精品解析：福建省福州市连江县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期九年级期中适应性测试 数学试卷 （全卷共8分，满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列标志的平面图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、绕某一点旋转180度后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转180度后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转180度后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转180度后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选A． 3. 已知的半径为，点在外，的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，由点在外，的半径为，则有，故选项中符合题意，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点在外，的半径为， ∴， 选项中符合题意， 故选：． 4. 下列抛物线中，对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数对称轴的求法，熟记公式或顶点式是解题关键． 二次函数的对称轴可通过公式或顶点式 中的直接得出，逐项判断即可． 【详解】解：A．，其中 ，对称轴为直线，不合题意； B．，为顶点式，对称轴为直线，符合题意； C．，对称轴为直线，不合题意； D．，对称轴为直线，不合题意； 故选：B． 5. 如图，四边形中，，，连接，将绕点旋转得到，且，分别为点，的对应点．若点，，在同一条直线上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理等．根据题意可知，再利用等边对等角即可得到本题答案． 【详解】解：∵将绕点旋转得到，， ∴，， ∴， 故选：B． 6. 已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表所示．若是方程的一个实数根，且，则下列四个数中，与最接近的是（ ） … 1.2 1.3 1.4 1.5 … … 0.16 0.75 … A. 1.18 B. 1.28 C. 1.38 D. 1.48 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的函数值估算一元二次方程的解；由表格数据可知，当时，；当时，，因此方程根m在1.3和1.4之间，然后对照选项判断即可. 【详解】解：∵时，；时，， ∴方程根m在1.3和1.4之间， 即 ∴只有C项符合题意. 故选：C. 7. 我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出的圆心，再证明点也在上，在用反证法证明时，假设结论“点在上”不成立，那么点与圆的位置关系是（ ） A. 点只能在内 B. 点只能在外 C. 点在圆心或在外 D. 点在内或外 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反证法，点与圆的位置关系．点D不在圆上时，其位置只能在圆内或圆外，因为圆内包括圆心（距离小于半径），圆外距离大于半径，而圆上距离等于半径． 【详解】解：∵ 假设点D不在上， ∴ 点D到圆心O的距离不等于半径， 即点D在内（距离小于半径，包括与圆心重合）或点D在外（距离大于半径）． ∴ 点D与的位置关系是点D在内或外． 故选：D． 8. 在锐角三角形中，．若甲，乙，丙三位同学分别用尺规作该三角形的高，作法如下图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲对 B. 只有乙和丙对 C. 只有甲和丙对 D. 甲，乙，丙都对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，尺规作图，三角形高的定义，熟练掌握尺规作图是解题的关键．根据垂直平分线的性质及三角形内角和定理、三角形高的定义进行判断甲的作法；根据直径所对的圆周角是直角判断乙的作法；根据作一个角等于已知角得出，然后根据三角形内角和定理、三角形高的定义进行判断丙的作法． 【详解】解：甲的作法： 由作图痕迹可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 即是上的高， 故正确； 乙的作法： 由作图痕迹可知是的垂直平分线， 为圆的直径， ， 即是上的高， 故正确； 丙的作法： 由作图痕迹可知， ， ， ， 即是上的高， 故正确； 故选：D． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数及一次函数的图象的性质． 先由抛物线开口向上确定B、D错误，再根据函数图象判断一次函数的a与二次函数的a的符号是否一致即可． 【详解】解：由可得抛物线开口向上，故B、D错误，不符合题意； A、直线中，由抛物线与y轴负半轴相交可得，则，故正确，符合题意； C、直线中，由抛物线与y轴负半轴相交可得，则，矛盾，故不正确，不符合题意； 故选：A． 10. 已知实数，满足，，且，则的值是（ ） A. 4 B. 12 C. 0 D. 4或12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过求解两个二次方程得到p和q的可能值，排除的组合后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或； ∵， ∴， ∴或； 又∵， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 若，则， 若，则， ∴． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 将抛物线向上平移个单位长度得到一条新的抛物线，平移后的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线向上平移个单位长度，根据“上加下减”规律可得抛物线平移后是， 故答案为：． 13. 如图，四边形是的内接正方形，点P是劣弧上任意一点（与点B不重合），则的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．连接，，根据四边形是正方形可知，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，中，，，．将绕点旋转得到，其中，分别为，的对应点，若旋转后点落在边上，连接，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键．由勾股定理得，由旋转得，，，，则，，则可得． 【详解】解：，，， ． 由旋转得，，，， ，， ． 故答案为：． 15. 电影《南京照相馆》讲述了南京大屠杀期间，一群普通百姓在照相馆避难时意外发现日军暴行罪证，并冒险保存和传递底片以揭露历史真相的动人故事，年月日首映，一上映就获得全国人民的追捧．据某平台统计，该电影上映后，第一天的票房收入约亿元，到了第三天，累计票房收入达亿元，求开始上映到第三天票房的日平均增长率．若设票房的日平均增长率，则符合题意的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设票房的日平均增长率，根据题意列出方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设票房的日平均增长率， 根据题意得，， 故答案为：． 16. 如图，在半圆中，直径长为12，，是半圆上的两点，将沿弦翻折，若翻折后的所在的圆与所在的直线相切，则弦长的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，垂径定理，切线的性质，勾股定理，熟练掌握定理和公式是解题的关键．先分别找出弦最短和最长时的位置，再分类讨论求解即可． 【详解】解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为， 根据题意，当点与点重合，点是的中点时，切点为，此时取得最小值，如图， 根据折叠的性质，，， 四边形是正方形， ； 当，且恰好经过的中点时，取得最大值， 根据折叠性质，垂径定理，得 ， ， ， 故弦长的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程:x(2x+1)=4x+2 【答案】x1=2,x2=- 【解析】 【分析】方程整理后, 利用因式分解法求出解即可. 【详解】x(2x+1)=2(2x+1) 即(x-2)(2x+1)=0 ∴x-2=0或2x+1=0 ∴x1=2,x2=-， 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的因式分解法. 18. 已知关于x的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根． 【答案】证明：由题意可知， ∵， ∴方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程无实数根是解本题的关键． 19. 连江丹阳贝里溪蟹谷景区有一排圆形拱门，其底端恰好与水平地面相切，如图1所示．小明同学只用了一把1米长的直尺，用如图2所示的测量示意图测量并计算出圆形拱门的直径，他具体的测量方式是：先将直尺水平放在圆形拱门内，取直尺的中点，定位后测量点到圆的最低点的距离为米，根据圆的相关性质可知圆心，中点，最低点在同一条直线上．请结合以上信息与示意图，求出圆形拱门的直径． 【答案】圆形拱门的直径为 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，是解题的关键．连接，设为，则，，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，解方程即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 设为，则， 由，得， 为的中点，， ， 为半径，为弦的中点， ， 在中，根据勾股定理得：， 则， 解得：， ． 答：圆形拱门的直径为． 20. 如图，在的正方形网格中，，，均为格点（即每个小正方形的顶点）．将绕一点旋转得到，其中，分别为，的对应点，且，也为格点． （1）请在网格中标出旋转中心，并补全； （2）在（1）的条件下，连接，，，，求证：． 【答案】（1） 如图所示，旋转中心和即为所求・ （2） 证明：如图， 绕点顺时针旋转得到， ，，， ， 在和中， ， ， 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，再根据旋转的性质作图即可． （2）结合题意证明△△，则可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知二次函数． （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画该二次函数的图像； … 0 1 2 3 4 … … 3 0 … （2）根据图象回答： ①方程的两个解是________，________； ②当时，函数值的取值范围是________． 【答案】（1）0；3 函数图象如图， ； （2）①1，3；② 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． （1）先利用对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线，则利用对称性得到和对应的函数值，然后通过描点法画出函数图象； （2）①方程的两个解就是使函数为0所对应的自变量的值，即抛物线与轴的交点的横坐标为方程的解； ②先确定和所对应的函数值，时有最小值，然后利用增减性求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 和对应的函数值相等，即，； 和对应的函数值相等，即时，； 补全表格，如下； … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 【小问2详解】解：①当和时，， 方程的两个解为，； 故答案为：1，3； ②时，， 当时，有最小值， 当时，， 当时，函数值的取值范围是． 故答案为：． 22. 如图1，三角形内接于，点在上，且，连接，，为延长线上一点，且． （1）求证：； （2）如图2，当直线与相切时．求证：． 【答案】（1） 证明： 点在上，且， ， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ； （2）证明：连接DO并延长交⊙O于点F，交AC于点Q，连接AF， ， ， 直线与相切， ， ． ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】（1）先证，推出，再由圆内接四边形对角互补可得，结合即可证明； （2）连接并延长交于点，交于点，连接，由直线与相切，可得，由为直径，可得，进而可得，再证，推出，，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质等，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 23. 阅读下列材料，并完成相应任务： 项目主题 喷泉步行通道的设计布局与调整 素材1 某公园计划建造一条配有喷泉的步行通道，图1是设计的俯视示意图：通道左侧布置了一排垂直于路面的柱形喷水装置，右侧为长方形水池．设计要求水流从喷口斜向上射入水池，且落水点必须位于水池之内．若不考虑空气阻力，水流的运动轨迹可视为抛物线的一部分．图2展示了水流喷射轨迹的主视示意图． 素材2 相关建筑数据测量与喷泉水流设计数据如下： 描述 数值 喷口离地面的高度 2米 水池边缘的池壁高度， 0.8米 水池的宽度 1.5米 水流达到的最高点的高度 3.6米 水流达到的最高点与喷口的水平距离 2米 步道宽度 米 任务一：建立函数模型 （1）以喷口在水平地面上的垂直投影点为原点，以水平方向为轴，竖直方向为轴，建立坐标系．请求出此次设计中，水流高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式． 任务二：优化设计位置 （2）为避免水流溅射到行人，要求水流在步行通道正上方的任意位置与地面的距离均不小于2米，且水流必须落在水池内．在只调整的大小，但不改变喷口高度与抛物线形状的前提下，确定的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由顶点，则可设抛物线的顶点式为，结合抛物线过，求出从而可以得解； （2）利用抛物线的对称性质得点关于直线对称的点的坐标为，由水柱在步行通道正上方的任意位置与地面的距离均不小于2米得，又令，故，求出，从而可以计算得解． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过， ， 解得：， 所以水柱高度与水平距离之间的函数关系式为； （2）抛物线的对称轴为直线， 点关于直线对称的点的坐标为， 水柱在步行通道正上方的任意位置与地面的距离均不小于2米即， ， 又落水点必须位于水池之内，水池池壁高度米， 令，即， 解得，（舍去）， ， ， ， 即步道宽度的范围为． 24. 在平面直角坐标系中，为第一象限内一点，为轴正半轴上一点，，且的最小值为．将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）求点的坐标； （2）已知轴上存在一定点，满足不论点在轴正半轴的何处，都有的大小不变． ①求的大小； ②在数学活动课上，我们探究了圆的内接四边形对角互补的逆命题是真命题，基于这一活动结论，解决下列问题．若，且的三边长均为整数，求点与外心间的距离． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离的性质得到轴，设，则，利用勾股定理求得，则点的坐标可得； （2）①利用点的坐标的特征求得，利用等边三角形的判定与性质得到，，再利用全等三角形的判定与性质解答即可； ②过点作于点，利用勾股定理表示出，利用整数的特征求得，利用等边三角形的判定与性质得到，利用对角互补的四边形内接于圆，得到点、、、在同一个圆上，即△外心与四边形的外接圆的圆心重合，设外心为，连接并延长交于点，连接，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【小问1详解】 解：为第一象限内一点，为轴正半轴上一点， 轴时，的值最小，如图， 由题意：，， ， ， 设，则， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①由（1）知：， ， ， ， 连接，如图， ，， △为等边三角形， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ； ②过点作于点，如图， ， ，， 设，则， ， ，且的三边长均为整数， ，为正整数， 当或5时，，符合题意， ， ， △为等边三角形， ， 由（2）①知：，， ， ， 对角互补的四边形内接于圆， 点、、、在同一个圆上，即外心与四边形的外接圆的圆心重合， 设外心为，连接并延长交于点，连接，， 则，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ． 四边形的外接圆的半径为， 点与△外心间的距离为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质勾股定理，圆的有关性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 25. 已知抛物线的顶点在轴上，且过点． （1）求的值； （2）若，，为抛物线上两点（点在点左侧）． ①求证：； ②若直线与轴夹角为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） ①证明：，， ， ， ， ，为抛物线上的两点， ，， ， ， ， 点在点的左侧， ，即， ， 即； ② 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入可得，根据题意可得，两式联立可得； （2）①根据题意可得，即，再利用作差法求解即可； ②过点作轴的平行线与过点作轴的平行线相交于点，则，易得，再分别表示出和，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：点在抛物线上， 将点代入，得：， ， ， ，即①， ， ， 抛物线顶点在轴上， ，即②， 由①②得，， 解得或（舍去）， ； 【小问2详解】 解：①略 ②如图，过点作轴的平行线与过点作轴的平行线相交于点，则， 直线与轴夹角为， ， ， ． 解得， 又点在点的左侧，， ， ， ， ， ，即， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式、二次函数点的坐标特征、因式分解、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级期中适应性测试 数学试卷 （全卷共8分，满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列标志的平面图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为，点在外，的长可以是（ ） A. B. C. D. 4. 下列抛物线中，对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形中，，，连接，将绕点旋转得到，且，分别为点，的对应点．若点，，在同一条直线上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表所示．若是方程的一个实数根，且，则下列四个数中，与最接近的是（ ） … 1.2 1.3 1.4 1.5 … … 0.16 0.75 … A. 1.18 B. 1.28 C. 1.38 D. 1.48 7. 我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出的圆心，再证明点也在上，在用反证法证明时，假设结论“点在上”不成立，那么点与圆的位置关系是（ ） A. 点只能在内 B. 点只能在外 C. 点在圆心或在外 D. 点在内或外 8. 在锐角三角形中，．若甲，乙，丙三位同学分别用尺规作该三角形的高，作法如下图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲对 B. 只有乙和丙对 C. 只有甲和丙对 D. 甲，乙，丙都对 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数，满足，，且，则的值是（ ） A. 4 B. 12 C. 0 D. 4或12 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 12. 将抛物线向上平移个单位长度得到一条新的抛物线，平移后的抛物线解析式为______． 13. 如图，四边形是的内接正方形，点P是劣弧上任意一点（与点B不重合），则的度数为________． 14. 如图，中，，，．将绕点旋转得到，其中，分别为，的对应点，若旋转后点落在边上，连接，则的长是________． 15. 电影《南京照相馆》讲述了南京大屠杀期间，一群普通百姓在照相馆避难时意外发现日军暴行罪证，并冒险保存和传递底片以揭露历史真相的动人故事，年月日首映，一上映就获得全国人民的追捧．据某平台统计，该电影上映后，第一天的票房收入约亿元，到了第三天，累计票房收入达亿元，求开始上映到第三天票房的日平均增长率．若设票房的日平均增长率，则符合题意的方程是________． 16. 如图，在半圆中，直径长为12，，是半圆上的两点，将沿弦翻折，若翻折后的所在的圆与所在的直线相切，则弦长的取值范围是________． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程:x(2x+1)=4x+2 18. 已知关于x的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根． 19. 连江丹阳贝里溪蟹谷景区有一排圆形拱门，其底端恰好与水平地面相切，如图1所示．小明同学只用了一把1米长的直尺，用如图2所示的测量示意图测量并计算出圆形拱门的直径，他具体的测量方式是：先将直尺水平放在圆形拱门内，取直尺的中点，定位后测量点到圆的最低点的距离为米，根据圆的相关性质可知圆心，中点，最低点在同一条直线上．请结合以上信息与示意图，求出圆形拱门的直径． 20. 如图，在的正方形网格中，，，均为格点（即每个小正方形的顶点）．将绕一点旋转得到，其中，分别为，的对应点，且，也为格点． （1）请在网格中标出旋转中心，并补全； （2）在（1）的条件下，连接，，，，求证：． 21. 已知二次函数． （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画该二次函数的图像； … 0 1 2 3 4 … … 3 0 … （2）根据图象回答： ①方程的两个解是________，________； ②当时，函数值的取值范围是________． 22. 如图1，三角形内接于，点在上，且，连接，，为延长线上一点，且． （1）求证：； （2）如图2，当直线与相切时．求证：． 23. 阅读下列材料，并完成相应任务： 项目主题 喷泉步行通道的设计布局与调整 素材1 某公园计划建造一条配有喷泉的步行通道，图1是设计的俯视示意图：通道左侧布置了一排垂直于路面的柱形喷水装置，右侧为长方形水池．设计要求水流从喷口斜向上射入水池，且落水点必须位于水池之内．若不考虑空气阻力，水流的运动轨迹可视为抛物线的一部分．图2展示了水流喷射轨迹的主视示意图． 素材2 相关建筑数据测量与喷泉水流设计数据如下： 描述 数值 喷口离地面的高度 2米 水池边缘的池壁高度， 0.8米 水池的宽度 1.5米 水流达到的最高点的高度 3.6米 水流达到的最高点与喷口的水平距离 2米 步道宽度 米 任务一：建立函数模型 （1）以喷口在水平地面上的垂直投影点为原点，以水平方向为轴，竖直方向为轴，建立坐标系．请求出此次设计中，水流高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式． 任务二：优化设计位置 （2）为避免水流溅射到行人，要求水流在步行通道正上方的任意位置与地面的距离均不小于2米，且水流必须落在水池内．在只调整的大小，但不改变喷口高度与抛物线形状的前提下，确定的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，为第一象限内一点，为轴正半轴上一点，，且的最小值为．将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）求点的坐标； （2）已知轴上存在一定点，满足不论点在轴正半轴的何处，都有的大小不变． ①求的大小； ②在数学活动课上，我们探究了圆的内接四边形对角互补的逆命题是真命题，基于这一活动结论，解决下列问题．若，且的三边长均为整数，求点与外心间的距离． 25. 已知抛物线的顶点在轴上，且过点． （1）求的值； （2）若，，为抛物线上两点（点在点左侧）． ①求证：； ②若直线与轴夹角为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $