精品解析：广东省佛山市南海区桂城街道平洲第二初级中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

广东省佛山市南海区桂城街道平洲第二初级中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（ ） 0 1 2 5 A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 邢窑是河北著名瓷窑，也是我国北方最早烧制白瓷的窑厂．如图，嘉嘉用两根木棍，制成一个测量工具，测量白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷“您的鱼塘里大约有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前一段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在左右，你自己算算鱼塘原来有多少尾鲢鱼吧”，聪明的你帮小刚算一算张大爷的鱼塘大约有多少尾鲢鱼（ ） A. 7350 B. 7500 C. 7650 D. 7800 6. 如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A. B. C. D. 7. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间是反比例函数关系（其中，均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，、是的高，两条高交于点，，过作，交延长线于点，连接，则下列说法：①；②；③当时，；④当，时，；其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_______． 12. 2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为________． 13. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短______ 14. 反比例函数 的图像如图所示，若的面积是3，则k 的值为_______． 15. 如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之间的区域可以分成三个全等的梯形．内部三角形的边长是大三角形边长的．则一个梯形的面积与内部三角形的面积之比是___________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 数学活动课上，王老师带领同学们探究月历中的奥秘．老师将如图1的2025年10月的月历复印给同学们，同学们设计了如图的形框，框住的数在形框中的位置如图2所示，形框框住的五个数中，最小数与最大数的乘积能否等于260？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 17. 如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． （1）求证：； （2）若，求BD的长． 18. 如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，连接、． （1）求证：； （2）点H、G分别是、上的点，若，，试判断四边形是什么图形，并证明你的结论． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图是两个自由转动的转盘，盘A被分成四等份，分别标有1，2，3，4四个数字，转盘B被分成三等份，分别标有5，6，7三个数字．小王和小李用这两个转盘做游戏，若两个转盘转出的数字之积为奇数，则小王胜，若两个转盘转出的数字之积为偶数，则小李胜．（如果指针恰好指在分界线上，就得重转，直到指针指向某一数字为止．） （1）请用树状图或列表法，分别求出小王和小李获胜的概率； （2）这个游戏规则公平吗?如果不公平，请你设计一个公平合理的游戏规则． 20. 如图，在正方形网格上建立直角坐标系，轴、轴都在网格线上，其中格代表个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上． （1）点的横坐标为_____，点的横坐标为_____； （2）求的值； （3）连接，过的直线，直接写出的解集． 21. 【综合与实践】跷跷板是一种儿童游戏用具，在笔直的方木之间装上支点，然后架在支柱上，两端坐人，一起一落游戏．当跷跷板一端着地时，另一端翘到最高点．如图，小蓝和小明在玩跷跷板，该跷跷板的长度为米，小明能把小蓝最高翘到米．图是该跷跷板的平面示意图，支点是的中点，支柱垂直于地面． （1）支柱的高度 米． （2）保持支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度会变化吗？ （填“会”或“不会”） （3）请你帮忙设计一种跷跷板改造方案，使得小明能把小蓝最高翘到米（要求：不改变支柱的高度以及跷跷板的长度）请在图中画图并分析说明． 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G． ①求的值，并说明点M是的中点； ②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市南海区桂城街道平洲第二初级中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是掌握三视图． 根据三视图进行求解即可． 【详解】解：A.该选项为几何体的正视图，不符合题意； B. 该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； C. 该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； D. 该选项为几何体的俯视图，符合题意； 故选：D． 2. 一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比为，然后把C点的横纵坐标都乘以得到其对应点D的坐标． 【详解】解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似， 而点，点， ∴相似比为， ∴点的对应点D的坐标是，即． 故选：C． 3. 小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（ ） 0 1 2 5 A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 【详解】解：当时，； 当时，， ∵更接近于0， ∴方程的一个解得整数部分是1， 故选：C． 4. 邢窑是河北著名瓷窑，也是我国北方最早烧制白瓷的窑厂．如图，嘉嘉用两根木棍，制成一个测量工具，测量白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 已知，根据相似三角形对应边成比例可得，结合已知条件即可求出的长． 【详解】解：， ， 又， ． 故选：C． 5. 假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷“您的鱼塘里大约有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前一段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在左右，你自己算算鱼塘原来有多少尾鲢鱼吧”，聪明的你帮小刚算一算张大爷的鱼塘大约有多少尾鲢鱼（ ） A. 7350 B. 7500 C. 7650 D. 7800 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体．根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可． 【详解】解：尾， 即鱼塘大约有7350尾鲢鱼． 故选：A 6. 如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点，由题意得分别是的中位线，推出，，，；进而得四边形是平行四边形，；根据推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，，，； ∴，，； ∴四边形是平行四边形，； ∵ ∴， ∴， 故选：C 7. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间是反比例函数关系（其中，均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，首先根据函数图象中点的坐标求出反比例函数的解析式，再根据近视镜的度数的取值范围求出焦距的取值范围． 【详解】解：由题意可知：设近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的函数关系式为， 把代入可得：， 解得：， 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的函数关系式为， 当时，可得， 解得： 焦距的取值范围是． 故选：D． 8. 在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象．根据k的正负讨论反比例函数和一次函数图象的位置即可判断． 【详解】解：若，则反比函数图象在第一、三象限，一次函数过第一、三、四象限； 若，则反比函数图象在第二、四象限，一次函数过第二、三、四象限，B选项符合； 故选：B． 9. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、完全平方公式的几何背景，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 【详解】解：整理一元二次方程， 可得：， 即长为，宽为的长方形的面积为， 构造边长为的正方形， 则正方形的面积是， 这个正方形的面积又是个长为、宽为的长方形的面积之和再加上中间的边长为的小正方形的面积， 即， ， 解得：， 能正确说明方程解法的构图，如下图所示， 故选：B． 10. 如图，、是的高，两条高交于点，，过作，交延长线于点，连接，则下列说法：①；②；③当时，；④当，时，；其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质． 利用相似三角形的判定定理证得，利用相似三角形的性质可得①的结论正确；由，利用相似三角形的对应角相等可得②的结论正确；利用相似三角形的性质和等角的余角相等，可得③的结论正确；利用等高的三角形的面积比等于底的比，可得，利用①的比例式求得的长度，利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求得的长度，通过计算得出④的结论不正确． 【详解】解：∵、是的高， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴①的结论正确； ∵， ∴． ∴②的结论正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴③的结论正确； ∵， ∴， 由①知：， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴④的结论不正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 将方程整理成标准二次方程形式，然后通过因式分解法求解． 【详解】解： ． 展开左边：． 移项得：，即 ． 因式分解，得 ． 或 ， 解得 ， ． 12. 2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割的定义，已知点为线段上靠近点的黄金分割点，即为长段，利用黄金分割比例关系求出的长度． 【详解】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 13. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短______ 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，设与交于点O，于交于点，由菱形的性质得，，，在中由勾股定理可求出，则得出，在中由勾股定理可求出，则求出，然后再求出结果即可． 【详解】解：设与交于点O，于交于点，如下图所示： 依题意得：四边形，四边形均为菱形，且，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， 即的长需要缩短． 故答案为：． 14. 反比例函数 的图像如图所示，若的面积是3，则k 的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，利用反比例函数k的几何意义解决问题即可． 【详解】解：令点P的坐标为， 则， ∴． 又∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 15. 如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之间的区域可以分成三个全等的梯形．内部三角形的边长是大三角形边长的．则一个梯形的面积与内部三角形的面积之比是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和等边三角形的性质．熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质是解题的关键． 利用勾股定理和等边三角形的性质可以推导出等边三角形的面积公式为，其中为等边三角形的边长．设大等边三角形的边长为，那么内部小等边三角形的边长为，求出两者面积后得到三个梯形的总面积，进而得出一个梯形的面积，最后即可求出一个梯形的面积与内部三角形的面积之比． 【详解】解：假设一个等边三角形的边长为，高为， ，， ， 在中， 根据勾股定理，有， 解得， 等边三角形的面积可以表示为． 设大等边三角形的边长为，那么内部小等边三角形的边长为， ，， 它们之间的区域面积为， ， 一个梯形的面积与内部三角形的面积之比为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 数学活动课上，王老师带领同学们探究月历中的奥秘．老师将如图1的2025年10月的月历复印给同学们，同学们设计了如图的形框，框住的数在形框中的位置如图2所示，形框框住的五个数中，最小数与最大数的乘积能否等于260？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】不能，理由： 月历中每行相邻数差1，每列相邻数差7， 形框框住的五个数依次为，，，，， 最小数为，最大数为， 根据题意列出方程， 解得（月历中为整数，舍去负根） 当时，不符合形框要求． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．理解题意找出正确的等量关系是解题的关键．先根据月历规律确定最小数与最大数，然后“最小数与最大数的乘积等于260”列出方程并求解，最后验证求得的解是否符合要求即可． 【详解】略 17. 如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． （1）求证：； （2）若，求BD的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， 又， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理： （1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而根据平角的定义求出的度数，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ． 18. 如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，连接、． （1）求证：； （2）点H、G分别是、上的点，若，，试判断四边形是什么图形，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． （2） 四边形是矩形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出即可． （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，求出，求出，根据平行四边形的判定和矩形的判定得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图是两个自由转动的转盘，盘A被分成四等份，分别标有1，2，3，4四个数字，转盘B被分成三等份，分别标有5，6，7三个数字．小王和小李用这两个转盘做游戏，若两个转盘转出的数字之积为奇数，则小王胜，若两个转盘转出的数字之积为偶数，则小李胜．（如果指针恰好指在分界线上，就得重转，直到指针指向某一数字为止．） （1）请用树状图或列表法，分别求出小王和小李获胜的概率； （2）这个游戏规则公平吗?如果不公平，请你设计一个公平合理的游戏规则． 【答案】（1）小王胜的概率，小李胜的概率， （2） 解：这个游戏不公平，理由如下： 小王胜的概率，小李胜的概率， 则， 所以这个游戏不公平． 对游戏双方公平的游戏规则可为：若转出的两数之积为3的倍数，小王胜；否则小李胜，． 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）因为小王胜的概率，小李胜的概率，可判断所以这个游戏不公平．设计对游戏双方公平的游戏规则只要他们获胜的概率相等即可． 【小问1详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中奇数有4种可能，偶数有8种可能； 小李胜：胜两个数字的积为偶数的概率是：． 小王胜：两个数字的积为奇数的概率是：． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了游戏公平性：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，然后根据概率的概念分别计算出游戏双方获胜的概率，再比较大小进行判断．也考查了利用列表法或树状图法求概率． 20. 如图，在正方形网格上建立直角坐标系，轴、轴都在网格线上，其中格代表个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上． （1）点的横坐标为_____，点的横坐标为_____； （2）求的值； （3）连接，过的直线，直接写出的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据图象即可求解； （）设点的坐标为，则点的坐标为，可得，即得，得到，，进而即可求解； （）根据交点坐标并结合图象即可求解； 本题考查了坐标与图形，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可知，点的横坐标为，点的横坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点都在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴不等式的解集为． 21. 【综合与实践】跷跷板是一种儿童游戏用具，在笔直的方木之间装上支点，然后架在支柱上，两端坐人，一起一落游戏．当跷跷板一端着地时，另一端翘到最高点．如图，小蓝和小明在玩跷跷板，该跷跷板的长度为米，小明能把小蓝最高翘到米．图是该跷跷板的平面示意图，支点是的中点，支柱垂直于地面． （1）支柱的高度 米． （2）保持支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度会变化吗？ （填“会”或“不会”） （3）请你帮忙设计一种跷跷板改造方案，使得小明能把小蓝最高翘到米（要求：不改变支柱的高度以及跷跷板的长度）请在图中画图并分析说明． 【答案】（1） （2）不会 （3） 方案：如图，将支点装在距离跷跷板端点米处， 过点作于点，则， ， ， 米，米，米， ， 米， 即将支点装在距离跷跷板端点米处，满足要求． 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理求解即可； （2）利用三角形中位线定理求解即可； （3）如图，将支点装在距离跷跷板端点米处，根据相似三角形的判定与性质，求解即可． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： ，， ， ， ， 是的中位线， （米）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度不会变化，理由： 这个高度（米）， 故答案为：不会； 【小问3详解】 略 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G． ①求的值，并说明点M是的中点； ②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值． 【答案】（1）①在正方形中，， ，， ， ， ． ， ，即点是的中点． ②．理由： 如图2，连接交于点， 由折叠可知垂直平分，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即． （2）的最小值为． 【解析】 【分析】(1) ①根据正方形的性质，得到等角，证明即可得证． ②根据折叠的性质，正方形的性质，结合三角形中位线定理，证明即可． (2)在上截取，连接、，利用三角形不等式，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）如图3，在上截取，连接、， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式求最值，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形不等式，中位线定理，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $