专题十一：平行四边形与多边形-2025-2026学年数学寒假中考备战专题练习

专题十一:平行四边形与多边形 一、单选题 1．正五边形的每一个外角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的外角，根据多边形的外角和等于360度，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：正五边形的每一个外角是； 故选D． 2．如图，是某水塘边的一块警示牌，牌面是正五边形，这个正五边形的每个内角为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出正五边形的内角和，再求每个内角的度数即可． 【详解】解：∵正五边形的内角和为， ∴正五边形的每个内角为， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式：，熟知正多边形的每个内角都相等是解答本题的关键． 3．如图，平行四边形中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和平行四边形的性质等知识，根据等边对等角求出，根据平行四边形的对边平行求出，再求和即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：， 四边形是平行四边形 只有C选项符合题意，其他的不成立． 故选：C． 5．顺次联结一个四边形各边中点，所得的四边形是矩形，那么这个四边形是（    ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质由三角形中位线定理证四边形是平行四边形，再根据平行四边形是矩形，即可得出结论． 【详解】解：如图，、、、分别为各边中点 ，，，， 四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， ， ， 故选：D． 6．如图，的顶点，点B在第二象限，将绕点O顺时针旋转得到，当点A的对应点落在x轴正半轴上时，点B的对应点恰好落在的延长线上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质得，由平行四边形的性质得，，可证，过点作于点E，由三线合一的性质求出，由勾股定理求出，进而可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得到， ∴， ∵四边形和四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 7．如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长度的一半． 延长交于，证明，则，，，可证是的中位线，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， 由题意知，，， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴是的中点，， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 故选：B． 8．如图，在平行四边形中，以点为圆心，以为半径画弧交于点，分别以点、为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、勾股定理、平行四边形的性质，根据尺规作图可知，根据平行四边形的性质可知，，，所以可知，根据，可知，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出． 【详解】解：由作图可知， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 在中，， 在中，． 故选： B． 9．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 则图中阴影部分的面积是， 故选：B． 10．在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，折叠的性质，三角形三边性质，相似三角形的判定和性质，过点作的延长线于点，交的延长线于点，则，连接，利用平行四边形的性质可得，，再结合折叠的性质可证，得到，进而得，由此可得，得到，推导出四边形为平行四边形，得到，，即可得，又由得，根据三角形三边性质得，，又证明，得，即得，当点在的延长线时，，得，即可得到，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，交的延长线于点，则，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴，， 由折叠得，，，，，， ∴，，，，， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 当点在的延长线时，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．正十边形的每个内角的度数是： ． 【答案】/114度 【分析】本题考查多边形的内角和计算．熟知多边形的内角和计算公式是正确解题的关键． 先利用多边形的内角和计算公式求出正十边形的内角和，再除以边数即可． 【详解】正十边形的内角和为：， 正十边形的每个内角的度数为： ， 故答案为：． 12．如图，在中，、相交于点，若的面积为3，则的面积为    【答案】12 【分析】可得，，由“同底等高的三角形面积相等”，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，同底等高的三角形面积相等，掌握性质和三角形等积求法是解题的关键． 13．学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的外角和以及内角与外角之间的关系，利用多边形的外角和求出一个外角的大小，然后再用度减去外角度数即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴每个外角为， ∴每个内角为， 故答案为：． 14．一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为 ． 【答案】#6 【分析】此题考查多边形的内角和与外角和问题，设这个多边形的边数为x，根据内角和公式及多边形的外角和直接列方程解答． 【详解】解：设这个多边形的边数为x， ， 解得， 故答案为：6． 15．以正六边形各边中点为顶点，可以组成一个新正六边形，则新正六边形与原正六边形的相似比为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，求出两正六边形的边长的比是解题的关键．过点A作，设原正六边形的边长为，则，根据正六边形的性质结合解直角三角形，求出新正六边形的边长，即可解答． 【详解】解：如图，过点A作，设原正六边形的边长为，则， 是等腰三角形， ， 正六边形的每个内角都为， ， ， ，， ， 新正六边形的边长为， ∴新正六边形与原正六边形的相似比为 故答案为：． 16．在平行四边形中，对角线、交于点O，若，过点A作的垂线交于点E，交于点M，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形的相关计算，证明四边形是菱形是解题的关键．由四边形是平行四边形，且，证明四边形是菱形，而于点E，交于点M，则，由，，求得，再证明，则，，，设，则，，，表示出，的长，再列式得到，求出m的值，进而得出结果． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线交于点O，且， 四边形是菱形， 于点O， 于点E，交于点M， ， ， ， ， ，， ， 设，则，，， ，， ， 解得：， ， 故答案为：． 17．如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 18．如图，学校有一块空地形状为等边三角形． 已 知 D，E 分别是的中点，测得，现在后勤部打算将四边形用篱笆围成一个四边形菜地来种青菜，则需要篱笆的长是 m． 【答案】25 【分析】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质，由等边三角形的性质得到，由三角形中位线定理得到，即可解决问题． 【详解】解：∵三角形是等边三角形， ∴， 又∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴需要篱笆的长是， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在菱形中，对角线和相交于点．    (1)实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接，再根据菱形的性质，平行四边形的判定，即可； （2）根据菱形的性质，得，；根据，，即可． 【详解】（1）如下如：即为所求， 以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接， 证明： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴．    （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是上的中线， ∴． 【点睛】本题考查菱形、平行四边形和直角三角形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，直角三角形的中线，平行四边形的判定和性质． 20．如图，，是平行四边形的对角线上的点，．请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明． 【答案】，，证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质与全等三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键．根据四边形是平行四边形得到，，之后证明出，得到，，即可证明出． 【详解】解：，，证明如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 21．已知：如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过此题可以发现：证明两条线段相等，除了通过证明全等三角形的方法，也可通过特殊四边形的性质进行证明． 要证明，可以证明它们所在的两个三角形全等，也可以通过证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等进行证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ，， 四边形是平行四边形， 22．如图，平行四边形的对角线相交于点O，直线经过点O，分别与的延长线交于点E，F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形是平行四边形，可证，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 23．在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的最小值是13 【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等得到结论； （2）证明，推出，由此证得结论； （3）过点D作，连接得到四边形是平行四边形，由此得到，利用勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明∶， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． （3）解∶如图，过点D作，连接 四边形是平行四边形， ． 又， ， ， ． ， 的最小值是13． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理并应用解决问题是解题的关键． 24．如图，在中，对角线，相交于点，，在对角线上，且 (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形(不需要证明 【答案】(1)见解析 (2)当时或当时，四边形BEDF为矩形 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、矩形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，利用可以证明和全等，从而可以得到； （2）根据（1）可知：，从而可以得到，，故四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定，即可写出添加的条件． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：当时，四边形为矩形， 理由：由（）知：，则，， 故四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形； 当时，四边形为矩形， 理由：由（）知：，则，， 故四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形． 由上可得，当时或当时，四边形为矩形． 25．如图，点E和点F分别在平行四边形的边和上，线段恰好经过的中点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质得出，，进而证明，推出，即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，解题的关键是掌握平行四边形的性质——对边平行且相等． 26．如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． (1)求证：． (2)判断的形状，并说明理由． (3)作的中点N，连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（）根据正方形的性质，利用“”证明即可； （）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，从而得出结论； （）由三角形中位线定理可求，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：如图，连接， ，，， ， ， ∵， ， 点是的中点，， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用这些性质是解此题的关键． 试卷第8页，共23页 试卷第1页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十一:平行四边形与多边形 一、单选题 1．正五边形的每一个外角是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是某水塘边的一块警示牌，牌面是正五边形，这个正五边形的每个内角为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，平行四边形中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 5．顺次联结一个四边形各边中点，所得的四边形是矩形，那么这个四边形是（    ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 6．如图，的顶点，点B在第二象限，将绕点O顺时针旋转得到，当点A的对应点落在x轴正半轴上时，点B的对应点恰好落在的延长线上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在平行四边形中，以点为圆心，以为半径画弧交于点，分别以点、为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．6 D．4 10．在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．正十边形的每个内角的度数是： ． 12．如图，在中，、相交于点，若的面积为3，则的面积为    13．学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为 °． 14．一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为 ． 15．以正六边形各边中点为顶点，可以组成一个新正六边形，则新正六边形与原正六边形的相似比为 ． 16．在平行四边形中，对角线、交于点O，若，过点A作的垂线交于点E，交于点M，，，则的长度为 ． 17．如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 18．如图，学校有一块空地形状为等边三角形． 已 知 D，E 分别是的中点，测得，现在后勤部打算将四边形用篱笆围成一个四边形菜地来种青菜，则需要篱笆的长是 m． 三、解答题 19．如图，在菱形中，对角线和相交于点．    (1)实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 20．如图，，是平行四边形的对角线上的点，．请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明． 21．已知：如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，求证： 22．如图，平行四边形的对角线相交于点O，直线经过点O，分别与的延长线交于点E，F．求证：四边形是平行四边形． 23．在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 24．如图，在中，对角线，相交于点，，在对角线上，且 (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形(不需要证明 25．如图，点E和点F分别在平行四边形的边和上，线段恰好经过的中点O．求证：． 26．如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． (1)求证：． (2)判断的形状，并说明理由． (3)作的中点N，连接，若，求的长． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $