第14讲 直线、射线、线段（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年人教版七年级数学上册同步讲义与测试

本讲义系统梳理直线、射线、线段的概念与性质，从定义、表示方法、特征到位置关系，构建“认识-联系-应用”学习支架，涵盖基本事实、作图方法及中点、等分点等核心知识点。 资料以“知识点+题型+强化训练”三维设计，通过16类分层题型培养几何直观与推理意识，结合生活实例（如最短路径问题）渗透应用意识，课中助力分层教学，课后强化训练帮助学生查漏补缺。

第14讲 直线、射线、线段（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.直线 2.射线 3.线段 4.线段的画法及长短比较 5.线段的基本事实 6.线段和、差的意义及作法 7.线段的中点、等分点、线段的倍、分的意义 题型巩固 一、直线、射线、线段的联系与区别 二、画出直线、射线、线段 三、点与线的位置关系 四、直线、线段、射线的数量问题 五、直线相交的交点个数问题 六、线段的应用 七、两点确定一条直线 八、作线段(尺规作图) 九、线段的和与差 十、线段中点的有关计算 十一、线段n等分点的有关计算 十二、线段之间的数量关系 十三、与线段有关的动点问题 十四、两点之间线段最短 十五、两点间的距离 十六、最短路径问题 强化训练 单选题（10） 填空题（7） 解答题（8） 知识梳理特别解读 “有”表 示 存在，“只有”表示唯一，即过两点一定能画出一条直线，且这样的直线唯一. 知识点1.直线 1. 认识直线 基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线 表示方法 (1) 用直线上任意表示两个点的大写字母表示，如直线AB； (2) 用一个小写字母表示，如直线l 特征 (1)无端点；(2)向两边无限延伸；(3)不可度量 2. 点与直线的位置关系 图示 位置关系 (1)点在直线上(直线经过该点)，如左图点A 在直线l 上(直线l 经过点A)； (2)点在直线外(直线不经过该点)，如左图点B 在直线l 外(直线l 不经过点B) 3. 相交直线 (1)两条直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 如图6 .2 -1①，可以说成直线a 与直线b 相交于点O. (2)两两相交：若平面内的任意一条直线都与其余直线相交，则称为两两相交，如图6.2-1②所示. 如图 6.2-1③所示的情形也称为两两相交，由此可知两两相交的直线的交点最少有1个. 知识点2.射线 1.认识射线 定义 直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点 表示 (1)用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)，如: 射线OA； (2)用一个小写字母表示，如: 射线l 特征 有一个端点，不可度量，可以向一个方向无限延伸 2. 射线的识别 端点情况 描述 图示 端点相同 端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如射线OA，射线OB 表示同一条射线 端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如射线AO 与射线AB 不是同一条射线 端点不同 端点不同的射线一定不是同一条射线，如射线OA，射线AB 不是同一条射线 知识点3.线段 1. 认识线段 定义 直线上两点及两点间的部分叫作线段，这两个点叫作线段的端点 表示方法 (1) 用线段的两个端点的大写字母表示，如线段AB (2)用一个小写字母表示，如线段a 特征 (1)两个端点；(2)无方向；(3)有长短 2. 直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线AB 或直线BA 或直线l 射线OA 或射线l 线段AB 或线段BA 或线段a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分；线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为直线；射线向反方向无限延伸就成为直线 3. 与线段有关的作图语言举例 (1)连接AB：画以A，B 为端点的线段； (2)延长线段AB：是指从端点A 到B 的方向延长； (3)反向延长线段AB：是指从端点A 到B 相反的方向延长，即延长线段BA. 知识点4.线段的画法及长短比较 1. 尺规作图 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 2. 画一条线段等于已知线段a (1)方法一(测量作图)：利用刻度尺先量出已知线段a 的长度，再画一条等于这个长度的线段. (2)方法二(尺规作图)：如图6.2 -12，用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC 上截取AB=a (这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图). 3.线段长短的比较方法 (1)观察法：通过直观的视觉观察，判断两条线段的长短.两条线段的长短相差很明显时，一般采用这种方法. (2)叠合法(形的比较)：把要比较的两条线段的一个端点重合，然后将两条线段在重合点的同侧叠合在一起，由另一个端点的位置关系可以得出两条线段的长短关系. 叠合法比较线段长短 图例 结论 AB<CD AB=CD AB>CD (3)度量法(数的比较)：用刻度尺测量出线段的长度(单位相同)，再根据长度的大小判断线段的长短关系 如图 6.2-13 所示，已知线段AB，CD，通过测量得AB=1.5 cm，CD=2 cm，可判定AB<CD. 知识点5.线段的基本事实 线段的基本事实 两点的距离 举例 两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短 定义 性质 在所有连接A，B 两点的线中，线段AB是最短的，线段AB 的长度就是点A 与点B 之间的距离 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 (1)存在性； (2)最短性； (3)唯一性 知识点6.线段和、差的意义及作法 如图6.2-19 ，已知线段a，b(且a>b). (1)线段的和：在直线l 上作线段AB=a，再在AB 的延长线上作线段BC=b，线段AC 就是a 与b 的和，记作AC=a＋b，如图6.2-20① . (2)线段的差：在直线l 上作线段AB=a，再在线段AB 上作线段BD=b，则线段AD 就是a 与b 的差，记作AD=a－b，如图6.2－20 ② . 知识点7.线段的中点、等分点、线段的倍、分的意义 1. 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点. 如图6.2－24 ，如果M 是线段AB 的中点，则有AM=BM=AB. 2. 等分点 (1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫作线段的三等分点. 如图6.2-25，M，N 是线段AB 的三等分点，则有AM=MN=NB=AB. (2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫作线段的四等分点. 如图6.2-26 ，M，N，P 是线段AB 的四等分点，则有AM=MN=NP=PB=AB . 3. 线段的倍、分的意义：“线段的倍”指的是一条线段的长度是另一条线段长度的几倍；“线段的分”指的是一条线段的长度是另一条线段长度的几分之几. 如图6.2-27所示，射线AE上有B，C，D三点，它们的长度关系是AB=BC=CD，则AC=2BC，AD=3AB，AB=AC，AB=AD，AC=AD. 题型巩固 题型一、直线、射线、线段的联系与区别 1．（25-26七年级上·辽宁阜新·期中）如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【答案】A 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义．直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线，射线，线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A． 射线和射线不是同一条射线，原说法错误； B． 直线和直线是同一条直线，原说法正确； C． 线段和线段是同一条线段，原说法正确； D． 图中以点A为端点的射线有两条，原说法正确； 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①射线和射线是同一条射线；②直线和直线不是同一条直线；③一条直线上一点把这条直线分成两条射线；④直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点．其中，正确的是 （填序号）． 【答案】③④ 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题主要考查直线、线段、射线的知识点，熟练掌握直线，射线的含义及表示方法是解题的关键． 根据直线、线段以及射线的概念来解答即可． 【详解】解：①射线和射线是同一条射线，该说法错误，因为两射线的端点和方向不同，不符合题意； ②直线和直线是同一条直线，故原说法错误，不符合题意； ③一条直线上一点把这条直线分成两条射线，说法正确，符合题意； ④直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点，说法正确，符合题意． 其中，正确的是③④， 故答案为：③④． 3．（2022七年级上·全国·专题练习）直线、射线、线段是否有长短？ 【答案】见解析 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】根据直线、射线、线段的定义分析即可． 【详解】解： 直线和射线不能度量，两者都可以延长，没有长短； 线段有两个端点，大小已确定，有长短． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念与它们的区别与联系是解题的关键． 题型二、画出直线、射线、线段 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知平面内的三个点，，，按要求画图：画线段，画射线，画直线，下列画出图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查作图—复杂作图、两点间的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据线段、射线、直线的定义画图即可． 【详解】解：按题意如下图： 故选：C． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面上有四点A、B、C、D，根据语句画图． (1)画直线、交于点E； (2)画线段、交于点F； (3)画射线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查题作图的知识，需要熟悉直线、射线、线段的概念，并熟练使用基本工具． （1）连接、并向两方无限延长即可得到直线、的交点； （2）连接、可得线段、，交点处标点； （3）连接，并且以为端点向方向延长． 【详解】（1）解：如图：直线、直线即为所求； （2）如图：线段、线段即为所求； （3）如图：射线即为所求． 题型三、点与线的位置关系 6．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（　　） A．点在直线外 B．点在直线外 C．直线不经过点 D．直线经过点 【答案】B 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题主要考查点与直线的位置关系，图形结合分析，掌握直线的定义，直线与点的位置关系是解题的关键． 根据图示，点与直线的位置关系即可求解． 【详解】解：、点在直线外，正确，故不符合题意； 、点在直线上，故符合题意； 、直线不经过点，正确，故不符合题意； 、直线经过点，正确，故不符合题意． 故选：． 7．如图，点P在直线AB ；点Q在直线AB ，也在射线AB ，但在线段AB的 上． 【答案】 外 上 上 延长线 【知识点】点与线的位置关系 【分析】根据点与直线，线段，射线的位置关系作答即可． 【详解】解：由图可得：点P在直线AB外；点Q在直线AB上，也在射线AB上，但在线段AB的延长线上． 故答案为：外；上；上；延长线． 【点睛】本题主要考查了点与线的位置关系，认真辨别图形是解题的关键． 8．按照下列语句画出图形． （1）点P在直线AB上，但不在直线CD上； （2）点Q既不在直线a上，也不在直线b上； （3）直线EF经过点D，点C不在直线EF上． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】点与线的位置关系 【分析】（1）画两条直线、，在上标记一点，且不在直线上； （2）画两条直线，在这两条直线外标记一点； （3）画一条直线，在直线上标记一点，直线外标记一点． 【详解】解：（1）如图所示： （画法不唯一） （2）如图所示： （画法不唯一） （3）如图所示： （画法不唯一） 【点睛】此题考查了点与直线的位置关系，熟练掌握点与直线的位置关系是解题的关键． 题型四、直线、线段、射线的数量问题 9．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 【答案】A 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段数量的计算，理解图示，掌握线段数量计算与实际问题的运用是解题的关键．根据题意，分别从端点开始找出线段即可求解． 【详解】解：以点开始，有4段，即， 以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即， 以点开始，有1段，即， 同理，反向如此， ∴共有， 故选：A． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点B，C，D，E在同一条直线上，图中共有线段 条，射线 条． 【答案】 10 12 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】此题主要考查了线段和射线的定义，掌握线段和射线的定义的解题的关键． 先确定一个端点，然后数线段，不遗漏不重复即可． 【详解】解：图中线段有10条： 线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段； 以点A为端点的射线有4条，以点B为端点的射线有2条，以点C为端点的射线有2条，以点D为端点的射线有2条，以点E为端点的射线有2条，故射线有12条； 故答案为：10，12． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点B，C在线段上． (1)图中以A为一个端点的线段有几条？以B为一个端点的线段有多少条？ (2)图中一共有多少条线段？请分别表示出来． 【答案】(1)3条，3条 (2)一共有6条线段，分别为线段、线段、线段、线段、线段、线段 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段，主要考查学生的观察能力和理解能力． （1）观察图形，分别找出以A为端点的线段，已B为端点的线段即可； （2）观察图形，分别找出以A、B、C、D为端点的线段（去掉重复的）即可． 【详解】（1）解：图中以A为一个端点的线段有：线段、线段、线段，共3条； 以B为一个端点的线段有：线段、线段、线段，共3条； （2）解：图中的线段有：线段、线段、线段、线段、线段、线段，共6条． 题型五、直线相交的交点个数问题 12．（23-24七年级上·河南新乡·月考）平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【答案】C 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题主要考查了直线与直线的交点，理解两两相交的含义是解题的关键． 分三种情况讨论：当四条直线都交于一点；当三条直线交于一点；当两条直线两两相交，再结合图形得出答案即可． 【详解】分三种情况讨论：当四条直线都交于一点时，如图所示，有1个交点； 当三条直线交于一点时，如图所示，有4个交点； 当两条直线分别两两相交，如图所示，有6个交点． 综上所述，可以有1或4或6个交点． 故选：C． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）一个平面内3条直线最多可以将这个平面分成 区域． 【答案】7 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查了直线相交对平面区域划分的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据三条直线在平面内的位置关系进行作答，即可求解； 【详解】解：三条平行直线可以把平面分成4部分， 三条直线中，有两条平行时可以把平面分成6部分， 三条相交直线可以把平面分成7部分； 故答案为：7； 14．（1）直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线l3，则这三条直线最多有 ___个交点； （2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线l4，则这四条直线最多可有 ___个交点． （3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，n（n＞1）条直线最多有 ___个交点． 【答案】（1）3； （2）6； （3）； 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，画第三条直线时，应尽量和前面两条直线再产生2个，即有1+2＝3个交点,依此类推即可找到规律． 【详解】解：（1）1+2＝3； （2）3+3＝6； （3）1+2+3+4+5＝15；1+2+3+…+n． 【点睛】在画图的时候，尽量让每两条直线相交产生不同的交点． 题型六、线段的应用 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 【答案】C 【知识点】线段的应用 【分析】本题考查线段长短比较的叠合法．通过将线段与一端重合，观察另一端的位置判断长短． 【详解】 将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上， 点位于点和点之间， ． 选项A观察可能不准确；选项B量得、，表明；选项D点在延长线上，表明．故只有C能说明比短． 故选：C． 16．（22-23七年级上·河北邢台·期中）图中所给出的线段中，最短的线段是 【答案】/ 【知识点】线段的应用 【分析】以为圆心为半径画圆，可得：；以为圆心为半径画圆，可得：，即可得出答案． 【详解】解：以为圆心为半径画圆，可得：； 以为圆心为半径画圆，可得：； ∴, ∴图中所给出的线段中，最短的线段是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的比较大小，学会用线段的比较大小是解题的关键． 题型七、两点确定一条直线 17．（25-26七年级上·全国·单元测试）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（  ） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 【答案】B 【知识点】两点确定一条直线 【分析】考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键． 根据几何基本事实“两点确定一条直线”，固定木条需要至少两个点以防止移动和旋转． 【详解】解：∵两点确定一条直线， ∴固定一根横放的木条至少需要2枚钉子， 故选：B． 18．（24-25七年级上·全国·期末）在纸上画出四个点（其中任意三个点都不在同一直线上），经过每两个点用直尺画一条直线，一共可以画 条． 【答案】6 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线，熟练掌握直线的性质是解题关键．根据两点确定一条直线解答即可得． 【详解】解：画出图形如下： 一共可以画直线的条数为（条）， 故答案为：6． 19．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是为什么？ 【答案】两点确定一条直线． 【知识点】两点确定一条直线 【分析】根据确定一条直线的方法求解即可． 【详解】根据直线公理：两点确定一条直线， ∴答案为：两点确定一条直线． 【点睛】此题考查了确定一条直线的方法，解题的关键是熟练掌握确定一条直线的方法：两点确定一条直线． 题型八、作线段(尺规作图) 20．（24-25七年级上·天津南开·期末）如图，已知线段a，b，c．按如下步骤完成尺规作图， ①用直尺画直线l； ②在直线l上作线段，； ③在线段的延长线上作线段； ④在线段上作线段．则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】本题考查了尺规作图作线段，线段和差的计算，数形结合是解题的关键． 根据线段的和差进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 作图为： 故选：B． 21．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知 ．（填写“”，“”，“”） 【答案】 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了线段的大小比较，根据比较线段长短的方法即可． 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知， 故答案为：． 22．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）尺规作图： 已知：如图，线段a，b． 求作：线段，使． 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】本题考查了作线段，熟练掌握线段的作法是解题关键． 先画射线，再以点A为圆心、a长为半径画弧，交射线于点C，然后以点C为圆心、a长为半径画弧，交射线于点D，最后以点D为圆心，b长为半径画弧，交线段于点B，由此即可得． 【详解】解：如图，线段即为所作． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于． 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图作线段． 作射线，在射线上顺次截取，在线段上截取，线段即为所求． 【详解】解：（1）作射线； （2）在射线上顺次截取，； （3）在线段上截取，线段即为所求． 题型九、线段的和与差 24．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知直线上、、三点，如果线段，线段 ，那么线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差，掌握线段的和差计算方法，图形结合分析是解题的关键． 根据线段的位置分类讨论：①如图所示点在点的左边；②如图所示点在点的右边；根据线段的和差计算方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：①如图所示点在点的左边，，， ∴； ②如图所示，点在点的右边，，， ∴； ∴的长度为或． 故选：C． 25．（25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 【答案】或 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的和与差．由于点A，B，C在直线l上的相对位置不确定，需分类讨论：当点B在点A和点C之间时，为与之和；当点A在点B和点C之间时，为与之差． 【详解】解：分两种情况： 当点B在点A和点C之间时，； 当点A在点B和点C之间时，， 故答案为：或． 题型十、线段中点的有关计算 26．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在同一直线上顺次有三点，点是线段的中点，点是线段的中点，若想求出的长度，那么只需知道条件（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查平面基本图形，线段中点的应用．根据即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 27．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）如图，，是线段的三等分点，是的中点，若，则 ． 【答案】12 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，由是的中点得出，再结合，是线段的三等分点计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵，是线段的三等分点， ∴， 故答案为：． 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）A，B，C三点在一条直线上，，，的中点是M，的中点是N，求线段的长． 【答案】线段的长为或 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 分点C在线段上和点C在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点C在线段上时， ∵，， ∴， ∵的中点是M， ∵； 当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵的中点是M， ∴； 故线段的长为或． 题型十一、线段n等分点的有关计算 29．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】根据“奇妙点”的定义即可求解．本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键． 【详解】解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 线段的“奇妙点”的个数是个． 故选：C． 30．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则 ． 【答案】或 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查线段的和与差，分和当两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： 则：， ∵， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 31．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由，可得，，然后根据求解即可； （2）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 题型十二、线段之间的数量关系 32．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ∵，即， ∴，即线段是最长的一段， ∵最长的一段为 ， ∴，解得， ∴这条绳子的原长为； （2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ， ∴线段是最长的一段， ∵最长的一段为， ∴，解得， ∴， ∴这条绳子的原长为； 故选：C． 33．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）如图，已知点为上一点，，为的中点，则= ． 【答案】 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段的和与差，首先根据和求出线段的长度，再根据求出线段的长度，根据点为的中点，可求线段的长度． 【详解】解：，， ， ， 又点为的中点， ． 故答案为： ． 34．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)______； (2)求的长度； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段中点，两点之间的距离，解题的关键是正确识别图形，找出线段之间的数量关系． （1）根据题意得出，计算即可； （2）先求出，再计算即可； （3）分点在点左侧或右侧两种情况计算即可． 【详解】（1）解：，是的中点， ， （2）解：，是的中点， ， ； （3）解：，， 当点在点左侧时， ； 当点在点右侧时， ． 题型十三、与线段有关的动点问题 35．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【答案】D 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解． 【详解】∵为中点，为中点， ∴DC= AC，CE= BC ∴DE=DC+CE =AC+BC =AB =m 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 36．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 37．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 题型十四、两点之间线段最短 38．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是（    ）    A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段中点的定义 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短解答即可． 本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据两点之间线段最短，得C正确； 故选：C． 39．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是 ．         【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，直线的性质，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 根据线段的性质，即可解答． 【详解】解：如图，从地到地有，，三条道路，人们通常会选择距离最短的道路，这样做依据的数学原理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 40．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【情境一】 烧一道香葱炒蛋需要七道手续，每道手续所需时间如下：敲蛋1分钟，洗葱切葱花3分钟，打蛋2分钟，洗锅3分钟，烧热锅2分钟，浇热油4分钟，烧4分钟．烧好这道菜最少需要多少分钟？ 【情境二】怎么走路程更短 如图，，，，，．设行走速度为2米每秒．求从A走到C的最短时间是多长． 【答案】情景一：分钟；情景二：秒 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题关键是理解两点之间线段最短． [情境一]在烧热油的同时可以敲蛋、打蛋，在烧的同时可以洗葱切葱花，只需求出洗锅、烧热锅、烧热油、烧的总时间即可； [情境二]根据两点之间线段最短求解． 【详解】[情境一]解： 烧好这道菜最少需要（分钟）； [情境二] ∵，，，，， ∴，，，， ∴从A走到C的最短路径是， 设行走速度为2米每秒， ∴从A走到C的最短时间是（秒）． 题型十五、两点间的距离 41．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）若点C是线段的中点，，点D在直线上，且，则线段的长为（   ） A．3 B．9 C．6或9 D．3或12 【答案】D 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】根据线段中点的定义得到，分情况讨论：当点D在线段上和当点D在线段得延长线上，根据已知条件得到，的值，于是得到结论． 本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：∵点C是线段的中点，， ∴， 当点D在线段上， ∴ ∵， ∴， ∴ 当点D在线段得延长线上， ∴ ∵， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或12， 故选：D． 42．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）延长线段到C，使，若，则线段的长为 【答案】 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查了两点之间的距离，利用现代的和差是解题的关键． 根据线段的和差得到，即可得到． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 43．（2025七年级上·全国·专题练习）已知线段，反向延长线段至C，使，D为直线上一点，且，若，求t的值． 【答案】或6 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查了线段的和差，点在直线上的位置关系，两点间的距离，分情况讨论是解本题的关键．分两种情况：点D在线段的延长线上或点D在线段的延长线上求解即可． 【详解】 解：分两种情况讨论： ①当点D在线段的延长线上时，如图所示： 设， ∵，， ， ， ， ， ∴； ②当点D在线段的延长线上时，如图所示： 设， ∵，， ， ， ， '， 综上可知：t的值为或6， 故答案为：或6． 题型十六、最短路径问题 44．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最短路径问题 【分析】由于盒子为正方体，且A、C两点对称，故将其按任意方式展开，连接A、C即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，则沿线段AC爬行，就可以使爬行路线最短，是根据两点之间，线段最短． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，线段的性质的应用，注意：两点之间线段最短． 45．最短路径问题的理论根据：“ ”“垂线段最短”“三角形的三边关系”等．在解决最短路径问题时，我们通常利用 、 等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择 【答案】 两点之间线段最短 轴对称 平移 【知识点】最短路径问题 【分析】根据最短路径问题的理论依据：两点之间线段最短，垂线段最短，三角形的三边关系等，通长利用轴对称，平移等变化来解决，作答即可． 【详解】解：最短路径问题的理论根据：两点之间线段最短，垂线段最短，三角形的三边关系等，在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称，平移等变化来解决． 故答案为：两点之间线段最短，轴对称，平移 【点睛】本题考查最短路径问题．熟练掌握最短路径的理论依据和方法，是解题的关键． 46．在桌面上放了一个正方体盒子，如图，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处找食物，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？要是爬到顶点C呢？ 【答案】能，图见解析 【知识点】最短路径问题 【分析】先展开正方形的侧面，根据两点之间线段最短即可得． 【详解】解：下图是正方体的侧面展开图（侧面展开图不唯一），蚂蚁爬到顶点B处的最短路线为线段AB；爬到顶点C处的最短路线为线段AC（路线AC不唯一）． 【点睛】本题考查了最短路径问题，解题的关键是掌握两点之间线段最短． 强化训练 一、单选题 1．下列说法正确的有（     ） ①过两点有且只有一条直线，②连接两点的线段叫做这两点间的距离，③两点之间线段最短，④若，则点B是线段AC的中点 A．①② B．①③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用直线，线段的相关定义和性质判断即可． 【详解】解：①过两点有且只有一条直线，正确； ②连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，原说法不正确； ③两点之间线段最短，正确； ④当点B在上时，若，则点B是线段的中点，原说法不正确； 说法正确的是①③， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直线，线段，解题的关键是熟记直线，线段的联系与区别． 2．数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（   ） A．经过两点，有且仅有一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是：经过两点，有且仅有一条直线， 故选：A 3．已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（    ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段的延长线上 【答案】C 【分析】本题考查了线段长短比较的叠合法，通过将线段与一端重合，观察另一端的位置判断长短，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：通过观察猜测线段比线段短，观察可能不准确， 故A选项不符合题意； ∵用刻度尺量得线段厘米，线段厘米，且， ∴， 故B选项不符合题意； ∵将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段的延长线上 ∴， 故D选项不符合题意； ∵将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段上， ∴ 点B位于点C和点D之间， ∴， 即线段比线段短， 故C选项符合题意； 故选：C． 4．棋盘上有黑、白两色棋子若干，若把颜色相同的三颗棋子在同一条直线上看作一条直线．请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【答案】C 【分析】本题考查了“两点确定一条直线”．掌握相关结论即可．根据“两点确定一条直线”即可求解． 【详解】解：如图所示： 满足条件的直线共有3条． 故选：C 5．如图，，点为线段的中点，已知，且，则的长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差． 根据题意，由，，可求出的长，再根据，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 6．如果线段，C是的中点，延长到D，使，E是的中点，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，两点间的距离，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵，C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故选：A． 7．以下给出的四个语句中，正确的是（   ） A．若线段，则点，，在同一直线上 B．如果线段，则是线段的中点 C．线段厘米，为直线上的一点，且厘米，那么的长度是1厘米 D．两点之间的线段叫做这两点间的距离 【答案】A 【分析】本题考查了线段、两点间的距离，根据线段的和差，可判断A，B；根据线段中点的定义，可判断B；根据两点间的距离的定义，可判断D． 【详解】解：A、若线段，则点A，B，C在同一直线上，故A正确； B、如果线段，C不在线段上时，C不是线段的中点，故B错误； C、线段厘米，C为直线上的一点，且厘米，当C在线段的延长线时那，么的长度是7厘米，故C错误； D、两点之间的线段长叫做这两点间的距离，故D错误； 故选：A． 8．点，，在同一条直线上，，，为中点，为中点，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】分点C在直线AB上和直线AB的延长线上两种情况，分别利用线段中点的定义和线段的和差解答即可． 【详解】解：①当点C在直线AB上时 ∵为中点，为中点 ∴AM=BM=AB=3,BN=CN=BC=1, ∴MN=BM-BN=3-1=2; ②当点C在直线AB延长上时 ∵为中点，为中点 ∴AM=BM=AB=3,BN=CN=BC=1, ∴MN=BM+BN=3+1=4 综上，的长度为或． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了线段中点的定义以及线段的和差运算，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键． 9．若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键． 根据线段中点的定义，找出题目中的规律求出，因此，进而中点的定义即可解答． 【详解】解：∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴， ．．． ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． 故选：B． 10．已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，完全平方非负性，数轴上两点间距离等，根据以上知识解答即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：，即①正确， ∵点O是原点，点A所对应的数是a， ∴点A所对应的数是4， ∵， ∴， ∵当点B与点O重合时， ∴点表示的数为， ∵线段在直线上运动（点B在点C的左侧）， ∴表示的数为，即，即②不正确， ∵当点C与点A重合时， ∴点表示的数为4， ∵点B在点C的左侧，， ∴点B表示的数为2， ∵点P是线段延长线上的点， ∴，， ∴，即③正确； ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为四种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ，； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ，； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ，； 第四种情况：当和都在右边时，如图： ，， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确， 故选：D． 二、填空题 11．宣传委员制作黑板报时想要在黑板上画出一条笔直的参照线，由于尺子不够长，她想出了一个办法：在一根长度合适的毛线上涂满粉笔灰，两个同学分别抓住毛线两端，绷紧，靠近黑板要画线的位置，在中间将线一拉再松开，毛线弹回到黑板上，这样黑板上就出现了一条笔直的“粉笔灰线”，这种画法的数学依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质， 根据学生的做法，思考直线的性质解答即可. 【详解】解：这种画法的数学依据是“两点确定一条直线”. 故答案为：两点确定一条直线. 12．如果线段，点C在直线上，，D是的中点，那么A、D两点间的距离是 ． 【答案】或/或 【分析】分两种情况，点在之间或点在线段延长线上，分别求解即可． 【详解】解：当点在之间时，如下图： ，， 则， 由D是的中点可得， 当点在线段延长线上时，如下图： ，， 则， 由D是的中点可得， 故答案为：或 【点睛】此题考查了线段的和差计算，解题的关键是理解题意，画出图形，分情况讨论． 13．已知平面内有A，，，四点，过其中的两点画一条直线，一共可以画 直线． 【答案】1条或4条或6条 【分析】分四点在同一直线上；三点在同一直线上,另一点不在这条直线上,；当没有三点共线时三种情况讨论即可． 【详解】解：①四点在同一直线上时，只可画1条； ②当三点在同一直线上，另一点不在这条直线，可画4条； ③当没有三点共线时，可画6条； 故答案为：1条或4条或6条． 【点睛】本题考查了直线，在没有明确平面上四点是否在同一直线上时，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形， 不要遗漏， 否则讨论的结果就不全面． 14．已知线段a，b，嘉琪作出了如图所示的图形，其中是所求线段，则线段 （用含a，b的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，整式加减的运算，根据题意可知，，，再根据，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意可知：，，， ∴， 故答案为： 15．平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为 个． 【答案】0，1，3，4，5，6 【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出． 【详解】解：（1）当四条直线平行时，无交点； （2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点； （3）当两两直线平行时，有4个交点； （4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点； （5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点； （6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点； （7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点． 故答案为：0，1，3，4，5，6． 【点睛】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案；本题对学生要求较高，学会分类讨论思想是解题的关键． 16．在数轴上，点A（表示整数a）在原点O的左侧，点B（表示整数b）在原点O的右侧，若|a﹣b|＝2022，且AO＝2BO，则a＋b的值为 ． 【答案】-674 【分析】根据绝对值和数轴表示数的方法，可求出OA，OB的长，进而确定a、b的值，再代入计算即可． 【详解】∵|a﹣b|＝2022，即数轴上表示数a的点A，与表示数b的点B之间的距离为2022， ∴ AB＝2022， ∵且AO＝2BO， ∴OB＝674，OA＝1348， ∵点A（表示整数a）在原点O的左侧，点B（表示整数b）在原点O的右侧， ∴a＝﹣1348，b＝674， ∴a+b＝﹣1348+674＝﹣674， 故答案为：﹣674． 【点睛】本题考查数轴表示数，代数式求值以及绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法，绝对值的定义是解决问题的前提． 17．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，M为线段OC的中点． （1）点B表示的数为 ； （2）若线段，则线段OM的长为 ． 【答案】 4或6/6或4 【分析】（1）由题意可求得AB=6，则可求得OB=1，根据题意可得结果； （2）分点M位于点B左侧和右侧两种情况可求得结果； 【详解】解：（1）由题意得 AB=1.2OA=1.2×5=6， ∴OB=6-5=1， ∴点B表示的数为-1， 故答案为：-1； （2）当点M位于点B左侧时， 点M表示的数为-1-5=-6， 当点M位于点B右侧时， 点M表示的数为-1+5=4， ∴OM=|-6|=6，或OM=|4|=4， 故答案为：4或6． 【点睛】此题考查了数形结合与分类讨论解决问题的能力，数轴上两点间的距离，解题的关键是能确定数轴上的点表示的数与对满足条件的点的不同情况的全面考虑． 三、解答题 18．如图，已知线段和，且，用直尺和圆规作一条线段，使．（不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】利用尺规作图作线段的方法即可求解． 【详解】解：作法：①作射线， ②以点A为圆心，以的长为半径画弧，交射线与点C， ③以点C为圆心，以的长为半径画弧，交射线与点D， ④以点D为圆心，以的长为半径画弧，交射线与点B， 如图，线段即为所求．    【点睛】本题考查了作图——尺规作图，熟练掌握其作法是解题的关键． 19．如图，已知线段． (1)尺规作图：在线段的延长线上找一点，使得； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，求出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段的作法，中线的性质，线段的和差计算，作出图形是解答关键． （1）以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则点即为所求． （2）由题意得，，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点， 则点即为所求． （2）解：∵点是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 20．如图，已知线段AB，延长线段AB至点C，使BC＝2AB，延长线段BA至点D，使ADAB，点E是线段AC的中点． (1)若AB＝12，求线段DE的长； (2)若DE＝a，请直接写出线段AB的长（用含a的代数式表示）． 【答案】(1)22 (2) 【分析】（1）先根据线段的比例得到和的长，再根据线段的和差得到和的长，进而可得答案； （2）设，根据线段的比例与线段的和差用含的代数式表示出的长，再整理可得答案． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， 点是的中点， ， ； （2）设， ，，， ，， ，， 点是的中点， ， ， ， 解得． ． 【点睛】本题考查两点间的距离，解题关键是熟练掌握中点的性质和线段和差的运算． 21．学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【答案】(1)是一条射线，表示为射线 (2)非正数 (3)线段，线段 【分析】本题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）观察数轴，利用射线定义判断，表示即可； （2）找出射线上的点表示的数即可； （3）由线段的定义可直接得出结论． 【详解】（1）解：数轴在原点O左边部分（包括原点）是一条射线，表示为射线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：线段，可表示为线段． 22．如图，已知三点A，B，C，按下列要求画图． (1)画直线AB，射线BC； (2)连接AC并延长至点D，使DC＝AC； (3)取线段AB的中点E，找出一点P，使它到点E，B，D，C的距离之和PE+PB+PD+PC最小，这样作图的依据是 　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)两点之间，线段最短 【分析】(1)根据直线，射线的定义画出图形即可； (2)根据线段的定义画出图形即可； (3)用量取法得出点E，再根据线段的性质分析即可． 【详解】（1）解：作图如下，直线AB，射线BC即为所求： （2）解：作图如下，线段DC即为所求： （3）解：如图： 由图可知：PE+PB+PD+PC=DE+BC，此时和最小， 理由：两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【点睛】本题考查了作图一基本作图，直线，射线，线段的定义，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握直线，射线，线段的定义． 23．已知：如图1，是定长线段上一定点，两点分别从，出发以，的速度沿向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上） (1)若，当点运动了，求的值； (2)若点运动时，总有，试说明； (3)如图2，已知，是线段所在直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)2cm (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据运动的时间为2s，结合图形可得出，，即可得出，再由，即得出AC+MD的值； （2）根据题意可得出，．再由，可求出，从而可求出，即证明； （3）①分类讨论当点在线段上时、②当点在线段的延长线上时和③当点在线段的延长线上时，根据线段的和与差结合，即可求出线段MN和AB的等量关系，从而可求出的值，注意舍去不合题意的情形． 【详解】（1）∵时间时， ，， ∴ ； （2）∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①如图，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ③如图，当点在线段的延长线上时， ，这种情况不可能， 综上可知，的值为或． 【点睛】本题考查线段的和与差、与线段有关的动点问题．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键． 24．探索题 如图，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有三个点时，线段总共有3条，如果线段上有4个点时，线段总数有6条，如果线段上有5个点时，线段总数共有10条，… 【观察思考】 （1）当线段上有6个点时，线段总数共有______条． 【模型构建】 （2）当线段上有n个点时，线段总数共有______条． 【拓展应用】 （3）请你用上述模型构建来解决以下问题： 十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握手多少次？ 【答案】（1）15；（2）；（3）105次 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据题意确定出线段总数即可； （2）写出一般性规律即可； （3）归纳总结得到握手次数即可． 【详解】解：（1）当线段上有6个点时，线段总数共有条； 故答案为：15； （2）当线段上有n个点时，线段总数共有条； 故答案为： （4）一个会议，任两个人都要互相握手一次，则15个人一共握了次手． 故答案为：105 25．如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了线段的和差及中点，路程问题，列一元一次方程解决几何问题，动点问题，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． （1）根据中点的性质和线段的倍数关系求出线段的长度，然后根据速度公式进行求解即可； （2）根据题意，分两种情况进行讨论，即当点运动时和停止时，进行列方程求解即可； （3）根据动点分三种情况进行讨论，根据线段中点得出相等的线段，令，则，利用线段的和差表示出相关线段，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，， ∴， ∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点， ∴， ∴，， ∴点运动的时间为， ∴点的速度为， 故答案为：； （2）解：当点没有运动到了点时，假设点运动的时间为，，， ∴， 根据题意得， ① 解得， ，符合题意， 所以，经过P、Q两点相距； ② 解得， ∵， 该种情况不符合题意，舍去； 当点运动到了点，停止运动时，此时，，根据题意得， 点运动的时间为， 综上，经过或P、Q两点相距； （3）解：①如图所示，当点位于点左侧，点位于点左侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； ②如图所示，当点位于点左侧，点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； ③如图所示，当点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 直线、射线、线段（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.直线 2.射线 3.线段 4.线段的画法及长短比较 5.线段的基本事实 6.线段和、差的意义及作法 7.线段的中点、等分点、线段的倍、分的意义 题型巩固 一、直线、射线、线段的联系与区别 二、画出直线、射线、线段 三、点与线的位置关系 四、直线、线段、射线的数量问题 五、直线相交的交点个数问题 六、线段的应用 七、两点确定一条直线 八、作线段(尺规作图) 九、线段的和与差 十、线段中点的有关计算 十一、线段n等分点的有关计算 十二、线段之间的数量关系 十三、与线段有关的动点问题 十四、两点之间线段最短 十五、两点间的距离 十六、最短路径问题 强化训练 单选题（10） 填空题（7） 解答题（8） 知识梳理特别解读 “有”表 示 存在，“只有”表示唯一，即过两点一定能画出一条直线，且这样的直线唯一. 知识点1.直线 1. 认识直线 基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线 表示方法 (1) 用直线上任意表示两个点的大写字母表示，如直线AB； (2) 用一个小写字母表示，如直线l 特征 (1)无端点；(2)向两边无限延伸；(3)不可度量 2. 点与直线的位置关系 图示 位置关系 (1)点在直线上(直线经过该点)，如左图点A 在直线l 上(直线l 经过点A)； (2)点在直线外(直线不经过该点)，如左图点B 在直线l 外(直线l 不经过点B) 3. 相交直线 (1)两条直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 如图6 .2 -1①，可以说成直线a 与直线b 相交于点O. (2)两两相交：若平面内的任意一条直线都与其余直线相交，则称为两两相交，如图6.2-1②所示. 如图 6.2-1③所示的情形也称为两两相交，由此可知两两相交的直线的交点最少有1个. 知识点2.射线 1.认识射线 定义 直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点 表示 (1)用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)，如: 射线OA； (2)用一个小写字母表示，如: 射线l 特征 有一个端点，不可度量，可以向一个方向无限延伸 2. 射线的识别 端点情况 描述 图示 端点相同 端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如射线OA，射线OB 表示同一条射线 端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如射线AO 与射线AB 不是同一条射线 端点不同 端点不同的射线一定不是同一条射线，如射线OA，射线AB 不是同一条射线 知识点3.线段 1. 认识线段 定义 直线上两点及两点间的部分叫作线段，这两个点叫作线段的端点 表示方法 (1) 用线段的两个端点的大写字母表示，如线段AB (2)用一个小写字母表示，如线段a 特征 (1)两个端点；(2)无方向；(3)有长短 2. 直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线AB 或直线BA 或直线l 射线OA 或射线l 线段AB 或线段BA 或线段a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分；线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为直线；射线向反方向无限延伸就成为直线 3. 与线段有关的作图语言举例 (1)连接AB：画以A，B 为端点的线段； (2)延长线段AB：是指从端点A 到B 的方向延长； (3)反向延长线段AB：是指从端点A 到B 相反的方向延长，即延长线段BA. 知识点4.线段的画法及长短比较 1. 尺规作图 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 2. 画一条线段等于已知线段a (1)方法一(测量作图)：利用刻度尺先量出已知线段a 的长度，再画一条等于这个长度的线段. (2)方法二(尺规作图)：如图6.2 -12，用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC 上截取AB=a (这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图). 3.线段长短的比较方法 (1)观察法：通过直观的视觉观察，判断两条线段的长短.两条线段的长短相差很明显时，一般采用这种方法. (2)叠合法(形的比较)：把要比较的两条线段的一个端点重合，然后将两条线段在重合点的同侧叠合在一起，由另一个端点的位置关系可以得出两条线段的长短关系. 叠合法比较线段长短 图例 结论 AB<CD AB=CD AB>CD (3)度量法(数的比较)：用刻度尺测量出线段的长度(单位相同)，再根据长度的大小判断线段的长短关系 如图 6.2-13 所示，已知线段AB，CD，通过测量得AB=1.5 cm，CD=2 cm，可判定AB<CD. 知识点5.线段的基本事实 线段的基本事实 两点的距离 举例 两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短 定义 性质 在所有连接A，B 两点的线中，线段AB是最短的，线段AB 的长度就是点A 与点B 之间的距离 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 (1)存在性； (2)最短性； (3)唯一性 知识点6.线段和、差的意义及作法 如图6.2-19 ，已知线段a，b(且a>b). (1)线段的和：在直线l 上作线段AB=a，再在AB 的延长线上作线段BC=b，线段AC 就是a 与b 的和，记作AC=a＋b，如图6.2-20① . (2)线段的差：在直线l 上作线段AB=a，再在线段AB 上作线段BD=b，则线段AD 就是a 与b 的差，记作AD=a－b，如图6.2－20 ② . 知识点7.线段的中点、等分点、线段的倍、分的意义 1. 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点. 如图6.2－24 ，如果M 是线段AB 的中点，则有AM=BM=AB. 2. 等分点 (1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫作线段的三等分点. 如图6.2-25，M，N 是线段AB 的三等分点，则有AM=MN=NB=AB. (2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫作线段的四等分点. 如图6.2-26 ，M，N，P 是线段AB 的四等分点，则有AM=MN=NP=PB=AB . 3. 线段的倍、分的意义：“线段的倍”指的是一条线段的长度是另一条线段长度的几倍；“线段的分”指的是一条线段的长度是另一条线段长度的几分之几. 如图6.2-27所示，射线AE上有B，C，D三点，它们的长度关系是AB=BC=CD，则AC=2BC，AD=3AB，AB=AC，AB=AD，AC=AD. 题型巩固 题型一、直线、射线、线段的联系与区别 1．（25-26七年级上·辽宁阜新·期中）如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①射线和射线是同一条射线；②直线和直线不是同一条直线；③一条直线上一点把这条直线分成两条射线；④直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点．其中，正确的是 （填序号）． 3．（2022七年级上·全国·专题练习）直线、射线、线段是否有长短？ 题型二、画出直线、射线、线段 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知平面内的三个点，，，按要求画图：画线段，画射线，画直线，下列画出图形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面上有四点A、B、C、D，根据语句画图． (1)画直线、交于点E； (2)画线段、交于点F； (3)画射线． 题型三、点与线的位置关系 6．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（　　） A．点在直线外 B．点在直线外 C．直线不经过点 D．直线经过点 7．如图，点P在直线AB ；点Q在直线AB ，也在射线AB ，但在线段AB的 上． 8．按照下列语句画出图形． （1）点P在直线AB上，但不在直线CD上； （2）点Q既不在直线a上，也不在直线b上； （3）直线EF经过点D，点C不在直线EF上． 题型四、直线、线段、射线的数量问题 9．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点B，C，D，E在同一条直线上，图中共有线段 条，射线 条． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点B，C在线段上． (1)图中以A为一个端点的线段有几条？以B为一个端点的线段有多少条？ (2)图中一共有多少条线段？请分别表示出来． 题型五、直线相交的交点个数问题 12．（23-24七年级上·河南新乡·月考）平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）一个平面内3条直线最多可以将这个平面分成 区域． 14．（1）直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线l3，则这三条直线最多有 ___个交点； （2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线l4，则这四条直线最多可有 ___个交点． （3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，n（n＞1）条直线最多有 ___个交点． 题型六、线段的应用 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 16．（22-23七年级上·河北邢台·期中）图中所给出的线段中，最短的线段是 题型七、两点确定一条直线 17．（25-26七年级上·全国·单元测试）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（  ） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 18．（24-25七年级上·全国·期末）在纸上画出四个点（其中任意三个点都不在同一直线上），经过每两个点用直尺画一条直线，一共可以画 条． 19．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是为什么？ 题型八、作线段(尺规作图) 20．（24-25七年级上·天津南开·期末）如图，已知线段a，b，c．按如下步骤完成尺规作图， ①用直尺画直线l； ②在直线l上作线段，； ③在线段的延长线上作线段； ④在线段上作线段．则线段的长是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知 ．（填写“”，“”，“”） 22．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）尺规作图： 已知：如图，线段a，b． 求作：线段，使． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于． 题型九、线段的和与差 24．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知直线上、、三点，如果线段，线段 ，那么线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 25．（25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 题型十、线段中点的有关计算 26．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在同一直线上顺次有三点，点是线段的中点，点是线段的中点，若想求出的长度，那么只需知道条件（    ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）如图，，是线段的三等分点，是的中点，若，则 ． 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）A，B，C三点在一条直线上，，，的中点是M，的中点是N，求线段的长． 题型十一、线段n等分点的有关计算 29．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 30．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则 ． 31．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 题型十二、线段之间的数量关系 32．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 33．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）如图，已知点为上一点，，为的中点，则= ． 34．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)______； (2)求的长度； (3)若在直线上，且，求的长度． 题型十三、与线段有关的动点问题 35．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 36．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 37．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 题型十四、两点之间线段最短 38．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是（    ）    A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段中点的定义 39．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是 ．         40．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【情境一】 烧一道香葱炒蛋需要七道手续，每道手续所需时间如下：敲蛋1分钟，洗葱切葱花3分钟，打蛋2分钟，洗锅3分钟，烧热锅2分钟，浇热油4分钟，烧4分钟．烧好这道菜最少需要多少分钟？ 【情境二】怎么走路程更短 如图，，，，，．设行走速度为2米每秒．求从A走到C的最短时间是多长． 题型十五、两点间的距离 41．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）若点C是线段的中点，，点D在直线上，且，则线段的长为（   ） A．3 B．9 C．6或9 D．3或12 42．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）延长线段到C，使，若，则线段的长为 43．（2025七年级上·全国·专题练习）已知线段，反向延长线段至C，使，D为直线上一点，且，若，求t的值． 题型十六、最短路径问题 44．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（  ） A． B． C． D． 45．最短路径问题的理论根据：“ ”“垂线段最短”“三角形的三边关系”等．在解决最短路径问题时，我们通常利用 、 等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择 46．在桌面上放了一个正方体盒子，如图，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处找食物，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？要是爬到顶点C呢？ 强化训练 一、单选题 1．下列说法正确的有（     ） ①过两点有且只有一条直线，②连接两点的线段叫做这两点间的距离，③两点之间线段最短，④若，则点B是线段AC的中点 A．①② B．①③④ C．①③ D．①②③④ 2．数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（   ） A．经过两点，有且仅有一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 3．已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（    ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段的延长线上 4．棋盘上有黑、白两色棋子若干，若把颜色相同的三颗棋子在同一条直线上看作一条直线．请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 5．如图，，点为线段的中点，已知，且，则的长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 6．如果线段，C是的中点，延长到D，使，E是的中点，则的长度为（   ） A． B． C． D． 7．以下给出的四个语句中，正确的是（   ） A．若线段，则点，，在同一直线上 B．如果线段，则是线段的中点 C．线段厘米，为直线上的一点，且厘米，那么的长度是1厘米 D．两点之间的线段叫做这两点间的距离 8．点，，在同一条直线上，，，为中点，为中点，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 9．若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 10．已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 二、填空题 11．宣传委员制作黑板报时想要在黑板上画出一条笔直的参照线，由于尺子不够长，她想出了一个办法：在一根长度合适的毛线上涂满粉笔灰，两个同学分别抓住毛线两端，绷紧，靠近黑板要画线的位置，在中间将线一拉再松开，毛线弹回到黑板上，这样黑板上就出现了一条笔直的“粉笔灰线”，这种画法的数学依据是 ． 12．如果线段，点C在直线上，，D是的中点，那么A、D两点间的距离是 ． 13．已知平面内有A，，，四点，过其中的两点画一条直线，一共可以画 直线． 14．已知线段a，b，嘉琪作出了如图所示的图形，其中是所求线段，则线段 （用含a，b的式子表示）． 15．平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为 个． 16．在数轴上，点A（表示整数a）在原点O的左侧，点B（表示整数b）在原点O的右侧，若|a﹣b|＝2022，且AO＝2BO，则a＋b的值为 ． 17．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，M为线段OC的中点． （1）点B表示的数为 ； （2）若线段，则线段OM的长为 ． 三、解答题 18．如图，已知线段和，且，用直尺和圆规作一条线段，使．（不写作法，保留作图痕迹）    19．如图，已知线段． (1)尺规作图：在线段的延长线上找一点，使得； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，求出与的数量关系． 20．如图，已知线段AB，延长线段AB至点C，使BC＝2AB，延长线段BA至点D，使ADAB，点E是线段AC的中点． (1)若AB＝12，求线段DE的长； (2)若DE＝a，请直接写出线段AB的长（用含a的代数式表示）． 21．学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 22．如图，已知三点A，B，C，按下列要求画图． (1)画直线AB，射线BC； (2)连接AC并延长至点D，使DC＝AC； (3)取线段AB的中点E，找出一点P，使它到点E，B，D，C的距离之和PE+PB+PD+PC最小，这样作图的依据是 　　． 23．已知：如图1，是定长线段上一定点，两点分别从，出发以，的速度沿向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上） (1)若，当点运动了，求的值； (2)若点运动时，总有，试说明； (3)如图2，已知，是线段所在直线上一点，且，求的值． 24．探索题 如图，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有三个点时，线段总共有3条，如果线段上有4个点时，线段总数有6条，如果线段上有5个点时，线段总数共有10条，… 【观察思考】 （1）当线段上有6个点时，线段总数共有______条． 【模型构建】 （2）当线段上有n个点时，线段总数共有______条． 【拓展应用】 （3）请你用上述模型构建来解决以下问题： 十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握手多少次？ 25．如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 学科网（北京）股份有限公司 $