专题八：二次函数（2）-2025-2026学年数学寒假中考备战专题练习

专题八：二次函数(2) 一、单选题 1．抛物线与轴的交点到坐标原点的距离是（　　） A． B． C． D． 2．已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．对于二次函数．下列说法错误的是（    ） A．图象开口向上 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象与x轴有两个交点 4．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 5．如图，抛物线的图象与x轴交于，，其中．有下列五个结论：①；②；③；④；⑤若m，为关于x的一元二次方程的两个根，则．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．方程的根为， C．当时，随值的增大而减小 D．当时， 7．已知点在二次函数的图象上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．② D．③④ 9．如下图，边长为4的正三角形沿直线向右平移，穿过边长为4的正方形(三点共线)，则两个图形重叠部分的面积与正三角形平移的距离的函数关系用图象表示大致是(    ) A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为，动点沿运动，运动到点时停止，动点从点出发，在线段上运动，运动到点时停止，两点同时出发，以相同的速度运动．设点运动的路程为，的面积为，则下列图象中能表示与的函数关系的图象大致是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 12．抛物线的对称轴是直线 ． 13．定义，即的取值为，，的中位数，例如：， 已知函数 （1）求当时， ； （2）当直线与上述函数有个交点时，则的值为 ． 14．将的图象向上平移3个单位得到一个新的二次函数图象，请写出新的二次函数图象的顶点的坐标为 ． 15．函数的图象与轴交于两点，点在该函数的图象上，且．下列说法中正确的结论有 ． ①；②该函数自变量的取值范围是；③、两点在此图象上，若，，则；④当时，函数的整数值恰好只有两个，则的取值范围是． 16．省城太原金桥公园是一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大的音乐喷泉，喷泉喷出水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，轴左侧喷泉可用表示，则两个喷泉最高点之间的距离是 ． 17．若点的坐标满足，其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是 ． 18．我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，过点作与轴平行的直线，与抛物线始终有交点． 设直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，若满足，则的取值范围为 ． 三、解答题 19．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 20．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度（m）与水流到高楼的水平距离（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由． 21．综合与实践：矩形种植园最大面积探究． 在某实践基地中，有一面长度为12米的墙，研究小组计划利用这面墙（不可拆）以及长度为40米的篱笆，在墙前方的空地上围成一个矩形种植园，墙可部分使用，或作为矩形某一条边的一部分．如何设计方案，才能够使围成的矩形种植园面积达到最大．请你完成以下任务：设计出合理的方案，画出相应的草图，并求出矩形种植园面积的最大值． 22．如图1，10米跳台运动员起跳后路线可以看成是抛物线的一部分（如图2中曲线部分所示），跳水运动员在10米跳台点跳水时，起跳后达到最高点，其重心离起跳台面的高度为1米．跳水的起跳板的长度为6米，起跳台距水面为10米．若运动员在点起跳后过最高点再次距离水面10米时，水平方向移动了2米． (1)求抛物线的解析式（不必写自变量的取值范围）； (2)该运动员落水点离跳台中心的水平距离为多少米？（结果保留根号） 23．已知：平面坐标系内点和点，点到点的距离始终等于点到轴的距离． (1)请你求出点满足的函数关系式； (2)如果（）中求出的函数图象记为，是沿着水平方向平移得到的，若点在上，点是平移后点的对应点，点是轴上的点．是否存在这样的点，使得以、、、为顶点的四边形是有一个内角为且的菱形？若存在，请你求出点坐标；若不存在，请说明理由． 24．“口袋公园”建设是临沂市重点民生工程，随着“口袋公园”建设的不断推进，建设人民群众家门口的公园，已逐步成为现实．某口袋公园中引入了自动喷灌系统，图1是该公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． (1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以O为原点，为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； (2)在（1）的条件下，现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽CB为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱经过上一点（包含D，E两点），现在已经计算出喷出的水柱恰好经过点D时的值为，请你求h的取值范围． 25．如图，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，顶点为A． (1)如图1，求直线的函数解析式； (2)如图1，将直线绕点M顺时针旋转得到直线并交抛物线于点N，若Q为x轴上一点，求的最小值； (3)如图2，将抛物线平移得到，顶点由A平移到，若点B在直线上，点D和E分别在抛物线和上，那么四边形是否可以为菱形？若可以，求出D点坐标，若不可以，说明理由． 26．抛物线与轴交于A、两点，与轴交于点，直线经过点、，已知点坐标为，点在抛物线上，设点的横坐标为． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)如图1，连接，，，若是直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值． 试卷第6页，共7页 试卷第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题八：二次函数(2) 一、单选题 1．抛物线与轴的交点到坐标原点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得抛物线与y轴的交点坐标即可解决问题． 【详解】解：对于抛物线， 令，得到， 可得抛物线与y轴的交点为， 所以抛物线与y轴的交点到坐标原点的距离是1， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴是直线， ∴时，y随x的增大而减小， ∵C点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：A． 3．对于二次函数．下列说法错误的是（    ） A．图象开口向上 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象与x轴有两个交点 【答案】C 【分析】由二次函数的图像和性质直接判断即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数．, ∴抛物线开口向上，故A选项正确，不合题意； ∵，顶点坐标为， 故B选项正确，不合题意； 当时，y随x的增大而增大，故C选项错误，符合题意， ∵时，， 即的图象与x轴有两个交点 故D选项正确，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据图象，写出函数图象在轴上方部分的的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便． 【详解】解：由图可知，或时，． ∴则函数值时，的取值范围是或， 故选：D． 5．如图，抛物线的图象与x轴交于，，其中．有下列五个结论：①；②；③；④；⑤若m，为关于x的一元二次方程的两个根，则．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与各项系数的符号，根据二次函数图象判断式子的符号，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象与性质是解题的关键，注意数形结合． 根据抛物线开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴交点位置，可确定a、b、c的符号，则判定①；观察图象知，当时，函数值为正，可判定②；抛物线过，得，由图象知，当时，函数值为负，则可判定③；把代入中，结合③中的结论可判定④；由一元二次方程根与系数的关系得，根据，即可判定⑤，最后即可得到答案． 【详解】解：由图象知，抛物线的开口向下，故；抛物线的对称轴在y轴左边，则，故；抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则，所以，故①正确； 观察图象知，当时，函数值为正，即，故②正确； 抛物线过，即，得，由图象知，当时，函数值为负，即，所以，故③错误； 由得，故④错误； 关于x的一元二次方程整理得：， 由一元二次方程根与系数的关系得，根据，则，则，故⑤正确，故正确的序号为①②⑤． 故选：B． 6．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．方程的根为， C．当时，随值的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】根据二次函数图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：、根据图象可知，图象与轴的交点在正半轴上，则有，此选项判断错误，不符合题意； 、根据图象可知，图象与轴的交点为，，当时，的根为，，此选项判断错误，不符合题意； 、根据图象可知，当时，随值的增大而减小，此选项判断正确，符合题意； 、根据图象可知，当时，，此选项判断错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 7．已知点在二次函数的图象上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，整式的混合运算，不等式的解答，掌握知识点是解题的关键． 将分别代入二次函数，求出，再代入不等式，化简即可求解． 【详解】解：将分别代入二次函数，得 ． ∴ ∵ ∴， 即，解得． 故选D． 8．已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．② D．③④ 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为，， ∴二次函数图象必经过第一、二象限， 又∵， ∵， ∴， 当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限， 当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限， 故①错误；②正确； ∵抛物线对称轴为，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键． 9．如下图，边长为4的正三角形沿直线向右平移，穿过边长为4的正方形(三点共线)，则两个图形重叠部分的面积与正三角形平移的距离的函数关系用图象表示大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，二次函数的图象与性质．分别求出当时，当时，当时，当时的函数解析式，求出最大值，结合选项，即可判断出答案． 【详解】解：设原来的三角形为，与正方形边交于点， 当时，如图， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， ， ； 由第二段函数判断出该函数最大值为， 由四段函数判断B符合题意． 故选：B． 10．如图，正方形的边长为，动点沿运动，运动到点时停止，动点从点出发，在线段上运动，运动到点时停止，两点同时出发，以相同的速度运动．设点运动的路程为，的面积为，则下列图象中能表示与的函数关系的图象大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分点在上运动和在上运动两种情况，结合三角形面积公式分析与的函数关系． 【详解】解：当点在上运动（）时， ∵ 正方形边长为，动点、速度相同，运动路程都为， ∴ ， 过作于，是等腰直角三角形，， ∴ ，此为二次函数，图象开口向下． 当点在上运动（）时，过作于，是等腰直角三角形，， ∵ ， ∴ ，此为二次函数，图象开口向上， 当点在上运动（）时， ，此为一次函数，且随的增大而增大． 观察选项，只有选项符合． 故选：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质、二次函数的性质、一次函数的性质、动点问题的函数图象，熟练掌握正方形的性质、三角形面积公式以及分段分析函数关系是解题的关键． 二、填空题 11．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可． 【详解】解：当时，， 由题意得，， 解得：， 故答案为：1． 12．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】把解析式化为顶点式可求得答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 13．定义，即的取值为，，的中位数，例如：， 已知函数 （1）求当时， ； （2）当直线与上述函数有个交点时，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】（1）把值代入计算，根据无理数估算大小，再根据题意的中位数的计算方法，即可求解； （2）根据题意，绘制分段函数，结合图形，分别计算交点，当直线经过点是有个交点，由此即可求解． 【详解】解：（1）当时，函数中， ，，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）函数的图像如图所示，    ∴点是直线与的交点， ∴，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 点是直线与的交点， ∴，解得，， ∴， 直线与上述函数有个交点时， ∴当直线经过点时，有个交点， ∴，解得，， 当直线经过点时，有个交点， ∴，解得，， 故答案为：或． 【点睛】本题主要定义新运算，二次函数，一次函数的综合，理解定义新运算的规则，掌握函数图像的性质，分段函数中自变量的取值范围，交点的计算方法等知识是解题的关键． 14．将的图象向上平移3个单位得到一个新的二次函数图象，请写出新的二次函数图象的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“上加下减”的规律得到平移后的函数解析式，即可得出新的二次函数图象的顶点的坐标． 【详解】解：将的图象向上平移3个单位得到． 故新函数的顶点坐标是． 故答案为：． 15．函数的图象与轴交于两点，点在该函数的图象上，且．下列说法中正确的结论有 ． ①；②该函数自变量的取值范围是；③、两点在此图象上，若，，则；④当时，函数的整数值恰好只有两个，则的取值范围是． 【答案】①③④ 【分析】本题综合考查二次函数与二次根式函数的图象性质，熟练掌握二次函数与二次根式函数的图象性质是解题的关键． 根据二次函数的开口方向、根的位置分析各选项的正确性即可． 【详解】解：函数的定义域要求， 已知二次函数与轴交于和，可设其为∶， ∴，， ∵点在图像上且， 代入得∶，即， ∴二次函数开口向上，定义域为或， ① 由，，，得： ，故①正确； ② ∵，二次函数开口向上，定义域为或，故②错误； ③ 在定义域内，函数在时递增，若且，则两点必在区间，故，故③正确； ④ 当时，的取值范围为．要求整数值恰好两个（即和），需满足：，，故④正确； 故答案为：①③④． 16．省城太原金桥公园是一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大的音乐喷泉，喷泉喷出水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，轴左侧喷泉可用表示，则两个喷泉最高点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求出的顶点坐标，再根据对称性求解即可． 【详解】∵， ∴轴左侧喷泉最高点坐标为， ∵两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称， ∴轴右侧喷泉最高点坐标为， ∴两个喷泉最高点之间的距离是， 故答案为52． 17．若点的坐标满足，其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质．根据题意列出方程组，解方程组得到，依据条件得到，整理出的代数式，按照自变量取值范围，利用二次函数的性质确定的范围即可． 【详解】解：双曲线上存在“好点”， ， ①②得：， ， ， ， 整理得：， ，， ∴当时，k最大为，此时，不满足, 当时，k最小为， ． 故答案为：． 18．我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，过点作与轴平行的直线，与抛物线始终有交点． 设直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，若满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先由抛物线得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，画出图形，然后根据与抛物线始终有交点，直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，满足，可得不等式组，然后解不等式组即可得． 【详解】解：由抛物线， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 画出图形如下： ∵与抛物线始终有交点， ∴， ∵如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，满足， ∴， 联立：， 解得， ∴的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题 19．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)18元 (2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． 【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； （2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键． 20．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度（m）与水流到高楼的水平距离（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求出的值，即可得到答案； （1）由题意得消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，令可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为． 将点代入， ， ， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：不能 理由：由题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移得到的， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令， ， 消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过， 水流不能到达处． 21．综合与实践：矩形种植园最大面积探究． 在某实践基地中，有一面长度为12米的墙，研究小组计划利用这面墙（不可拆）以及长度为40米的篱笆，在墙前方的空地上围成一个矩形种植园，墙可部分使用，或作为矩形某一条边的一部分．如何设计方案，才能够使围成的矩形种植园面积达到最大．请你完成以下任务：设计出合理的方案，画出相应的草图，并求出矩形种植园面积的最大值． 【答案】最大值为169平方米 【分析】已知，篱笆共40米，米，可求得的长，根据矩形面积公式可得S，由自变量x的取值范围确定S的最大值，判断思考一与思考二两种方案中的S的最大值可得． 本题考查了二次函数的应用，关键是根据自变量范围确定最大值． 【详解】解：假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分） ∵，篱笆共40米，米， ∴米， ∴化为顶点式可得：， ∵， ∴当时，S取最大值为168平方米， 方案二：将墙的全部用来替代篱笆按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分） 米， ∴米，， ∴， ∴当时，S取最大值为169平方米， ∵， ∴最大值为169平方米． 22．如图1，10米跳台运动员起跳后路线可以看成是抛物线的一部分（如图2中曲线部分所示），跳水运动员在10米跳台点跳水时，起跳后达到最高点，其重心离起跳台面的高度为1米．跳水的起跳板的长度为6米，起跳台距水面为10米．若运动员在点起跳后过最高点再次距离水面10米时，水平方向移动了2米． (1)求抛物线的解析式（不必写自变量的取值范围）； (2)该运动员落水点离跳台中心的水平距离为多少米？（结果保留根号） 【答案】(1) (2)跳水运动员入水点C距池边点O的水平距离为 【分析】本题主要考查二次函数的运用，理解题目中各点的坐标，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设抛物线对应的函数解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：跳板的长度为，运动员起跳后，运动员在点起跳后过最高点再次距离水面10米时，水平方向移动了2米，起跳后达到最高点，其重心离起跳台面的高度为1米， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数解析式为， 抛物线过点， 将点代入，得， 跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析式； （2）解：由（1）知，抛物线对应的函数解析式， 当时，则， 解得，（不符合题意，舍去）， 跳水运动员入水点C距池边点O的水平距离为． 23．已知：平面坐标系内点和点，点到点的距离始终等于点到轴的距离． (1)请你求出点满足的函数关系式； (2)如果（）中求出的函数图象记为，是沿着水平方向平移得到的，若点在上，点是平移后点的对应点，点是轴上的点．是否存在这样的点，使得以、、、为顶点的四边形是有一个内角为且的菱形？若存在，请你求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，坐标为、，，． 【分析】（）由题意得，轴，轴，利用勾股定理得再计算即可； （）过作轴，，由菱形性质得，由直角三角形中度角所对直角边是斜边的一半得，求出，代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）如图，，轴，轴．    在中， ， ∴， ∴， ∴点满足的函数关系式为； （2）如图：过作轴，    设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 根据对称性得或， 综上所述，坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，图象及性质和度角所对直角边是斜边的一半，菱形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用，画出函数图象，再分类讨论是解题的关键． 24．“口袋公园”建设是临沂市重点民生工程，随着“口袋公园”建设的不断推进，建设人民群众家门口的公园，已逐步成为现实．某口袋公园中引入了自动喷灌系统，图1是该公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． (1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以O为原点，为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； (2)在（1）的条件下，现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽CB为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱经过上一点（包含D，E两点），现在已经计算出喷出的水柱恰好经过点D时的值为，请你求h的取值范围． 【答案】(1)①；②喷灌器底端到点的距离为 (2)的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意并求出函数解析式是解题的关键． （1）①由题意得抛物线的顶点坐标为，故设抛物线解析式为，将点A的坐标代入解析式中，可求得a的值，即可求得抛物线解析式； ②令，求得x的值，即可得点B的坐标，喷灌器底端到点的距离； （2）由题意可求得D、E的坐标，求出抛物线向上平移恰好经过点E时的抛物线解析式，则可求得最大的值，进而求得此时向上平移的最大h值；由题意可得喷出的水柱恰好经过点D时最小的h值，从而可得h的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意知，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线解析式为． 把代入得：，解得：． 抛物线的解析式为． ②令，得． 解得：． ． ． 喷灌器底端到点的距离为． （2）解：， ． ． 设平移后抛物线解析式为， 把代入得，． 解得：． ； 当时，． 的最大值为． ． 又的最小值为， ． 使水柱落在花坛的上方边上．的取值范围为． 25．如图，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，顶点为A． (1)如图1，求直线的函数解析式； (2)如图1，将直线绕点M顺时针旋转得到直线并交抛物线于点N，若Q为x轴上一点，求的最小值； (3)如图2，将抛物线平移得到，顶点由A平移到，若点B在直线上，点D和E分别在抛物线和上，那么四边形是否可以为菱形？若可以，求出D点坐标，若不可以，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)可以，点D坐标为或 【分析】（1）将代入可求出，化成顶点式求出，由待定系数法，即可求解； （2）过作交于，过作交于，由勾股定理得可求出的长，由正弦函数得， 求出及三角函数值，设，由勾股定理得，由三角形面积可求出的坐标，从而可求的坐标，而，当、、三点共线时取得最小值，即可求解； （3）设，由勾股定理求得，即，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， ， ， 设直线的函数解析式为， 则有， 解得：， 故直线的函数解析式为； （2）解：如图，过作交于，过作交于， 当时，， ， ， ， ， ∴， 设， ， ∵， ∴ 整理得：， 解得：，(舍去)， ， 设直线的解析式为，则有， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， 此时，如图， ； 故的最小值为； （3）解：可以，理由如下： 顶点由A平移到，点B在直线上， ， ， 四边形是菱形， ， 设， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ，， 当时， ， 当时， ， D点坐标或． 【点睛】本题考查了待定系数法，解直角三角形，二次函数与特殊三角形综合，二次函数与特殊四边形综合，垂线段最短等，能将最值转化为垂线段最短，并将动点问题转化成方程求解是解题的关键． 26．抛物线与轴交于A、两点，与轴交于点，直线经过点、，已知点坐标为，点在抛物线上，设点的横坐标为． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)如图1，连接，，，若是直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2)点的坐标为或 (3)的最大值为 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可求解； （2）是直角三角形要分三种情况进行讨论.：当时与当，求的值即可求点坐标； （3）过作轴交于，求得，，则，过作轴交轴于，进而可得，再进而求解即可． 【详解】（1）将代入二次函数关系式，求得， 求出抛物线解析式为， 将代入二次函数关系式，求得， ∴ 将、分别代入中，得： ，解得：， 求出直线解析式为， （2）是直角三角形要分三种情况进行讨论. 当时，在以为直径的圆与抛物线的交点上，显然这种情况不存在. 当，可得解析式为，进而求其与抛物线的另一个交点，可得，则 当，可得解析式为，进而求其与抛物线的另一个交点，可得，则 ∴点的坐标为或 （3）过作轴交于， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ 过作轴交轴于， ∴， ∴， ∴， ∴ 又 即 又，故时取得最大值. 【点睛】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 试卷第30页，共31页 试卷第29页，共32页 学科网（北京）股份有限公司 $