2.2圆的对称性同步训练2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.2 圆的对称性 同步训练 一、单选题 1．下列命题中正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．圆心角相等，则所对的弧也相等 C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等 2．如图，CD为的直径，弦于点E．寸，寸，则直径的长为（   ）    A．13寸 B．18寸 C．24寸 D．26寸 3．如图，为的弦，点P在弦上，若，点O到的距离为3，则的长度是（    ） A．3 B．4 C． D． 4．如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，的半径是4，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（    ） A． B． C．5 D．10 6．如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（   ） A． B．4 C． D．8 7．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（   ） A． B． C． D． 8．已知的半径为10，弦和弦垂直于同一条直径：，，则与之间的距离（    ） A．2或14 B．6或8 C．6或10 D．12或16 二、填空题 9．已知是的两条平行弦，，，的半径为，则弦与的距离为 ． 10．某数学兴趣小组探究用圆柱形玻璃瓶的内径去测量球的半径．测量方法如下：如图所示，将球置于圆柱形玻璃瓶上，已知玻璃瓶高，底面内径，球的最高点到瓶底的距离为，则球的半径为 ． 11．如图1是化学实验中制取蒸馏水的装置，图2为圆底烧瓶底部截面，阴影部分为液体部分，若瓶内液面的宽度，最大深度，则圆底烧瓶截面的半径为 ． 12．图是某游乐园的摩天轮，，两位同学坐在摩天轮上的示意图如图，摩天轮半径为米，两同学的直线距离为米，当同学旋转到最高位置，此时两位同学的高度差为 米． 三、解答题 13．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，求圆形工件的半径． 14．如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．如图，，交于点，，是的半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 16．如图是一个蔬菜大棚的横截面，它的“拱顶”部分是以点为圆心的圆的一部分，已知的半径为，横梁的长为，点为的中点，连接交于点． (1)求拱高的长； (2)若要在离蔬菜大棚中心处安装一支撑柱，且支撑柱垂直于横梁，求支撑柱的长． 17．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某地古典园林的一个圆弧形门洞，已知门洞所在圆的圆心为点，地面入口弦． (1)请在图中画出线段，用其长度表示门洞的最高点到地面的距离； (2)若（1）中所画的，求该门洞（）的半径． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据圆的相关定理逐一判断各命题的正确性解答即可． 本题考查圆的基本性质，垂径定理及其推论，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 A：∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但若弦为直径，则平分它的直径不一定垂直，∴A错误； B：∵圆心角相等所对的弧相等必须基于同圆或等圆，命题未指定条件， ∴B错误； C：∵直径是通过圆心的弦，且是圆中最长的弦， ∴C正确； D：∵同圆中两条等弦所对的弧可能一是优弧一是劣弧，弧长不一定相等， ∴D错误． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是关键． 连接．设圆的半径是寸，在直角中，寸，，在直角中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径的长． 【详解】解：如图，连接．    设圆的半径是寸，在直角中，寸，寸， ∵， ∵，且， ∴， 则， 解得：． 则（寸）． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 过点O作，垂足为点C，根据垂径定理得到，从而得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点O作，垂足为点C， 因为，点O到的距离为3， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含的直角三角形，连接，则，过点O作交于点D，则可计算出，利用勾股定理求出，进一步利用垂径定理即可求出弦的长． 【详解】解：连接，则，过点O作交于点D， ∵， ∴， ， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，通过等腰直角三角形得到是解题的关键． 先求出的度数，再结合垂径定理证是等腰直角三角形，求出的长度，即可求解． 【详解】解： 的直径垂直于弦 又 ． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理的应用是解题的关键．由，且点为的中点，可得，，设，则，然后通过勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，且点为的中点，， ，， 设，则， ， ， 解得， 大摆锤的长度为． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理，注意弦在直径同侧或异侧时距离的计算方式不同． 两条弦均垂直于同一条直径，故相互平行；利用垂径定理及勾股定理求出圆心到每条弦的距离，再根据弦在直径同侧或异侧计算两弦间的距离． 【详解】解：如图，为直径，设于点E，于点F，连接． ∵，则． ∴． 同理，∵，则． ∴． 若和在直径同侧，则距离为． 若和在直径异侧，则距离为． ∴ 与之间的距离为2或14． 故选：A． 9． 2或14 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是考虑两条平行弦相对于圆心的位置关系（同侧或异侧），避免漏解． 过圆心作平行弦中一条弦的垂线，由平行性质可知该垂线垂直于另一条弦；利用垂径定理求出两条弦的一半长度；结合勾股定理分别计算圆心到两条弦的距离；最后分同侧和异侧两种情况计算两弦的距离． 【详解】解：过作于，交CD于， ∵ ， ∴ ， 由垂径定理得，， 在中，， 在中，， 当AB与CD在圆心同侧时，距离为（图1）， 当AB与CD在圆心异侧时，距离为（图2），           故答案为：或14． 10． 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，设，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接，设， 由题意，， ， ， 中，， ． 故答案为：． 11．5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用． 由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理计算即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意，， ， 设的半径为，则， ， 在中，， 即， 解得：， 的半径为 故答案为：5． 12． 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理并结合三角形面积法求线段长度是解题的关键。 通过作垂线构造直角三角形，利用三角形面积公式求出直角边长度，再结合勾股定理计算线段长度，从而得到两位同学的高度差。 【详解】解：当同学旋转到最高位置时，过点作于点．令交于， 由题意可得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， （米）， ∴此时两位同学的高度差为米． 故答案为：． 13．圆形工件的半径为 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和圆的基本性质．熟练掌握垂径定理，勾股定理和圆的基本性质是解题的关键．先利用垂径定理确定线段关系，再构造直角三角形，最后用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接． ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心在直线上，且 又∵， ∴， 设圆形工件的半径为，则． 又∵， ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 答：圆形工件的半径为． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆心角、弧和弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 15．(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的半径为． 16．(1)拱高的长为 (2)支撑柱的长为 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，由勾股定理得，即可求出的长； （2）过点作于点，连接则．可得四边形是矩形，设，则，在中，由勾股定理得，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵的半径为， ∴． ∵点为的中点， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 答：拱高的长为． （2）解：过点作于点，连接则．如图， 设， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． 在中，，，， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 答：支撑柱的长为． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理，垂径定理的应用． （1）过点画出的垂线，垂足为，交于点； （2）设半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，的长度表示门洞的最高点到地面的距离； （2）解：如图，连接， 设圆的半径为， 依题意，，，， 中，，即， 解得． 答：该门洞的半径为． 学科网（北京）股份有限公司 $