12.3.2等腰三角形的判定 讲义 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

12.3.2等腰三角形的判定 学习目标 1. 理解并掌握等腰三角形的判定定理。 2. 能运用等腰三角形的判定定理进行相关的计算和证明。 3. 通过对等腰三角形判定定理的探究，培养逻辑推理能力和观察分析能力。 知识点讲解 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）。 用符号语言表示为：在中，，。 此定理是证明两条线段相等的重要依据，它与等腰三角形的性质定理“等边对等角”互为逆定理。 例题解析 例 1 已知在中，，，试判断是什么三角形，并说明理由。 解析： 1. 首先计算的度数： · 在中，根据三角形内角和为，可得。 · 把，代入，。 2. 然后观察角的关系： · 因为。 · 根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，所以。 · 故是等腰三角形。 例 2 在中，，(D)是(BC)边上一点，过(D)作(DE// AC)交(AB)于(E)，作(DF// AB)交(AC)于(F)，试判断四边形(AEDF)的形状，并说明理由；同时判断(DE + DF)与(AB)的关系。 解析： 1. 判断四边形(AEDF)的形状： · 因为(DE// AC)，(DF// AB)。 · 根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形(AEDF)是平行四边形。 2. 判断(DE + DF)与(AB)的关系： · 因为(DE// AC)，所以。 · 又因为，所以。 · 则。 · 根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，所以。 · 因为四边形(AEDF)是平行四边形，所以。 · 那么。 例 3 已知中，和的平分线交于点(F)，过点(F)作(DE// BC)交(AB)于点(D)，交(AC)于点(E)，若，求线段(DE)的长。 解析： 1. 因为(BF)平分： · 所以。 · 又因为(DE// BC)，根据两直线平行，内错角相等，所以。 · 从而。 · 根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，所以。 2. 同理，因为(CF)平分： · 所以。 · 又因为(DE// BC)，所以。 · 则。 · 根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，所以。 3. 所以： · 因为，，且。 · 所以。 巩固练习 一、选择题 1. 在中，，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形 答案解析： · 首先计算的度数：在中，。 · 因为，根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，所以是等腰三角形，答案选B。 2. 下列条件能判定是等腰三角形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，周长为(13) 答案解析： · 选项A：，三个角都不相等，不是等腰三角形。 · 选项B：，，根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，是等腰三角形，该选项正确。 · 选项C：因为，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不能构成三角形。 · 选项D：设，则，解得，三边为(3)，(3)，(7)，因为，不满足三角形三边关系，不能构成三角形。所以答案选B。 二、填空题 1. 在中，，，则是______三角形。 答案解析： · 计算的度数：。 · 因为，根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，所以是等腰三角形，答案为等腰。 2. 已知在中，，，若是等腰三角形，则(AC)的长为______。 答案解析： · 因为是等腰三角形，所以或。 · 当时，，，满足三角形三边关系；当时，，，也满足三角形三边关系。所以答案为(3)或(5)。 三、解答题 1. 已知在中，，(D)是(BC)边上一点，(DE⊥ AB)于点(E)，(DF⊥ AC)于点(F)，且。求证：(AD)是的平分线。 答案解析： · 连接(AD)。 · 因为(DE⊥ AB)，(DF⊥ AC)，所以。 · 在和中： · （已知）。 · （公共边）。 · 根据(HL)（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可得。 · 全等三角形对应角相等，所以。 · 即(AD)是的平分线。 2. 已知中，，(D)为(BC)延长线上一点，(DE)交(AC)于点(F)，且(DE// AB)。求证：是等腰三角形。 答案解析： · 因为，所以。 · 又因为(DE// AB)，根据两直线平行，同位角相等，所以。 · 从而。 · 而与是对顶角，所以。 · 那么。 · 根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，所以是等腰三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3.2等腰三角形的判定 学习目标 1. 理解并掌握等腰三角形的判定定理。 2. 能运用等腰三角形的判定定理进行相关的计算和证明。 3. 通过对等腰三角形判定定理的探究，培养逻辑推理能力和观察分析能力。 知识点讲解 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）。 用符号语言表示为：在中，，。 此定理是证明两条线段相等的重要依据，它与等腰三角形的性质定理“等边对等角”互为逆定理。 例题解析 例 1 已知在中，，，试判断是什么三角形，并说明理由。 例 2 在中，，(D)是(BC)边上一点，过(D)作(DE// AC)交(AB)于(E)，作(DF// AB)交(AC)于(F)，试判断四边形(AEDF)的形状，并说明理由；同时判断(DE + DF)与(AB)的关系。 例 3 已知中，和的平分线交于点(F)，过点(F)作(DE// BC)交(AB)于点(D)，交(AC)于点(E)，若，求线段(DE)的长。 巩固练习 一、选择题 1. 在中，，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形 2. 下列条件能判定是等腰三角形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，周长为(13) 二、填空题 1. 在中，，，则是______三角形。 2. 已知在中，，，若是等腰三角形，则(AC)的长为______。 三、解答题 1. 已知在中，，(D)是(BC)边上一点，(DE⊥ AB)于点(E)，(DF⊥ AC)于点(F)，且。求证：(AD)是的平分线。 2. 已知中，，(D)为(BC)延长线上一点，(DE)交(AC)于点(F)，且(DE// AB)。求证：是等腰三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $