专题6.1几何图形（知识点总结+10大题型+解题技巧）易错点重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦“几何图形”核心知识点，系统梳理立体与平面图形识别、点线面体关系、展开图、三视图、截面问题等内容，从基础概念到综合应用逐步递进，构建从识别到计算再到创新应用的完整学习支架。 资料以生活情境（如鲁班锁、折叠灯笼）为载体，通过例题变式分层设计，培养学生几何直观与空间观念，同步练习覆盖不同难度，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，体现用数学思维分析问题、用数学语言解决实际问题的核心素养。

6.1几何图形 【题型1】立体图形与平面图形的识别 1.核心知识点总结 立体图形：各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱、圆锥、球等。 平面图形：各部分都在同一平面内，如三角形、长方形、圆、线段等。 分类关键：判断图形各部分是否共面，立体图形含柱体、锥体、球体，平面图形含多边形、圆形等。 2.高频考点梳理 实物抽象几何图形（如金字塔→四棱锥、西瓜→球）。 几何图形分类（按立体/平面，或柱体/锥体/球体）。 识别复杂图案中的平面图形组成（如交通标志含圆、长方形）。 3.易错点警示 混淆“球体”（立体）与“圆”（平面）、“正方体”（立体）与“正方形”（平面）。 误将台体归为柱体（台体上下底面大小不同，柱体上下底面全等）。 4.解题技巧拆解 抓本质：立体图形有“厚度”感，平面图形无“厚度”。 记特征：柱体有两个全等底面（圆柱底面是圆，棱柱底面是多边形），锥体只有一个底面。 【例题1】．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）下列实物中，能抽象出圆柱的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，椎体又分为圆锥和棱锥． 根据圆柱有2个底面，一个侧面解答即可． 【详解】解：A．该图能抽象出圆环，故不符合题意； B．该图能抽象出圆锥，故不符合题意； C．该图能抽象出长方体，故不符合题意； D．该图能抽象出圆柱，故符合题意； 故选D． 【变式题1-1】．（25-26七年级上·山西运城·期中）如图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（   ） A．棱柱 B．球 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的识别，根据棱柱，棱锥，球，圆锥，圆柱的特点分析即可． 【详解】解：由题意可得：该作品中有棱柱，棱锥，球，圆柱，没有圆锥， 故选：D． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·山西太原·期中）如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（   ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．四棱柱 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，掌握图形的空间结构是关键．根据立体图形的空间结构进行判断． 【详解】解：根据图形可知，其组成部分可抽象为：圆柱、四棱柱、球， 不包括：圆锥． 故选：C． 【变式题1-3】．（25-26六年级上·山东泰安·期中）观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：② ；⑥ ； （2）在以上几何体中，是柱体的有 （填序号）；含曲面的有 （填序号）． 【答案】 圆锥 五棱柱 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ 【分析】本题考查了常见的几何体，立体图形的分类，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据所给的图形确定图形的名称； （2）先说出各个图形的名称，再归类即可． 【详解】（1）解：②圆锥，⑥五棱柱， 故答案为：圆锥，五棱柱； （2）①是圆柱，②是圆锥，③是长方体，④是正方体，⑤是四棱柱，⑥是五棱柱，⑦是球，⑧是三棱柱， 所以在以上几何体中，是柱体的有①③④⑤⑥⑧；含曲面的有①②⑦． 故答案为：①③④⑤⑥⑧，①②⑦． 【题型2】点、线、面、体的关系判断 1.核心知识点总结 构成关系：体→面→线→点（体相交成面，面相交成线，线相交成点）。 运动关系：点动成线，线动成面，面动成体。 面的分类：平面（如长方体的面）和曲面（如圆柱的侧面）。 2.高频考点梳理 生活现象对应数学原理（如流星划过→点动成线，折扇展开→线动成面）。 判断运动形成的图形（如线段旋转→圆面，长方形旋转→圆柱）。 3.易错点警示 混淆“线动成面”与“面动成体”（如自行车辐条运动是线动成面，不是面动成体）。 误将“两点确定一条直线”与点动成线混淆（前者是直线性质，后者是运动关系）。 4.解题技巧拆解 找运动主体：明确是点、线、面中的哪一种在运动。 联想结果：点运动轨迹是线，线运动轨迹是面，面运动轨迹是体。 【例题2】．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）在《哪吒之魔童闹海》电影中，哪吒用火尖枪刺向敌人时，枪尖在空气中划出一道红色光痕，这符合 的几何规律． 【答案】 点动成线 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，根据“点动成线，线动成面，面动成体”解答即可.枪尖可视为一个点，运动时划出光痕（线），符合几何中点运动形成线的规律． 【详解】解：在初中几何中，点运动形成线，称为点动成线． 电影中哪吒的枪尖在空气中运动时划出红色光痕，体现了点动成线的几何规律． 故答案为：点动成线． 【变式题2-1】．（25-26七年级上·广东梅州·期中）如图，你见过一种折叠灯笼吗？它折叠起来是一张圆形的纸，打开后就变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用 的数学原理来解释． 【答案】面动成体 【分析】本题考查了点、线、面的相关知识，由平面图形变成立体图形的过程是面动成体． 【详解】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体， 故答案为：面动成体． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·全国·周测）用数学知识解释下列现象： （1）飞机做飞行表演时的“飞机拉线”，解释为 ． （2）汽车雨刷刷过的路径，解释为 （3）一个圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成球，解释为 ． 【答案】 点动成线 线动成面 面动成体 【分析】本题考查点、线、面、体之间的动态关系概念，关键根据这些现象与概念的对应关系来解答问题．点动成线，即一个点运动后会形成一条线；线动成面，一条线运动后会形成一个面；面动成体，一个面运动后会形成一个立体图形． 【详解】解：（）飞机进行飞行表演时的“飞机拉线”，解释：点动成线； （）汽车雨刷刷过的路径，解释：线动成面； （）一个圆绕着它的直径所在直线旋转一周形成球，解释：面动成体； 故答案为：①点动成线②线动成面③面动成体 【变式题2-3】．（25-26七年级上·河北衡水·期中）下列对生活现象的解释错误的是（    ） A．汽车雨刷将前挡风玻璃上的水擦除――线动成面 B．笔尖在纸上滑动写字――点动成线 C．将一个三角形纸片剪去一个角，剩余图形周长比原图形周长小――两点之间，线段最短 D．小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物――两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题考查几何概念在生活中现象的解释．选项A、B、C的解释符合几何原理（线动成面、点动成线、两点之间，线段最短），但选项D中小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物，依据是：两点之间，线段最短，因此原解释错误． 【详解】解：小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物，依据是：两点之间，线段最短； ∴选项D解释错误． 选项A、B、C解释均正确． 故选：D． 【题型3】常见几何体的展开图识别 1.核心知识点总结 圆柱：2个圆形底面+1个长方形侧面。 圆锥：1个圆形底面+1个扇形侧面。 棱柱：2个全等多边形底面+若干长方形侧面（n棱柱有n个侧面）。 正方体：11种展开图（“一四一”“三三”“二三一”“二二二”型）。 2.高频考点梳理 匹配几何体与展开图（如给出展开图判断对应几何体）。 判断给定图形能否折叠成几何体（如含“田”“凹”型的图形不能折成正方体）。 3.易错点警示 认为“圆+三角形”是圆锥展开图（应为圆+扇形）。 忽略棱柱展开图中“底面边数=侧面个数”（如三棱柱展开图有3个长方形侧面）。 4.解题技巧拆解 记特征：“圆+长方形”→圆柱，“圆+扇形”→圆锥，“多边形+长方形”→棱柱。 排除法：含曲面的几何体展开图必有圆或扇形，全是平面的几何体展开图全为多边形/长方形。 【例题3】．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）下列展开图中经折叠不能围成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握棱柱的展开图是解题的关键． 由平面图形的折叠及棱柱的展开图逐项判断即可解答． 【详解】解：A、可以围成四棱柱，该选项不符合题意； B、可以围成五棱柱，该选项不符合题意； C、可以围成三棱柱，该选项不符合题意； D、不能围成棱柱，该选项符合题意． 故选：D． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·陕西·期中）如图，分别在图1和图2无阴影的方格中各选出两个画出阴影，使它们与图中已有的个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（图1和图2补全后的阴影部分形状不能相同） 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的种基本形式是解题的关键．根据正方体的展开图，即可求解． 【详解】解：图1中，如图，任选其一，即可． 图2中，如图，任选其一，即可． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）下列图形折叠成立体图形后不是所有面都是平的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的展开图，几何体的认识，先根据每个选项的展开图得出对应的几何体，再结合几何体的特征进行分析，即可作答． 【详解】解：A、观察展开图，得出该立体图形是长方体，所有面都是平，故该选项不符合题意； B、观察展开图，得出该立体图形是三棱柱，所有面都是平，故该选项不符合题意； C、观察展开图，得出该立体图形是圆柱，不是所有面都是平，故该选项符合题意； D、观察展开图，得出该立体图形是四棱柱，所有面都是平，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式题3-3】．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，阴影部分是由5个相同的小正方形组成的，在图中有编号的位置选择一个正方形，使它与阴影部分组成的新图形经过折叠可以得到一个正方体，则选择的编号可以是 ．    【答案】① 【分析】本题主要考查了正方体的侧面展开图的复原，掌握把不同的侧面展开图成功复原成正方体的方法是解题的关键． 结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：如图所示，    选择A，B，C，D处的任一正方形，都可以使新拼接成的图形折叠后成为一个封闭正方体， ∴在①添加一个正方形，使组成的新图形能够折叠成一个正方体盒子． 故答案为：①． 【题型4】正方体展开图与相对面问题（提升） 1.核心知识点总结 正方体展开图禁忌：“一线不过四”“田”“凹”型必不是展开图。 相对面规律：相间、Z端是对面（同一行/列中间隔一个面的是相对面，Z字形两端是相对面）。 相对面性质：折叠后相对面不相邻，且正方体有3组相对面。 2.高频考点梳理 求相对面上的文字/数字（如展开图中“我”的对面是“中”）。 已知相对面关系求未知数字（如相对面数字和为7，求未知数字）。 3.易错点警示 误将相邻面当作相对面（如“一四一”型中，中间四个面两两相邻）。 漏记“三三”型展开图的相对面（同一行的两个面不是相对面，不同行隔一列是相对面）。 4.解题技巧拆解 画简易图：将展开图按比例画出，标注字母后折叠判断。 用口诀：“相间相对，Z端相对，相邻不相对”。 【例题4】．（25-26六年级上·山东淄博·阶段练习）如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为0，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正方体的展开图形，解决本题的关键是注意从相对面入手，分析解答问题． 利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数之和为0，也就是互为相反数，求出x、y的值，从而得到的值． 【详解】解：将题图中平面展开图按虚线折叠成正方体后， 可知标有数字“2”的面和标有x的面是相对面， 标有数字“4”的面和标有 y的面是相对面， ∵相对面上两个数之和为0， ∴，， ∴． 故答案为：2． 【变式题4-1】．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）如图所示是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： (1)的对面是________，的对面是________． (2)若，，，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求代表的代数式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了正方体相对两个面上文字以及整式的加减，掌握运算法则是关键，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． （1）利用正方体及其表面展开图的特点解题； （2）相对两个面所表示的代数式的和都相等，则有， 将各代数式代入并化简则可获解． 【详解】（1）解：的对面是，的对面是． 故答案为E，F； （2）解：和是相对的面，且所有相对的面代数式的和相等， ，， ． ． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示的图形经过折叠可以得到一个正方体． (1)折好后，与“”面相对面上的数是_____，与“8”面相对面上的数是_____，与“3”面相对面上的数是_____； (2)若折好后相对面上的两数之和为5，求的值. 【答案】(1)z；x；y (2)1 【分析】本题主要考查正方体的展开图及有理数的运算，解题的关键是掌握正方体展开图的特征； （1）根据正方体展开图的特征可进行求解； （2）由（1）可分别求出x、y、z的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图可知：折好后，与“”面相对面上的数是z，与“8”面相对面上的数是x，与“3”面相对面上的数是y； 故答案为：z；x；y； （2）解：由（1）可知：， ∴． 【变式题4-3】．（25-26七年级上·河北·期中）（1）如图1，这是从上面看到的由几个小正方体组成的几何体的平面图．小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的平面图，并用阴影表示出来． （2）如图2，这是一个正方体的展开图．如果正方体相对两个面上的数互为相反数，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，正方体的展开图，代数式求值； （1）从正面看有3列，每列小正方体数目分别为，，；从左面看有列，每列小正方体数目分别为，，．据此可画出图形． （2）根据正方体展开图相对面的特征“隔一个或成字端”，得出和的值，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示 （2）与，与是相对面， ∵正方体相对两个面上的数互为相反数， ∴． ∴． 【题型5】从不同方向看几何体（提升） 1.核心知识点总结 三视图定义：从正面看（主视图）、左面看（左视图）、上面看（俯视图）。 视图特征：主视图反映几何体的长和高，左视图反映宽和高，俯视图反映长和宽。 2.高频考点梳理 画简单几何体的三视图（如小正方体组合体、长方体与圆锥组合体）。 根据视图判断几何体（如主视图和左视图是三角形，俯视图是圆→圆锥）。 3.易错点警示 画视图时漏看小正方体层数（如上层小正方体未在视图中体现）。 混淆左视图和俯视图的观察方向（左视图从左侧看，俯视图从上方看）。 4.解题技巧拆解 分层观察：先看底层小正方体分布，再看上层叠加情况。 对齐原则：主视图与俯视图长对齐，主视图与左视图高对齐，左视图与俯视图宽对齐。 【例题5】．（2024·广西·中考真题）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 【变式题5-1】．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）用7个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，请你在方格中画出该几何体的三种视图． 【答案】见解析 【分析】此题考查了从不同方向看几何体．几何体从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1；从右面看有3列，每行小正方形数目分别为2，1，1． 【详解】 解：如图所示： ． 【变式题5-2】．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如图乙的几何体，其三视图分别是图1－甲中三个图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了从不同位置看简单组合体，属于基础题，注意理解三视图观察的方向．根据左视图、主视图及俯视图判断出组合体，即可作出判断． 【详解】解：根据乙中三视图，只有A选项符合题意， 故选：A． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·山东济南·期中）按要求完成下列视图问题： (1)请画出甲图从上面看到的形状图； (2)如图，乙图是由几个小立方块组成的从上面看到的该几何体的俯视图，小方框内的数字表示这个位置小立方块的个数，请画出乙图从正面看到的形状图； (3)如丙图，它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，从正面、左面、上面三个方向看到的新的几何体的视图与原几何体的视图相比，其中___________（填序号）得到的图形没有发生改变． ①从正面看    ②从左面看   ③从上面看 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)② 【分析】本题考查了从不同方向观察几何体，解题的关键是明确从不同方向观察时小正方体的分布情况． （1）观察甲图从上面的小正方体布局，画出相应形状； （2）根据乙图俯视图的数字确定正面每列小正方体的层数，画出形状； （3）分析移走正方体①后三个方向视图的变化，确定不变的视图． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：移走正方体①后，从左面看的图形未改变， 故选：② 【题型6】由三视图还原几何体（含小正方体个数最值）（提升） 1.核心知识点总结 俯视图定底层：俯视图的正方形个数=底层小正方体个数。 主视图定列高：主视图每列的高度=对应列小正方体的最大层数。 左视图定行高：左视图每行的高度=对应行小正方体的最大层数。 2.高频考点梳理 求组成几何体的小正方体最少个数和最多个数。 根据三视图还原几何体并计算表面积/体积。 3.易错点警示 计算最多个数时，未按主视图和左视图的限制叠加小正方体。 计算最少个数时，漏算“必要叠加”的小正方体（如某位置需满足主视图和左视图的高度要求）。 4.解题技巧拆解 标注法：在俯视图的每个正方形上标注最大层数（主视图与左视图的交集），最少个数取“满足高度的最小叠加”，最多个数取“最大层数之和”。 举例：俯视图3×3，主视图最大高2，左视图最大高2，最少10个，最多18个。 【例题6】．（25-26七年级上·河南郑州·月考）如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成． (1)请画出从正面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为_____． (3)重新用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_____个小立方块． 【答案】(1)图见解析 (2)30 (3)7 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握几何体的特征是解题的关键． （1）根据几何体的特征画图即可； （2）观察几何体，从正面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有3个小正方形，但其中有4个小正方形被遮挡，再根据几何体的表面积公式计算即可； （3）由从正面看到的图形可知，搭这样一个几何体需要2层，第一层需要5个小立方块，第二层至少需要2个小立方块，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：从正面、上面看到的这个几何体的形状图如下： （2）解：观察几何体，从正面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有3个小正方形，但其中有4个小正方形被遮挡； ∴这个几何体的表面积为， 故答案为：30； （3）解：由从正面看到的图形可知，搭这样一个几何体需要2层， 第一层需要5个小立方块，第二层至少需要2个小立方块， ∴搭这样一个几何体最少要（个）小立方块． 故答案为：7． 【变式题6-1】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图； (2)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从正面和从左面看的图形都不变，最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了从不同方向看物体，解题的关键是发挥空间想象能力，数形结合． （1）根据从这个几何体的三个不同方向看到的形状图即可； （2）在上面看的相应位置上，添加小正方体，使从左面和正面看不变，画图解决问题即可 【详解】（1）解：如图，从不同方向看， （2）解：如图， ∴最多加个小正方体， 故答案为：． 【变式题6-2】．（25-26七年级上·陕西安康·期中）用5个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示． (1)请画出这个几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_____个相同的小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体，正确理解题意是解题的关键．． （1）确定从上面看和从左面看的图形的层数和列数，以及对应位置的分布情况，再画出对应的图形即可； （2）在从上面看的图形中，第一排左起第二列和第三列上面一层各添加一个可保持从上面看和从左面看的图形不变，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：最多添加方式如下图所示： 根据题意可知，在从上面看的图形中，第一排左起第二列和第三列上面一层各添加一个可保持从上面看和从左面看的图形不变， 故答案为：2． 【变式题6-3】．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）用小立方块搭一个几何体，使它从正面看和从上面看的形状图如图所示，从上面看的形状图中的小正方形中字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题： (1)________，________，________． (2)这个几何体最少由________个小立方块搭成；最多由________个小立方块搭成． (3)当，时，画出这个几何体从左面看的形状图． 【答案】(1)1，1，3 (2)9，11 (3)见解析 【分析】本题主要考查认识立体图形．从不同方向看几何体的形状，熟练掌握从不同方向看几何体的形状是解题的关键． （1）结合图形判断即可； （2）结合图形，判断中间一列小正方形的个数即可； （3）根据题意，画出图形即可． 【详解】（1）解：由题意可知，从正面看的图形中，最左侧一列只有1个正方形，所以， 从正面看的图形中，最右侧一列有3个正方形，且从上面看的图形中，最右侧一列只有1个正方形，所以； 故答案为：1，1，3； （2）解：从正面看的图形中，中间一列有2个正方形，且从上面看的图形中，中间一列有3个正方形， 所以当c，d，e中有一个为2，另外两个为1时，正方形个数最少，最少为（个）； 当时，正方形个数最多，最多为（个）； 故答案为：9；11； （3）解：当，时，从左面看为： 【题型7】几何体的截面问题（提升） 1.核心知识点总结 截面定义：用平面截几何体得到的平面图形。 常见截面：正方体截面可为三角形、长方形、正方形、五边形、六边形；圆柱截面可为圆、长方形、椭圆。 截面边数：最多为几何体的面数（如正方体最多截出六边形）。 2.高频考点梳理 判断截面形状（如用平行于底面的平面截圆柱→圆，用倾斜平面截圆柱→椭圆）。 求截面相关计算（如截面是三角形时求边长，截面是长方形时求面积）。 3.易错点警示 认为正方体不能截出五边形/六边形（最多可截出六边形，需经过6个面）。 误将圆锥的截面当作圆（倾斜截圆锥可得椭圆或三角形）。 4.解题技巧拆解 分类讨论：按平面与几何体的夹角、是否过顶点/棱分类。 联想模型：用铅笔模拟平面，观察与几何体的交线形状。 【例题7】．（25-26七年级上·陕西安康·期中）若用平面分别截下列几何体：①五棱柱；②圆锥；③球，得到的截面不可能是三角形的是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了截面的相关知识，截面的形状既与被截的几何体有关系，又与截面的角度和方向有关，由此求解即可． 【详解】①用平面截五棱柱时，如果截面通过三个顶点，可以得到三角形截面； ②用平面截圆锥时，如果截面通过顶点且与底面相交，可以得到三角形截面； ③用平面截球时，无论什么方向截取，截面都是圆，不可能是三角形． 故答案为：③． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）用一个平面去截一个几何体，它的截面中有长方形，但没有圆，这个几何体可能是 ．（写一个即可） 【答案】长方体（答案不唯一） 【分析】本题考查截一个几何体的截面形状，掌握相关知识是解决问题的关键．截面中有长方形但没有圆，表明几何体没有曲面，因此可能是多面体，如长方体等． 【详解】解：长方体是由六个长方形的面组成的多面体，没有曲面，用一个平面截长方体时，截面可以是长方形，但由于几何体没有曲面，截面不可能为圆形，因此符合条件． 故答案为：长方体（答案不唯一）． 【变式题7-2】．（25-26六年级上·山东东营·期中）用一个平面去截下列几何体，不能得到三角形截面的几何体是（    ） A．长方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】考查知识点几何体的截面形状．结合几何体结构，想象平面切割方式．关键：掌握各几何体的面、棱或母线特征．易错点：混淆圆柱的曲面结构，误判其能切出三角形．解题思路：逐一分析每个几何体的切割可能：长方体或三棱柱：斜切棱或平行于三角形面，可切出三角形；圆柱：侧面是曲面、底面是圆，无“棱”，无法切出三角形；圆锥：沿母线切，可切出三角形．排除能切出三角形的选项，选圆柱． 【详解】解：∵ 长方体沿对角线截取一个角，可得三角形截面； ∵ 三棱柱的底面为三角形，平行于底面截取可得三角形截面； ∵ 圆锥过顶点截取可得三角形截面； ∵ 圆柱的截面可能为圆、椭圆或矩形，但无法得到三角形截面． ∴ 不能得到三角形截面的几何体是圆柱， 故选：D． 【变式题7-3】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一个平面截一个几何体，截面出现了如图所示的四种形状，该几何体是下列选项中（   ） A．圆锥 B．五棱柱 C．长方体 D．圆柱 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体．截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 根据该图形的截面来判断该几何体． 【详解】解：因为能截出圆的截面的几何体有球、圆柱、圆锥，而球和圆锥截不出矩形，所以原几何体是圆柱． 故选：D． 【题型8】立体图形旋转形成的几何体及计算（培优） 1.核心知识点总结 旋转规律：直角三角形绕直角边旋转→圆锥，长方形绕一边旋转→圆柱，半圆绕直径旋转→球。 计算关键：确定旋转半径（r）和高（h），体积公式：，。 2.高频考点梳理 判断平面图形旋转后的几何体（如直角梯形绕腰旋转→圆台）。 计算旋转后的体积/表面积（如长方形长6cm宽4cm，绕宽旋转的体积）。 3.易错点警示 混淆旋转半径和高（如直角三角形绕斜边旋转，半径是斜边上的高，不是直角边）。 计算圆锥体积时漏乘。 4.解题技巧拆解 画旋转示意图：确定旋转轴，标注旋转半径和高。 公式套用：先判断几何体类型，再代入对应公式计算。 【例题8】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一张长方形纸片，长为，长为，将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周． (1)所得到的几何体是______，这个现象用数学知识解释为______（选填“点动成线”，成面”“面动成体”）； (2)求形成的几何体的表面积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2)形成的几何体的表面积是 【分析】本题主要考查了求圆柱的表面积，面动成体， 对于（1），根据长方形旋转得出圆柱解答； 对于（2），根据表面积等于两个底面积加上侧面积解答即可． 【详解】（1）解：所得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体． 故答案为：圆柱，面动成体； （2）解：绕所在直线旋转一周，形成底面半径为，高为的圆柱， ． 形成的几何体的表面积是． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）综合与实践 (1)如图1是一个粮仓，是由一个圆柱和圆锥组成． ①用一个平面去截图1，截面可能是 ；（写出一个即可） ②图1可以用 中的图形绕虚线旋转一周得到． (2)一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图2所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】(1)①圆（答案不唯一，合理即可）； ②C (2)见解析 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，从不同方向看几何体． （1）①根据截面的方向，结合立体图形的特点分析即可；②根据选项一一判断即可． （2）从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为1，3，2；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此画出图形即可． 【详解】（1）解：①当截面平行于底面时，截面是圆． 故答案为：圆（答案不唯一，合理即可）． ②A、此选项的图形旋转一周所得的图形中间是圆柱，两端是圆锥，不符合题意； B、此选项的图形旋转一周所得的图形为圆台，不符合题意； C、此选项的图形旋转一周所得的图形即为题干所示立体图形，符合题意； D、此选项的图形旋转一周所得的图形是两个圆锥，不符合题意； 故选：C． （2）解：如图： 【变式题8-2】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是__________，这一过程体现了__________．（填序号） ①点动成线；②线动成面；③面动成体． (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱，③ (2)得到的几何体的体积为或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体； （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆柱，③； （2）解：①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或． 【变式题8-3】．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙． (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为（   ） A．点动成线    线动成面    面动成体 (2)求甲、乙圆柱体的侧面积的大小．用字母和表示） (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系？ 【答案】(1)C (2)甲、乙圆柱体的侧面积都是 (3)甲、乙圆柱体的侧面积相等 【分析】此题考查了点、线、面、体之间的关系以及圆柱的侧面积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平面旋转后得到圆柱体即可知道是面动成体； （2）根据底面圆周长乘高，分别计算出甲、乙圆柱体的侧面积； （3）根据（2）的答案可得结论． 【详解】（1）解：甲乙圆柱体形成的过程可以解释为面动成体， 故选：C； （2）解：甲圆柱的侧面积为：， 乙圆柱的侧面积为：； （3）解：∵甲圆柱体的侧面积为：，乙圆柱体的侧面积为：， ∴甲、乙圆柱体的侧面积相等． 【题型9】几何图形折叠与展开综合计算（培优） 1.核心知识点总结 折叠性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，表面积不变（无裁剪时）。 展开图与原几何体关系：展开图的面积=原几何体的表面积。 2.高频考点梳理 长方体/正方体展开图求表面积/体积（如已知展开图边长，求原几何体体积）。 无盖几何体展开图求用料面积（如无盖正方体展开图求硬纸面积）。 3.易错点警示 折叠时忽略“重合边”（如长方体展开图中，相对的边折叠后重合，计算时避免重复）。 计算无盖几何体表面积时，多算底面（如无盖正方体只算5个面）。 4.解题技巧拆解 标注边长：在展开图上标注原几何体的长、宽、高，避免混淆。 逆向思维：由展开图求原几何体时，先确定原几何体的棱长（如正方体展开图的正方形边长=原正方体棱长）。 【例题9】．（25-26七年级上·广东茂名·期中）综合实践： 小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图（1）、图（2）所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)观察判断：小明共剪开了 条棱； (2)动手操作：现在小明想将剪断的图（2）重新粘贴到图（1）上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图（3）），请你帮助小明在图（1）中补全图形（只需画其中一种情况）； (3)解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的6倍，求这个纸盒的表面积． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)这个长方体纸盒的表面积为． 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征以及长方体体积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据展开图中的“未剪开的棱”得出“剪开的棱”即可； （2）根据长方体表面展开图的特征进行解答即可； （3）先求出长方体的高，再根据长方体体积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由图1可知，未剪开的棱还有4条，所以剪开的棱有（条）， 故答案为：8； （2）解：如图，有两种情况： （3）解：这个长方体的高为， 所以表面积为， 答：这个长方体纸盒的表面积为． 【变式题9-1】．（25-26七年级上·全国·期中）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．B．C．D． (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 ； (3)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①见解析；② 【分析】本题考查正方体的表面展开图、正方体相对两面上的字． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①画出相应的图形即可；②直接根据体积公式计算即可． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：C； （2）解：由正方体表面展开图的“相间、Z字形是对面”可知，“保”的对面是“卫”， 故答案为：卫； （3）解：①在边长为的正方形的四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒的示意图如下： ②当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高是， 所以体积为． 【变式题9-2】．（25-26七年级上·广东茂名·阶段练习）【拓展探究】某综合实践小组开展“制作长方体纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①－⑥图形中，是正方体的表面展开图的有 （只填写序号）； 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按两种方式制作长方体纸盒． 如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个无盖长方体纸盒，则制作成的无盖长方体纸盒的体积是多少？ 如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个有盖的长方体纸盒，则制作成的有盖长方体纸盒的体积是多少？ 【答案】（1）①⑤⑥；（2）588，294 【分析】本题主要考查立体图形的展开，解题的关键是正确记忆相关知识点． （1）根据正方体展开图所得的面数和上下底与侧面关系即可判断； （2）结合图形分别求得各自的长宽高即可得到体积． 【详解】解：（1）根据正方形展开图所得的面数和上下底与侧面关系可得： ②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故②错误； ③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合， ④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故④错误； 故答案为：①⑤⑥； （2）无盖盒子的体积为：， 有盖盒子的长：，宽为：，高为：， 有盖盒子的体积为：， 故答案为：588，294． 【变式题9-3】．（25-26六年级上·山东泰安·阶段练习）【问题背景】 七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒．    【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 （填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 （2）图2是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的是“ ”． 【实践操作】 （3）如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 【答案】（1）C（2）保（3）①见解析② 【分析】本题主要考查了展开图折叠几何体，正方形相对两面上的字，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）无盖正方体有五个面，的组合不能折叠成立方体，据此解答； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①在现有正方形四个角画出全等的四个小正方形，然后依次虚线连接相邻两个小正方形在大正方形内的顶点； ②长方体的高即为小正方形的边长，长和宽为大正方形边长减去两个小正方形的边长，然后根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】解：（1）无盖正方体有五个面， ∴B和D不符合题意， 的组合不能折叠成立方体， ∴A不符合题意； 故选：C； （2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的字是保， 故答案为：保； （3）①如图：    ② ． 【题型10】创新情境下的几何图形应用（培优） 1.核心知识点总结 情境转化：将生活中的物体（如鲁班锁、折叠灯笼、快递包装盒）抽象为几何图形。 核心考点：几何体的识别、展开图、三视图、体积/表面积计算。 2.高频考点梳理 鲁班锁构件的几何体识别与三视图绘制。 折叠灯笼的“面动成体”原理应用。 快递包装盒（长方体）的展开图设计与用料最省问题。 3.易错点警示 无法将复杂情境抽象为简单几何图形（如鲁班锁构件看作棱柱组合）。 设计用料最省时，未考虑“重合面”（如多件产品包装时，重合面越多用料越省）。 4.解题技巧拆解 简化情境：忽略无关细节（如颜色、图案），聚焦物体的形状和结构。 联系考点：情境题本质是“几何图形+计算”，先确定考点（如展开图→表面积），再套用知识点。 【例题10】．（25-26七年级上·山西运城·期中）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．十分巧妙．如图是一种简单的鲁班锁．由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸吻合，组成外观严丝合缝的十字型几何体，其上下、左右、前后分别对称． 已知这些四棱柱木条的高为，底面正方形的边长为． (1)求这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积； (2)求这个鲁班锁的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解组合体的表面积，以及从正面看到的几何图形的面积． （1）由正面看到的是两个长方形重叠在一起，重叠部分是边长为2的正方形，即可求解； （2）由图形可知，这个鲁班锁六个面的面积相同． 【详解】（1）解：由正面看到的是两个长方形重叠在一起，重叠部分是边长为2的正方形， ∴这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为． （2）解：由（1）知这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为． 这个鲁班锁六个面的面积相同， ∴这个鲁班锁的表面积为． 【变式题10-1】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）综合与实践：制作底面为正六边形的直六棱柱灯笼 小明准备仿照图1制作一个灯笼，抽象出几何图形是一个底面为正六边形的直六棱柱，如图2．选用A、B两种型号硬纸板进行裁剪，一张A型号纸板可剪成2个侧面，一张B型号纸板可剪成1个与之配套的底面，裁剪后剩余角料不再利用．现有两种型号的硬纸板共计20张，且裁剪出的侧面和底面恰好全部用完．问：每种型号的纸板各多少张？装饰灯笼的丝带需要多长？ 【理解问题】 （1）每个灯笼由________个形状、大小完全相同的小长方形侧面和_________个形状、大小完全相同的正六边形底面组成． 【分析问题】 （2）设其中张硬纸板是A型号，其余的是B型号．用含的代数式表示其他量． A型号 B型号 硬纸板数目（张） ① 侧面数目（个） ② 底面数目（个） ③ 【解决问题】 （3）每种型号的纸板各多少张？能制成多少个灯笼？请根据每个灯笼中侧面和底面的数量关系列方程解决． （4）使用A型号的硬纸板是规格，即长方形硬纸板长，宽，要用丝带给制作出来的每个灯笼的各条棱上都描上边儿，所需丝带有多长？ 【回顾反思】（5）表格对解决这类问题有什么作用？（20字以内） 【答案】（1），；（2），，；（3）故A型号的纸板张，B型号的纸板张，能制成个灯笼；（4）所需丝带；（5）见解析 【分析】本题考查了六棱柱、列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据六棱柱的特点求解； （2）根据两种纸板的作用求解； （3）根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （4）根据题意列出算式，计算即可得解； （5）根据表格的作用即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得：每个灯笼由个形状、大小完全相同的小长方形侧面和个形状、大小完全相同的正六边形底面组成； （2）设其中张硬纸板是A型号，则有张是B型号，可得侧面有个，底面有个； （3）由题意可得：， 解得：， ∴， ， 故A型号的纸板张，B型号的纸板张，能制成个灯笼； （4）， 故所需丝带； （5）表格的作用为：理清各个量之间的关系． 【变式题10-2】．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 自制糕点包装礼盒 提出问题：如何制作一个长方体形糕点包装礼盒 包装要求：每个包装礼盒装8枚糕点 解决问题： (1)选取材料：根据8枚糕点的总质量选择合适的包装材料．同时还想了解制作的糕点质量是否均衡，于是将8枚糕点分别称重并记录，数据如下（每枚糕点的标准质量为80g，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 与标准质量的差／ 0 0 ①求这8枚糕点的总质量； ②求这8枚糕点中，质量最大的与最小的相差多少？ (2)制作礼盒：需要制作一个有盖的长方体盒子． 以下是组员们为制作有盖的长方体画的展开图．其中正确的是______． 同学们根据正确的展开图制作了长方体礼盒． (3)打包礼盒：如图，在礼盒上扎了一条漂亮的丝带，已知长方体礼盒的长、宽、高分别为，，（），打蝴蝶结要的丝带． ①用含的代数式表示丝带总长； ②若，，，求丝带的总长． 【答案】(1)①；② (2)A (3)①；② 【分析】本题主要考查了正负数应用，展开图折叠成几何体．解决本题的关键是熟练掌握有理数的混合运算，根据展开图确定出立体图形． （1）①80乘以6再加上超过与不足标准质量的总和；②比较超过或不足标准质量的大小，用最大数减去最小数； （2）能制作无盖的长方体的展开图只有A； （3）①梱扎长方体礼盒的丝带构成两个长方形，周长分别为 ，，再加上打蝴蝶结要的丝带，即得丝带总长；②当，，，时，代入①中结果，计算即得． 【详解】（1）解：①； ②， ． （2）解：A、可以做一个有盖长方体盒子； B、做不了无盖长方体盒子； C、只能做一个无盖三棱柱盒子； D、可以做一个无盖长方体盒子； 故选：A． （3）解：①； ②当，，时， ． 【变式题10-3】．（25-26七年级上·广东茂名·月考）综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材 一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．    素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为、、进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法．    任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是_____（填序号）．    任务二 由材料二可知，如果a=20cm，b=4cm，图1长方体纸盒的底面周长为______cm，体积为_________． 图2的设计中，如果，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】任务一： 任务二：48；576； 任务三：图见解析，76cm 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 任务一：根据无盖正方体纸盒的展开图求解即可； 任务二：①根据正方形周长公式即可得解；根据长方体的体积公式即可得解； 任务三：根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】解：任务一：不是无盖正方体盒子的表面展开图的是， 故答案为：； 任务二：图长方体纸盒的底面周长为：，体积为：． 图的设计中，该长方体纸盒的体积为：， 当，时，该长方体纸盒的体积为：， 任务三：该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图如下： 周长为： 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西运城·期中）用一个平面按如图的方式截该几何体，则截面的形状是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查截一个几何体，认真观察图中的截面是解题的关键． 观察图中的截面可直接得出答案． 【详解】解：观察图中的截面，可知截面是四边形，不是正方形． 故选：C． 2．（25-26七年级上·甘肃天水·期中）如果一个棱柱共有15条棱，那么它是（     ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的判断，熟练掌握棱柱的棱总数和底面边数的关系是解题的关键． 棱柱的棱总数等于底面边数的3倍，据此求解即可． 【详解】解：设棱柱的底面边数为n，则棱总数为， ∵， ∴， 故为五棱柱． 故选：C． 3．（25-26七年级上·山西运城·期中）随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面动成体对各选项分析判断利用排除法求解． 本题考查了点、线、面、体，准确识图观察出得到的几何体的曲面的形状是解题的关键． 【详解】解：观察四个选项，A选项中的平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶， 故选：A． 4．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）一个几何体，从上面看到的图形是，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是．这个几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了从上面、前面、左面看几何体，分别判断四个选项从上面、前面、左面看到的图形，判断即可． 【详解】 解：A、从上面看到的图形是，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，符合题意． B、从上面看到的图形是，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，不符合题意． C、从上面看到的图形是，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，不符合题意． D 、从上面看到的图形是，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，不符合题意． 故选：A． 5．（25-26七年级上·广东深圳·期中）海旺学子砥砺前行，如图是一个正方体的展开图，将其折叠成正方体后，与“奋”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．不 B．海 C．旺 D．奋 【答案】B 【分析】本题考查正方体相对面上的字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此得出答案即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“奋”与“海”是相对面， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图所示的是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体最少需要 个，最多需要 个． 【答案】 【分析】本题考查了由从不同方向看几何体，由从不同方向看几何体想象几何体的形状，得到几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．根据从正面看，结合从上面看可得最多需要的小正方体的数量，再在此基础上结合从正面看，减少小正方体的数量可得答案． 【详解】解：如图， ∴搭成这个几何体的小正方体最多需要个， 结合从正面看在从上面看的视图中：第二列减少个，第三列减少个，如图， ∴搭成这个几何体的小正方体最少需要（个）． 故答案为：， 7．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是 ．    【答案】25 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长． 则底面正方形的面积是 故答案为： 8．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一个正方体的平面展开图，要使展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则图中 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体平面展开图中相对面的识别及相反数的概念，熟练掌握正方体展开图中相对面的位置关系是解题的关键． 先确定正方体平面展开图中相对的面，再根据“相对面上的数互为相反数”求出、、的值，最后计算它们的和． 【详解】解：在正方体平面展开图中： ∵ 与是相对面， ∴ ． ∵ 与是相对面， ∴ ． ∵ 与是相对面， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 10．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）中国已经成为亚洲体育第一强国．小明将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图．在原正方体中，与“一”字所在面相对的面上的汉字是 ． 【答案】体 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，异行Z字形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，与“一”字所在面相对的面上的汉字是体； 故答案为：体． 三、解答题 11．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图是一个由若干个大小相同的小正方体搭建成的几何体，其中每个小正方体的棱长为． (1)请按要求在方格内分别画出这个几何体从三个不同方向看到的形状图； (2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：___________． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据从正面、左面和上面看到的图形画图即可； （）求出几何体的表面正方形的个数，进而即可求解； 本题考查了从不同方向看几何体，几何体的表面积，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：从前面和后面看，各有个正方形；从左面和右面看，各有个正方形；从上面和下面看，各有个正方形；中间相对的面有个正方形， ∴几何体的表面共有个正方形， ∵每个正方形的面积为， ∴几何体的表面积为：， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了形状图的画法，熟练掌握“由俯视图确定列数，由各位置小立方体个数确定每列层数”是解题的关键． 根据从上面看到的形状图及各位置小立方体个数，确定正面和左面看到的列数、每列小正方形层数，进而画出视图． 【详解】解：如图， 13．（25-26六年级上·山东威海·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形． (1)你同意___________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算，甲乙立体图形的体积？ 【答案】(1)小红 (2)甲的体积为，乙的体积为 【分析】本题考查求圆柱和圆锥的体积，熟知圆柱和圆锥的体积计算公式是解题的关键： （1）由旋转后所得的立体图形的形状可判断； （2）由甲图的体积是圆柱体与圆锥体体积的差，乙图的体积是圆柱体与圆锥体体积的和，据此进行求解即可． 【详解】（1）解：两个立体图形的体积不相等，所以同意小红的说法； 故答案为：小红； （2）解：甲的体积为． 乙的体积为． 14．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ (2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？ (4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)共有9个面；侧面是长方形 (2)21，14 (3)这个棱柱的侧面积之和是 (4)直n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查棱柱的组成，理解棱柱各部分的数量是解题的关键． （1）直接观察七棱柱即可解答； （2）观察七棱柱即可解答； （3）将根据长方形的面积公式求出每个侧面的面积，再乘以侧面的数量7个即可解答； （4）由七棱柱的规律，总结即可解答． 【详解】（1）这个直七棱柱有7个侧面，2个底面，共有9个面；侧面是长方形； （2）七棱柱一共有21条棱，一共有14个顶点． 故答案为：21，14； （3）， 故这个棱柱的侧面积之和是； （4）直n棱柱共有个顶点，共有条棱． 15．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）一个几何体由若干个完全相同的小立方体搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数． (1)分别画出从正面和左面看该几何体的形状图． (2)如果将这个几何体表面涂上红色（底面不涂），则需要涂________个面． 【答案】(1)图见解析 (2)41 【分析】本题考查从不同方向看几何体，良好的空间想象能力，是解题的关键： （1）根据从上面看到的图形，得到从正面看有3列，第1列有4个小正方形，第2列有2个小正方形，第3列有3个小正方形，从左面看有3列，第1列有2个小正方形，第2列有4个小正方形，第3列有3个小正方形，画出图形即可； （2）根据题意，需要涂的面包括前后两个面，左右两个面，上面一个面，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，画图如下： （2）需要涂的面有（个）面； 故答案为：41． 16．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在一次综合与实践活动中，同学们开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，知识准备：下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） 下表是活动的相关信息． 使用材料 制作目标 操作方法 示意图 边长为的正方形纸板 制作一个无盖的长方体纸盒 先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来 制作一个有盖的长方体纸盒 先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的长方形，再沿虚线折合起来 解答下列问题： (1)用含a和b的代数式表示无盖的长方体纸盒的底面积，并求当，时，这个长方体纸盒的底面积； (2)细心的同学发现，制作的有盖的长方体纸盒的长是宽的2倍，若要求这个长方体纸盒的宽是高的3倍少，试探究a和b应满足的等量关系（结果用含b的代数式表示a）； (3)受这次活动的启发，小刚想用一张长为，宽为的长方形纸板，制作一个高为的有盖的长方体纸盒（如图），请你用含m，n，h的代数式表示这个长方体纸盒的体积． 若已知，，，求制作的长方体纸盒的体积？ 【答案】(1)②，， (2) (3)， 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解；根据题意求出长方体纸盒的底面积即可； （2）根据制作的有盖的长方体纸盒的长是宽的2倍，若要求这个长方体纸盒的宽是高的3倍少，列方程求解即可； （3）分别用含m，n，h的代数式，表示长方体边长，进而可以列式得解，结合所得代数式，进而代入计算可以得解． 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒． 故答案为：②． 由图可得，无盖的长方体纸盒的底面为正方形，边长为， ∴底面积为． 当，时， ． ∴这个长方体纸盒的底面积为． （2）解：根据题意得，有盖的长方体纸盒的长为，高为， ∵这个长方体纸盒的宽是高的3倍少， 宽为． ∵长是宽的2倍， ，． （3）解：根据题意得，长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴长方体纸盒的体积为． 当，，时， 长方体纸盒的体积为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1几何图形 【题型1】立体图形与平面图形的识别 1.核心知识点总结 立体图形：各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱、圆锥、球等。 平面图形：各部分都在同一平面内，如三角形、长方形、圆、线段等。 分类关键：判断图形各部分是否共面，立体图形含柱体、锥体、球体，平面图形含多边形、圆形等。 2.高频考点梳理 实物抽象几何图形（如金字塔→四棱锥、西瓜→球）。 几何图形分类（按立体/平面，或柱体/锥体/球体）。 识别复杂图案中的平面图形组成（如交通标志含圆、长方形）。 3.易错点警示 混淆“球体”（立体）与“圆”（平面）、“正方体”（立体）与“正方形”（平面）。 误将台体归为柱体（台体上下底面大小不同，柱体上下底面全等）。 4.解题技巧拆解 抓本质：立体图形有“厚度”感，平面图形无“厚度”。 记特征：柱体有两个全等底面（圆柱底面是圆，棱柱底面是多边形），锥体只有一个底面。 【例题1】．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）下列实物中，能抽象出圆柱的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26七年级上·山西运城·期中）如图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（   ） A．棱柱 B．球 C．圆柱 D．圆锥 【变式题1-2】．（25-26七年级上·山西太原·期中）如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（   ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．四棱柱 【变式题1-3】．（25-26六年级上·山东泰安·期中）观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：② ；⑥ ； （2）在以上几何体中，是柱体的有 （填序号）；含曲面的有 （填序号）． 【题型2】点、线、面、体的关系判断 1.核心知识点总结 构成关系：体→面→线→点（体相交成面，面相交成线，线相交成点）。 运动关系：点动成线，线动成面，面动成体。 面的分类：平面（如长方体的面）和曲面（如圆柱的侧面）。 2.高频考点梳理 生活现象对应数学原理（如流星划过→点动成线，折扇展开→线动成面）。 判断运动形成的图形（如线段旋转→圆面，长方形旋转→圆柱）。 3.易错点警示 混淆“线动成面”与“面动成体”（如自行车辐条运动是线动成面，不是面动成体）。 误将“两点确定一条直线”与点动成线混淆（前者是直线性质，后者是运动关系）。 4.解题技巧拆解 找运动主体：明确是点、线、面中的哪一种在运动。 联想结果：点运动轨迹是线，线运动轨迹是面，面运动轨迹是体。 【例题2】．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）在《哪吒之魔童闹海》电影中，哪吒用火尖枪刺向敌人时，枪尖在空气中划出一道红色光痕，这符合 的几何规律． 【变式题2-1】．（25-26七年级上·广东梅州·期中）如图，你见过一种折叠灯笼吗？它折叠起来是一张圆形的纸，打开后就变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用 的数学原理来解释． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·全国·周测）用数学知识解释下列现象： （1）飞机做飞行表演时的“飞机拉线”，解释为 ． （2）汽车雨刷刷过的路径，解释为 （3）一个圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成球，解释为 ． 【变式题2-3】．（25-26七年级上·河北衡水·期中）下列对生活现象的解释错误的是（    ） A．汽车雨刷将前挡风玻璃上的水擦除――线动成面 B．笔尖在纸上滑动写字――点动成线 C．将一个三角形纸片剪去一个角，剩余图形周长比原图形周长小――两点之间，线段最短 D．小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物――两点确定一条直线 【题型3】常见几何体的展开图识别 1.核心知识点总结 圆柱：2个圆形底面+1个长方形侧面。 圆锥：1个圆形底面+1个扇形侧面。 棱柱：2个全等多边形底面+若干长方形侧面（n棱柱有n个侧面）。 正方体：11种展开图（“一四一”“三三”“二三一”“二二二”型）。 2.高频考点梳理 匹配几何体与展开图（如给出展开图判断对应几何体）。 判断给定图形能否折叠成几何体（如含“田”“凹”型的图形不能折成正方体）。 3.易错点警示 认为“圆+三角形”是圆锥展开图（应为圆+扇形）。 忽略棱柱展开图中“底面边数=侧面个数”（如三棱柱展开图有3个长方形侧面）。 4.解题技巧拆解 记特征：“圆+长方形”→圆柱，“圆+扇形”→圆锥，“多边形+长方形”→棱柱。 排除法：含曲面的几何体展开图必有圆或扇形，全是平面的几何体展开图全为多边形/长方形。 【例题3】．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）下列展开图中经折叠不能围成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·陕西·期中）如图，分别在图1和图2无阴影的方格中各选出两个画出阴影，使它们与图中已有的个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（图1和图2补全后的阴影部分形状不能相同） 【变式题3-2】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）下列图形折叠成立体图形后不是所有面都是平的是（   ） A．B． C． D． 【变式题3-3】．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，阴影部分是由5个相同的小正方形组成的，在图中有编号的位置选择一个正方形，使它与阴影部分组成的新图形经过折叠可以得到一个正方体，则选择的编号可以是 ．    【题型4】正方体展开图与相对面问题（提升） 1.核心知识点总结 正方体展开图禁忌：“一线不过四”“田”“凹”型必不是展开图。 相对面规律：相间、Z端是对面（同一行/列中间隔一个面的是相对面，Z字形两端是相对面）。 相对面性质：折叠后相对面不相邻，且正方体有3组相对面。 2.高频考点梳理 求相对面上的文字/数字（如展开图中“我”的对面是“中”）。 已知相对面关系求未知数字（如相对面数字和为7，求未知数字）。 3.易错点警示 误将相邻面当作相对面（如“一四一”型中，中间四个面两两相邻）。 漏记“三三”型展开图的相对面（同一行的两个面不是相对面，不同行隔一列是相对面）。 4.解题技巧拆解 画简易图：将展开图按比例画出，标注字母后折叠判断。 用口诀：“相间相对，Z端相对，相邻不相对”。 【例题4】．（25-26六年级上·山东淄博·阶段练习）如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为0，则 ． 【变式题4-1】．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）如图所示是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： (1)的对面是________，的对面是________． (2)若，，，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求代表的代数式． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示的图形经过折叠可以得到一个正方体． (1)折好后，与“”面相对面上的数是_____，与“8”面相对面上的数是_____，与“3”面相对面上的数是_____； (2)若折好后相对面上的两数之和为5，求的值. 【变式题4-3】．（25-26七年级上·河北·期中）（1）如图1，这是从上面看到的由几个小正方体组成的几何体的平面图．小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的平面图，并用阴影表示出来． （2）如图2，这是一个正方体的展开图．如果正方体相对两个面上的数互为相反数，求的值． 【题型5】从不同方向看几何体（提升） 1.核心知识点总结 三视图定义：从正面看（主视图）、左面看（左视图）、上面看（俯视图）。 视图特征：主视图反映几何体的长和高，左视图反映宽和高，俯视图反映长和宽。 2.高频考点梳理 画简单几何体的三视图（如小正方体组合体、长方体与圆锥组合体）。 根据视图判断几何体（如主视图和左视图是三角形，俯视图是圆→圆锥）。 3.易错点警示 画视图时漏看小正方体层数（如上层小正方体未在视图中体现）。 混淆左视图和俯视图的观察方向（左视图从左侧看，俯视图从上方看）。 4.解题技巧拆解 分层观察：先看底层小正方体分布，再看上层叠加情况。 对齐原则：主视图与俯视图长对齐，主视图与左视图高对齐，左视图与俯视图宽对齐。 【例题5】．（2024·广西·中考真题）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）用7个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，请你在方格中画出该几何体的三种视图． 【变式题5-2】．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如图乙的几何体，其三视图分别是图1－甲中三个图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·山东济南·期中）按要求完成下列视图问题： (1)请画出甲图从上面看到的形状图； (2)如图，乙图是由几个小立方块组成的从上面看到的该几何体的俯视图，小方框内的数字表示这个位置小立方块的个数，请画出乙图从正面看到的形状图； (3)如丙图，它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，从正面、左面、上面三个方向看到的新的几何体的视图与原几何体的视图相比，其中___________（填序号）得到的图形没有发生改变． ①从正面看    ②从左面看   ③从上面看 【题型6】由三视图还原几何体（含小正方体个数最值）（提升） 1.核心知识点总结 俯视图定底层：俯视图的正方形个数=底层小正方体个数。 主视图定列高：主视图每列的高度=对应列小正方体的最大层数。 左视图定行高：左视图每行的高度=对应行小正方体的最大层数。 2.高频考点梳理 求组成几何体的小正方体最少个数和最多个数。 根据三视图还原几何体并计算表面积/体积。 3.易错点警示 计算最多个数时，未按主视图和左视图的限制叠加小正方体。 计算最少个数时，漏算“必要叠加”的小正方体（如某位置需满足主视图和左视图的高度要求）。 4.解题技巧拆解 标注法：在俯视图的每个正方形上标注最大层数（主视图与左视图的交集），最少个数取“满足高度的最小叠加”，最多个数取“最大层数之和”。 举例：俯视图3×3，主视图最大高2，左视图最大高2，最少10个，最多18个。 【例题6】．（25-26七年级上·河南郑州·月考）如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成． (1)请画出从正面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为_____． (3)重新用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_____个小立方块． 【变式题6-1】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图； (2)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从正面和从左面看的图形都不变，最多可以再添加______个小正方体． 【变式题6-2】．（25-26七年级上·陕西安康·期中）用5个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示． (1)请画出这个几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_____个相同的小立方块． 【变式题6-3】．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）用小立方块搭一个几何体，使它从正面看和从上面看的形状图如图所示，从上面看的形状图中的小正方形中字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题： (1)________，________，________． (2)这个几何体最少由________个小立方块搭成；最多由________个小立方块搭成． (3)当，时，画出这个几何体从左面看的形状图． 【题型7】几何体的截面问题（提升） 1.核心知识点总结 截面定义：用平面截几何体得到的平面图形。 常见截面：正方体截面可为三角形、长方形、正方形、五边形、六边形；圆柱截面可为圆、长方形、椭圆。 截面边数：最多为几何体的面数（如正方体最多截出六边形）。 2.高频考点梳理 判断截面形状（如用平行于底面的平面截圆柱→圆，用倾斜平面截圆柱→椭圆）。 求截面相关计算（如截面是三角形时求边长，截面是长方形时求面积）。 3.易错点警示 认为正方体不能截出五边形/六边形（最多可截出六边形，需经过6个面）。 误将圆锥的截面当作圆（倾斜截圆锥可得椭圆或三角形）。 4.解题技巧拆解 分类讨论：按平面与几何体的夹角、是否过顶点/棱分类。 联想模型：用铅笔模拟平面，观察与几何体的交线形状。 【例题7】．（25-26七年级上·陕西安康·期中）若用平面分别截下列几何体：①五棱柱；②圆锥；③球，得到的截面不可能是三角形的是 ．（填序号） 【变式题7-1】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）用一个平面去截一个几何体，它的截面中有长方形，但没有圆，这个几何体可能是 ．（写一个即可） 【变式题7-2】．（25-26六年级上·山东东营·期中）用一个平面去截下列几何体，不能得到三角形截面的几何体是（    ） A．长方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【变式题7-3】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一个平面截一个几何体，截面出现了如图所示的四种形状，该几何体是下列选项中（   ） A．圆锥 B．五棱柱 C．长方体 D．圆柱 【题型8】立体图形旋转形成的几何体及计算（培优） 1.核心知识点总结 旋转规律：直角三角形绕直角边旋转→圆锥，长方形绕一边旋转→圆柱，半圆绕直径旋转→球。 计算关键：确定旋转半径（r）和高（h），体积公式：，。 2.高频考点梳理 判断平面图形旋转后的几何体（如直角梯形绕腰旋转→圆台）。 计算旋转后的体积/表面积（如长方形长6cm宽4cm，绕宽旋转的体积）。 3.易错点警示 混淆旋转半径和高（如直角三角形绕斜边旋转，半径是斜边上的高，不是直角边）。 计算圆锥体积时漏乘。 4.解题技巧拆解 画旋转示意图：确定旋转轴，标注旋转半径和高。 公式套用：先判断几何体类型，再代入对应公式计算。 【例题8】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一张长方形纸片，长为，长为，将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周． (1)所得到的几何体是______，这个现象用数学知识解释为______（选填“点动成线”，成面”“面动成体”）； (2)求形成的几何体的表面积（结果保留）． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）综合与实践 (1)如图1是一个粮仓，是由一个圆柱和圆锥组成． ①用一个平面去截图1，截面可能是 ；（写出一个即可） ②图1可以用 中的图形绕虚线旋转一周得到． (2)一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图2所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【变式题8-2】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是__________，这一过程体现了__________．（填序号） ①点动成线；②线动成面；③面动成体． (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 【变式题8-3】．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙． (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为（   ） A．点动成线    线动成面    面动成体 (2)求甲、乙圆柱体的侧面积的大小．用字母和表示） (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系？ 【题型9】几何图形折叠与展开综合计算（培优） 1.核心知识点总结 折叠性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，表面积不变（无裁剪时）。 展开图与原几何体关系：展开图的面积=原几何体的表面积。 2.高频考点梳理 长方体/正方体展开图求表面积/体积（如已知展开图边长，求原几何体体积）。 无盖几何体展开图求用料面积（如无盖正方体展开图求硬纸面积）。 3.易错点警示 折叠时忽略“重合边”（如长方体展开图中，相对的边折叠后重合，计算时避免重复）。 计算无盖几何体表面积时，多算底面（如无盖正方体只算5个面）。 4.解题技巧拆解 标注边长：在展开图上标注原几何体的长、宽、高，避免混淆。 逆向思维：由展开图求原几何体时，先确定原几何体的棱长（如正方体展开图的正方形边长=原正方体棱长）。 【例题9】．（25-26七年级上·广东茂名·期中）综合实践： 小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图（1）、图（2）所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)观察判断：小明共剪开了 条棱； (2)动手操作：现在小明想将剪断的图（2）重新粘贴到图（1）上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图（3）），请你帮助小明在图（1）中补全图形（只需画其中一种情况）； (3)解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的6倍，求这个纸盒的表面积． 【变式题9-1】．（25-26七年级上·全国·期中）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．B．C．D． (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 ； (3)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【变式题9-2】．（25-26七年级上·广东茂名·阶段练习）【拓展探究】某综合实践小组开展“制作长方体纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①－⑥图形中，是正方体的表面展开图的有 （只填写序号）； 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按两种方式制作长方体纸盒． 如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个无盖长方体纸盒，则制作成的无盖长方体纸盒的体积是多少？ 如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个有盖的长方体纸盒，则制作成的有盖长方体纸盒的体积是多少？ 【变式题9-3】．（25-26六年级上·山东泰安·阶段练习）【问题背景】 七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒．    【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 （填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 （2）图2是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的是“ ”． 【实践操作】 （3）如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 【题型10】创新情境下的几何图形应用（培优） 1.核心知识点总结 情境转化：将生活中的物体（如鲁班锁、折叠灯笼、快递包装盒）抽象为几何图形。 核心考点：几何体的识别、展开图、三视图、体积/表面积计算。 2.高频考点梳理 鲁班锁构件的几何体识别与三视图绘制。 折叠灯笼的“面动成体”原理应用。 快递包装盒（长方体）的展开图设计与用料最省问题。 3.易错点警示 无法将复杂情境抽象为简单几何图形（如鲁班锁构件看作棱柱组合）。 设计用料最省时，未考虑“重合面”（如多件产品包装时，重合面越多用料越省）。 4.解题技巧拆解 简化情境：忽略无关细节（如颜色、图案），聚焦物体的形状和结构。 联系考点：情境题本质是“几何图形+计算”，先确定考点（如展开图→表面积），再套用知识点。 【例题10】．（25-26七年级上·山西运城·期中）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．十分巧妙．如图是一种简单的鲁班锁．由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸吻合，组成外观严丝合缝的十字型几何体，其上下、左右、前后分别对称． 已知这些四棱柱木条的高为，底面正方形的边长为． (1)求这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积； (2)求这个鲁班锁的表面积． 【变式题10-1】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）综合与实践：制作底面为正六边形的直六棱柱灯笼 小明准备仿照图1制作一个灯笼，抽象出几何图形是一个底面为正六边形的直六棱柱，如图2．选用A、B两种型号硬纸板进行裁剪，一张A型号纸板可剪成2个侧面，一张B型号纸板可剪成1个与之配套的底面，裁剪后剩余角料不再利用．现有两种型号的硬纸板共计20张，且裁剪出的侧面和底面恰好全部用完．问：每种型号的纸板各多少张？装饰灯笼的丝带需要多长？ 【理解问题】 （1）每个灯笼由________个形状、大小完全相同的小长方形侧面和_________个形状、大小完全相同的正六边形底面组成． 【分析问题】 （2）设其中张硬纸板是A型号，其余的是B型号．用含的代数式表示其他量． A型号 B型号 硬纸板数目（张） ① 侧面数目（个） ② 底面数目（个） ③ 【解决问题】 （3）每种型号的纸板各多少张？能制成多少个灯笼？请根据每个灯笼中侧面和底面的数量关系列方程解决． （4）使用A型号的硬纸板是规格，即长方形硬纸板长，宽，要用丝带给制作出来的每个灯笼的各条棱上都描上边儿，所需丝带有多长？ 【回顾反思】（5）表格对解决这类问题有什么作用？（20字以内） 【变式题10-2】．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 自制糕点包装礼盒 提出问题：如何制作一个长方体形糕点包装礼盒 包装要求：每个包装礼盒装8枚糕点 解决问题： (1)选取材料：根据8枚糕点的总质量选择合适的包装材料．同时还想了解制作的糕点质量是否均衡，于是将8枚糕点分别称重并记录，数据如下（每枚糕点的标准质量为80g，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 与标准质量的差／ 0 0 ①求这8枚糕点的总质量； ②求这8枚糕点中，质量最大的与最小的相差多少？ (2)制作礼盒：需要制作一个有盖的长方体盒子． 以下是组员们为制作有盖的长方体画的展开图．其中正确的是______． 同学们根据正确的展开图制作了长方体礼盒． (3)打包礼盒：如图，在礼盒上扎了一条漂亮的丝带，已知长方体礼盒的长、宽、高分别为，，（），打蝴蝶结要的丝带． ①用含的代数式表示丝带总长； ②若，，，求丝带的总长． 【变式题10-3】．（25-26七年级上·广东茂名·月考）综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材 一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．    素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为、、进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法．    任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是_____（填序号）．    任务二 由材料二可知，如果a=20cm，b=4cm，图1长方体纸盒的底面周长为______cm，体积为_________． 图2的设计中，如果，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西运城·期中）用一个平面按如图的方式截该几何体，则截面的形状是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·甘肃天水·期中）如果一个棱柱共有15条棱，那么它是（     ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 3．（25-26七年级上·山西运城·期中）随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）一个几何体，从上面看到的图形是，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是．这个几何体是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·广东深圳·期中）海旺学子砥砺前行，如图是一个正方体的展开图，将其折叠成正方体后，与“奋”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．不 B．海 C．旺 D．奋 二、填空题 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图所示的是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体最少需要 个，最多需要 个． 7．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是 ．    8．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一个正方体的平面展开图，要使展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则图中 ． 9．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是 ． 10．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）中国已经成为亚洲体育第一强国．小明将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图．在原正方体中，与“一”字所在面相对的面上的汉字是 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图是一个由若干个大小相同的小正方体搭建成的几何体，其中每个小正方体的棱长为． (1)请按要求在方格内分别画出这个几何体从三个不同方向看到的形状图； (2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：___________． 12．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 13．（25-26六年级上·山东威海·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形． (1)你同意___________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算，甲乙立体图形的体积？ 14．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ (2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？ (4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 15．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）一个几何体由若干个完全相同的小立方体搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数． (1)分别画出从正面和左面看该几何体的形状图． (2)如果将这个几何体表面涂上红色（底面不涂），则需要涂________个面． 16．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在一次综合与实践活动中，同学们开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，知识准备：下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） 下表是活动的相关信息． 使用材料 制作目标 操作方法 示意图 边长为的正方形纸板 制作一个无盖的长方体纸盒 先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来 制作一个有盖的长方体纸盒 先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的长方形，再沿虚线折合起来 解答下列问题： (1)用含a和b的代数式表示无盖的长方体纸盒的底面积，并求当，时，这个长方体纸盒的底面积； (2)细心的同学发现，制作的有盖的长方体纸盒的长是宽的2倍，若要求这个长方体纸盒的宽是高的3倍少，试探究a和b应满足的等量关系（结果用含b的代数式表示a）； (3)受这次活动的启发，小刚想用一张长为，宽为的长方形纸板，制作一个高为的有盖的长方体纸盒（如图），请你用含m，n，h的代数式表示这个长方体纸盒的体积． 若已知，，，求制作的长方体纸盒的体积？ 学科网（北京）股份有限公司 $