2026年中考数学备战专题练习 专题十五：四边形综合问题数学（寒假）

专题十五:四边形综合问题 一、单选题 1．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 2．如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）    A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 3．下列命题中，真命题有（    ）个 ①两个含角的等腰三角形必相似； ②已知线段，点C是AB的黄金分割点，则； ③顺次连接一个四边形各边中点得到一个菱形，则这个四边形的对角线一定垂直； ④方程没有实数解． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．在四边形中，连接与，若，且，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．18 C．15 D．12 5．若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形的两条对角线，一定是（    ） A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．相等 6．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图1，在四边形中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①当秒时， ② ③当时， ④当秒时，平分四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（  ）    A． B． C． D． 9．如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连结，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知矩形的对角线的长为10cm，顺次连接各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为 cm． 12．如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为 ． 13．顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为 ． 14．我们知道四边形具有不稳定性，容易变形（给定四边形各边的长，其形状和大小不确定）．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为，我们把的值叫做这个平行四边形的“变形系数”．如果矩形的面积为，其变形后的平行四边形的面积为，那么这个平行四边形的“变形系数”是 ． 15．如图甲，在梯形中，，，动点P从点C出发沿线段向点D运动，到达点D即停止，若E、F分别是、的中点，设，的面积为y，则y与x的函数关系的图象如图乙所示，则梯形的面积为 ． 16．如图，直线平分正方形的面积，直线分别与、交于点、，直线于，连接，若，则长的最小值为 ．    17．如图，正方形中，，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，过点P作，交于点Q． （1）当点Q是中点时，长为 ； （2）当最小时，长为 ． 18．已知两个全等的直角三角形纸片，如图（1）放置，点B、D 重合，点F在上，与交于点G．．若纸片不动，问绕点F逆时针旋转最小度时，四边形成为以为底的梯形（如图（2）），此梯形的高为 ．    三、解答题 19．图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A、点B、点C 在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求． (1)在图①中以和为边画四边形，点D在小正方形的顶点上，且此四边形有两组对角相等： (2)在图②中以和为边画四边形，点E在小正方形的顶点上，且此四边形有两组邻角相等： (3)直接写出图②中所画四边形的面积． 20．如图，正方形的边长为3，现将正方形绕点C顺时针旋转得正方形，，，，的对应点分别为，，，．      (1)如图，当正方形的对角线落在的延长线时，与相交于点，连接，则旋转角______；的周长=______； (2)当旋转角，与相交于点，，的延长线分别与的延长线相交于点，，求的值； (3)当旋转角为锐角，且两个正方形重合的面积是原正方形面积的时，直接写出旋转角α的正切值； (4)当旋转角，点P在直线上，点在射线上，点在与直线的距离为2的直线上时，若以点，，，四点为顶点的四边形是菱形，直接写出菱形的周长． 21．如图，在菱形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作于点Q，作交直线于点M，交直线于点F，设与菱形重叠部分图形的面积为s（平方单位），点P运动时间为t（秒）． (1)当点M与点B重合时，则t＝_____； (2)求整个运动过程中s的最大值； (3)以线段为边，在右侧作等边，当时，求点E运动路径的长． 22．在下列特殊四边形中，图、图、图分别为菱形、正方形和直角梯形，请按下列要求解决问题． (1)请在图中作出两条直线，使它们将菱形面积四等分； (2)请在图中作出两条直线，其中一条要经过点使它们将正方形的面积四等分； (3)在图直角梯形中，，，，，，点是的中点，试探究在边上是否存在一点，使所在直线将梯形的面积分成相等的两部分？如若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 23．【了解概念】 定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【理解运用】 （1）如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形，要求：点D在格点上； （2）如图2，在等邻边四边形，，，，，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知，，D是的中点．在矩形内或边上，是否存在点E，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 24．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十五:四边形综合问题 一、单选题 1．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查求不规则图形面积，解答本题的关键在于将不规则图形转化为规则图形面积再去求解即可． 【详解】解：剩下的铁皮的面积＝长方形的面积﹣圆的面积， 故选：A． 2．如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）    A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 【答案】B 【分析】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于或的一半，进而求四边形周长即可． 【详解】解：∵E，F，G，H，是四边形各边中点， ∴，，． 又∵，， ∴四边形的周长是． 故选：B． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据． 3．下列命题中，真命题有（    ）个 ①两个含角的等腰三角形必相似； ②已知线段，点C是AB的黄金分割点，则； ③顺次连接一个四边形各边中点得到一个菱形，则这个四边形的对角线一定垂直； ④方程没有实数解． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理．角可以是等腰三角形的顶角或底角，可判断①是假命题；由黄金分割相关概念可判断②是真命题；根据三角形中位线定理及菱形的性质可判断③是假命题；求出，可判断④是真命题；从而可得答案． 【详解】解：角可以是等腰三角形的顶角或底角， 两个含角的等腰三角形不一定相似，故①是假命题； 线段，点是的黄金分割点， ，故②是真命题； 顺次连接一个四边形各边中点得到一个菱形，则这个四边形的对角线一定相等；故③是假命题； 方程的判别式， 方程没有实数解，故④是真命题； 正确的有2个； 故选：C． 4．在四边形中，连接与，若，且，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．18 C．15 D．12 【答案】D 【分析】令与的交点为O，可得，解答即可． 【详解】令与的交点为O， 则 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，注意：求不规则图形的面积可由三角形的面积相加． 5．若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形的两条对角线，一定是（    ） A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．相等 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理得到，，，要是四边形为菱形，得出，即可得到答案． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，，F，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 当平行四边形是菱形时， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对菱形的性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键． 6．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 7．如图1，在四边形中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①当秒时， ② ③当时， ④当秒时，平分四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象分析，根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质，综合判断可得答案，解题关键是结合函数图象与几何图形的性质求解． 【详解】解：由图2可知， 动点运动过程分为三个阶段： （1）段， 函数图象为抛物线，运动图形如图所示． 此时点P在线段上、点Q在线段上运动， 为等边三角形，其边长：高 ， 由函数图象可知，当秒时，，故符合题意， （2）段，函数图象为直线，运动图形如图所示， 此时点P在线段上、点Q在线段上运动， 由函数图象可知，此阶段运动时间为， 故符合题意， 设直线的解析式为：将代入得： 解得： 故选项不符合题意， （3）段，函数图象为直线，运动图形如图所示， 此时点P、Q均在线段上运动， 设梯形高为h，则 ， 当时，则 ， ， 即平分梯形的面积，故符合题意， 综上所述，符合题意的有3个， 故选：C． 8．如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点E关于的对称点为，连接交于点P，可得，，根据勾股定理求出，可得周长，即可求解． 【详解】解：作点E关于的对称点为，连接交于点P，如图所示，    ∵E关于的对称点为， ∴，， ∵正方形的边长为2，点为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵周长， 又∵， ∴周长， ∴周长最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质． 9．如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连结，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接直线，由平移及菱形的性质可判定四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，作点关于直线的对称点，连接，当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，延长交的延长线于，过作交于，连接交于点，分别求出，，，则，在中，用勾股定理求． 【详解】解：根据平移可得，， ∵在菱形中，，， ∴，， 四边形是平行四边形， ， ， 连接直线， ，， 四边形是平行四边形， ， 作点关于直线的对称点，连接， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 延长交的延长线于，过作交于，连接交于点， ∵， ∴， ， ∵在菱形中，， ∴， ， ∴， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定及性质，锐角三角函数，确定的运动轨迹是解题的关键． 10．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取的中点，连接，作于．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，作于． ∵四边形是平行四边形，，， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， 在 中，∵， ， ， ， 则的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题 11．如图，已知矩形的对角线的长为10cm，顺次连接各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为 cm． 【答案】20 【分析】根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为8，那么就求得了各边长，让各边长相加即可． 【详解】解：∵H、G是与的中点， ∴是的中位线， ∴cm， 同理cm，根据矩形的对角线相等， 连接， 得到：cm， ∴四边形的周长为20cm． 故答案是：20． 【点睛】本题考查了中点四边形．解题时，利用了“三角形中位线等于第三边的一半”的性质． 12．如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是梯形中位线定理，掌握梯形的中位线定理是解题的关键． 根据梯形的中位线定理得：下底中位线长的2倍上底可得答案． 【详解】解：根据梯形的中位线定理得，上底． 故答案为：3． 13．顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据同意得到一条对角线是梯形得中位线，另一条是梯形的高，然后利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】根据同意可得， 一条对角线是梯形得中位线，另一条是梯形的高， ∴等腰梯形的面积（上底＋下底）高． 故答案为：． 【点睛】此题考查了梯形的中位线和梯形的面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 14．我们知道四边形具有不稳定性，容易变形（给定四边形各边的长，其形状和大小不确定）．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为，我们把的值叫做这个平行四边形的“变形系数”．如果矩形的面积为，其变形后的平行四边形的面积为，那么这个平行四边形的“变形系数”是 ． 【答案】/0.8 【分析】根据题意，如图所示（见详解），设矩形的长为，宽为，过点作于，设，构造直角三角形，可用含的式子表示斜边，直角边，由此正弦的计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，设矩形的长为，宽为，过点作于，设， ∴，， ∴，，则，， 在中，， ∴，即“变形系数”为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形，平行四边形，正弦的综合，掌握矩形的性质，平行四边形的性质，正弦的计算方法，构造直角三角形是解题的关键． 15．如图甲，在梯形中，，，动点P从点C出发沿线段向点D运动，到达点D即停止，若E、F分别是、的中点，设，的面积为y，则y与x的函数关系的图象如图乙所示，则梯形的面积为 ． 【答案】20 【分析】先证明是的中位线，从而得出，再分两种情况计算面积：当时，点P与点C重合；当时，点P与点D重合；然后求和即可． 【详解】∵E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵当时，点P与点C重合， ， ∵当时，点P与点D重合， ， ， ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象在几何图形面积问题中的应用，数形结合并分段讨论是解题的关键． 16．如图，直线平分正方形的面积，直线分别与、交于点、，直线于，连接，若，则长的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接交于，取中点，连接，作于，由正方形的性质得到是的中点，求出的长，得到，的长，由勾股定理求出的长，由三角形三边关系得到，于是即可求出长的最小值． 【详解】解：连接交于，取中点，连接，作于，    直线平分正方形的面积， 是的中点， 四边形是正方形，， ， ， ， ， 是的中点， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 可得当A，M，H三点共线时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，中心对称，三角形的三边关系，求线段长的最小值，关键是通过作辅助线，由三角形的三边关系得到. 17．如图，正方形中，，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，过点P作，交于点Q． （1）当点Q是中点时，长为 ； （2）当最小时，长为 ． 【答案】 【分析】（1）过点P作于点M，交于点N，则四边形是矩形，由正方形的性质得，则，，可证明，则，所以，再证明，得，由得，推导出，则，所以，由，得，所以，则，求得，于是得到问题的答案； （2）取的中点H，连接交于点P，交于点Q，连接，因为点E是边的中点，所以，则，所以垂直平分，则，作于点T，于点F，可证明，推导出，再证明，得，所以，可知的值最小，再证明，得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）如图，过点P作于点M，交于点N，则， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点Q是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图，取的中点H，连接交于点P，交于点Q，连接，则， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值为， 作于点T，于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于点T，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称-最短路线问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 18．已知两个全等的直角三角形纸片，如图（1）放置，点B、D 重合，点F在上，与交于点G．．若纸片不动，问绕点F逆时针旋转最小度时，四边形成为以为底的梯形（如图（2）），此梯形的高为 ．    【答案】 【分析】此题主要是考查了的直角三角形的性质．根据题意，即可发现，从而得出是等腰三角形，要使四边形成为以为底的梯形，则需，即可求得．再根据的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题图（1）可得，， ， ． ， 则是等腰三角形， 要使四边形成为以为底的梯形， 则需，则得． 如图，设与的交点是．    在直角三角形中，，， 在直角三角形中，． 则． 即此梯形的高是． 故答案为：． 三、解答题 19．图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A、点B、点C 在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求． (1)在图①中以和为边画四边形，点D在小正方形的顶点上，且此四边形有两组对角相等： (2)在图②中以和为边画四边形，点E在小正方形的顶点上，且此四边形有两组邻角相等： (3)直接写出图②中所画四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平行四边形两组对角分别相等，画四边形为平行四边形即可； （2）根据等腰梯形两组底角分别相等，画四边形为等腰梯形即可； （3）根据梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形为所求作的四边形，如图所示： （2）解：四边形为所求作的四边形，如图所示： （3）解：． 【点睛】本题主要考查了在网格中画等腰梯形和平行四边形，梯形面积的计算，解题的关键是熟练掌握平行四边形和等腰梯形的性质． 20．如图，正方形的边长为3，现将正方形绕点C顺时针旋转得正方形，，，，的对应点分别为，，，．      (1)如图，当正方形的对角线落在的延长线时，与相交于点，连接，则旋转角______；的周长=______； (2)当旋转角，与相交于点，，的延长线分别与的延长线相交于点，，求的值； (3)当旋转角为锐角，且两个正方形重合的面积是原正方形面积的时，直接写出旋转角α的正切值； (4)当旋转角，点P在直线上，点在射线上，点在与直线的距离为2的直线上时，若以点，，，四点为顶点的四边形是菱形，直接写出菱形的周长． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据旋转的性质和正方形的性质，即可求得旋转角度．先证明在一条直线上，再根据勾股定理求得长度，从而求出长度，利用角的直角三角形的边角关系求得长度，按照周长公式即可求出． （2）利用在直角三角形中角所对应的边是斜边的一半，求得，从而求得长度，再根据特殊角的直角三角形的边角关系求得，间接推出，，从而求解长度．即可求解的值． （3）根据旋转证明，从而求出这两个三角形的面积，再推出，根据正切值的定义得到，即可求出长度，从而求解旋转角α的正切值． （4）根据题意进行画图，利用菱形的性质，分类讨论即可求出菱形周长． 【详解】（1）解：正方形的对角线落在的延长线， ， ． ，， ， ， ， 在一条直线上． ， 在中，， ， ， 在中，， 的周长为：． 故答案为：；． （2）解：根据题画图，如图所示， 由旋转性质可得，， ， ， ． ， ． ， ， 在中，， ． 在中，， ． 在中，， ， ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：根据题意画图，如图所示，   的正切值为： 延长交于点，设与的交点为点，连接， 四边形是原正方形面积的， 四边形面积=． 在和中， ， ，， 在中，， 在中，， ． ， 设， ， ． ． 故答案为：． （4）解：菱形的周长为：． ①当点在线段的延长线上时，如图所示，   以点，，，四点为顶点的四边形是菱形，， ， ，， 点与直线的距离为2， ， ， 在中，． 菱形的周长为：． ②当点在线段上时，过点作交于点，如图所示：    ∵以点，，，四点为顶点的四边形是菱形，， ， ， 点与直线的距离为2， ， ， 在中，． 菱形的周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、旋转的性质以及特殊的直角三角形的边角关系．解题的关键在于是否熟练掌握特殊的直角三角形的边角关系，解题的难点在于是否能分类讨论求得菱形的长度，是否能利用正切值的概念求得边长，求得． 21．如图，在菱形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作于点Q，作交直线于点M，交直线于点F，设与菱形重叠部分图形的面积为s（平方单位），点P运动时间为t（秒）． (1)当点M与点B重合时，则t＝_____； (2)求整个运动过程中s的最大值； (3)以线段为边，在右侧作等边，当时，求点E运动路径的长． 【答案】(1)2 (2) (3)点E运动路径的长为 【分析】（1）由含30度角直角三角形性质即可得出． （2）按照t的不同取值范围分类讨论，再结合三角形的性质和面积公式即可得出． （3）连接，结合直角三角形的性质得出为定值，求出的值即可得出． 【详解】（1）解：M与B重合时，如图1， ， ， ∵， ， ； 故答案为：2． （2）①时，如图， 在中， t，， t， ∴， S的最大值为：； ②当时，如图， ，， ， ， ， ， ∴当时，S有最大值：， 综上所述，S的最大值为． （3）连接，如图3， 为等边三角形， ， 在中，， 为定值， ∴点E在直线上运动， ， ， 当时，， 当时，， ， ∴点E运动路径的长为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的性质和面积，勾股定理，三角函数等知识，准确应用分类讨论的方法是解题的关键． 22．在下列特殊四边形中，图、图、图分别为菱形、正方形和直角梯形，请按下列要求解决问题． (1)请在图中作出两条直线，使它们将菱形面积四等分； (2)请在图中作出两条直线，其中一条要经过点使它们将正方形的面积四等分； (3)在图直角梯形中，，，，，，点是的中点，试探究在边上是否存在一点，使所在直线将梯形的面积分成相等的两部分？如若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在，3 【分析】本题考查菱形，正方形，直角梯形面积分割，涉及全等三角形的判定和性质，中心对称，线段的垂直平分线的判定和性质，掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）根据菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的三角形解答即可； （2）根据正方形的中心对称性解答即可； （3）在上取一点，使，连接，，根据，可以证明≌，≌，从而确定点即为所求的点，也可利用的长直接确定的长． 【详解】（1）解：如图，作出对角线和所在的直线，直线和将菱形面积四等分； 理由如下： 菱形的两条对角线把菱形分成个全等的三角形， 直线和将菱形面积四等分； （2）如图，连接对角线，交于点，过点，作直线，分别交，于点，； 过点作，分别交，于点，， 则直线，将正方形的面积四等分； 理由如下： 由正方形性质和作图可知： ≌≌≌， ≌≌≌， ， （3）存在． 如图，在上取一点，使，则点即为所求的点． 理由如下： 连接，， ，， ， 在和中， ≌， ，， 点是的中点， ， 是的垂直平分线， ≌， ， ， 即， 即所在直线将梯形的面积分成相等的两部分， 此时． 23．【了解概念】 定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【理解运用】 （1）如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形，要求：点D在格点上； （2）如图2，在等邻边四边形，，，，，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知，，D是的中点．在矩形内或边上，是否存在点E，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，四边形的最大面积为 【分析】（1）根据“等邻边四边形”的定义画图即可； （2）如图所示，过点D作于E，连接，可证是等边三角形，得到，则，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，，，即可利用勾股定理得到； （3）如图3-1所示，当时，过点E作轴于T，可以得到当点E从点F向点Q运动的过程中，由于逐渐变大，而保持不变，即此运动过程中逐渐变大，逐渐变小，即逐渐变大，即可得到当点E运动到点Q时，最大；如图3-2所示，当时，当点E在过点E且与平行的直线上时，最大；如图3-3所示，当时，则点E在线段的垂直平分线上，可以得到当点E运动到上时，此时最大；据此求出这三种情况下的的最大值即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，四边形即为所求； ∵， ∴四边形是“等邻边四边形”； （2）如图所示，过点D作于E，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3-1所示，当时，过点E作轴于T， ∴点E在以C为圆心，4为半径的圆上运动， 设交于F，交于Q， 当点E从点F向点Q运动的过程中，由于逐渐变大，而保持不变， ∴此运动过程中逐渐变大，逐渐变小，即逐渐变大， ∵是的中点， ， ∴， ∴ ， ∵逐渐变大，逐渐变大， ∴逐渐变大， ∴当点E运动到点Q时，最大， ∴， ∴； 如图3-2所示，当时， ∴点E在以D为圆心，3为半径的圆上运动， ∵，为定值， ∴当最大时，最大， ∴当点E到的距离最大时，最大， ∴此时点E在过点E且与平行的直线上，且该直线与相切， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图3-3所示，当时，则点E在线段的垂直平分线上， ∴当点E运动到上时，此时最大， 过点D作于M，则四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则， ∴； ∵， ∴存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，四边形的最大面积为． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，切线的性质，等边三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，坐标与图形，矩形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 24．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 【答案】（1）  （2）证明见解析  （3） 【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用， 矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ． （1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论； （3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ． 【详解】解： （1）四边形是“等对角四边形“，， ， ， ， ， 根据四边形内角和定理得，； （2） 在中，为斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是“等对角四边形”； （3） 如图 3 ，过点作于，于， ，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $