精品解析：湖北省崇阳县第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测卷（十）

崇阳二中 2025—2026 学年上学期高三数学周测卷（十） 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，是的中点，是的中点．若，则（ ）． A. 3 B. C. 2 D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）． A. －3 B. 3 C. D. 6. 在四边形中，，，．若四边形的面积为，则实数的值为（ ）． A. 3 B. C. D. 7. 函数零点的个数为（ ） A 4 B. 5 C. 3 D. 2 8. 在中，，则（ ） A. B. C. 或 D. 7 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 在直角坐标系中，已知是以为圆心的单位圆，点的坐标为，角的始边为射线，终边交圆于点，过点作直线的垂线，垂足为．若将点到直线的距离表示为的函数，则（ ）． A. B. 的最小正周期为 C. 是的一个单调减区间 D. 的最大值为 11. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12. 已知向量，，其中．若，则的最大值为______． 13. 函数零点个数为______． 14. 中，角所对的边分别为 ，若角的平分线，则的面积为____________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数的值. 16. 如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，. （1）求二面角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，角，，所对边为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的值． 18. 已知函数． （1）求过点且与曲线相切的直线方程； （2）令，若有两个极值点，，记过两点，的直线斜率为．是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 19 已知函数. （1）当时，证明：在上单调递减； （2）若有两个极值点，满足且，求取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇阳二中 2025—2026 学年上学期高三数学周测卷（十） 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，求出函数定义域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，， 所以集合的子集个数为. 故选：C 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法运算结合复数几何意义可得答案. 【详解】，则对应点为，在第二象限. 故选：B 3. 已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分、必要性的定义判断命题间的推出关系，即可得答案. 【详解】对于命题，为方程的根，则，充分性成立； 对于命题，且，则必是题设方程的一个根，必要性成立； 所以是的充分必要条件. 故选：C 4. 在中，是的中点，是的中点．若，则（ ）． A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】 ，所以，所以. 故选：B 5. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）． A. －3 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数为奇函数，将化为，结合当时，，代入求值，即可求得答案. 【详解】由题意知函数是定义在上的奇函数，故， 而，故，则， 故选：C 6. 在四边形中，，，．若四边形的面积为，则实数的值为（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模长及数量积为0，可得四边形为直角梯形，然后结合模长关系利用面积建立方程求解即可. 【详解】因为，，，所以四边形为梯形， 又，所以，即， 所以四边形为直角梯形，则， 又四边形的面积为，所以， 所以， 所以. 故选：C 7. 函数零点的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意或，利用三角函数的性质解； 设，利用导数研究的性质，进而可判断方程无实数解. 【详解】或， 或 或， ，或或或； 设，则， ，，， 所以函数在单调递增，在单调递减， 可得，当且仅当取等号， ，与不符，方程无实数解. 故函数只有4个零点. 故选：A. 8. 在中，，则（ ） A. B. C. 或 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可推出，结合和，求出，继而求得，即可求出，利用正弦定理，即可求得答案. 【详解】在中，，故，即得， 结合，得， 则，即， 则，即得，则C为锐角， 由，结合， 解得， 则， ， 故， 由，得， 故选：B 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式正确是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】首先由条件确定，再根据不等式的性质，结合选项，即可判断. 【详解】由可知，，所以，即，故A错误； ，故B正确； ，所以，故C错误； ，由以上可知，，，所以，即，故D正确. 故选：BD 10. 在直角坐标系中，已知是以为圆心的单位圆，点的坐标为，角的始边为射线，终边交圆于点，过点作直线的垂线，垂足为．若将点到直线的距离表示为的函数，则（ ）． A. B. 的最小正周期为 C. 是的一个单调减区间 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式及二倍角正弦公式得，代入求得判断A；结合诱导公式利用周期定义判断B，利用正弦函数性质判断C；利用基本不等式求解最值即可判断D. 【详解】单位圆上，为到x轴的垂足，故，直线的直线方程为，即，则点到直线的距离， 对于A，，正确； 对于B，因为， 所以不是的周期，错误； 对于C，，所以，所以， 因为在单调递增，所以在单调递减，正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，正确. 故选：ACD 11. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论、、、四种情况下，的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】①当时，， 当时，是定义在R上的奇函数，当时，，， 函数在上递减，在上递增， 因此在上递增，在上递减，A可能； 当时，是定义在上奇函数， 当时，，，函数在上递增， 则在上递增，当时，，同理在上递增，B可能； ②当时，的定义域为，，为偶函数， 若时，当时，（注意）， 当时，，则C不可能； 若时，当时，，当时，，则D可能. 故选：ABD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12. 已知向量，，其中．若，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式得到的关系，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，，， 因为，所以，即，． 所以，即，当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为. 故答案为： 13. 函数零点的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，转化为两个函数图像交点个数，来判断出零点的个数. 【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故函数有个零点. 故答案为：. 【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 14. 中，角所对的边分别为 ，若角的平分线，则的面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的面积公式及二倍角公式求解即可． 【详解】由题意得 ， 即 ， ，又 ， ， 则 ， 得． 故答案为： 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：利用累乘法求解； 解法二：利用构造法求解； （2）利用裂项相消法求出，进而可得答案． 【小问1详解】 解法一：累乘法 依题意：， 当时，； 当时，符合，故. 解法二：构造法 依题意：，则数列为常数数列， 则. 【小问2详解】 ， 故， 由题意，， 故满足条件的最大整数的值为8. 16. 如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，. （1）求二面角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，即可得到、，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （2）设点到平面的距离为，利用等体积法求出，设直线与平面所成角为，则，即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接， ，因为，为 中点， 所以. 因为平面平面，所以， . 在中，， 在中，， 从而，又 为中点， 所以. 故为二面角的平面角， 因为平面 平面，所以， 又，所以， 从而， 所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 设点到平面的距离为. 因为平面，所以平面. 又平面，所以. 所以. 由，得，即，故， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，角，，所对边为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角差的正弦定理化简得，解得，即可求得； （2）利用同角三角函数关系求得，利用二倍角正切公式得，然后利用两角差的正切公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理，因为， 所以， 所以， 整理得， 所以，所以或， 所以或（舍去），而,， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以. 18. 已知函数． （1）求过点且与曲线相切直线方程； （2）令，若有两个极值点，，记过两点，的直线斜率为．是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设切点，然后利用导数几何意义及点斜式方程求出切线方程，将点的坐标代入求得或，即可求解切线方程； （2）求出导函数，由题意有两个不等的实根，，进而有，结合两点斜率公式及列式得，解方程即可求解. 【小问1详解】 设过点且与曲线相切的直线与切于点， 由得，所以，所以切线方程为， 即，该切线过点，所以，即， 解得或，所以或； 【小问2详解】 ，则， 由题意有两个不等的实根，， 所以，即， 则 ， 所以，解得或，又，所以. 19. 已知函数. （1）当时，证明：在上单调递减； （2）若有两个极值点，满足且，求的取值范围； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对于函数二次求导进行求解； （2）对函数求导，根据分类讨论，判断函数单调性，结合函数的极值点的取值范围计算得到的取值范围； 【小问1详解】 证明：若，则， 令 故在单调递增，在单调递减，， 即在上恒成立，在上单调递减． 【小问2详解】 ，令， ①若，则在上恒成立，在上单调递增， 在上最多一个极值点，不符合题意 ②若 故在单调递增，在单调递减， 且 且. 若，则，这与矛盾，舍去. 则且 ，， ， 令， 则恒成立， 故在单调递增，. 综合：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $