第2章二次函数 单元达标测试题 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．抛物线，，共有的特征是（   ） A．开口向上 B．随的增大而减小 C．都有最低点 D．对称轴是轴 2．下列关于二次函数的性质说法正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．当时，函数y的值最小，最小值为 D．当时，y随x的增大而增大 3．二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 则抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 6．内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至7月31日在赤峰市举办．在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（   ） A． B． C． D． 7．如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；…如此进行下去，则的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，有下列结论①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（满分24分） 9．若是关于x的二次函数，则m的值为 ． 10．在抛物线中，开口最大的是 ． 11．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 12．已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为 ． 13．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行 m才能停下来． 14．二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次方程的解是 ． 15．一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 16．如图，函数的图象是由函数的图象x轴上方部分保持不变，下方部分沿x轴向上翻折而成． ①直线与该图象有 个交点； ②若图象与直线有四个交点，则m的取值范围是 三、解答题（满分72分） 17．抛物线的最低点为，且与y轴交于点问点在此抛物线上吗？请通过计算说明． 18．已知关于的二次函数（，为常数）， (1)若函数图象对称轴为直线，求的值． (2)若该函数解析式可以写成，求证：． (3)设，，在（2）的条件下，当时，函数的最大值与最小值差为10，求的最大值． 19．已知二次函数的图象如图所示． (1) ________， ________； (2)方程的两个根为_____； (3)观察图象，当时，的取值范围为_____． (4)将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点． 20．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 21．材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 22．小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点，使的值最小，并求出点的坐标． (3)在平面直角坐标系中，是否存在一点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过分析三条抛物线的对称轴，开口方向和增减性，判断共有的特征即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由得，开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，对称轴为轴， 由得，开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，对称轴为轴， 由知，开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，对称轴为轴， ∴抛物线，，共有的特征是对称轴是轴， 故选：． 2．C 【分析】本题考查二次函数的性质，由顶点式可直接得出开口方向、对称轴、最值和增减性，无需复杂计算．根据二次函数的顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、最值和增减性即可． 【详解】解：∵二次函数是顶点式，其中，，， ∵， ∴图象开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 当时，取最小值，最小值为，故C正确； ∵， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过代入点A和点B的坐标，可求出a和b的关系及具体值，再代入点C的坐标，得到m与c的关系，从而比较大小． 【详解】解：∵ 图象经过点， ∴ 代入得 ， ∴， ∵ 图象经过点， ∴ 代入得， ∴． 将代入，得， 解得，故B错误； ∴，故C、D错误； ∴ ∵ 图象经过点即， ∴， ∴，故A正确； 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，根据对称性可求出对称轴为直线，再结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值为， ∴顶点坐标为， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查抛物线的对称性，利用图象求不等式的解集，根据对称性求出函数与轴的另一个交点坐标，结合图象确定解集即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知，当时，图象在轴的上方，即， ∴当时，x的取值范围是； 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系，求出经过A、B、三点的抛物线解析式，再求出该抛物线的顶点纵坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系， 由题意得，，，， 设经过A、B、三点的抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴经过A、B、三点的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题目中的函数解析式可以得到的顶点坐标和的坐标，利用旋转转化为中点坐标的方法，分别可以得到、、的顶点坐标，从而可以得到抛物线顶点坐标的变化特点，从而可以得到的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， 令， 解得：，， ∴， ∴的顶点坐标绕旋转得的顶点坐标为，即，绕旋转得，即， 同理可得：的顶点坐标为，的顶点坐标为，， ∴的顶点的横坐标为，当为奇数时，的顶点的纵坐标为， ∴的顶点坐标是，即， 故选A． 8．C 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子的符号，熟知二次函数图象与对应的项的符号关系以及对称轴公式是解题的关键．由图象可判断，，，得出，故①正确；根据对称轴位置可得出，即得出，故②正确；由抛物线经过点可得，即，故③错误；由即得出，故④正确． 【详解】解：由图可知抛物线开口向下，且与y轴的交点位于y轴上方，对称轴在y轴右侧， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线对称轴在直线左侧， ∴，即， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴交于点 ∴， ∴，故③错误； 由图可知当时，， ∵， ∴， ∴，故④正确． 综上可知，其中正确的结论有3个． 故选：C． 9． 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的定义，自变量的最高次项为二次且二次项系数不为零． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得 ， ∴ 或 ， 又∵， ∴． 故答案为 2． 10． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越小，开口越大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数，； 对于，二次项系数，； 对于 ，二次项系数，， ∵， ∴最小， 因此开口最大的是． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，在二次函数的图象上，且， ∴； 故答案为： 12．或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值． 根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 故答案为：或． 13．400 【分析】本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， 当时，函数取得最大值，最大值为400， 即飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：400． 14． 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 15．16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 16． 3 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 利用待定系数法可求出二次函数的解析式为，则可推出函数的解析式为，据此结合函数图象可得答案； 分别求出直线与抛物线恰好只有一个交点时和直线恰好经过点时的m的值即可得到答案． 【详解】解：①由函数图象可知，二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 设是函数的图象上一点， ∴是函数的图象上一点， ∴， ∴， ∴函数的解析式为， ∴当时，函数的最大值为4， ∴由函数图象可得直线与函数的图象有3个交点； 故答案为：3； ②联立得， 当直线与抛物线恰好只有一个交点时， 则， ∴； 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴由函数图象可知，当时， 函数的图象与直线有四个交点， 故答案为：． 17．点不在此抛物线上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为代入点可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，然后代入点判断即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 把代入得，， 点不在此抛物线上． 18．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识为解题关键． （1）根据二次函数的对称轴为求出结果即可； （2）先将函数解析式展开，得到，从而得到，，即可得出结论； （3）利用二次函数的性质得到函数最大值为1，再结合题意得到函数最小值为，解出，，得到，，从而得出结果． 【详解】（1）解：， 对称轴为直线， ； （2）证明：， ，， ； （3）解：，，，， 当时，函数最大值为1， 函数的最大值与最小值差为10， 函数最小值为， ， ， ，， ， ，，且两个等号至少有一个可取， ，， 的最大值为． 19．(1)， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，一元二次方程的解与二次函数的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据函数的开口方向可判断，再根据函数图象与轴的交点可判断； （2）由二次函数的图象可得对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为，利用二次函数的对称性求出函数与轴的另一个交点，即可求解； （3）由图可知，当时，函数有最小值为，当时，，即可求解； （4）先求出原来二次函数的解析式，再根据二次函数平移的特点求解即可． 【详解】（1）解：由二次函数的图象可得，， 故答案为：，； （2）解：由二次函数的图象可得函数的对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为， 函数图象与轴的另一个交点为， 的两个根为，， 故答案为：，； （3）解：二次函数的开口向上，顶点为， 当时，函数有最小值为， 当时，， 当时，的取值范围为， 故答案为：； （4）解：设二次函数的解析式为，将代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 设将二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点， 则平移后的二次函数解析式为， 将代入得， 解得， 故答案为：． 20．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当，则， 解得，， ∴， ∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即 同理可求直线解析式为，， 综上，当时，点P的坐标为或 21．(1)该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元 (2)①，②当售价为71元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是69100 【分析】本题主要考查了二次函数的最大利润问题、一次函数的解析式等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数”，以及“可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用”，据此即可解答． （2）①运用待定系数法求解销量y与销售单价x之间的函数关系式； ②经分析列式得，结合二次函数的性质，得出开口向下，在有最大值，w有最大值，再代入计算即可解答． 【详解】（1）解：∵工艺品的成本与生产量的关系式为：，且可变成本与该产品生产的件数有关， ∴该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元． （2）解：①由题意，设销量y与销售单价x的关系式为， 则，解得：． ∴所求关系式为． ②成本应基于生产量（即销量y），即，其中， 设利润， ． ∵， ∴当时，w有最大值，且最大值为69100． 22．(1) (2)①② 【分析】（1）把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）①设解析式为，将代入解方程，即可得；②分别考虑点落到、处时，抛物线对应的，即可判断出取值范围． 【详解】（1）解：由题可设图象所在抛物线的解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． （2）解：①， ∴点E的坐标为． 当图象所在抛物线经过点E时，设其解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． ②当图象所在抛物线经过点E时，． ， ∴点F的坐标为． 当图象所在抛物线经过点F时，设其解析式为． 将分别代入，得 解得 图象的最高点低于图象的最高点， ， 综上所述，m的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．(1)； (2)； (3)存在，或或． 【分析】（1）已知抛物线与轴的两个交点坐标，可设交点式，再代入点坐标求解解析式． （2）利用抛物线的对称性，对称轴上的点到、距离相等，得，当、、共线时和最小，先求对称轴，再求直线解析式，进而求坐标． （3）根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分三种情况（以、、为对角线），利用中点坐标公式求解点坐标． 【详解】（1）解：由抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为． 把代入得： 即 解得 ∴抛物线的解析式为， 展开得； （2）解：连接， 抛物线的对称轴为直线． ∵、关于对称轴对称， ∴，则，当、、三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 把代入，得，解得． ∴直线的解析式为． 点在对称轴上，把代入得， ∴． （3）解：设． 当以为对角线时， ∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴的中点坐标为， ∴， 解得，即． 当以为对角线时，的中点坐标为，即的中点坐标为， ∴， 解得，即． 当以为对角线时，的中点坐标为，的中点坐标为， ∴， 解得，即． 综上，存在一点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，或或． 学科网（北京）股份有限公司 $