精品解析：河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二上学期期中数学试题

邢台市卓越联盟2025-2026学年第一学期高二期中考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册2.4至3.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆公切线的条数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（ ） A. 面积的最大值是 B. 面积的最小值是 C. 当最小时， D. 当最大时， 10. 以下四个命题是真命题的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线：与：互相垂直，则 C. 已知直线：与：平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或 11. 已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 直线的斜率的最大值为 D. 若，则直线的斜率为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与圆的公共弦长为________． 13. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 14. 著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知平面内，曲线的方程为，则曲线所围成的封闭图形的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线经过点，与圆相交于，两点，，求的一般式方程． 16. 已知椭圆：的焦距为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若斜率为的直线与椭圆有交点，求在轴上的截距的取值范围． 17. 设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 18. 已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． （1）求的值； （2）倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； （3）是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 19. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：． （1）分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围． （2）已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线． （i）求曲线的方程； （ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台市卓越联盟2025-2026学年第一学期高二期中考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册2.4至3.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：B 2. 若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，代入求解，即可得答案. 【详解】由在圆内，得，解得． 故选：A 3. 已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得长轴长和短轴长，由题意列方程求解即可. 【详解】椭圆：的长轴长为，短轴长为， 由题意，平方化简得，又，解得． 故选：B 4. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得双曲线的渐近线方程，再根据点到直线距离公式计算，即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即， 因为点在轴上，结合对称性，点到双曲线的两条渐近线距离相等， 取其中一条渐近线， 则点到直线的距离． 故选：D 5. 圆与圆公切线的条数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆圆心距离与半径的关系可判断两圆位置关系，进而可得公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为内切，所以公切线的条数为， 故选：B. 6. 已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可. 【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，， 则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 故选：A. 7. 已知圆与圆关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆对称可知，两圆圆心关于直线对称，则直线与直线垂直，且的中点在直线上，列方程可得与，再由两圆半径相等可得. 【详解】圆，圆心为，半径， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， 由题可知与关于直线对称， 所以解得， 又，所以，故， 故选：A. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，表达出其他各边长，并得到，由勾股定理得到方程，求出，进而得到，求出答案. 【详解】由题可知，．由，得， 由椭圆的定义可得，， 设，则，， 所以，． 因为，所以，又，所以， 又，故， 即为直角三角形，， 在Rt中，由勾股定理得， ，解得或（舍去）， 在Rt中，由勾股定理得， 又，代入，整理得，所以离心率． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（ ） A. 面积的最大值是 B. 面积的最小值是 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得出，，则，然后求出到直线AB距离的最值即可判断选项AB；结合图像判断出最小和最大时的状态，即可得出答案. 【详解】对于AB：因为直线分别与轴、轴交于，两点， 所以，，则． 因为点在圆：上，圆心为，半径为1， 所以圆心到直线的距离， 则点到直线的距离的范围为， 则，所以面积的最大值是， 最小值为，A正确，B错误． 当最大或最小时，与圆相切，连接， 可知，，， 由勾股定理可得，CD均正确． 故选：ACD. 10. 以下四个命题是真命题的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线：与：互相垂直，则 C. 已知直线：与：平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A：分离参数求定点，得.选项B：用一般式垂直的条件算得.选项C：用一般式平行条件，并且检验直线重合的情况.选项 D：分截距为0和不为0两种情况推导. 【详解】对于A，可化为， 令 ，解得定点为， 直线恒过定点，所以A错误． 对于B，若，则，解得，所以B正确． 对于C，若，则，解得或， 当时，：，：，所以符合题意， 当时，：，：，所以符合题意，所以C错误． 对于D，当直线过原点时，方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以直线方程为，故D正确． 故选：BD 11. 已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 直线的斜率的最大值为 D. 若，则直线的斜率为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题设易得，进而得到抛物线：，，进而求解判断即可；对于B，设，，：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及向量运算可得为钝角，进而判断即可；对于C，表示出直线的斜率为，进而分析判断即可；对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，结合抛物线的定义可得为的中点，可得平行于轴，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由题可知，则，则抛物线：，， 故，故A错误； 对于B，显然直线的斜率不为0，设，，：， 联立，得， 则， 且，，则， 所以， 所以，因为， 所以一定为钝角，故为钝角三角形，故B正确； 对于C，由B知，的中点的纵坐标为， 横坐标为， 所以直线的斜率为， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率的最大值为，故C正确； 对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，， 因为，所以， 因为为的中点，所以平行于轴， 因为，所以，则，即， 故直线的斜率为2，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差，可得其公共弦所在直线的方程，根据点到直线距离公式，可得圆心到公共弦所在直线的距离d，根据圆的半径为，代入弦长公式，即可求得答案. 【详解】已知圆，圆， 圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 因为，所以，所以两圆相交， 两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为， 而圆心到公共弦所在直线的距离， 又圆的半径为， 所以公共弦长为． 故答案为： 13. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是． 故答案为：. 14. 著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知平面内，曲线的方程为，则曲线所围成的封闭图形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】按绝对值内表达式的符号分类，拆分原方程为椭圆和圆的方程；分析曲线所围成的封闭图形；分别计算圆的部分面积、椭圆的部分面积、三角形面积，求和得到总面积即可． 【详解】当时，，则曲线的方程为， 当时，，则曲线的方程为，即． 如图所示，为圆心角且， 故曲线所围成的封闭图形可分为三部分， 其面积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线经过点，与圆相交于，两点，，求的一般式方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）线段的中点为，，可得线段的垂直平分线方程，与圆心所在直线联立，即可求得圆心，再结合两点间距离可求得半径，即可得到圆的方程； （2）根据直线与圆相交的弦长公式，先求得圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线距离公式，即可求解. 【小问1详解】 由题可知，的中点坐标为， 所以线段的中垂线方程为，即， 所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以由，解得，即． 又点在圆上，所以， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 由，得圆心到直线的距离． 当的斜率不存在时，点到直线的距离为1，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为，即， 则，解得，所以的方程为． 故直线的一般式方程为或． 16. 已知椭圆：的焦距为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若斜率为的直线与椭圆有交点，求在轴上的截距的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）设在轴上的截距为，的方程为，结合条件，利用直线与椭圆位置关系，联立方程即可求解. 【小问1详解】 由题意知，解得，， 所以的标准方程为． 【小问2详解】 设在轴上的截距为，则的方程为， 由，消去得 因为直线与椭圆有交点，所以，解得， 所以的取值范围为． 17. 设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心和半径，然后分两圆外切和内切两种情况得，然后利用双曲线的定义求解轨迹方程即可． （2）利用点差法求得直线的斜率，进而求解直线的方程. 【小问1详解】 可化为，圆的圆心为，半径； 可化为，圆的圆心为，半径． 设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得． 故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，， 则，故动圆圆心的轨迹的方程为． 【小问2详解】 设，，易得，则 ， 两式作差得，整理得到， 因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以， 则直线的斜率， 故所求直线方程为，即． 18. 已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． （1）求的值； （2）倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； （3）是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 【答案】（1）2 （2）16 （3）证明：设，，的方程为． 由，得， 所以，，． 易知直线，的斜率存在， 设直线的方程为， 由，得． 由，解得， 所以直线的方程为，即． 同理可得，直线的方程为． 设，代入直线、中，，， 即，， 所以，可看作方程的两根， 所以，又，所以． 所以直线的方程为，故直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求解即可． （2）求出直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，代入弦长公式求解即可． （3）设出点、、的坐标及直线及切线，的方程，联立抛物线方程，根据得到切线方程，从而得到切点弦所在直线方程，即可得到所过定点． 【小问1详解】 抛物线的焦点， 由题意可得：，即，， 解得或，又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可得抛物线方程为，， 所以直线的方程为，设，， 联立，得， ， 所以，， . 【小问3详解】 略. 19. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：． （1）分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围． （2）已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线． （i）求曲线的方程； （ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）把已知等式进行变形，根据题中定义分类讨论进行求解即可； （2）（i）根据题中定义，结合平移的性质进行求解即可； （ii）根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式、点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 表示点到原点的距离，表示点到直线的距离． 若曲线表示椭圆，则，解得，即的取值范围为； 若曲线表示双曲线，则，解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 （i）因为曲线的离心率为，所以，即， 即曲线的方程为， 曲线向右平移个单位长度得到曲线， 故曲线的方程为，化简可得． （ii）设，，． 因为，所以， 解得，，则， 若直线的斜率为0，则由双曲线的对称性可知，此时在轴上， 所以不可能在双曲线上，舍去． 设直线的方程为，由得， 则且，即， 又，， 所以，故， 代入双曲线的方程得， 化简得，又，所以， 点到直线的距离， ． 故的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $