精品解析：云南省昭通市昭阳区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季学期学生综合素养阶段性练习九年级数学 （练习三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，练习用时120分钟） 注意事项： 1．学生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在练习、草稿纸上作答无效． 2．练习结束后，请将练习和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在移动支付普及的当下，小明使用某支付软件记录个人资金变动情况．若规定收入50元记为，那么账单中出现的“”表示的实际含义是（ ） A. 获得额外奖励80元 B. 账户余额增长了80元 C. 消费支出了80元 D. 投资收益增加80元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数，具有相反意义的量，用正负数表示具有相反意义的量是解题的关键．根据题干规定，收入记为正值，则支出应记为负值，“”表示支出80元，对应选项中的消费支出． 【详解】解：∵收入50元记为， ∴支出应记为负值． ∴“”表示消费支出了80元． 故选：C． 2. 某校开展体能测试，李明的跳绳成绩为每分钟160次，经统计发现他的成绩高于全校一半学生的水平．此发现所依据的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义．因为中位数表示一组数据中间位置的数，即一半数据高于中位数，一半数据低于中位数，李明成绩高于全校一半学生水平，故依据中位数，即可作答． 【详解】解：依题意，中位数是将数据分为数量相等的上下两部分的值，即至少有的数据小于或等于它，且至少有的数据大于或等于它； ∵李明的跳绳成绩为每分钟160次，经统计发现他的成绩高于全校一半学生的水平． 即成绩高于一半学生的水平，即成绩高于中位数； ∴此发现依据的统计量是中位数， 故选：B 3. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断． 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程． 选项A：方程含有两个未知数x和y，故不是一元二次方程； 选项B：方程只含一个未知数x，最高次为2，是整式方程，故是一元二次方程； 选项C：方程的最高次为1，不是2次，故不是一元二次方程； 选项D：方程的分母含有未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：B． 4. 下列数学经典图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则k的值为（ ） A. B. 4 C. 13 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握“配方法中需给等式两边加上一次项系数一半的平方以构造完全平方式”是解题的关键． 先通过移项将常数项移到等号右边，再给等式两边加上一次项系数一半的平方完成配方，最后对比完全平方形式得出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴ 故选：B． 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方，同底数幂的除法相关法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用合并同类项法则判断A， 同底数幂的除法的法则判断B，积的乘方判断C，完全平方公式判断D，依次进行运算即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能进行合并同类项，故此项不符合题意；        B. ，故此项不符合题意； C. ，故此项符合题意； D. ，故此项不符合题意； 故选：C． 7. 二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 轴 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， 故抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 8. 如图，，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，掌握两直线平行、同旁内角互补是解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：A． 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得新函数的解析式为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，需熟练掌握“左加右减”针对自变量，“上加下减”针对函数值的平移规律． 根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：∵原函数为， ∴向右平移3个单位长度：， ∴再向上平移4个单位长度：． 故所得新函数的解析式为． 故选：C． 10. 某商品原价200元，经过连续两次相同百分率的降价后，最终售价为162元，若设每次降价的百分率均为a，下列所列方程表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 商品连续两次以相同百分率降价，每次降价后价格变为原价的倍，因此最终售价为原价乘以的平方． 【详解】解：设每次降价的百分率为a，根据题意得， 故选：B． 11. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，这个多边形是______边形． A. 六 B. 八 C. 九 D. 十 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和， n边形的内角和为，外角和为．根据“内角和是其外角和的4倍”列出方程，求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n．根据题意，得 ， 解得， ∴这个多边形是十边形． 故选：D． 12. 昭通壮蓝牛队为备战年月底举行的云南省城市足球联赛（简称“滇超联赛”），开展定位球战术训练．现以足球被踢出的位置为原点，水平向右为x轴正方向（指向球门），竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．已知足球飞行轨迹满足二次函数关系式：，其中y表示足球离地面的高度（单位：米），x表示从足球被踢出的位置到球门方向的水平距离（单位：米）．根据该函数模型计算足球从踢出到落地的水平距离为（ ） A. 6米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键，根据足球落地时高度，解二次方程即可求得水平距离． 【详解】解：由题可得：∵足球落地时， ∴， 提取公因式得：， 解得：，， ∴水平距离为米． 故选：C． 13. 对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，y随x的增大而增大，可得，即可求解． 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数， ∴ 抛物线开口向下，在对称轴左侧函数递增， 对称轴为， 由题意，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， ∴， ∴ 选项中只有D选项满足， 故选：D． 14. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点为．则下列结论： ①； ②； ③； ④方程的两实数根为，． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题等知识点，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对①进行判断；②利用对称轴可对②进行判断；找图形中时对应的y的值即可对③进行判断；观察图形与x轴的交点的横坐标与对称性可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ， ∴，故①正确． ②∵， ∴，故②正确． ③由图象得：当时，， ，故③错误． ④根据对称性可知抛物线与x轴另一交点为， ∵对称轴为直线， ∴方程的另一根为4， ∴方程的两个根为，，故④正确． 综上，正确的是①②④． 故选：D． 15. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多项式规律题，多项式的系数、次数，理解题意，准确找到多项式系数和次数的变化规律是解答的关键． 观察多项式中的系数、指数和的系数的变化规律，的系数是的次方，指数是奇数；的系数是奇数． 【详解】解：多项式中的系数依次为：即； 的指数依次为：即； 的系数依次为：即， 所以第个多项式为； 故选A． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可 【详解】解：． 故答案为: . 17. 已知二次函数（a≠0）的图象如下图所示，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键 ．将点代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：将点代入次函数得，， 解得，． 故答案为：8． 18. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，同时也考查了一元二次方程的定义．把代入方程中，得出关于的一元二次方程，解方程求的值，注意原方程的二次项系数． 【详解】解：把代入 得到： ， ，， ， ， ． 故答案为：． 19. 如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间______秒． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意得，易得；再根据的面积为列关于t的一元二次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 所以面积为： 当的面积为时，即， 解得：或3． 所以当的面积为时，运动时间或3． 故答案为：2或3． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ， ． ． ∴，． 21. 在平面直角坐标系中，已知点和点． （1）先以原点、点和点为顶点作，再作出与关于原点对称的，并写出点、的坐标． （2）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1）图见解析，点的坐标；点的坐标 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征及关于轴对称的点的坐标特征，熟知这些特征是解题的关键． （1）两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，据此求解即可； （2）两点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图，关于原点对称的即为所求， 点的坐标；点的坐标； 【小问2详解】 ∵点与点关于轴对称 ∴，， ∴． 22. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）该二次函数的解析式为 （2）点在该二次函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）将点，的坐标代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出y值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，， ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点在该二次函数的图象上． 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； （1）求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别式确定参数的取值范围，并结合根与系数的关系求解参数的值． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式，计算判别式并解不等式，得到的取值范围； （2）利用根与系数的关系，结合方程的两根之积为10，列方程求解，再根据（1）中的范围进行验证取舍． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 即： 解得：； 【小问2详解】 解：在方程中，， 所以． 已知，因此： 移项得： 解得：或． 由（1）知，所以不符合条件，舍去． 因此，的值为3． 24. 昭通因独特的气候条件盛产优质苹果，当地果农张大叔自家种植了一批品质优良的昭通苹果．为了提高收入，他计划自主销售这批苹果．已知每千克苹果的种植及采摘等成本共计为3元．通过前期试销发现，苹果的日销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）密切相关，并满足一次函数关系，前期部分试销数据如下表所示： 销售单价x（元/千克） 5 6 7 日销售量y（千克） 300 270 240 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） （1）根据表格中的数据，求出日销售量y关于销售单价x的函数解析式（不要求写出自变量的范围）； （2）若张大叔希望日销售利润达到最大，应将苹果的销售单价定为多少元/千克？此时的最大日销售利润w是多少元？ 【答案】（1） （2）单价定为9元／千克时，日销售利润最大，最大为1080元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据利润销售量（销售单价成本价）求出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可解答． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为 选取数据时，及时，代入解析式可得： ， 解得：， ∴日销售量关于销售单价的函数解析式为． 【小问2详解】 解：日销售利润 ， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴苹果的销售单价定为9元／千克时，日销售利润最大，最大为1080元． 25. 如图，是由在平面内绕点旋转而得，且，，连接． （1）求证：； （2）试说明四边形为菱形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，然后根据垂直可得出，从而可根据证明； （2）根据（1）以及旋转的性质可得，，从而得出四条边相等，证得四边形为菱形． 【小问1详解】 证明：是由在平面内绕点旋转而得， ，，， ， ， ， 在和中， ， （SAS）； 【小问2详解】 解：由（1）得， 是由旋转而得， ， ，， 又， ， 四边形为菱形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的判定，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，涉及知识点较多． 26. 阅读下列材料： 在数学中，当我们遇到含有高次幂的多项式时（如，等），如果已知某个变量满足一个低次方程（通常是二次方程），就可以通过“降次代换”的方法将高次项逐步转化为低次项，从而简化计算．这种方法的核心在于利用已知的等式关系，系统性地降低多项式的次数，最终使复杂的表达式变得易于处理． 例：已知，求的值． 解决本题的思路可以为： 步骤1：计算 由等式得，， 步骤2：代入原式并化简 将和代入． 步骤3：代值并计算 通过计算出或，分别代入即可求出的值为7或19． 根据以上材料，解答下列问题： 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点在抛物线上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、分式的化简求值、代数式求值等知识点，掌握降幂思想是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数图象的性质可得，易得且；再将，，再代入化简即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴方程为． 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上， ，即：， ∴， ， ∴且， ， ， ． 27. 已知抛物线与x轴的左右交点分别为点A、点B，与y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）设点M在该抛物线的对称轴上运动，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】（1）顶点坐标为 （2） 解：不存在，理由如下： 由（1）可知抛物线的顶点坐标为 ，解得 ∴该抛物线的解析式为． ∵抛物线与轴的左右交点分别为点、点 令，解得或 ， ． ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设点的坐标为． 又∵点关于对称轴对称， ． 的周长为， 又， 的周长为， ∴当时，的周长最小，此时点的坐标为， 又∵点在轴上，不能构成三角形， ∴不存在点，使的周长最小． （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、二次函数的综合题、勾股定理、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据平移的定义即可解答； （2）由（1）可知抛物线的顶点坐标为，据此列方程组可得，即该抛物线的解析式为；再求得即．易得当时，的周长最小，此时点的坐标为，但此时不能构成三角形，据此即可解答； （3）如图，设的坐标为，易得，、，然后分、、三种情况，分别利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，设的坐标为， 由勾股定理得，，，， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； ②当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为或； ③当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期学生综合素养阶段性练习九年级数学 （练习三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，练习用时120分钟） 注意事项： 1．学生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在练习、草稿纸上作答无效． 2．练习结束后，请将练习和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在移动支付普及的当下，小明使用某支付软件记录个人资金变动情况．若规定收入50元记为，那么账单中出现的“”表示的实际含义是（ ） A. 获得额外奖励80元 B. 账户余额增长了80元 C. 消费支出了80元 D. 投资收益增加80元 2. 某校开展体能测试，李明的跳绳成绩为每分钟160次，经统计发现他的成绩高于全校一半学生的水平．此发现所依据的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列数学经典图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则k的值为（ ） A. B. 4 C. 13 D. 17 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 轴 C. 直线 D. 直线 8. 如图，，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得新函数的解析式为（） A. B. C. D. 10. 某商品原价200元，经过连续两次相同百分率的降价后，最终售价为162元，若设每次降价的百分率均为a，下列所列方程表示正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，这个多边形是______边形． A. 六 B. 八 C. 九 D. 十 12. 昭通壮蓝牛队为备战年月底举行的云南省城市足球联赛（简称“滇超联赛”），开展定位球战术训练．现以足球被踢出的位置为原点，水平向右为x轴正方向（指向球门），竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．已知足球飞行轨迹满足二次函数关系式：，其中y表示足球离地面的高度（单位：米），x表示从足球被踢出的位置到球门方向的水平距离（单位：米）．根据该函数模型计算足球从踢出到落地的水平距离为（ ） A. 6米 B. 米 C. 米 D. 米 13. 对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点为．则下列结论： ①； ②； ③； ④方程的两实数根为，． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 15. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：___． 17. 已知二次函数（a≠0）的图象如下图所示，则______． 18. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则______． 19. 如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间______秒． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解下列方程： （1） （2） 21. 在平面直角坐标系中，已知点和点． （1）先以原点、点和点为顶点作，再作出与关于原点对称的，并写出点、的坐标． （2）若点与点关于轴对称，求的值． 22. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； （1）求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，且，求的值． 24. 昭通因独特的气候条件盛产优质苹果，当地果农张大叔自家种植了一批品质优良的昭通苹果．为了提高收入，他计划自主销售这批苹果．已知每千克苹果的种植及采摘等成本共计为3元．通过前期试销发现，苹果的日销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）密切相关，并满足一次函数关系，前期部分试销数据如下表所示： 销售单价x（元/千克） 5 6 7 日销售量y（千克） 300 270 240 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） （1）根据表格中的数据，求出日销售量y关于销售单价x的函数解析式（不要求写出自变量的范围）； （2）若张大叔希望日销售利润达到最大，应将苹果的销售单价定为多少元/千克？此时的最大日销售利润w是多少元？ 25. 如图，是由在平面内绕点旋转而得，且，，连接． （1）求证：； （2）试说明四边形为菱形． 26. 阅读下列材料： 在数学中，当我们遇到含有高次幂的多项式时（如，等），如果已知某个变量满足一个低次方程（通常是二次方程），就可以通过“降次代换”的方法将高次项逐步转化为低次项，从而简化计算．这种方法的核心在于利用已知的等式关系，系统性地降低多项式的次数，最终使复杂的表达式变得易于处理． 例：已知，求的值． 解决本题的思路可以为： 步骤1：计算 由等式得，， 步骤2：代入原式并化简 将和代入． 步骤3：代值并计算 通过计算出或，分别代入即可求出的值为7或19． 根据以上材料，解答下列问题： 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点在抛物线上，求的值． 27. 已知抛物线与x轴的左右交点分别为点A、点B，与y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）设点M在该抛物线的对称轴上运动，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $