2.7.2余角和补角 课件 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦余角和补角的定义、性质及应用，通过三角尺拼角、黑板画角等生活情境导入，衔接角的和差计算旧知，引导学生从具体现象抽象出数学概念，构建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以几何直观和推理意识为核心，通过定义符号化表达、性质分层论证，结合角平分线综合题、围墙角度测量等实际情境，培养学生抽象能力与应用意识。学生能在分层练习中夯实基础，教师可借助易错点辨析提升教学针对性。

冀教（2024）版数学7年级上册 第二章 几何图形的初步认识 2.7.2余角和补角 O A B 要测量两堵墙所成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量? 你能帮他解决这个问题吗？ 课堂导入 # 幻灯片分页内容：2.7.2 余角和补角 ## 第1页：课题导入——情境设问引概念 - 生活情境： 1. 三角尺中，30°角与60°角拼在一起是90°直角，45°角与45°角拼在一起也是90°直角； 2. 黑板上画一个120°的角，再画一个60°的角，它们拼在一起是180°平角。 - 旧知衔接：已学角的和差计算，两个角的和为90°或180°时，有特殊名称和性质，今天重点学习。 - 课题明确：理解余角和补角的定义，掌握其性质（同角/等角的余角相等、同角/等角的补角相等），能解决相关计算和推理问题。 ## 第2页：核心定义——余角和补角 ### 1. 余角（互余） - 定义：如果两个角的和等于90°（直角），那么这两个角互为余角，简称互余。 - 符号表示：若∠α + ∠β = 90°，则∠α是∠β的余角，∠β也是∠α的余角。 - 示例：35°与55°互余（35°+55°=90°）；40°20′的余角是49°40′（90°-40°20′=49°40′）。 - 注意：互余的两个角一定都是锐角（小于90°），直角和钝角没有余角。 ### 2. 补角（互补） - 定义：如果两个角的和等于180°（平角），那么这两个角互为补角，简称互补。 - 符号表示：若∠α + ∠β = 180°，则∠α是∠β的补角，∠β也是∠α的补角。 - 示例：110°与70°互补（110°+70°=180°）；135°30′的补角是44°30′（180°-135°30′=44°30′）。 - 注意：锐角的补角是钝角，直角的补角是直角（90°+90°=180°），钝角的补角是锐角。 ## 第3页：核心性质——余角和补角的性质 ### 1. 余角的性质 - 文字表述：同角的余角相等；等角的余角相等。 - 符号表示： - 同角的余角相等：若∠α + ∠β = 90°，∠α + ∠γ = 90°，则∠β = ∠γ； - 等角的余角相等：若∠α + ∠β = 90°，∠γ + ∠δ = 90°，且∠α = ∠γ，则∠β = ∠δ。 - 示例：若∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，则∠2 = ∠3。 ### 2. 补角的性质 - 文字表述：同角的补角相等；等角的补角相等。 - 符号表示： - 同角的补角相等：若∠α + ∠β = 180°，∠α + ∠γ = 180°，则∠β = ∠γ； - 等角的补角相等：若∠α + ∠β = 180°，∠γ + ∠δ = 180°，且∠α = ∠γ，则∠β = ∠δ。 - 示例：若∠A + ∠B = 180°，∠A + ∠C = 180°，则∠B = ∠C。 ## 第4页：典例精析——基础计算 ### 1. 求一个角的余角或补角 - 例1：已知∠α = 38°，求它的余角和补角。 解：余角 = 90° - 38° = 52°；补角 = 180° - 38° = 142°。 - 例2：已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数。 解：设这个角为x°，则补角为(180 - x)°，余角为(90 - x)°； 由题意得：180 - x = 4(90 - x)； 解方程：180 - x = 360 - 4x → 3x = 180 → x = 60； 答：这个角的度数是60°。 ### 2. 利用性质进行推理 - 例3：如图，∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，求证∠1 = ∠3。 证明：∵ ∠1与∠2互余，∴ ∠1 + ∠2 = 90°； ∵ ∠3与∠2互余，∴ ∠3 + ∠2 = 90°； ∴ ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2（同角的余角相等）； ∴ ∠1 = ∠3。 ## 第5页：典例精析——进阶综合 ### 1. 余角、补角与角平分线结合 - 例4：已知∠AOB = 180°，OC平分∠AOB，∠DOE = 90°，求∠AOD与∠COE的关系。 解：∵ OC平分∠AOB，∠AOB = 180°，∴ ∠AOC = ∠COB = 90°； ∵ ∠AOC = 90°，∴ ∠AOD + ∠DOC = 90°； 又∵ ∠DOE = 90°，∴ ∠DOC + ∠COE = 90°； ∴ ∠AOD = ∠COE（同角的余角相等）。 ### 2. 分类讨论题（角的位置不确定） - 例5：已知∠A = 50°，∠B与∠A互补，∠C与∠A互余，求∠B - ∠C的度数。 解：∵ ∠B与∠A互补，∴ ∠B = 180° - 50° = 130°； ∵ ∠C与∠A互余，∴ ∠C = 90° - 50° = 40°； ∴ ∠B - ∠C = 130° - 40° = 90°。 （注：本题∠A为锐角，位置唯一，无需多分类；若∠A为钝角，补角为锐角，余角不存在，需提醒） ## 第6页：易错点辨析——避开常见误区 1. 混淆“互余”“互补”的度数条件（如将互余当成和为180°）； 纠正：牢记互余和为90°，互补和为180°，可简记“余90补180”。 2. 认为“一个角的余角/补角只有一个”； 纠正：一个角的余角/补角有无数个，但它们的度数都相等（依据余角/补角性质）。 3. 计算时忽略角度的60进制（如求30°15′的余角，误算为90° - 30°15′ = 59°45′，正确）； 提醒：不够减时借1°化为60′，如求10°30′的补角：180° - 10°30′ = 169°30′。 4. 忽略“互余的两个角必须是锐角”（如认为100°角有余角）； 纠正：钝角大于90°，无法与另一个角的和为90°，故无余角。 ## 第7页：课堂练习——分层巩固 ### 基础题（夯实概念） 1. 已知∠α = 55°，则它的余角是______，补角是______（答案：35°；125°）； 2. 若∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°，则∠1与∠3的关系是______（答案：相等）； 3. 一个角的补角是它本身的2倍，求这个角的度数（答案：60°）。 ### 提高题（能力提升） 1. 已知∠A与∠B互补，∠A - ∠B = 30°，求∠A和∠B的度数（答案：∠A=105°，∠B=75°）； 2. 如图，∠AOB = 90°，∠COD = 90°，求证∠AOC = ∠BOD（提示：利用同角的余角相等）。 ## 第8页：课堂小结与课后作业 ### 课堂小结 1. 两个定义：互余（和为90°）、互补（和为180°）； 2. 两条性质：同角/等角的余角相等，同角/等角的补角相等； 3. 核心技能：求余角/补角的计算、利用性质推理相等关系。 ### 课后作业 1. 计算：48°30′的余角是______，120°15′的补角是______； 2. 已知∠α的余角是∠β的补角的$\frac{1}{3}$，且∠α = 60°，求∠β的度数； 3. 证明：等角的补角相等（写出已知、求证、证明过程）。 情景导入 两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余. 如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角. 1 2 几何语言： 因为∠1＋∠2＝90°, 所以∠1与∠2互余. 反过来，如果∠1与∠2互为余角，那么∠1+∠2=90°. 几何语言： 所以∠1＋∠2＝90°. 因为∠1与∠2互余, 新知探究 知识点1 余角与余角的性质 探究新知 例1 图中给出的各角，哪些互为余角？ 15o 24o 66o 75o 46.2o 43.8o 新知探究 知识点1 余角与余角的性质 探究新知 例2 画出∠COB的余角. C O B A D 新知探究 知识点1 余角与余角的性质 探究新知 （2）量一量: 用量角器量一下这两个角的度数； 根据图形回答下列问题: （1）猜一猜: ∠1 与∠2相等吗？ 问题1 ∠1与∠COB互余，∠ 2与∠COB互余. C O B A D （3）议一议：把结论归纳一下. （4）试一试：你还能用什么方法来说明这个结论？ 相等 同角的余角相等 1 2 新知探究 知识点1 余角与余角的性质 探究新知 解： ∠1与∠2相等.理由如下： 因为 ∠1+∠BOC = 90°， ∠2+∠BOC = 90°， 所以 ∠1= 90°-∠BOC， ∠2= 90°-∠BOC ， 所以 ∠1 =∠2. 如图，∠1与∠COB互余， ∠ 2与∠COB互余， 则∠1与∠2相等吗？ A O B D C 1 2 同角的 余角相等 新知探究 知识点1 余角与余角的性质 探究新知 问题2 如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余， 如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 1 2 3 4 解： ∠2与∠4相等.理由如下： 因为∠1﹢∠2 = 90°， ∠3﹢∠4 = 90°， 所以∠2 = 90°-∠1，∠4 = 90°-∠3. 因为∠1 =∠3, 所以∠2 =∠4. 等角的余角相等 新知探究 知识点1 余角与余角的性质 探究新知 两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补. 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角. 1 2 几何语言： 因为∠1＋∠2＝180°， 所以∠1与∠2互补. 思考：如何画一个已知角∠BOC的补角？ B O C 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 反过来，如果∠1与∠2互为补角，那么∠1+∠2=180°. 几何语言： 因为∠1与∠2互补, 所以∠1＋∠2＝180°. 探究新知 让学生明确邻补角数量关系和位置关系，从而得出两角互补的概念，体会邻补角与两角互补之间的不同. 例3 图中给出的各角，哪些互为补角？ 10o 30o 60o 80o 100o 120o 150o 170o 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 探究新知 问题3 如图，∠1是∠BOC 的补角， ∠2是∠BOC 的补角.∠1与∠2相等吗? 解： ∠1与∠2相等.理由如下： 因为∠1+ ∠BOC = 180°， ∠2+ ∠BOC = 180°， 所以∠1=180°- ∠BOC ， ∠2=180°- ∠BOC， 所以∠1=∠2. A O B D C 1 2 同角的补角相等 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 探究新知 问题4 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么 ∠2与∠4相等吗？为什么？ 解：∠2与∠4相等.理由如下： 因为 ∠1﹢∠2 = 180°，∠3﹢∠4 = 180°， 所以 ∠2 = 180°-∠1， ∠4 = 180°-∠3. 因为 ∠1 =∠3， 所以 ∠2 =∠4. 等角的补角相等 1 2 4 3 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 探究新知 例4 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点A，O，B在同一直线上， 所以 ∠AOC 和∠BOC互为补角. O A B C D E 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC ) = 90°. 所以∠COD和∠COE互为余角. 同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角. 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 探究新知 13 例5 如图，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E， F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由． 分析：已知∠1＋∠2＝180°，说明∠2是∠1的补角．根据同角 (或等角)的补角相等，找出图中∠1的其他补角和∠2的其他补角 的补角，便可确定与∠2相等的角． 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 探究新知 解：如图，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠3＝∠2. 因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠4＝∠2. 因为∠2＋∠5＝180°， ∠6＋∠5＝180°， 所以∠2＝∠6. 所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6. 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 例5 如图，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E， F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由． 探究新知 1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　） A．30° B．45° C．60° D．75° A 随堂练习 课堂练习 2.下列说法正确的是（　　） A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D．一个角的余角一定小于其补角 D 随堂练习 课堂练习 3. 如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是(　　) A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 C 随堂练习 课堂练习 4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= . 62° 28° 随堂练习 课堂练习 5. 如图，D是直线EF上一点，∠CDE＝90°，∠1＝∠2，哪些角互为余角？哪些角互为补角？ 解：∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠BDC，∠2与∠ADC互为余角； ∠1与∠ADF，∠2与∠ADF，∠2与∠BDE，∠1与∠BDE，∠EDC与∠FDC互为补角． 随堂练习 课堂练习 6.如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． （1）∠AOD的余角是______________，∠COD的余角是_______________; （2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由． ∠COE、∠BOE O A B C D E ∠COE、∠BOE 解：OE平分∠BOC.理由如下： 因为∠DOE=90°， 所以∠AOD+∠BOE=90°,∠COD+∠COE=90°， 所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE. 因为OD平分∠AOC，所以∠AOD=∠COD， 所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC． 随堂练习 课堂练习 7.如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，且∠AOB＝40°，求∠COD的度数． 解：因为∠AOC＝∠BOD＝90°， 所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC＝90°， 所以∠AOB，∠COD都是∠BOC的余角， 所以∠AOB＝∠COD. 因为∠AOB＝40°，所以∠COD＝40°. 随堂练习 课堂练习 知识点1 余角和补角的定义 1.已知的度数是 ，则 的余角是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 23 2.若与互补， ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 24 3.［2025邯郸期末］依据下列各角所标数据，其中没有余角的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 25 4.［2025保定徐水区期末］已知 ，，则 与 的关系为( ) C A.相等 B.互余 C.互补 D.以上都不对 返回 考试考法 26 5.如果一个角的余角的度数是 ，那么这个角的补角的度数是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 27 6.如图，已知直线，相交于点，则 的邻补角有__________ ______. ， 返回 考试考法 28 7.若一个角的补角的度数是这个角的3倍，则这个角的补角的度数为 _____ . 135 返回 考试考法 29 8.（4分）如图， ，是的平分线，与 互余， 求 的度数. 解：因为平分，所以 . 又因为与互余，所以 . 返回 考试考法 30 知识点2 余角和补角的性质 9.若与互余，与互余，则与 的关系是( ) C A.互余 B.互补 C.相等 D.不能确定 返回 考试考法 31 10.若 ， ，，则 ，依 据是( ) D A.同角的余角相等 B.等角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 返回 考试考法 32 11. 如图， ，对于 结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( ) 结论Ⅰ： ； 结论Ⅱ：是 的补角. A A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对，Ⅱ对 D.Ⅰ对，Ⅱ不对 返回 考试考法 33 12.（8分）［教材习题 变式］如图， ， . （1）与 有怎样的数量关系？为什么？ 与 有怎样的数量关系？为什么？ 解：， .理由：因为 ，所以 ， . 因为，所以.因为 ，所以 ，即 . （2）的余角为______________； 的补角为______________. ， ， 返回 考试考法 34 13.若与互补，与互余，则与 的关系是( ) C A. B. C. D.以上都不对 返回 考试考法 35 14.将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中 与 互补的 是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 36 （第15题） 15.［2025衡水期末］将长方形纸片 的两个 直角和分别沿直线， 折叠，得到如图， 则互为余角的是( ) D A.与 B.与 C.与 D.与 返回 考试考法 37 （第16题） 16.［教材习题变式］如图，点是直线 上一点，平分， ，则图 中互余的角有___对，互补的角有___对. 4 7 返回 考试考法 38 17.（8分）如图，点在直线上，， 在 直线上方，且 . （1）若在的内部， ， 与互余，求 的度数； 解：如图①，因为 ， 与 互余， 所以 . 考试考法 39 （2）若平分，且与互补，求 的度数. 解：如图②，因为平分 ， 所以 . 由题意知 ， 因为 ， 所以 ， 所以 . 因为 ， 所以 . 返回 考试考法 40 18.（8分）如图，，， 三点在同一直线上， 与 互补. （1）与 的度数相等吗？为什么？ 解： 相等. 理由：因为与 互补， 所以 ， 又因为 ， 所以 . 考试考法 41 （2）已知平分，射线在的内部，且满足 与 互余. ①若 ，求 的度数； 解：因为与 互余， 所以 . 考试考法 42 ②试探究与 之间有怎样的数量关系，请写出结论并说明理由. 解： ， 理由如下：因为平分 ， 所以， ， 因为与 互余， 所以 ， 所以 ，所以 , , 所以 ， 考试考法 43 ， 因为与 互补， 所以 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 . 所以 . 返回 考试考法 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 课堂小结 谢谢观看！ $