2026 年九年级数学中考二轮复习专题训练十五：四边形中锐角三角函数综合问题

2025一2026学年九年级数学中考二轮复习专题训练十五：四边形中锐角三角函数综合问题 1,如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处， D F (I)求证△ABF∽△FCE (2)己知AB=8cm,BC=10cm,求tan∠EAF的值. 2.已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点. A D E E G B B 图1 图2 图3 【建立模型】 (1)如图1，连接BE,DE,求证：BE=DE; 【模型应用】 (2)如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE,EF交AB于点G. ①判断aFBG的形状并说明理由： ②若G为AB的中点，且AB=4,求AF的长. 【模型迁移】 (3)如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE,EF交AB于点G,若BE=BF,求 tan∠ADG的值 3.【课本再现】数学课本有这样一道题： D B 图1 图2 (I)如图1，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF.则 BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由， 【类比探究】 (2)如图2，在矩形ABCD中， 把-子点E在DC边上，造接EF为8C延长线上一点， 连接DF,EF,且BE的延长线垂直于DF,垂足为点H, ①器的台。 ②求sin∠EFC的值. 4.如图，四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AO=C0,B0=DO,且 ∠ABC+∠ADC=180° B C (I)求证：四边形ABCD是矩形. (2)过点B作BE⊥AC于点E,若AB=3,BC=4,则∠BOE的正弦值为 5.如图，在△AOC中，OD垂直平分AC.延长A0至点B,作∠C0B的角平分线OH,过 点C作CF⊥OH于点F. H D -B (1)求证：四边形CDOF是矩形； O连接DP,若simA=,DF=15,求4C的长。 6.如图，在正方形ABCD中，E是正方形内一点，连接ED、EC、EB, D B (I)在图中画出△EDC绕着点C逆时针旋转90°后的三角形，其中E点的对应点为F点（不 写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值. 7.在四边形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°，AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相 交于点O,线段OA、OB的中点分别为点E、F, D C G E F B (1)求证：△FOE≌△D0C; (2)求sin ZOEF的值： (3)若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H,△AEG的面积为2，求四边形ABCD 的面积. 8.如图，己知AC是矩形ABCD的对角线，DE∥AC,DE交BC延长线于E,AE交DC 于F,BF交AC于G. D B (I)求证：点G是△ABE的重心： (②)如果BG=BC=2,求∠AEB的正弦值 9.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=I2,E,F分别为BC上两个动点，连接EF,将 矩形沿EF折叠，点A,B的对应点分别为H,G. 图1 图2 (I)如图1，当点G落在DC边上时，连接BG. ①球二的值， ②若点G为DC的中点，求CF的长. ②如到2，若E为40的中点，乐分，求的能 10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD,AC,BC相交于 点E,O,F. E D B F (I)求证：四边形AFCE是菱形： (2)若AC=40,EF=30,且sinB=3 求B 11.如图1，在口ABCD中，E为BC上一点，F为AC上一点，对角线AC平分∠EAD, ∠EFC=∠CAD+LACD,连接AE,EF. D E E 图1 图2 (I)①求证：△AFEn△ADC; ②若CE=3BE=6,求AF·AC的值 求C (2)如图2，连接DF,若AB=AF,cos∠ACD=, D 的值. 12.如图，过菱形ABCD顶点A分别作边BC、CD的垂线，垂足为E、F,交对角线BD于 点M、N. B D (I)求证：BM=DN; (2)连接EN,如果EN∥AB,求cos∠ABC的值； (3)如果△ABM与五边形CFNME的面积均为1，求菱形ABCD的面积. 13.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=BC=2CD,点E为对角线AC的中点，点 F为边BC的中点，连接DE、EF. D B (I)求证：四边形CDEF为菱形； 接DF交BC于G,若DF=2,CD,求cos∠DE 14.如图，AC为矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作AC的垂线，分别交BC,AD于 E,F,连接AE,CF. A D B E (I)求证：四边形AECF为菱形； (2)若AD=6,AB=4,求c0s∠CFD的值 I5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点A作BC的垂线，垂足为点 E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF, E (1)求证：四边形AEFD是矩形； (2)连接OE,若BD=8,AC=4,求cos∠B0E. 参考答案 1.【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠C=∠D=90°， 由折叠性质得LAFE=∠D=90°， .∠AFB+∠EFC=90° 又：∠AFB+∠BAF=90°， .∠BAF=LEFC, 在△ABF和△FCE中， ∠B=∠C ∠BAF=∠EFC' .△ABF∽△FCE; (2)解：由折叠得AF=AD=BC=10cm, 在Rt△ABF中，根据勾股定理： BF=AF2-AB2=102-82=6cm .FC=BC-BF =10-6=4cm 由(1)得△ABF∽△FCE,得 AB BF FC CE' 即8、6 4CE 解得CE=3cm, 则DE=CD-CE=8-3=5cm 由折叠得EF=DE=5cm, 在RtAFE中， tan∠EAF=EF、5、1 AF102 2.【建立模型】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAE=∠DAE=45°， 又AE=AE, △BAE≌△DAE(SAS), .BE=DE 【模型应用】(2)①解：等腰三角形，理由如下： :四边形ABCD是正方形， .∠DAG=90°， .LADG+∠AGD=90°， :FB⊥BE, .∠FBE=90°， :∠ABF+∠ABE=90°， 由(1)，得△BAE≌△DAE(SAS), .∠ADG=∠ABE, .∠AGD=LABF, 又∠AGD=LBGF, .∠ABF=∠BGF, .△FBG是等腰三角形； ②解：G为AB的中点， :.AG-BG=1AB=2, 如图，过点F作FM⊥AB,垂足为M, D E G B 由①，可知∠FBG=∠BGF, :FB=FG, :BM -GM=1BG=1, 2 :AM =AG+GM=3, :∠DAG=90°=∠FMG,∠DGA=LFGM, .△ADGAFMG, :四边形ABCD是正方形， :AB=DA=4, i.FM =ID4=2, 2 AF=FM2+AM2=13; 【模型迁移】(3)解：如图，过点F作FM⊥AB,垂足为M, A下 D E G B 设AG=x,AD=y, AB=AD=y,BG=AB-AG=y-x, 由(2)可知，GF=BF, 由(1)可知，BE=DE, 又BE=BF, :BF=GF=BE DE, ∴.GF+EG=DE+EG,即EF=DG, :FB⊥BE, .∠EBF=90°， EF=VBE2+BF2=V2BF2=√2BF=√2GF=DG, 由2》可知.△4DGn:FwG,8M=GM-8G=, 2 需9 2 整理，得y=(2+x, :tan∠ADG=AG-x =√2-1 AD y (+1x 3.【详解】解：(1)BE=DF,BE⊥DF,理由如下： 延长BE交DF于M, M 四边形ABCD是正方形， B LDCF=LBCD=90°，BC=CD, 在△BCE和△DCF中， BC=DC ∠BCE=∠DCF, CE=CF ,∴△BCE≌△DCF(SAS), BE=DF,∠CBE=∠CDF, :∠CDF+∠F=90°， ∠CBE+∠F=90°， ∠BMF=90°， BE⊥DF; (2)①：BE⊥DF, :∠CBE+∠DFC=90°， 在矩形ABCD中，∠DCF=∠BCD=90°，AB=CD, .∠CBE+∠BEC=90°， :ZBEC ZDFC, △BCE∽△DCF, BC BE CD DF' :B、3 BC4B-CD, BE BC 4 DF AB-3 ②：△BCE∽△DCF, BE-BC_4 DF AB 3' CE BE BC 4 CF DE AB 3' 设CE=4a,则CF=3a, EF=CE2+CF2=5a, sin∠EFC=EC-4 EF 5 4.【详解】(1)证明：：OA=OC,OB=OD, 四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=LADC, :∠ABC+∠ADC=180°， .LABC=LADC=90°， .平行四边形ABCD是矩形： (2)解：：四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°，AC=BD, 在RIAABC中，AC=VAB2+BC2=V32+42=5, o=04=0s=00-4c-5 2 :BE⊥AC, 1 ·SABC=)ABBC=5ACBE, 2 :BE=ABBC=3×412 AC55' 12 在R1aB0E中，sin∠BOE=BE-5=24 OB525' 2 24 故答案为： 25 5.【详解】(1)证明：：0D垂直平分☑C, .0A=0C,∠0DC=90°， AD=DC, .OD平分∠AOC, :∠CoD=∠A0c, 21 0H平分∠C0B,