精品解析：湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

2025年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高二数学试卷 命题学校：黄石二中 命题教师：李凯丰 审题教师：杨晓璐 考试时间：2025年11月17日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得，再根据复数模的计算公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（ ） A. 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第50百分位数的定义计算即得. 【详解】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数， 所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为. 故选：B 3. 已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式列出方程求出的值即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 若直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形， 则圆心到直线的距离， 又由点到直线的距离公式可得，解得， 故选：D. 4. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：在中，利用正弦定理求解；方法二：设树高为，则由求解. 【详解】方法一：在中，， 又， ， 由正弦定理得：， 所以， 所以树的高度为， 方法二：设树高为，则，则， 故选：A. 5. 设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出关于直线对称的点的坐标，转化即可求解. 【详解】设关于直线对称的点的坐标为， 则，解得，， 即，由对称性可知， 对于圆，圆心，半径，， 当且仅当A，C，三点共线时等号成立， 由于，， 则. 故选A． 6. 在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知平面，直线，故当、最短时，平面，，再根据向量的关系计算即可得答案. 【详解】，， ∴ ，， 即:，； 平面，直线， 所以当、最短时，平面，， 为的中心，为线段的中点， 如图： 又正四面体的棱长为1， ， 平面， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，，再求解. 7. 如果，那么复数的三角形式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的三角形式公式，利用复数的乘法以及三角函数的运算，可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 8. 如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值的最大值． 【详解】取BD中点O，连接AO，CO，， 则，且，于是是二面角的平面角， 显然平面，在平面内过点作，则， 直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，设二面角的大小为，， 因此，，， 于是， 显然，则当时，， 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ） A. 当点为三角形的重心时， B. 当时，的最小值为 C. 当点在平面内时，的最大值为2 D. 当时，点到的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将用表示，再结合求出，即可判断A；将平方，将代入，再结合基本不等式即可判断B；当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，再根据，求出，再根据即可判断C；求出在方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，当点为三角形的重心时，， 所以，又因为， 所以，所以，故A错误； 对于B， ， 因为，所以， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以， 所以，所以的最小值为，故B正确； 对于C，当点在平面内时， 则存在唯一实数对使得， 则，又因为， 所以，所以， 因为，所以，所以的最大值为2，故C正确； 对于D，当时，由A选项知， ， 在方向上的投影为， 所以点到的距离， 因为，所以，当且仅当时，取等号， 所以点到的距离的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，再根据，求出，是解决C选项的关键. 10. 如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面面积为 B. 点F的轨迹长度为 C. 存在点F，使得 D. 平面与平面所成二面角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】取CD中点G，连接BG、EG，计算截面的面积后判断A的正误，取中点M，中点N，则点F的运动轨迹为线段MN，故可判断B的正误，取MN的中点F，则可判断，故可判断C的正误，而即为平面与平面所成二面角，计算其正弦值后可判断D的正误. 【详解】 取CD中点G，连接BG、EG，则等腰梯形为截面， 而，， 故梯形面积为，A正确； 取中点M，中点N，连接， 则，故四边形为平行四边形， 则得，而平面，平面， 故平面，同理平面， 而，平面，故平面平面， ∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，B错误； 取MN的中点F，则， ∴，∵，∴，C正确； 因为平面平面且，， ∴即为平面与平面所成二面角，，D错误． 故选：AC. 11. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A. 圆上的点到原点的最大距离为 B. 圆上存在三个点到直线的距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若圆与圆有公共点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】先求得三角形的“欧拉线”，根据“欧拉线”与圆相切求得，根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、斜率的范围、圆与圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，的欧拉线即的垂直平分线，，， 的中点坐标为，则的垂直平分线方程为， 即“欧拉线”为. 由“欧拉线”与圆相切， 到直线的距离， 则圆的方程为：， 圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误； 圆心到直线的距离为， 圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确； 的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率， 设过与圆相切的直线方程为，即， 由，解得的最小值是，故C错误； 的圆心坐标，半径为， 圆的的圆心坐标为，半径为， 要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，解得，故D正确. 故选：BD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】以向量为方向向量的直线的斜率为， 则过点的直线的方程为， 即， 则点到直线的距离. 故答案为：. 13. 若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将原问题转换为直线所过的定点在圆内或者圆上，由此列出不等式即可求解. 【详解】由题意可知直线经过的定点为 则定点在圆内或者圆上的时候满足题意， 所以， 又表示圆， 所以，解得或； 综上，. 故答案为：. 14. 已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作出圆关于对称的圆，数形结合得到三点共线时，取得最小值，求出答案. 【详解】设关于直线的对称点为， 则圆关于对称的圆的方程为， 要使的值最小， 则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线， 且该直线过两点，其最小值为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求图中的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； （2）试估计本次数学测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 【答案】（1），60百分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图区间频率和为求参数；设该样本的60百分位数为，由题意可得，即可求得该样本的60百分位数； （2）根据频率分布直方图求数学测试成绩的平均分即可. 【小问1详解】 由，解得； 设该样本的60百分位数为， 因为，，，，对应的频率分别为， 所以60百分位数在这组数据内， 由题意可得，解得， 所以该样本的60百分位数为. 【小问2详解】 数学测试成绩的平均值为分. 16. 在平面直角坐标系中，已知点，圆：. （1）过点M作圆C的切线，求切线的方程； （2）判断直线：与圆C是否相交；如果相交，求直线m被圆C截得的弦长. 【答案】（1）或 （2）相交， 【解析】 【分析】（1）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可求得切线方程； （2）由圆心到直线的距离与半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系，进一步利用弦长公式可求得弦长的值. 【小问1详解】 解：很明显，直线斜率不存在时，直线满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：，即， 圆心到直线的距离， 满足题意时有：，解得：， 则此时的直线方程为：，即， 综上可得，直线方程为：或. 【小问2详解】 解：圆心到直线的距离：， 则直线与圆相交，此时直线被圆截得的弦长为：. 17. 如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线C． （1）求曲线的方程； （2）设点，过点作与轴不重合的直线交曲线于，两点． （ⅰ）若直线的斜率为1，且过点作与直线垂直的直线交曲线于，两点，求四边形的面积； （ⅱ）设曲线与轴交于，两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）7；（ⅱ）是，交点在定直线上 【解析】 【分析】（1）设，，由中点坐标公式可得，代入即可求解； （2）（ⅰ）当直线的斜率为1时，直线的方程为，可得直线的方程，求弦长 ，，即可求解； （ⅱ）设直线的方程，与圆的方程联立，由韦达定理可得，联立直线与直线的方程，结合即可求解. 【小问1详解】 设，，因为点在圆上，所以①， 因为为中点，所以，整理得， 代入①式中，得，整理得， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）当直线的斜率为1时，直线的方程为，即， 则直线方程为， 设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为，， 则， 所以，， 所以， 所以四边形的面积为； （ⅱ）设直线的方程为，即， 设，， 联立，得， 则，，， 因为曲线与轴交于，两点，所以，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 故直线与直线的交点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求动点轨迹的方法有：①定义法：根据已知的曲线的定义判断； ②直接法：当所求的动点满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”的步骤求轨迹方程即可；③代入法：有两个动点，，其中点的轨迹方程已知，同时两动点的坐标存在关系，设点的坐标为，，然后建立两坐标的关系式，代入的轨迹方程中即可；④参数法：动点的横纵坐标没有直接关系，但是都和某个参数存在某种关系，可以通过消参的思路得到横纵坐标之间的关系，即可得到轨迹方程. 19. 球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角. 已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点. （1）球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）； （2）与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为. ①求球面的三个内角的余弦值； ②求球面的面积. 【答案】（1） （2）①，，；② 【解析】 【分析】（1）通过已知条件直接证明三个平面两两垂直，然后由球面角的定义即可得出； （2）使用空间解析几何方法求出球面的三个球面角，再证明球面球面的面积，即可得到结果. 【小问1详解】 由可知在两个互相垂直（即交点处切线垂直）的大圆上， 从而，故， 设，则， 从而，注意到到直线的距离均为，故， 所以由知，所以，即， 这得到， 从而，又在两个互相垂直的大圆上， 故， 从而两两垂直， 从而由在平面内交于点，可知垂直于平面， 而在平面和平面内， 故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面， 平面垂直于平面，所以三个平面两两垂直， 故由球面角的定义知， 所以球面的内角和是. 【小问2详解】 ①由已知条件，可设， 如图，以为原点，构建空间直角坐标系，则，不妨设， 设，则由可知 ； ； ， 故， 不妨设，则，所以有， 设平面的法向量分别为，并设， 则即， 从而，故可以取 所以我们有 ， ， ， 故球面的三个内角的余弦值分别为. ②先证明一个引理. 引理：若在单位球面上的球面的三个球面角， 设该球面的面积为，则， 引理的证明： 记球的表面积为，则， 设的对径点分别为， 则所在的大圆和所在的大圆， 它们将球面分成了四个部分， 其中面积较小的两个部分的面积之和等于球的表面积的倍， 即，类似可定义，且同理有， 而根据球面被这三个大圆的划分情况，又有， 所以， 故， 引理得证， 回到原题，根据①的结论，有， 再由引理知球面的面积. 【点睛】结论点睛：球面的面积求解定理： 若球面的三个球面角，设该球面的面积为，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高二数学试卷 命题学校：黄石二中 命题教师：李凯丰 审题教师：杨晓璐 考试时间：2025年11月17日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（ ） A. 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.7 3. 已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ） A. B. C. D. 7. 如果，那么复数的三角形式是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ） A. 当点为三角形的重心时， B. 当时，的最小值为 C. 当点在平面内时，的最大值为2 D. 当时，点到的距离的最小值为 10. 如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面面积为 B. 点F的轨迹长度为 C. 存在点F，使得 D. 平面与平面所成二面角的正弦值为 11. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A. 圆上的点到原点的最大距离为 B. 圆上存在三个点到直线的距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若圆与圆有公共点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为__________． 13. 若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是______． 14. 已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为_______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求图中的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； （2）试估计本次数学测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 16. 在平面直角坐标系中，已知点，圆：. （1）过点M作圆C的切线，求切线的方程； （2）判断直线：与圆C是否相交；如果相交，求直线m被圆C截得的弦长. 17. 如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线C． （1）求曲线的方程； （2）设点，过点作与轴不重合的直线交曲线于，两点． （ⅰ）若直线的斜率为1，且过点作与直线垂直的直线交曲线于，两点，求四边形的面积； （ⅱ）设曲线与轴交于，两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 19. 球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角. 已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点. （1）球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）； （2）与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为. ①求球面的三个内角的余弦值； ②求球面的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $