精品解析：辽宁省铁岭市铁岭县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度（上）期中质量检测 九年级数学试卷 考试时间120分钟，试卷满分120分 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，一元二次方程就是含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，依据定义即可作出判断．解题的关键是掌握一元二次方程的三要素：整式方程；只含有一个未知数； 未知数的最高次数是． 【详解】解：A．，当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．； B．中，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．； C．是二元一次方程，故此选项不符合题意．； D．是一元二次方程，故此选项符合题意．． 故选：D． 3. 下列命题正确的是() A. 圆弧分为优弧和劣弧两类 B. 等弧所对的弦相等 C. 圆心角相等所对的弧相等 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，需注意命题的严谨性，如等弧和圆心角性质需在同圆或等圆中成立，平分弦的直径需弦非直径才垂直．根据圆的基本性质，逐一判断各命题的正确性，注意定理的适用条件． 【详解】解：∵等弧是指在同圆或等圆中长度相等的弧，根据弧、弦关系，等弧所对的弦相等，∴B正确． 对于A：圆弧包括优弧、劣弧和半圆，并非只分两类，故A错误． 对于C：圆心角相等所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中，否则不一定成立，故C错误． 对于D：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，若弦为直径，则不一定垂直，故D错误． 故选：B． 4. 下列关于二次函数的说法正确的是( ) A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 图象与轴没有交点 C. 当时，随增大而减小 D. 图象的顶点坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，包括开口方向、顶点坐标、与x轴交点及单调性．通过直接计算和性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数为，即，，， ∴开口向上，故A错误； 令，得，解得，即与x轴有两个交点，故B错误； 对称轴为，且，∴当时，y随x增大而减小，故C正确； 顶点坐标为，故D错误． 故选：C． 5. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点D作轴于点E，证明是等边三角形，即得出，，从而可求出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点D作轴于点E， ∵， ∴． 由旋转的性质可知，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 6. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由可得，再由可得出． 【详解】解：∵在中， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 7. 已知二次函数图象上的三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，解题的关键将所有点转换在对称轴的同一侧．先算出对称轴，将所有点转换在一边，结合二次函数的性质判断即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为， ∴A点关于对称轴的对称点是：， ∵， ∴在二次函数对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题． 根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可． 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较，看是否一致． 【详解】A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误； C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确； D．由直线可知，直线经过（0，1），错误． 故选：C． 【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键. 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④方程没有实数根．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即)，对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于．由二次函数的开口方向，对称轴，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可． 【详解】解：由题意得：抛物线开口向下，即， 抛物线交y轴于正半轴，即， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴，，故①正确； ，故②正确； 抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为， 抛物线与x轴的另一个交点为：， 时，，即，故③正确； 的最小值为3， 抛物线与没有交点，即方程没有实数根，故④正确； 综上分析可知，正确的有4个． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线是， 故答案为：． 12. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为________. 【答案】4s 【解析】 【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点． 【详解】解： =（t-4）2+41， ∵＜0， ∴这个二次函数图象开口向下， ∴当t=4时，升到最高点， ∴从点火升空到引爆需要的时间为4s． 故答案为：4s． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的相互转化，以及二次函数的性质，二次函数的表达式有三种形式，一般式，顶点式，交点式．要求最高（低）点，或者最大（小）值，需要先写成顶点式． 烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 14. 如图，为的直径，，点为圆上一点，点为的中点，连接，过点作交于点，过点作，垂足为点，，则的长为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出和求出的长．根据垂径定理求出，根据勾股定理求得，证，推出，即可求出答案． 【详解】点为的中点， ，， ， ， ， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，则线段的长度为______． 【答案】或或． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定，勾股定理，分当为直角顶点时，当为直角顶点时和当为直角顶点时三种情况求解即可，掌握知识点的应用及分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：当为直角顶点时，与重合，如图， 此时； 当为直角顶点时，过作于，如图， 由旋转性质可得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 解得； 当为直角顶点时，如图， 此时共线， ∴， ∴， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题：（本题共8小题，共75分、解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）使用公式法求解； （2）先化为一般形式后使用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ∵ ，， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：， 展开得：， 移项得：， 合并得：， 因式分解得：， ∴  或 ， ∴ ． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）如果是该方程的一个根，求另一个根； （2）如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】（1）另一个根为； （2）k的取值范围是且． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系、根的判别式． （1）将代入，然后解方程即可得到，再根据根与系数的关系求得另一个根； （2）根据一元二次方程的定义得，根的判别式，可求得k的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入得 ， 解方程得：， 故关于x的一元二次方程为：， 解得：， 故另一个根为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵有两个实数根， ∴， 解之得：， 故k的取值范围是且． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个小正方形的边长均为1个单位长度） （1）若和关于原点成中心对称，则点的坐标为______________； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的； （3）已知点，在轴上找一点，使点到点与点的距离相等，则点的坐标为_____________ 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，三角形的面积及勾股定理等知识， （1）利用关于原点成中心对称的性质求出的坐标即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）根据两点间距离公式求解即可． 【小问1详解】 因为和关于原点成中心对称，， 所以， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， ， ∵点到点与点的距离相等， ∴，即， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为： 19. 排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． （1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由． （2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 【答案】（1）①； ②能， 当时，则， ∴能； （2）没有， 令，则， 解得（舍），， ∵， ∴没有出界． 【解析】 【分析】（1）①由表中数据可得抛物线顶点，则设，再把表格中其它任意一组数据代入即可求出a值， ②当时，求得，再与球网高度比较即可得出答案． （2）令，求出抛物线与x轴的交点，再比较即可． 【小问1详解】 解：①由表中数据可得抛物线顶点， 设 ， 把代入得， ∴所求函数关系为， ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键． 20. 某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元． （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）4元 （2）售价为70元时，最大利润为4000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润=单件利润×销售量,列出二次函数解析式． （1）设销售单价提高x元，根据题意由总利润每件利润销量，列出方程求解即可；（2）设销售利润为M元，求得顶点式函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设T恤的销售单价提高x元，依题意得： ， 解得：或， ∵要尽可能减少库存， ∴不合题意，舍去． ∴T恤的销售单价应提高4元， 【小问2详解】 设利润为M元，由题意得： ， ， ∴当时，元， ∴销售单价：（元）， ∴当服装店将销售单价定为70元时，得到最大利润是4000元． 21. 如图1，在中，，是的直径，交于点，连接交于点． （1）求的度数； （2）如图2，当点是的中点，的半径为2时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质； （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据等腰三角形的性质可得，根据圆周角定理可得，进而求得，再根据邻补角的定义，即可求解； （2）连接根据题意证明是等边三角形，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，则 ∵ ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分 ∴ 又∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴． 22. 等腰中，，． （1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接． ①求证：． ②当，时，求的长； （2）如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，将线段以点A为旋转中心，顺时针旋转后得到等腰，当，时，求的长． 【答案】（1） ①证明：如图1中， 由旋转可知，， ，， ，， ， ， 在和中， ， ． ② （2）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、用勾股定理解三角形，旋转的性质等知识点．分类讨论的数学思想是解决本题的重要思路． （1）①利用全等三角形的判定定理即可求证； ②证，进而在中利用勾股定理即可求解； （2）分情况讨论点在线段，点在线段的延长线上，可证是直角三角形，，进而求解． 【小问1详解】 略； 解：如图1中，设，则． ，， ， ， ， ， ， 在中，∵，， ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 解：当点在线段上时，如图2中所示，连接， ∵， ∴， ， ， ， ， ，， ， ， ； 当点在线段的延长线上，如图3中所示，连接， ∵，， ∴， 同法可证是直角三角形，， ， ， ． 综上所述，的长为或． 23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为 （1）求该抛物线的解析式； （2）点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②求面积与的函数表达式，并求的最大值． 【答案】（1） （2）①；②；最大值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）对于函数，令和分别求出点A和C的坐标即可；设抛物线的函数表达式为，将点代入即可求解； （2）①设则求出长，然后根据列方程，并解方程即可； ②根据，计算即可得到解析式，然后配方找最值即可． 【小问1详解】 解：对于函数，当时，； 当时，，解得， ∴直线与轴，轴的交点坐标分别为， ∵抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入, 得: 解得 ∴所求抛物线的函数表达式为, 即； 【小问2详解】 ①设则 ∴，， 当时，， 解得：或（与A重合，舍去）， 当时，， 故； 故答案为： ②， ， ∴当时, 有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度（上）期中质量检测 九年级数学试卷 考试时间120分钟，试卷满分120分 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是() A. 圆弧分为优弧和劣弧两类 B. 等弧所对的弦相等 C. 圆心角相等所对的弧相等 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 4. 下列关于二次函数的说法正确的是( ) A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 图象与轴没有交点 C. 当时，随增大而减小 D. 图象的顶点坐标是 5. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数图象上的三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④方程没有实数根．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线是____________________． 12. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 13. 烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为________. 14. 如图，为的直径，，点为圆上一点，点为的中点，连接，过点作交于点，过点作，垂足为点，，则的长为_____________ 15. 如图，正方形的边长为，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，则线段的长度为______． 三、解答题：（本题共8小题，共75分、解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）如果是该方程的一个根，求另一个根； （2）如果方程有两个实数根，求的取值范围． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个小正方形的边长均为1个单位长度） （1）若和关于原点成中心对称，则点的坐标为______________； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的； （3）已知点，在轴上找一点，使点到点与点的距离相等，则点的坐标为_____________ 19. 排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． （1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由． （2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 20. 某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元． （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 21. 如图1，在中，，是的直径，交于点，连接交于点． （1）求的度数； （2）如图2，当点是的中点，的半径为2时，求的长． 22. 等腰中，，． （1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接． ①求证：． ②当，时，求的长； （2）如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，将线段以点A为旋转中心，顺时针旋转后得到等腰，当，时，求的长． 23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为 （1）求该抛物线的解析式； （2）点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②求面积与的函数表达式，并求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $