精品解析：江西省九江市湖口县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

湖口县2025－2026学年度上学期第一次阶段性学情评估 九年级 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况是解题的关键． 将各选项方程化为一般式，再根据一元二次方程的判别式，判断是否有实数根．若，则无实数根，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．化成一般式为，由，则方程有两个不等的实数根，不符合题意； B．，由，则方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．由，则方程有两个不等的实数根，不符合题意； D．化成一般式为，由，则方程没有实数根，符合题意． 故选D． 2. 如图，在菱形中，，已知菱形的周长为16，则菱形的对角线的长为（ ） A. 4 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质． 令的交点为，先求出菱形边长，再利用含角的直角三角形的性质求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，令的交点为， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 3. 如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：A． 4. 如图，已知、相交于点，，，是的中位线，且，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，根据中位线的性质得出，，则，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，， 则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 小张与小李相约去江西省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙两个入口，A，B，C三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种， ∴小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的概率为， 故选：B． 6. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，将拆分为，再结合已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴，解得； 方程有实数根， ∴， 化简得； 解得； 综上，实数的取值范围为且． 9. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为边AD的中点，连接CE交对角线BD于点F．若，则菱形ABCD的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝，然后根据菱形的面积公式计算它的面积． 【详解】解：连接AC交BD于O，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO， ∵E为AD边的中点， ∴DE＝2， ∵∠DEF＝∠DFE， ∴DF＝DE＝2， ∵， ∴∠DEF＝∠BCF， ∵∠DFE＝∠BFC， ∴∠BCF＝∠BFC， ∴BF＝BC＝4， ∴BD＝BF+DF＝4+2＝6， ∴OB＝OD＝3， 在Rt△BOC中，， ∴AC＝2OC＝， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）． 10. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意，， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11. 鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为10cm，则的长为______cm．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，得，构建方程计算求解． 【详解】解：根据题意，； ∴ ∴ 故舍去； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键． 12. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是____. 【答案】1或或2﹣． 【解析】 【分析】过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF＝CD；②DF＝DC；③FD＝FC，根据相似三角形的性质进行求解． 【详解】①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M， 则CM∥AE，DM＝MF， 延长CM交AD于点G， ∴AG＝GD＝1， ∵AG∥EC，AE∥CG， ∴四边形AECG是平行四边形， ∴CE＝AG＝1， ∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形． ②DF＝DC时，则DC＝DF＝1， ∵DF⊥AE，AD＝2， ∴∠DAE＝30°， ∴∠AEB＝30° 则BE＝ ∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形； ③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点． ∵AB＝1，BE＝x， ∴AE＝， AF＝， ∵△ADF∽△EAB， ∴， ， x2﹣4x+1＝0， 解得：x＝2﹣或2+（舍弃）， ∴当BE＝2﹣时，△CDF是等腰三角形． 综上，当BE＝1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形． 故答案为1或或2﹣． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. 选择合适的方法解下列方程； （1） （2） 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用配方法，解一元二次方程即可； （2）用因式分解法，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴；； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：；． 14. 如图，点D是边的上一点，且 ， （1）求证： （2）如果，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，即可证明结论； （2）由相似三角形的对应边成比例，代入数据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 15. 2024年国庆假期，佛山各旅游景区持续火热．小王和小李准备到祖庙、千灯湖、西樵山、南海影视城（分别记作、、、）参加公益讲解活动． （1）若小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是_________； （2）小王和小李在、、三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小王和小李选到相同景区的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表的方法求概率，简单的概率公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）先用画树状图或列表的方法画出表格，得到共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种，即可求解． 【小问1详解】 解：小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种， ∴小王和小李选到相同景区的概率为． 16. 如图，四边形ABCD为正方形，点E在边BC上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形； （2）在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形． 【答案】（1） 四边形即为所求， （2） 等腰三角形即为所求， 【解析】 【分析】（1）连接，过点与对角线的交点作交于点，则四边形即为所求， （2）在（1）的基础上，记CF交BD于点H，连接AH并延交CD于点M，则△ADM≌△CDF，则AM=CF，由（1）知CF=AE，AM=AE，连接EM,则△AEM即为所求． 【小问1详解】 如图（1）所示，连接，过点与对角线的交点作交于点， 则四边形即为所求， 【小问2详解】 如图（2）所示，等腰三角形即为所求， 在（1）的基础上，记CF交BD于点H，连接AH并延交CD于点M， ， ， ∴， ，AD=CD， △ADM≌△CDF，则AM=CF， 由（1）知CF=AE，AM=AE，连接EM，则△AEM即为所求． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的判定，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 17. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数关系，可得，，再代入变形后的式子，可得到关于k的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：，． ∵， ∴． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 电商直播持续火热，为实现乡村振兴，某乡镇农产品销售运营中心利用某直播平台销售火龙果．8月份销售1800件，10月份销售2178件，8月份到10月份销售量的月增长率相同． （1）求该水果销售量的月增长率． （2）若该运营中心平均每天可销售70件，每件盈利30元．为了尽可能的让利给消费者，运营中心决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件火龙果每降价1元，平均每天可多售出5件，当每件火龙果降价多少元时，日盈利可达到2295元？ 【答案】（1）该水果销售量的月增长率为． （2）每件火龙果降价13元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）根据销售的数量原来销售量增加的销售量求解即可； （2）设每件商品降价x元，根据日盈利可达到2295元列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该水果销售量的月增长率为m．由题意得 解得，（不合题意，舍去） 答：该水果销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设每件火龙果降价x元时，日盈利可达到2295元．由题意得： 解得，， ∵尽可能的让利给消费者 ∴每件火龙果降价13元． 19. 如图，在中，，点、分别是边、的中点，过点作交的延长线于点，连接、． （1）求证；四边形是菱形． （2）点作于点，若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是关键． （1）证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明结论成立. （2）求解，证明，再结合菱形的面积可得答案． 【小问1详解】 证明：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴. ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴菱形的面积， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴菱形的面积， ∴. 20. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： cm； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 【答案】（1）， （2）当或时，以、、为顶点的三角形和相似； 【解析】 【分析】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． （1）由根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； （2）求解，，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可； 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为． ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：由题意得，，，，， ， ∴， 由勾股定理得，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 当时，， ∴，即， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， 综上所述，当或时，以、、为顶点的三角形和相似． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为O． 求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接， ，．求证：四边形是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 （2）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，可得，再结合，可得，即可求证； （2）证明∴，可得，可得到四边形是平行四边形，再由，可得，即可求证． 【详解】略 22. 配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11； ②34； ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）5；（3）2022． 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ；； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：5； （3）解：因为， ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最小值为2022． 六、解答题（共12分） 23. 如图，在菱形中，，E为射线上一动点，连接，以为边朝右侧作菱形，且满足． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论． （3）利用备用图，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵点是边上一动点，四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 解：，理由如下， 如图，连接，，过点作延长线于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，同理可得，则有，可证，由此即可求证； （2）连接，，过点作延长线于点，可证，得到，且，则有，据此计算即可求解； （3）利用，求得，分两种情况讨论，利用（2）的结论求得，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 当点E在线段上时， ∵，， ∴，， ∴； 当点E在线段延长线上时， ∵，，， ∴，， ∴． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖口县2025－2026学年度上学期第一次阶段性学情评估 九年级 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，，已知菱形的周长为16，则菱形的对角线的长为（ ） A. 4 B. 16 C. D. 3. 如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知、相交于点，，，是的中位线，且，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 5. 小张与小李相约去江西省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙两个入口，A，B，C三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则的值为___________． 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是______． 9. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为边AD的中点，连接CE交对角线BD于点F．若，则菱形ABCD的面积为________． 10. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________． 11. 鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为10cm，则的长为______cm．（结果保留根号） 12. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是____. 三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. 选择合适的方法解下列方程； （1） （2） 14. 如图，点D是边的上一点，且 ， （1）求证： （2）如果，求的值． 15. 2024年国庆假期，佛山各旅游景区持续火热．小王和小李准备到祖庙、千灯湖、西樵山、南海影视城（分别记作、、、）参加公益讲解活动． （1）若小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是_________； （2）小王和小李在、、三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小王和小李选到相同景区的概率． 16. 如图，四边形ABCD为正方形，点E在边BC上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形； （2）在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形． 17. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，满足，求的值． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 电商直播持续火热，为实现乡村振兴，某乡镇农产品销售运营中心利用某直播平台销售火龙果．8月份销售1800件，10月份销售2178件，8月份到10月份销售量的月增长率相同． （1）求该水果销售量的月增长率． （2）若该运营中心平均每天可销售70件，每件盈利30元．为了尽可能的让利给消费者，运营中心决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件火龙果每降价1元，平均每天可多售出5件，当每件火龙果降价多少元时，日盈利可达到2295元？ 19. 如图，在中，，点、分别是边、的中点，过点作交的延长线于点，连接、． （1）求证；四边形是菱形． （2）点作于点，若，，求的值． 20. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： cm； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为O． 求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接， ，．求证：四边形是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 22. 配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11； ②34； ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 六、解答题（共12分） 23. 如图，在菱形中，，E为射线上一动点，连接，以为边朝右侧作菱形，且满足． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论． （3）利用备用图，连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $