的单调性可得函数的单调性，结合函数的奇偶性可解不等式； （3）根据二次函数与函数复合，可得函数单调性与最值情况. 【详解】（1）由已知是定义域为上的偶函数， 则，即， 化简可得恒成立， 又不恒成立， 即； （2）由（1）得， 当时，设，且单调递增， 则，，则函数在上单调递增， 综上所述在上单调递增， 根据偶函数可知在上单调递减； 所以若， 则， 解得或且≠， 即不等式的解集为； （3）由， 设， 由（2）可知，在上单调递增，即当，， ， 当时，函数在处取得最小值为，解得； 当时，函数在处取得最小值为，解得，不成立； 综上所述. 8．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数（，），. (1)求c的值； (2)已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何x恒成立”，试用此结论判断函数的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若存在实数，使得对任意，都存在，使得，求实数n的最大值. 【答案】(1)1 (2)存在， (3)2 【分析】（1）根据得到； （2）假设函数的图像存在对称中心，得到，整理后得到方程组，求出，，得到对称中心； （3）变形得到，因为，所以，根据得到包含关系，得到不等式，求出. 【详解】（1）将代入，得，解得， （2）假设函数的图像存在对称中心， 则对于定义域内任何恒成立， 整理得恒成立， 所以，解得，， 故函数的对称中心为； （3）因为对任意，都存在及实数m，使得， 所以，即， 所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，所以，即的最大值为2. 1．（25-26高一上·安徽·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性判断即可. 【详解】由， 又因为在上单调递增， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以， 所以． 故选：A． 2．（24-25高一上·江苏·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求函数的定义域，然后结合指数函数、幂函数的单调性，根据复合函数单调性法则判断即可. 【详解】由解得， 所以的定义域是.又在上单调递减，在定义域上单调递增， ，的开口向下，对称轴为， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故选：D 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 4．（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案. 【详解】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 5．（24-25高一上·四川成都·期末）若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】由解析式得的零点为或，讨论、判断的范围，数形结合判断满足要求的图象. 【详解】令，可得或， 对于，若，则的零点，A满足，B不满足； 对于，若，则的零点，C、D不满足. 故选：A 6．（25-26高一上·四川广元·期中）设 满足，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分段函数的单调性以及根据单调性求参数的取值范围,，解题的关键在于由，都有，得到函数在整个定义域上单调递增，即每一段函数都单调递增，并且在分段点处左边函数的最大值不大于右边函数的最小值，进而列不等式求解. 【详解】当 因为，都有，所以在上单调递增； 所以 解得，所以 ； 故选：C 7．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依题意可得，再分和两种情况讨论，结合指数函数的值域，求出的值，从而得到. 【详解】因为函数的图象过原点，所以，即， 因为， 当时，则， 此时不可能同时满足过原点且无限接近于直线，但不与该直线相交，故舍去； 当时，则， 因为函数图象无限接近于直线，但不与该直线相交，所以， 则，所以，满足题意； 综上可得， 故选：C. 8．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求解内层函数的单调性，再讨论外层函数的单调性和定义域，即可求解参数的取值范围． 【详解】函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若要满足题意，则，得. 综上，的取值范围是． 故选：C． 9．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性，结合函数单调性的判定方法，求得为单调递增函数，再根据奇函数的定义确定其为奇函数，由不等式转化为，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得其定义域为，设，且， 则， 由指数函数为单调递增函数，所以， 又因为，，所以， 即，所以函数为单调递增函数， 另一方面，， 故也是奇函数，不等式转化为，即，解得， 故选：A. 10．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于y轴对称 D．若，且（a，b均不为0），则 【答案】AC 【分析】利用指数函数的性质可得 【详解】对A：因为的值域为，所以的值域为．故A正确； 对B：．所以不等式的解集为，故B错误； 对C：与的图象关于y轴对称的图象对应函数的解析式为，所以的图象与的图象关于y轴对称(（且）与的图象关于y轴对称）．故C正确； 对D：作出函数，的图象如图所示，由图可知，当，时，；当，时，． 故D错误. 故选：AC 11．（25-26高一上·福建莆田·期中）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】，然后结合指数函数的性质和指数运算对选项依次分析即可. 【详解】， 对于A：恒成立，函数的定义域为，故A正确； 对于B：， 所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：当x越大，越大，越大，所以越大，故为增函数，故D错误； 故选：ABC. 12．（24-25高一上·江苏无锡·期中）（多选题）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．若是奇函数，则 C．是上的减函数 D．不等式的解集 【答案】BCD 【分析】利用函数单调性的定义可判断C选项；利用函数的对称性可判断AB选项；将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的定义域为， 则， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称，A错； 对于B选项，因为函数是奇函数，即函数的图象关于原点对称， 由A选项可知，函数的图象关于点对称，则，解得，B对； 对于C选项，任取、，且，则， 则 ，所以，， 所以，函数是上的减函数，C对； 对于D选项，由，可得， 因为函数是上的减函数，则，解得， 故不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 13．（25-26高一上·吉林·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性求得正确答案. 【详解】不等式可化为， 由于函数在上单调递增， 所以， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）方程的解为 . （2）设，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】（1）根据指数幂运算求解即可； （2）根据指数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1），， 则，解得. （2），不等式， 即为，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：（1）；（2）. 15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性得到，由此求解出结果. 【详解】因为，且在上单调递增， 所以，解得， 故答案为：. 16．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用二次不等式的解法和指数函数的单调性可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，可得或， 又因为函数为上的增函数，则有或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 17．已知函数（且）的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】求得定点的坐标，进而可得的关系式，利用不等式中1的妙用可求的最小值. 【详解】函数（且）的图像恒过定点， 因为点在直线上，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 18．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数，则的图象经过定点 ；的值域为 . 【答案】 【分析】对于空1，由恒成立可得解；对于空2，由函数的值域和函数在上的值域即可求解. 【详解】因为恒成立，所以令得， 故的图象经过定点； 函数的定义域为R，所以函数的值域为， 因为在上单调递增，值域为， 所以函数的值域为. 故答案为；. 19．（25-26高一上·北京·期中）已知函数. (1)当时，求的值域; (2)若的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得到函数并用配方法化简，由的值域，得到函数的值域； （2）整理函数解析式，并令换元后利用配方法整理函数解析式，分析二次函数的对称轴的位置，得到函数的最值，然后列方程解得的值. 【详解】（1）当时，， 因为，所以，故. 值域为. （2）， 令，则， 当时，即当时，函数取最小值， ∴,即,解得，∴. 当时，函数没有最小值， ∴. 20．已知函数（为常数，），且为偶函数， (1)求a的值； (2)若方程在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程即可求实数a的值； （2）求出的表达式，结合单调性得出，则的二次函数值域即可求解. 【详解】（1）∵是偶函数， ∴， 即， 即恒成立， 则，得； （2）因为，且，， 因为单调递增， 所以，， 即 ， 设， 因为在上单调递增，所以， 故实数k的取值范围是． 21．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①利用偶函数的定义求出；②利用单调性定义确定函数在上的单调性，换元，利用二次函数最值问题求出. （2）由奇函数求出，再等价变形不等式并分离参数，换元，结合单调性求出最小值即可. 【详解】（1）①函数的定义域为，由为偶函数，得， 则，整理得，即， 而不恒为0，所以. ②由①得，令，， ，由，得，， 因此，即，函数在上单调递增， 当时，，令，， 由函数在区间上的最小值为－11， 得函数在上的最小值为－11， ①当时，在上单调递增，，解得，不满足题意； ②当时，，则， 所以． （2）由为奇函数，得，则，此时， 而，即函数是奇函数， 不等式 ，函数在上递增， 则在上递增，当时，， 不等式，由不等式在上有解， 得不等式在上有解，由（1）知在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递增，当时，，则， 所以实数的取值范围是. 22．已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，， (2)增函数，解集为 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性的定义结合可证得结论成立，将结论与已知等式构成方程组，即可解得、的解析式； （2）分析函数的单调性，结合奇函数的性质可将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可； （3）先根据函数在上的单调性，推得，再通过换元，将函数转化为，根据二次函数的性质求出其最小值，结合题意需使，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①. 则，即②，故得证. 联立①②可得，. （2）函数为上的增函数，证明如下： 任取，由 ， 因，则，且，故得， 即函数为上的增函数. 由得， 所以，即，解得或， 故所求不等式的解集为. （3）因为，易得函数在上单调递增， 当时，，故； 又因为 ， 令，即有， 而函数， 故当时，，即. 因为对于，，使得. 故需使解得. 因此，实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $