12.3.1 等腰三角形的性质 教学设计 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

第十二章 全等三角形 12.3 等腰三角形 12.3.1 等腰三角形的性质   一、教材分析 本节是《全等三角形》的延伸，承接三角形全等判定，又为后续等腰、等边三角形判定及四边形等知识奠基，是平面几何“从一般到特殊”研究思路的关键载体.​ 教材先以生活实例引入等腰三角形，再通过剪纸操作引导学生观察轴对称性，进而猜想“等边对等角”“三线合一”性质，最后用全等三角形证明，符合“直观感知--猜想验证--严谨证明”的认知规律.​ 内容上，性质证明首次将轴对称与全等结合，辅助线添加（作顶角平分线、底边上的高或中线）是几何学习的重要突破点；同时，性质应用贯穿角的计算、线段相等证明场景，为后续复杂几何问题提供解题工具，兼具知识衔接性与应用实用性.   二、教学目标 1.掌握等腰、等边三角形的概念及其相关性质； 2.会利用等腰、等边三角形的性质解决相关问题； 3.经历探索等腰三角形和等边三角形相关性质的过程，进一步理解轴对称的性质； 4.通过探究积累数学活动经验，发展空间观念.   三、教学重难点 重点：掌握等腰、等边三角形的概念及其相关性质. 难点：会利用等腰、等边三角形的性质解决相关问题.   四、教学过程 · 情境导入 观察下列图像，哪些位置的图形是等腰三角形的形状? 预设：都是等腰三角形. 师生活动：教师提出问题，学生观察思考后尝试回答． 设计意图：通过展示生活中具有等腰三角形形状的物体，从学生熟悉的现实场景切入，激发学生学习兴趣，让其直观感知等腰三角形，为后续学习性质及判定定理奠定认知基础，同时体现数学与生活的联系. · 探究新知 活动一：等腰三角形的相关概念 操作：如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去红线下方的部分，再把它展开，得到△ABC. 思考：AC和AB有什么关系? 预设：AC=AB 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 如图，在△ABC中，AB=AC，则△ABC为等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边.两腰对应的角叫做底角，底边对应的角叫做顶角. 设计意图：通过剪纸操作，让学生直观感受等腰三角形“两边相等”的特点，引出定义，并结合图形明确腰、底边、顶角、底角等各部分名称，帮助学生理解记忆. 活动二：等腰三角形的性质 做一做：剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？ 预设：折叠的两部分重合，即△ABD和△ACD重合 我们可以得出结论：等腰三角形是轴对称图形；折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴. 想一想：你们还有什么发现？ 预设：∠B ＝∠C，即等腰三角形的两个底角相等. 思考：你能证明上述的结论吗？ 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C. 分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线AD，然后证明△ABD≌△ACD. 证明：如图，作∠BAC的平分线AD，∴∠1=∠2 在△ABD 和△ACD中， ∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD， ∴△ABD ≌△ACD(SAS) ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等) 注意：①在进行某些定理/性质的证明时，往往首先将文字语言转为几何语言；②在证明过程中，为了需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线，辅助线通常作成虚线.例如，上述证明中所添加的顶角平分线AD. 总结：我们得到等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等.简写成“等边对等角”. 几何语言： 在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C. 设计意图：通过剪纸对折操作，让学生直观发现等腰三角形是轴对称图形，进而猜想并证明“等边对等角”，既培养动手与推理能力，又让学生掌握等腰三角形性质，体会辅助线在证明中的作用. 探索：由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论? 预设：BD =CD（中线），∠ADB=∠ADC=90°（高线）. ∠1=∠2（角平分线） 预设：AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高. 思考：如何证明上述结论呢？ 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，做顶角∠BAC的平分线AD，与BC交于点D，求证：BD=DC，AD⊥BC. 证明：因为AD是∠BAC的平分线，所以∠1=∠2 （AD为顶角平分线） 因为AB=AC，AD=AD，所以△ABD≌△ACD(SAS) 所以BD=DC， （AD为底边中线） ∠ADB=∠ADC， 而∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC. （AD为底边高线） 总结：我们得到等腰三角形的“三线合一”的性质： 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线，互相重合，简写成“三线合一”. 几何语言：在△ABC中， AB=AC时， (1) ∵AD是底边上的高， ∴∠1=∠2，BD=CD. (2) ∵AD是中线， ∴AD⊥BC，∠1=∠2 (3) ∵AD是角平分线， ∴AD⊥BC，BD=CD. 师生活动：教师引导学生思考讨论，并让学生尝试用几何语言说一说所得到的定理． 设计意图：通过对等腰三角形性质的延伸探究，引导学生发现“三线合一”性质，让学生经历观察、推理过程，加深对等腰三角形的认识，同时培养逻辑思维与探究能力. 总结：等腰三角形的有关性质： 等腰三角形是轴对称图形；有一条对称轴 等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线、高重合，简记为：三线合一；这条线所在直线也是对称轴. 等腰三角形的底角相等，简记为：等边对等角. 活动三：等边三角形的性质 思考：若等腰三角形的底边和腰相等，那这样的三角形是怎样的呢? 预设：等腰三角形中，若底边与腰相等，这时三角形三边都相等. 三条边都相等的三角形叫做等边三角形(equilateral). 思考：(1)等边三角形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 预设：等边三角形也是轴对称图形，它有3条对称轴. (2)在等边三角形中，每个角的度数是多少呢？ 预设：由AB=AC，根据“等边对等角”，可以得到∠B=∠C，同理可得∠A＝∠B， 所以∠A＝∠B＝∠C， 又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°. 也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形. 设计意图：从等腰三角形延伸出等边三角形，通过思考与推导，让学生明确等边三角形的定义、轴对称性及角的度数特征，培养知识迁移与逻辑推理能力，为后续学习等边三角形判定等内容奠基. · 应用新知 教材例题 例1已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80 °，求∠C和∠A的大小. 分析：利用等边对等角及三角形的内角和定理进行求解即可. 证明：∵AB=AC (已知) ∴∠C=∠B=80°(等边对等角) 又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°) ∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-80°-80°=20° 注意：已知角是底角还是顶角，如果没有明确，需要分类讨论. 典型例题 例2 已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数. 解：设这个等腰三角形顶角的度数为x°则底角的度数为2x°. 根据“三角形三个内角的和等于180°，得：x+2x+2x=180 解得x= 36，2x°=2×36°=72°. 所以，这个三角形的三个内角分别是36°，72°，72°. 注意：利用等腰三角形的两个底角相等，内角和是180°构建方程，解方程即可求得对应角度. 教材例题 例3 在△ABC中 ，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°. 求：(1)∠ADC的度数；(2)∠1的度数. 分析：利用等腰三角形三线合一的性质及三角形的内角和定理进行求解即可. 解：(1) ∵AB = AC，BD=DC(已知)， ∴AD⊥BC(等腰三角形“三线合一”). ∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义). (2)∵∠1 +∠B +∠ADB=180°(三角形内角和等于180°)，∠B=30°(已知)， ∴∠1=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°. 师生活动：学生先独立思考再作答. 设计意图：通过典型例题，让学生运用等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和三角形内角和定理解决问题，巩固所学知识，提升知识应用与逻辑推理能力，同时培养独立思考的习惯. 思考：如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段AB的垂直平分线PO，现在你能证明所得的直线PQ确实是已知线段AB的垂直平分线吗? 作法：(1)分别以点A和B为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q. (2)作直线PQ. 直线PQ就是线段AB的垂直平分线. 例4 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线. 证明：如图，设AB与PQ相交于点O，连结PA、PB、QA、QB. 在△APQ和△BPQ中，∵AP=BP，AQ=BQ，PQ=PQ， ∴△APQ≌△BPQ(SSS). ∴∠APQ=∠BPQ(全等三角形的对应角相等). 又∵AP=BP， ∴AO=BO且PQ⊥AB(等腰三角形的三线合一). 因此直线PQ是已知线段AB的垂直平分线. 思考：如图所示，我们还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP.当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线，那么当点C在直线AB外时，你能证明所作的直线CP确实是直线AB的垂线吗? 点C在直线AB上 作法：(1)以点C为圆心，任意长为半径作弧，交直线AB于点M，N. (2)分别以点M和N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧交直线AB的上方于点P. (3)连接PC，所以直线PC就是过点C且垂直于直线AB的垂线. 点C在直线AB外 作法：(1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点M，N. (2)分别以点M和N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧交直线AB的下方于点P. (3)连接PC，所以直线PC就是过点C且垂直于直线AB的垂线. 比较垂线的作法示意图与垂直平分线的作法示意图，我们可以发现两者十分类似，过直线AB外一点C作AB的垂线，就相当于作线段MN的垂直平分线. 例5 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线CP确实是直线AB的垂线. 证明：如图，连结CM、CN、PM、PN. 在△PMC和△PNC中，∵CM=CN，PM=PN，PC=PC， ∴△PMC≌△PNC(SSS). ∴∠CPM=∠CPN(全等三角形的对应角相等). 又∵PM=PN， ∴PC⊥AB(等腰三角形的三线合一). 因此直CP是直线AB的垂线. 设计意图：通过证明线段垂直平分线和过直线外一点作垂线的尺规作图合理性，让学生运用等腰三角形“三线合一”等知识，巩固所学，提升逻辑推理与几何证明能力，体会尺规作图的严谨性. · 课堂练习 【教材练习】 1.填空： (1)等腰三角形一个底角为50°，那么其余两个角的度数分别为_____和______； (2)如果等腰三角形的顶角为70°，那么它的一个底角的度数为_____. 答案：（1）50°，80°；（2）55°. 2.如图，点E在BC上，AE∥DC，AB =AE.求证：∠B=∠C. 证明：∵AB =AE，∴∠B=∠AEB， ∵AE∥DC，∴∠AEB=∠C，∴∠B=∠C. 3.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E. 求证：BD=CE. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB ∴∠BEC=∠CDB=90° ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB ∴在△BEC和△CDB中， ∵∠BEC=∠CDB，∠EBC=∠DCB，BC=CB ∴△BEC≌△CDB(AAS).∴BD=CE. 4.如图，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上，且∠DAC=50°. 求证：BD=CD. 证明：∵AB=AC，∠B=40° ∴∠C=∠B=40°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°， 又∵∠DAC=50°，∴∠BAD=50°=∠DAC. 即AD是等腰三角形ABC的角平分线 ∴BD=CD. 【自选练习】 5.已知一个等腰三角形的周长为22 cm，若其中一边长为6cm，则它的腰长为( ) A. 6 cm C.6 cm或8 cm B. 10 cm D.8 cm或10 cm 答案：C. 6.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为_________. 答案：6. 注意：等腰三角形种要明确底边和腰，需分类讨论. 7.如图，在△ABC中，AB=AC，BE，CD是中线. 求证：BE=CD. 证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ∵BE，CD是中线，∴CE=AC，BD=AB， ∴CE=BD. ∴在△CBE和△BCD中， ∵CE=BD，∠ECB=∠DBC，BC=CB ∴△CBE≌△BCD(SAS). ∴BE=CD. 8.如图，AB=AC=AD．如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论． 解：∠C=2∠D 证明：∵AB=AD，∴∠D=∠ABD， ∵AD∥BC，∴∠DBC=∠D ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠D. 又∵AB=AC，∴∠C=∠ABC， ∴∠C=2∠D. 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． 设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握等腰三角形的概念及性质，提高学生的解题能力和应用能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.说一说，什么是等腰三角形，它有哪些性质？ 3什么是等边三角形，它具有哪些性质呢？ 设计意图：本节课的课堂总结活动通过几个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容.这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导 学科网（北京）股份有限公司 $