1.3 绝对值与相反数 课件- 2025--2026学年冀教版七年级数学上册

冀教（2024）版数学7年级上册 第一章 有理数 1.3 绝对值与相反数 1.借助数轴理解绝对值和相反数的意义，体会数形结合思想. 2.掌握求有理数的绝对值和相反数的方法,会对含多重符号的有理数进行化简,形成应用意识. 3.掌握绝对值的性质,会用绝对值的非负性解决相关问题. 学习目标 学习目标 西 东 3米 3米 活动 观察下图两只狗狗追寻食物的情景，请试着在数轴上表示出这一情景，并回答问题. 课堂导入 # 幻灯片分页内容：1.3 绝对值与相反数 ## 第1页：课题导入——情境设问引概念 - 生活情境： 1. 数轴上表示-3和3的点，到原点的距离都是3个单位长度； 2. 小明向东走5米和向西走5米，虽然方向相反，但行走的距离都是5米； 3. 温度计上5℃和-5℃，到0℃的温差绝对值都是5℃。 - 提问引导：这些例子中，成对出现的数（3与-3、5与-5）有什么共同特征？它们到原点的距离有什么特点？ - 课题明确：今天我们学习“绝对值与相反数”，掌握相反数的定义、绝对值的定义与性质，能进行相关计算与比较。 ## 第2页：核心概念1——相反数 ### 1. 定义 - 像3与-3、5与-5这样，**只有符号不同的两个数**叫做互为相反数（简称“相反”）。 - 特别规定：0的相反数是0。 ### 2. 关键特征 - （1）成对出现，不能单独说“某个数是相反数”，应说“a是b的相反数”或“a与b互为相反数”； - （2）符号相反，数字部分完全相同（如-2.5与2.5、$\frac{1}{3}$与$-\frac{1}{3}$）； - （3）数轴上的表示：互为相反数的两个数在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等（关于原点对称）。 ### 3. 表示方法 - 数a的相反数记作“-a”（读作“负a”）。 - 示例：3的相反数是-3（记作$-3$），-5的相反数是5（记作$-(-5)=5$），a的相反数是$-a$，$-a$的相反数是$a$。 ## 第3页：核心概念2——绝对值 ### 1. 定义（几何意义） - 数轴上表示一个数的点与**原点的距离**叫做这个数的绝对值，记作“$|a|$”（读作“a的绝对值”）。 - 示例： - $|3|$表示数轴上3对应的点到原点的距离，即3，故$|3|=3$； - $|-3|$表示数轴上-3对应的点到原点的距离，即3，故$|-3|=3$； - $|0|$表示原点到自身的距离，即0，故$|0|=0$。 ### 2. 代数性质（绝对值的计算规则） - （1）当$a>0$时，$|a|=a$（正数的绝对值是它本身）； - （2）当$a=0$时，$|a|=0$（0的绝对值是0）； - （3）当$a<0$时，$|a|=-a$（负数的绝对值是它的相反数）。 - 通俗总结：绝对值的结果一定是非负数（大于或等于0），即$|a|\geq0$。 ### 3. 计算示例 - 例1：$|5|=5$（正数的绝对值是本身）； - 例2：$|-2.7|=2.7$（负数的绝对值是相反数）； - 例3：$|0|=0$； - 例4：$|-\frac{3}{4}|=\frac{3}{4}$； - 例5：若$|x|=4$，则$x=4$或$x=-4$（绝对值为4的数有两个，互为相反数）。 ## 第4页：绝对值与相反数的关系 ### 1. 核心联系 - （1）互为相反数的两个数，绝对值相等（即$|a|=|-a|$）； - 示例：$|3|=|-3|=3$，$|-\frac{1}{2}|=|\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$； - （2）绝对值相等且符号相反的两个数，互为相反数（0除外）； - 示例：$|5|=|5|$，但5与5不是相反数；$|5|=|-5|$，且5与-5互为相反数。 ### 2. 区别与辨析 | 特征 | 绝对值 | 相反数 | |--------------|-----------------------|-----------------------| | 结果类型 | 非负数（0或正数） | 可正、可负、可零 | | 表示方法 | $|a|$ | $-a$ | | 与原数关系 | 正数和0的绝对值是自身 | 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 | ## 第5页：绝对值的应用——比较有理数的大小 ### 1. 核心规律 - （1）正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数； - （2）两个正数比较大小，绝对值大的数大（如$|5|>|3|$，故$5>3$）； - （3）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小（如$|-5|>|-3|$，故$-5<-3$）。 ### 2. 比较步骤（两个负数比较） - 第一步：分别求出两个负数的绝对值； - 第二步：比较两个绝对值的大小； - 第三步：根据“绝对值大的负数小”得出结论。 ### 3. 示例应用 - 例1：比较$-3$和$-7$的大小。 解：$|-3|=3$，$|-7|=7$；因为$3<7$，所以$-3>-7$。 - 例2：比较$-\frac{2}{3}$和$-\frac{3}{4}$的大小。 解：$|-\frac{2}{3}|=\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$，$|-\frac{3}{4}|=\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$；因为$\frac{8}{12}<\frac{9}{12}$，所以$-\frac{2}{3}>-\frac{3}{4}$。 ## 第6页：易错点辨析——避开常见误区 1. 误认为“相反数一定是正数或负数”； 纠正：0的相反数是0，既不是正数也不是负数。 2. 混淆“绝对值”与“相反数”的符号表示； 纠正：数a的绝对值是$|a|$，数a的相反数是$-a$（如$-5$的绝对值是$|-5|=5$，相反数是$-(-5)=5$，此处结果巧合但意义不同）。 3. 计算负数的绝对值时符号错误（如$|-3|=-3$）； 纠正：绝对值的结果一定是非负数，负数的绝对值是它的相反数（正数），故$|-3|=3$。 4. 比较两个负数大小时，误将“绝对值大的”当作更大； 纠正：两个负数，绝对值越大，实际数值越小（如$|-6|>|-2|$，故$-6<-2$）。 5. 认为“$|a|=a$”恒成立； 纠正：当$a$为负数时，$|a|=-a$（如$a=-4$，$|a|=4=-(-4)=-a$）。 ## 第7页：课堂练习——分层巩固 ### 基础题（夯实基础） 1. 写出下列各数的相反数和绝对值： （1）5：相反数______，绝对值______； （2）-3.2：相反数______，绝对值______； （3）0：相反数______，绝对值______； （4）$-\frac{1}{4}$：相反数______，绝对值______； 答案：（1）-5，5；（2）3.2，3.2；（3）0，0；（4）$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$。 2. 比较下列各组数的大小： （1）$-8$和$-5$；（2）$-\frac{3}{5}$和$-\frac{2}{5}$；（3）$|-2|$和$|-3|$；（4）$-1.5$和0； 答案：（1）$-8<-5$；（2）$-\frac{3}{5}<-\frac{2}{5}$；（3）$|-2|<|-3|$；（4）$-1.5<0$。 3. 若$|x|=6$，则$x=$______；若$|-y|=4$，则$y=$______。 答案：$\pm6$；$\pm4$。 ### 提高题（能力提升） 1. 已知$a$是负数，且$|a|=3$，求$a$的相反数； 答案：$a=-3$，相反数是3。 2. 比较$-\frac{5}{6}$和$-\frac{4}{5}$的大小，写出详细步骤； 解：$|-\frac{5}{6}|=\frac{5}{6}=\frac{25}{30}$，$|-\frac{4}{5}|=\frac{4}{5}=\frac{24}{30}$；因为$\frac{25}{30}>\frac{24}{30}$，所以$-\frac{5}{6}<-\frac{4}{5}$。 3. 若$|m|=|n|$，则$m$与$n$的关系是什么？ 答案：$m=n$或$m$与$n$互为相反数（即$m=-n$）。 ## 第8页：课堂小结与课后作业 ### 课堂小结 1. 两个核心概念： - 相反数：只有符号不同的两个数（0的相反数是0），表示为$-a$； - 绝对值：数轴上点到原点的距离（非负数），代数性质：正数的绝对值是自身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0。 2. 一个重要应用：利用绝对值比较两个负数的大小（绝对值大的反而小）。 ### 课后作业 1. 写出下列各数的相反数和绝对值：$-7$、$2.8$、$-\frac{3}{7}$、0； 2. 比较下列各组数的大小： （1）$-10$和$-12$；（2）$-\frac{1}{2}$和$-0.6$；（3）$|-5|$和$3$； 3. 若$|a-2|=0$，求$a$的值及$a$的相反数； 4. 思考：若$|x|+|y|=0$，则$x$和$y$的值分别是多少？为什么？ 情景导入 问题： 1.它们所跑的路线相同吗？ 2.它们所跑的路程(线段OA、OB的长度)一样吗？ 西 东 3米 3米 3 3 A O B 0 3 -3 1 2 -2 -1 路线不同，正负性 路程一样，到原点的距离相等(不管方向) 课堂导入 情景导入 0 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 │－５│＝５ │４│＝４ 4到原点的距离是4,所以4的绝对值是4,记做|4|=4 -5到原点的距离是5,所以-5的绝对值是5,记做|-5|=5 在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示. 0到原点的距离是0,所以0的绝对值是0,记做|0|=0 新知探究 知识点1 绝对值 探究新知 引入绝对值的概念后,有理数可以理解为由性质符号和绝对值两部分组成,如 - 5就是由“ - ”号和它的绝对值“5”两部分组成的. 问题1 利用数轴上点到原点的距离回答： |5|= |3.5|= |-3|= |-4.5|= |0|= 0 1 0 0 0 0 5 3.5 -3 -4.5 5 3.5 3 4.5 0 新知探究 知识点1 绝对值 探究新知 问题2 （1）用数轴上的点表示下列各组数： 3，-3；5，-5； - . （2) 观察表示上述各组数的点在数轴上的位置，写出这些 数的绝对值. －5 －4 －3 －2 －1 　 0 1 2 3 4 5 解：（1）如下图. （2）观察各点在数轴上的位置，得到 |3|=3，|-3|=3；|5|=5，|-5|=5； 新知探究 知识点1 绝对值 探究新知 观察与思考 观察例1中的三组数在数轴上的位置和绝对值的大小，说说这三组数的共同特点是什么，并与同学进行交流. 像3和-3,5和-5， 和 - 等这样符号不同、绝对值相等的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.0的相反数规定为0. 新知探究 知识点2 相反数 探究新知 思考 设a是一个正数，数轴上与原点距离等于a的点有几个？这些点表示的数有什么关系？ 0 -3 -2 -1 1 2 3 与原点距离是a 与原点距离是a 在数轴上，与原点距离是a的点有_____个,分别表示_________. 2 -a和a 新知探究 知识点2 相反数 探究新知 总结 互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）；互为相反数的两个数到原点的距离相等. 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和-a，这两点 关于原点对称. 2 5 2 5 新知探究 知识点2 相反数 探究新知 结合数轴思考: 0的相反数是_____. 一个正数的相反数是一个　　　. 一个负数的相反数是一个　　　. 负数 正数 一个数的相反数是它本身的数是______.　　 0 0 新知探究 知识点2 相反数 探究新知 问题3 a的相反数是什么？ 在这个数前加一个“－”号. 问题4 如何求一个数的相反数？ a 的相反数是－a ，a可表示任意有理数. 新知探究 知识点2 相反数 探究新知 问题5 若把 a分别换成＋5，－7，0时，这些数的相反数怎样表示？ a = +5， - a = -（+5） a = -7， - a = -（-7） a = 0， - a = 0 化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负. －5 7 0 新知探究 知识点2 相反数 探究新知 问题6 化简下列各数： -（-11），-（+2），-（-3.75）， . 解: 因为-11的相反数是11，所以-（-11）=11. 因为+2的相反数是-2，所以-（+2）= -2. 同理，-（-3.75）=3.75， 新知探究 知识点2 相反数 探究新知 |5|=5 |-10|=10 |3.5|= 3.5 |100|=100 |-3|=3 |50|=50 |-4.5|=4.5 |-5000|=5000 |0|=0 ….. 思考 一个正数的绝对值是什么？ 一个负数的绝对值是什么？ 0的绝对值是什么？ 问题 观察这些表示绝对值的数，它们有什么共同点？ 新知探究 知识点3 绝对值的性质 探究新知 结论1：一个正数的绝对值是正数； 一个负数的绝对值是正数； 0的绝对值是0. 结论2：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数. 绝对值的性质 新知探究 知识点3 绝对值的性质 探究新知 正数的绝对值是它本身 (1)当a是正数时，｜a｜＝____； (2)当a是负数时，｜a｜＝＿＿； (3)当a=0时，｜a｜＝＿＿＿。 a -a 0 0的绝对值是0 负数的绝对值是它的相反数 思考 字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗? 由此，我们可以看出，一个数的绝对值是一个非负数（不小于0的数）. 新知探究 知识点3 绝对值的性质 探究新知 任何一个有理数的绝对值都是非负数! |a|≥0 总结 即：对于不任何一个有理数a，有 新知探究 知识点3 绝对值的性质 探究新知 |-5|=5 |+5|=5 相反数、绝对值的联系是什么？ 互为相反数的两个数的绝对值相等。 绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 思考 新知探究 知识点3 绝对值的性质 探究新知 [思路引导] 判断该数的符号，再根据正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即可求解． 问题7 求下列各数的绝对值： -2.5，+2.5 解： 互为相反数的两个数的绝对值相等. 新知探究 知识点3 绝对值的性质 探究新知 问题8 求下列各数的绝对值. 12， -7.5， 0。 解： |12|=12； | |= ； |-7.5|=7.5； |0|=0。 正数的绝对值等于它本身 负数的绝对值等于它的相反数 0的绝对值是0 新知探究 知识点3 绝对值的性质 探究新知 问题9 若|a|+|b|=0，求a,b的值. [思路引导]由绝对值的性质可得|a|≥0，|b|≥0. 解：由题意得|a|≥0，|b|≥0， 又因为|a|+|b|=0，所以|a|=0，|b|=0， 所以a=0,b=0. 方法归纳 如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0. 新知探究 知识点3 绝对值的性质 探究新知 1.如图，点A表示的数的绝对值是( ) A.3 B.-3 C. D. A 随堂练习 课堂练习 2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等,那么点A表示的数是( ) A.-4 B.-2 C.0 D.4 B 随堂练习 课堂练习 3.下列各组数中互为相反数的是( ) A. - ( - 5 )与 -｜- 5｜ B.｜- 3｜与｜+3｜ C. - ( - 1)与｜- 1｜ D.｜m｜与｜- m｜ A 随堂练习 课堂练习 4.在 - 1，+ ( - 2 )，- ( - 3 )，- ( + 4 )中，负数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 随堂练习 课堂练习 5.（1）4 到原点的距离是 4 ，则 | 4 | = ______； （2）-3 到原点的距离是 3 ，则 | -3 | = _______； （3）0 到原点的距离是 0 ，则 | 0 |=_________. 6._______的相反数是它本身，_________的绝对值是它本身，___________的绝对值是它的相反数． 4 3 0 0 非负数 非正数 随堂练习 课堂练习 7.化简下列各数,并求出它们的绝对值. (1)-(+10) (2)+(-0.15) (3)+(+3) (4)-(-12) (5)+[-(-1.1)] (6)-[+(-7)] 随堂练习 课堂练习 解：(1)-(+10)=-10，|-（+10）|=10； (2)+(-0.15)=-0.15，|+(-0.15)|=-0.15； (3)+(+3)=3，|+(+3)|=3； (4)-(-12)=12，|-(-12)|=12； (5)+[-(-1.1)]=+(+1.1)=1.1，|+[-(-1.1)]|=1.1； (6)-[+(-7)]=-(-7)=7，|-[+(-7)]|=7. 随堂练习 课堂练习 8.正式排球比赛对所用的排球重量是有严格规定的，现检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下： 问题：指出哪个排球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明. 答：第五个排球的质量好一些，因为它的绝对值最小，也就是离标准质量的克数最近. 随堂练习 课堂练习 知识点1 绝对值的意义 1.在数轴上表示的点与原点的距离是___，即 的绝对值是___，记 作__________.在数轴上表示的点与原点的距离是___，即 的绝对 值是6，记作__________. 3 3 6 返回 考试考法 31 2.［2024东营中考］ 的绝对值是( ) A A.3 B. C. D. 返回 考试考法 32 3.如图，数轴上有，，， 四个点，其中绝对值等于3的数对应的点 是( ) B A.点 B.点 C.点 D.点 返回 考试考法 33 4.（4分）［教材习题 变式］在数轴（如图）上表示下列各数： 2，，0，，， ，并写出这些数的绝对值. 解：如图所示. ，，，，， . 返回 考试考法 34 知识点2 相反数 5.［2024达州中考改编］有理数2 025的相反数是( ) B A.2 025 B. C. D. 返回 考试考法 35 6.下列各组数中，互为相反数的是( ) A A.6和 B.和 C.和 D. 和6 返回 考试考法 36 7.［2025唐山期末］如图，数轴上点 表示的数的相反数是( ) C A. B.0 C.1 D.2 返回 考试考法 37 8.（1） 的相反数是___； （2） 的相反数是____； （3）0的相反数是___； （4）若与3互为相反数，则 的值为____. 2 0 返回 考试考法 38 知识点3 多重符号的化简 9.计算： ( ) B A. B.1 C. D.2 返回 考试考法 39 10.［2025邯郸期中］若，则 的值为( ) A A. B.2 C. D. 返回 考试考法 40 11.（16分）化简： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 返回 考试考法 41 知识点4 绝对值的性质 12.若一个数的绝对值是 ，则这个数是( ) C A. B. C.或 D.或 返回 考试考法 42 13.用符号语言表述“负数的绝对值等于它的相反数”，正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 43 14.计算：____， __， ____， ____. 20 14 返回 考试考法 44 15.［2025张家口期中］如图，若的相反数是，则表示 的点落在 ( ) C A.段① B.段② C.段③ D.段④ 返回 考试考法 45 绝对值与相反数 绝对值 相反数 几何意义 代数意义 在数轴上，表示数a的点到原点的距离. a, (a>0) |a|= 0, (a=0) |a|≥0 几何意义 代数意义 符号不同，绝对值相等的两个数，互为相反数. 两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两旁，且与原点的距离相等. -a, (a<0) 课堂小结 谢谢观看！ $