3.3 数量之间的关系 课件 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

冀教（2024）版数学7年级上册 第三章 代数式 3.3 数量之间的关系 观察下列等式： 1×3=22-1；2×4=32-1；3×5=42-1；…… 请你试用一个公式表示出这些等式所反映的规律. 观察每个等式的特征，这些等式可以改写成： 1×（2+1）=（1+1）2-1；2×(2+2)=（2+1）2-1；3×(2+3)=（3+1）2-1；…… 用n表示自然数，则规律是：n(n+2)=(n+1)2-1. # 幻灯片分页内容：3.3 数量之间的关系 ## 第1页：导入——生活中的“关联密码” - 展示生活情境： 1. 电费账单：用电量越多，缴费金额越高（用电量与电费的关系） 2. 跑步健身：跑步时间越长，消耗的卡路里越多（时间与卡路里的关系） 3. 购物结算：购买商品的数量越多，总花费越高（数量与总价的关系） - 提问：这些情境中，两个量之间有什么共同特点？（一个量变化，另一个量随之变化） - 引出主题：生活中很多数量都不是孤立的，它们之间存在着密切的联系，今天我们就来系统学习“数量之间的关系” ## 第2页：核心概念——变量与常量 - 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（举例：圆周率π≈3.14，商品的单价，固定的速度） - 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量（举例：购买商品的数量，行驶的路程，时间） - 强调：变量之间是相互依存的，一个变量的变化会引起另一个变量的变化 - 实例分析： 1. 汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程s与时间t的关系中，常量是60千米/时，变量是s和t 2. 圆的面积S与半径r的关系中，常量是π，变量是S和r ## 第3页：数量关系的表示方法（一）——表格法 - 定义：用表格的形式记录变量之间的对应数值，直观反映数量关系 - 例题：小明骑自行车上学，速度为15千米/时，填写下表，感受时间与路程的关系 | 时间t（小时） | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | |---------------|-----|-----|-----|-----|-----| | 路程s（千米） | 7.5 | 15 | 22.5 | 30 | 37.5 | - 观察表格：当t逐渐增大时，s如何变化？（t每增加0.5小时，s增加7.5千米，s随t的增大而增大） - 优点：直观、清晰，能直接找到变量的对应值；缺点：只能表示有限个对应关系 ## 第4页：数量关系的表示方法（二）——关系式法 - 定义：用含变量的代数式表示两个变量之间的等量关系，简洁通用 - 例题推导： 1. 结合上页表格，路程=速度×时间，速度为15千米/时，所以关系式为s=15t（t≥0） 2. 正方形的边长为a，面积为S，关系式为S=a²（a>0） 3. 购买单价为8元的笔记本，总价y与数量x的关系式为y=8x（x为非负整数） - 应用：根据关系式求变量值 - 例：在s=15t中，当t=3时，s=15×3=45（千米）；当s=40时，t=40÷15=8/3（小时） - 优点：简洁、通用，能表示所有对应关系；缺点：不够直观，需要计算才能找到对应值 ## 第5页：数量关系的表示方法（三）——图像法 - 定义：在平面直角坐标系中，用点的坐标表示变量之间的对应关系，形象直观 - 绘制步骤（以s=15t为例）： 1. 建立平面直角坐标系，横轴表示时间t（小时），纵轴表示路程s（千米） 2. 根据表格中的对应值，确定点的坐标（0.5,7.5）、（1,15）、（1.5,22.5）等 3. 用平滑的线连接这些点（此处为直线） - 观察图像：直线从原点出发，向右上方延伸，说明s随t的增大而均匀增大 - 优点：形象、直观，能清晰看出变量的变化趋势；缺点：不够精确，只能大致读取对应值 ## 第6页：三种表示方法的对比与选择 - 表格法、关系式法、图像法的优缺点对比： - 表格法：优点（直观、易读），缺点（有限个对应值） - 关系式法：优点（精确、通用），缺点（抽象、需计算） - 图像法：优点（形象、显趋势），缺点（粗略、难精确） - 选择技巧： - 需快速读取具体数值时，用表格法（如购物清单、成绩单） - 需精确计算或表示所有对应关系时，用关系式法（如数学公式、物理公式） - 需展示变化趋势或直观对比时，用图像法（如股票走势图、气温变化图） ## 第7页：实际应用——分析数量关系解决问题 - 例题1：某手机套餐规定，每月基本费30元，包含100分钟通话，超过100分钟后，每分钟收费0.2元，设每月通话时间为x分钟，话费为y元 1. 当x≤100时，y=30（常量关系） 2. 当x>100时，y=30+0.2(x-100)=0.2x+10（变量关系） 3. 计算：当x=150时，y=0.2×150+10=40（元） - 例题2：某水库的水位h（米）随时间t（天）的变化如图所示（展示简化图像：前3天水位上升，后2天保持不变，最后1天下降） 1. 前3天，水位随时间的变化趋势是怎样的？（逐渐上升） 2. 第3-5天，水位是多少？（保持不变，对应图像的水平线段） 3. 哪段时间水位下降？（第5-6天） ## 第8页：课堂小结 - 核心概念：常量（不变的量）、变量（变化的量） - 表示方法：表格法（直观）、关系式法（精确）、图像法（显趋势） - 核心思想：数量之间相互依存，一个变量的变化会引起另一个变量的变化 - 应用技巧：根据实际需求选择合适的表示方法，分析变量变化趋势解决问题 - 提问：今天你学会了如何表示数量之间的关系吗？生活中还有哪些数量之间存在这样的关联？ 探究新知 用代数式表示数的变化规律 1.数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律; 2.数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系； 3.若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好，然后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律. 新知探究 知识点1 用代数式表示数的变化规律 探究新知 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1.请找出同一直线上相邻数之间的关系: （1）横行三个相邻数的关系； （2）竖列三个相邻数的关系. 后者比前者多1. 用代数式表示为：a-1,a,a+1 下者比上者多7. 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 一起探究: 用代数式表示为：b-7,b,b+7 探究新知 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (3) 左上右下对角线上三个相邻数; （4）左下右上对角线上三个相邻数. 左上者比右下者多8. 用代数式表示为：c-8,c,c+8 右上者比左下者多6. 用代数式表示为：d-6,d,d+6 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 探究新知 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 日历中相邻三数之间有什么相等关系？ 同一直线上无论位置怎样的相邻三个数， 首尾两数之和= 2×中间数. 问题1 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 新知探究 探究新知 a-1,a,a+1 (1)水平相邻的三个数 (2) 竖直相邻的三个数 b-7,b,b+7 (3) 斜下相邻的三个数 c-8,c,c+8 (4)斜上相邻的三个数 d-6,d,d+6 (a-1) +(a+1)=2a. (b-7) +(b+7)=2b. (c-8)+(c+8)=2c. (d-6)+(d+6)=2d. 用代数式表示为： 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 探究新知 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 日历中3×3方框内九数之和与方框中正中间的数有何等量关系？ 2+3+4+9+10+11+16+17+18=90=9×10. 九数之和=9 × 中间数 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 新知探究 探究新知 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 这个关系在其它方框中成立吗? 8+9+10+15+16+17+22+23+24=144=9×16. 成立! 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 探究新知 探索规律的一般步骤： 猜 想 规 律 表 示 规 律 验 证 规 律 具 体 问 题 观察、比较 成立 得出结论 不成立 头 回 新 重 索 探 归 纳: 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 新知探究 探究新知 图3-2-3是由点组成的n行n列的方阵，图3-2-4是由每条边上n个点围成的空心方阵． 1. 图3-2-3方阵的总点数为多少？ 2. 图3-2-4方阵的总点数是什么？ 观察与思考 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 探究新知 1. 图3-2-3方阵的总点数为多少？ 2. 图3-2-4方阵的总点数是什么 ？ n行n列的实心方阵的点数为n×n= 由每条边上n个点围成的空心方阵的总点数等于n×n实心方阵的点数减去（n-2）×（n-2）实心方阵的点数的差为 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 新知探究 探究新知 方法1 如图（1）每边n个点，4个边共4n个点，减去重复计算的4个点，方阵的总点数为4n-4. 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 探究新知 列代数式表示空心方阵的点数，引导学生归纳概括不同方法的要点，体会形式不同的代数式表达的同一个量.采用了分类法. 方法2：如图（2）将点阵分成不重叠的4组，每组有(n-1)个点，方阵的总点数为4（n-1）. 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 新知探究 探究新知 方法3：如图（3）将点阵分成不重叠的4组，其中两组各有n个点，另两组各有(n-2）个点，方阵的总点数为2n＋2（n-2）． 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 探究新知 用小棒按下图的方式搭三角形. 三角形 个数 1 2 3 4 5 … n 小棒 根数 … 填写下表: 新知探究 知识点3 用代数式表示图形的变化规律 探究新知 3 +2 +2 +2 +2 +2 1+2 三角形个数 火柴棒根数 1 2 3 4 5 … … n 3=1+2 5=1+2+2 7=1+2+2+2 9=1+2+2+2+2 11=1+2+2+2+2+2 2n+1=1+2+2+2+2+ +2 新知探究 知识点3 用代数式表示图形的变化规律 探究新知 用代数式表示图形的变化规律： 1.通过列表，将每个图形所研究的量利用表格的反映出来，然后根据数字变化获取规律； 2.直接观察出图形之间的位置变化或数量变化，获取规律. 知识点3 用代数式表示图形的变化规律 新知探究 探究新知 1.一组按规律排列的数： ，请你推断第7个数是________；第n（n为正整数）个数是_____________. 随堂练习 课堂练习 2.观察下列等式: 32-12=4×2； 42-22=4×3； 52-32=4×4； （1）第4个等式为 ； （2）第n（n为正整数）个等式为__________________. 62-42=4×5 (n+2)2-n2=4(n+1) 随堂练习 课堂练习 3.如图，第一排有 1 个三角形；第二排有 3 个三角形；第三排有 5 个三角形；第四排有 个三角形；第n排有 个三角形. 7 (2n+1) 随堂练习 课堂练习 4.如图，按下列方式用火柴棒搭建正方形： 1个正方形用4根火柴棒；2个正方形用 根火柴棒；3个正方形用 根火柴棒；10个正方形用 根火柴棒；n 个正方形用 根火柴棒. 7 (3n+1) … 10 31 随堂练习 课堂练习 5.若按下图方式摆放桌子和椅子： （1）一张桌子可坐6人，2张桌子可坐 人； （2）按照上图方式继续排列桌子，完成下表： … 桌子张数 3 4 5 6 … n 可坐人数 … 4n+2 14 18 22 26 10 随堂练习 课堂练习 6.若按下图方式摆放桌子和椅子： （1）一张桌子可坐6人，2张桌子可坐 人； （2）按照上图方式继续排列桌子，完成下表： 桌子张数 3 4 5 6 … n 可坐人数 … 4+2n 10 12 14 16 8 … 随堂练习 课堂练习 知识点1 探索数及式的规律 1.［2024徐州中考］观察下列各数：3，8，18，38， ，按此规律，第 个数可能为( ) D A.48，58，68 B.58，78，98 C.76，156，316 D.78，158，318 返回 考试考法 25 2.［2025沧州期末］有一列数：，4，，16，， ，按这样的 规律排列，则第 个数是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 26 3.观察下列式子：； ； ； ；… 按照以上规律，第 个式子为____________________________________. 返回 考试考法 27 知识点2 探索图形规律 4.［2024济宁中考］如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方 形.第一幅图有1个正方形，前两幅图共有5个正方形，前三幅图共有14 个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为( ) B A.90 B.91 C.92 D.93 返回 考试考法 28 5.如图，用棋子摆成的“”形图，按这样的规律摆下去，第 个图需要 _________枚棋子. 返回 考试考法 29 6.［2024扬州中考］1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一 列数：1，1，2，3，5， ，这一列数满足：从第三个数开始，每一 个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2 024个数中，奇数的 个数为( ) D A.676 B.674 C.1 348 D.1 350 返回 考试考法 30 7.如图， ，射线是 的 平分线，射线是 的平分线，射线 是 的平分线……以此类推，请借 助所给图形思考 的度数为 ( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 31 8.［2025石家庄期末］如图所示，各正方形中的四个数之间都具有同一 种规律，按此规律得出 的值为_______. 返回 考试考法 32 9.（8分） ［2025保定期末］观察下列图形与等式的关 系，回答问题. （1） ____. 考试考法 33 （2）利用（1）中结论，解答下列问题. ① _______； 2 500 ②计算 . 解： . 返回 考试考法 34 用代数式表示规律 表示图形的规律 表示数阵的规律 表示数的规律 课堂小结 谢谢观看！ $