12.2.1 分式的乘法 课件-2025-2026学年 冀教版数学八年级上册

冀教（2024）版数学8年级上册 第十二章 分式和分式方程 12.2.1 分式的乘法 1.理解分式的乘法法则，体会分式乘法法则的合理性. 2.会用分式的乘法法则进行运算. 3.在探究分式的乘法法则的过程中，进一步体会类比和转化的思想方法. # 幻灯片分页内容：12.2.1 分式的乘法 ## 第1页：导入——衔接旧知，引入新知 - 回顾旧知：先给出分数乘法示例$\frac{2}{3}×\frac{5}{4}$，按照“分子相乘作分子，分母相乘作分母”计算得$\frac{10}{12}$，再约分为$\frac{5}{6}$，回顾分数乘法核心是分子分母分别相乘后化简。再复习分式约分知识，强调因式分解是分式化简的关键。 - 情境迁移：抛出分式乘法问题$\frac{2a}{3b}×\frac{5b}{4a}$，提问：分式乘法能否沿用分数乘法的思路？计算后如何化简？ - 引出主题：本节课学习“分式的乘法”，核心是掌握分式乘法法则，能处理单项式、多项式型分式的乘法运算，且将结果化为最简形式，为分式混合运算打基础。 ## 第2页：核心法则——分式乘法的规则 ### 1. 基本法则 - 文字表述：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 - 符号表示：对于整式$A$、$B$、$C$、$D$（其中$B≠0$，$D≠0$），$\frac{A}{B}×\frac{C}{D}=\frac{A×C}{B×D}$。 ### 2. 特殊情况——分式与整式相乘 - 规则：整式可看作分母为1的分式，再按分式乘法法则计算。 - 示例：$3x×\frac{2}{x - 1}$，可转化为$\frac{3x}{1}×\frac{2}{x - 1}=\frac{6x}{x - 1}$。 ### 3. 核心原则 计算结果必须化为最简分式或整式，这是分式运算的统一要求。 ## 第3页：基础题型1——分子分母为单项式的乘法 ### 运算步骤 1. 按乘法法则，将分子、分母分别相乘； 2. 找出分子分母的公因式； 3. 约去公因式，得到最简结果。 ### 例题解析 - 例题1：计算$\frac{3a^2}{4b}×\frac{8b^2}{9a}$ 解：第一步，分子分母分别相乘，得$\frac{3a^2×8b^2}{4b×9a}$； 第二步，确定公因式：系数最大公约数是12，相同字母取最低次幂$a$、$b$，公因式为$12ab$； 第三步，约去公因式，$\frac{24a^2b^2}{36ab}=\frac{2ab}{3}$。 - 例题2：计算$(-\frac{2x^3}{y^2})×\frac{3y}{4x}$ 解：先处理符号，负号保留，再计算乘法$\frac{-2x^3×3y}{y^2×4x}$；约去公因式$2xy$，得$-\frac{3x^2}{2y}$。 ## 第4页：进阶题型2——含多项式的分式乘法 ### 运算步骤 1. 对分子、分母中的多项式进行因式分解（常用平方差、完全平方公式、提取公因式等）； 2. 按法则写出分子积与分母积的形式； 3. 约去分子分母中的公因式； 4. 整理得到最简结果，并标注使原分式有意义的字母取值。 ### 例题解析 - 例题3：计算$\frac{x^2 - 4}{x + 1}×\frac{x + 1}{x + 2}$ 解：第一步，因式分解，分子$x^2 - 4$用平方差公式分解为$(x + 2)(x - 2)$； 第二步，代入后得$\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 1}×\frac{x + 1}{x + 2}$； 第三步，约去公因式$(x + 2)$和$(x + 1)$，结果为$x - 2$，注明$x≠ -1$且$x≠ -2$。 - 例题4：计算$\frac{(x - 3)^2}{2x}×\frac{4x^2}{x^2 - 6x + 9}$ 解：分母$x^2 - 6x + 9$用完全平方公式分解为$(x - 3)^2$；代入式子得$\frac{(x - 3)^2}{2x}×\frac{4x^2}{(x - 3)^2}$；约去公因式$(x - 3)^2$和$2x$，结果为$2x$，注明$x≠0$且$x≠3$。 ## 第5页：拓展题型——分式乘法与乘方的混合运算 ### 运算顺序 先算分式的乘方，再算分式的乘法，分式乘方规则为$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（$n$为正整数）。 ### 例题解析 - 例题5：计算$(\frac{2a}{b^2})^2×\frac{b^3}{4a^2}$ 解：第一步，先算乘方，$\frac{(2a)^2}{(b^2)^2}=\frac{4a^2}{b^4}$； 第二步，再算乘法$\frac{4a^2}{b^4}×\frac{b^3}{4a^2}$； 第三步，约去公因式$4a^2b^3$，结果为$\frac{1}{b}$，注明$a≠0$且$b≠0$。 - 例题6：计算$(-\frac{x}{y})^3×\frac{y^2}{x^2}$ 解：第一步，乘方运算（负数的奇次幂为负），得$-\frac{x^3}{y^3}$； 第二步，计算乘法$-\frac{x^3}{y^3}×\frac{y^2}{x^2}$； 第三步，约去公因式$x^2y^2$，结果为$-\frac{x}{y}$。 ## 第6页：高频易错点辨析——避坑指南 1. **符号处理失误** - 错误：计算$(-\frac{a}{2b})×\frac{3b}{a}$时，漏写负号得$\frac{3}{2}$； - 正确：保留负号，约去公因式$ab$，结果为$-\frac{3}{2}$。 2. **多项式未因式分解直接约分** - 错误：$\frac{x + 2}{x^2 + 2x}×\frac{x}{x - 1}$直接约分； - 正确：先将分母$x^2 + 2x$分解为$x(x + 2)$，再约去公因式$x(x + 2)$，得$\frac{1}{x - 1}$。 3. **忽略原分式有意义的条件** - 错误：计算$\frac{x^2 - 1}{x - 1}×\frac{1}{x + 1}$后，未标注取值限制； - 正确：结果虽为1，但需注明$x≠1$且$x≠ -1$，因原分式中这两个值会使分母为0。 4. **乘方时漏算分子或分母的项** - 错误：$(\frac{2x}{3y})^2$误算为$\frac{2x^2}{3y^2}$； - 正确：分子分母分别乘方，得$\frac{4x^2}{9y^2}$。 ## 第7页：分层课堂练习——巩固提升 1. **基础题**：计算$\frac{2ab}{5c}×\frac{10c^2}{3a^2b}$（答案：$\frac{4c}{3a}$） 2. **提高题**：计算$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}×\frac{x + 1}{x}$（答案：$\frac{x - 1}{x}$，$x≠±1$且$x≠0$） 3. **拓展题**：计算$(\frac{-3m^2n}{2p})^2×\frac{4p}{9mn^2}$（答案：$m$，$m≠0$，$n≠0$，$p≠0$） ## 第8页：课堂小结 - 核心法则：分式乘法遵循“分子乘分子，分母乘分母”，与整式相乘时将整式看作分母为1的分式。 - 关键步骤：遇多项式先因式分解，遇乘方先算乘方，计算后必化为最简形式。 - 易错提醒：重视符号运算，牢记分式有意义的前提，避免因步骤疏漏导致错误。 - 总结：分式乘法的核心是“转化”与“化简”，通过因式分解将复杂分式转化为可约分的形式，再逐步化简，这一思路也适用于后续分式混合运算。 学习目标 思考：　约分：把分式中分子和分母的公因式约去。 最简分式：分子和分母没有公因式的分式。 分数的乘法运算： 情景导入 既然可以用字母表示数，那么我们就可以用类比分数计算的方法来进行分式的计算。 学生活动一 【观察与思考】 探究新知 分式的乘法法则：分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 · = 探究新知 【例1】　计算下列各式： （1）·；（2） ·. 探究新知 【例2】计算下列各式： 学生活动二 【做一做】 （1）·；（2） ·. 探究新知 总结： 分式与分式相乘，如果分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式化为最简分式或整式；如果分子、分母都是多项式，则应先分解因式，看能否先约分，然后相乘． 探究新知 计算下列各式： （1）﹣3xy2· ； （2） ·. 巩固练习 1．计算： · 解： · = . 当堂训练 2．计算：（ ）2 · 解：原式= （ ）2 × = × = = . 当堂训练 1. 母题教材P8例1 下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 2. 计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 3. 若分式“”可以进行约分化简，则“ ”中不可以是 ( ) B A. 1 B. 2 C. 4 D. 返回 考试考法 12 4.［2025石家庄新华区月考］若 ，则代数式 的值是 ___. 4 【点拨】原式 . ， 原式 . 返回 考试考法 13 5.一艘船顺流航行用了 ，如果逆流航速是顺流航速 的，那么这艘船逆流航行走的路程是____ . 返回 考试考法 14 6.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . 考试考法 15 （3） . 原式 . 返回 考试考法 16 7. 下列各式中：； ； ； ，相等的两个式子是( ) B A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【点拨】； ； ； .相等的式子是①③.故选B. 返回 考试考法 17 8. 对于实数， ，定义一种运算： ,则 __. 【点拨】 . 返回 考试考法 18 9.已知，是有理数，且，求 . 【解】设 ， ，整理得 . 解得 . 返回 考试考法 19 本节课我们主要学习了哪些内容？与同学交流你的想法。 分式的乘法法则： 分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子， 分母的积作为积的分母。 课堂小结 分式乘法的一般步骤： 1.分式的乘法法则 2.将分子和分母因式分解 3.确定公因式并约分 4.整理得到最简分式 课堂小结 谢谢观看！ $