1.1.2 有理数的分类 课件2025-2026学年- 冀教版数学七年级上册

冀教（2024）版数学7年级上册 第一章 有理数 1.1.2 有理数的分类 1.理解正数与负数的实际意义. 2.会判断一个数是正数还是负数. 3.理解有理数的概念,能按一定的标准对有理数进行分类. # 幻灯片分页内容：1.1.2 有理数的分类 ## 第1页：课题导入——温故知新引分类 - 旧知回顾： 1. 什么是正数、负数？（正数：大于0的数，可带“+”或省略；负数：小于0的数，必须带“-”） 2. 0的意义是什么？（0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点） - 情境提问： 给出一组数：3，-5，0，$\frac{1}{2}$，-3.7，20%，$-1\frac{3}{4}$，1.2，这些数有什么共同特征？如何给它们分类？ - 课题明确：今天我们学习“有理数的分类”，掌握有理数的两种核心分类方法，理解各类数的本质特征。 ## 第2页：核心概念——有理数的定义 - 定义： 整数和分数统称为有理数（“有理”指可以表示为两个整数的比，即$\frac{p}{q}$，其中$p$、$q$为整数且$q≠0$）。 - 本质特征： 所有有理数都能化为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数和无限循环小数也都是有理数。 - 示例验证： - 整数3可化为$\frac{3}{1}$，-5可化为$\frac{-5}{1}$； - 分数$\frac{1}{2}=0.5$（有限小数），$\frac{1}{3}=0.\dot{3}$（无限循环小数）； - 小数-3.7可化为$-\frac{37}{10}$，20%可化为$\frac{1}{5}$，均为分数。 ## 第3页：分类方法1——按定义分类（核心） ### 分类框架： $\boxed{有理数\begin{cases} 整数\begin{cases} 正整数（如：1, 2, 3, \dots） \\ 0 \\ 负整数（如：-1, -2, -3, \dots） \end{cases} \\ 分数\begin{cases} 正分数（如：\frac{1}{2}, 3.5, 20\%, \dots） \\ 负分数（如：-\frac{3}{4}, -1.2, -50\%, \dots） \end{cases} \end{cases}}$ ### 关键说明： 1. 整数包括正整数、0、负整数，没有最大或最小的整数； 2. 分数包括正分数和负分数，有限小数、无限循环小数、百分数、带分数都属于分数（如$-1\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$，本质是分数）； 3. 0是整数，不是分数，也不是正数或负数。 ### 示例归类： - 整数：3，-5，0； - 正分数：$\frac{1}{2}$，20%，1.2； - 负分数：-3.7，$-1\frac{3}{4}$。 ## 第4页：分类方法2——按性质（正负）分类 ### 分类框架： $\boxed{有理数\begin{cases} 正有理数\begin{cases} 正整数（如：1, 2, 3, \dots） \\ 正分数（如：\frac{1}{2}, 3.5, 20\%, \dots） \end{cases} \\ 0 \\ 负有理数\begin{cases} 负整数（如：-1, -2, -3, \dots） \\ 负分数（如：-\frac{3}{4}, -1.2, -50\%, \dots） \end{cases} \end{cases}}$ ### 关键说明： 1. 0单独作为一类，既不是正有理数，也不是负有理数； 2. 正有理数包括所有正整数和正分数，负有理数包括所有负整数和负分数； 3. 分类时要做到“不重不漏”（每个数都属于且只属于一类）。 ### 示例归类： - 正有理数：3，$\frac{1}{2}$，20%，1.2； - 0：0； - 负有理数：-5，-3.7，$-1\frac{3}{4}$。 ## 第5页：两种分类方法对比与应用 | 分类标准 | 核心优势 | 适用场景 | 注意事项 | |----------|----------|----------|----------| | 按定义分类 | 突出“整数”和“分数”的本质区别 | 涉及整数、分数相关概念辨析时（如判断一个数是否为分数） | 0属于整数，不属于分数 | | 按性质分类 | 突出“正”“负”的符号特征 | 涉及正负数运算、统计正负相关数量时（如统计正有理数的个数） | 0单独归类，不与正负混淆 | ### 选择技巧： - 问“是什么类型（整数/分数）”→ 按定义分类； - 问“是正数/负数/零”→ 按性质分类。 ## 第6页：易错点辨析——避开分类误区 1. 误认为“小数都是分数”； 纠正：只有有限小数和无限循环小数是分数，无限不循环小数（如$\pi$）不是分数，也不是有理数。 2. 把0归为正有理数或负有理数； 纠正：0既不是正数也不是负数，单独作为一类，是有理数的重要组成部分。 3. 混淆“整数”和“正整数”； 纠正：整数包括正整数、0、负整数，不能把整数等同于正整数（如-5是整数，但不是正整数）。 4. 认为“带分数是整数”； 纠正：带分数（如$-1\frac{3}{4}$）是分数的一种形式，本质是假分数的变形，属于分数范畴。 5. 分类时出现“重复”或“遗漏”； 纠正：分类要遵循“不重不漏”原则，如不能把0既归为整数又归为分数，也不能把负分数排除在有理数之外。 ## 第7页：课堂练习——分层巩固 ### 基础题（夯实分类） 1. 把下列各数填入相应的集合中： $-7$，0，$\frac{2}{3}$，$-3.14$，$8$，$-0.5$，$10\%$，$-2\frac{1}{5}$ - 整数集合：$\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \dots\}$ - 分数集合：$\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \dots\}$ - 正有理数集合：$\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \dots\}$ - 负有理数集合：$\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \dots\}$ 答案： 整数集合：$\{-7, 0, 8\}$； 分数集合：$\{\frac{2}{3}, -3.14, -0.5, 10\%, -2\frac{1}{5}\}$； 正有理数集合：$\{\frac{2}{3}, 8, 10\%\}$； 负有理数集合：$\{-7, -3.14, -0.5, -2\frac{1}{5}\}$。 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数分为正整数、0和负整数 B. 分数不是有理数 C. 0是最小的有理数 D. 有限小数和无限循环小数都是分数 答案：D ### 提高题（能力提升） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 所有整数都是有理数 B. 所有分数都是有理数 C. 所有有理数都是有限小数 D. 0是有理数但不是正数 答案：C（有理数还包括无限循环小数） 2. 已知一个有理数$a$，它既不是正数也不是负数，求$a$的值，并说明它属于哪类整数或分数。 答案：$a=0$，0是整数，不是分数。 3. 请用两种分类方法对“$-5$，$\frac{1}{2}$，0，$3.6$，$-1.2$，$7$”进行分类。 （按定义：整数$\{-5, 0, 7\}$，分数$\{\frac{1}{2}, 3.6, -1.2\}$；按性质：正有理数$\{\frac{1}{2}, 3.6, 7\}$，0，负有理数$\{-5, -1.2\}$） ## 第8页：课堂小结与课后作业 ### 课堂小结 1. 一个核心定义：有理数=整数+分数（能化为$\frac{p}{q}$，$p$、$q$为整数且$q≠0$）； 2. 两种分类方法：按定义（整数/分数）、按性质（正有理数/0/负有理数）； 3. 三个关键要点：0是有理数（非正非负）、有限小数和无限循环小数是分数、分类遵循“不重不漏”。 ### 课后作业 1. 把下列各数填入相应的集合： $15$，$-\frac{1}{9}$，$-5$，$0.3$，$0$，$-3.1$，$1$，$-2\frac{1}{3}$ - 正整数集合：$\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \dots\}$ - 负分数集合：$\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \dots\}$ - 有理数集合：$\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \dots\}$ 2. 判断下列说法是否正确，错误的请改正： （1）有理数包括正数和负数；（ ） （2）分数一定是有理数；（ ） （3）无限循环小数不是有理数；（ ） 3. 思考：无限不循环小数（如$\pi$）是有理数吗？为什么？ 学习目标 1.零上13 ℃记作＋13 ℃，零下2 ℃可记作(　　) A．2 B．－2 C．2 ℃ D．－2 ℃ 2．如果用＋0.02克表示一只乒乓球质量超出标准质量0.02克，那么一只乒乓球质量低于标准质量0.02克记作(　　) A．＋0.02克 B．－0.02克 C．0克 D．＋0.04克 3．如果水位升高5 m时水位变化记作＋5 m，那么水位下降3 m时水位变化记作________m，水位不升不降时水位变化记作________m. D B -3 0 回顾 情景导入 （1）天气预报中的1，2，3，66，24，电梯按钮中的1-10，新闻报道中的1.8%； （2）天气预报中的-5，电梯按钮中的-1，-2，新闻报道中的-2.7%. 问题1 说一说上面用到的各数的含义. 问题2 上面这两类数，分别属于什么数？ 新知探究 知识点1 正数和负数 情景导入 +8 848.86, + 126 800, +200等这样形式的数,都是在已学过的数(0除外)的前面加上“+”得到的，这样的数叫作正数. -90, -154.31, - 300等这样形式的数,它们都是在已学过的数(0除外)的前面加上“-”得到的,这样的数叫作负数. 0既不是正数，也不是负数. 有时，我们为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号，如+3，+1.8％，+0.5，….不过一般情况下我们省略“+”不写. 注意 新知探究 知识点1 正数和负数 情景导入 －11， ，＋73，0，－2.7， ，4.8， 问题3 读出下列各数，并把它们填在相应的圈里： 正数 负数 ，＋73，4.8， -11，-2.7， 新知探究 知识点1 正数和负数 情景导入 这类题型解题要点是认清负数的特征：从定义中我们发现负数的前面必须有负号“-”；同时还要特别注意从正负数的定义可知：“0既不是正数，也不是负数”. 海平面 珠穆朗玛峰 吐鲁番盆地 8848.86米 154.31米 高度看作0米 问题4 下图是吐鲁番盆地的示意图，你能用语言表述它与海平面的高度关系吗？它的含义是什么？ 记为+8848.86米 记为－154.31米 新知探究 知识点1 正数和负数 情景导入 0只表示没有吗? 1.空罐中的金币数量; 2.温度中的0℃; 3.海平面的高度; 4.标准水位; 5.身高比较的基准; …… 思考 0是正负数的分界点.它不再简简单单的只表示没有，它具有丰富的意义，如： 0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用正数表示，低于基准的量用负数表示 新知探究 知识点1 正数和负数 情景导入 问题5 里约奥运会勇夺冠军的中国女排的平均身高为187 cm，如果以平均身高为标准，超过部分记为正数，不足部分记为负数，有5名队员分别记为+10，-5，0，+7，-2，则她们的实际身高（单位：cm）应是________________________. 197、182、187、194、185 新知探究 知识点1 正数和负数 情景导入 解题时一定要先弄清“基准”，再把数据还原成原数据. 问题6 回想一下，我们认识了哪些数？ 正整数： 正分数： 负整数： 负分数： 1，2，3，… -1，-2，-3，… 0： 既不是正数，也不是负数 新知探究 知识点2 有理数及其分类 情景导入 定义：整数和分数统称为有理数. 正整数、零和负整数统称整数. 正整数： 1，2，3，… 负整数： -1，-2，-3，… 0 正分数： 负分数： 正分数和负分数统称分数. 新知探究 知识点2 有理数及其分类 整 数 … … 分 数 情景导入 有理数的概念及分类 问题7 你能根据有理数的定义对有理数分类吗？ 有理数 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 自然数 新知探究 知识点2 有理数及其分类 情景导入 问题8 你还能用其他方法给有理数分类吗？ 有理数 正数 负数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 注意： ①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 新知探究 知识点2 有理数及其分类 情景导入 归 纳 有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数。 无限不循环小数（如 π ）不是分数，就不是有理数。 新知探究 知识点2 有理数及其分类 情景导入 问题8 把下列各数填在相应的集合中： 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 分数集合：{ }； 整数集合：{ }； 非负有理数集合：{ }； 有理数集合：{ }. 易错警示 ：1.像 这种可以先化简成整数的数是整数不是分数； 2.π大于0是正数不是正有理数。 新知探究 知识点2 有理数及其分类 情景导入 15 知识点1 正数、负数和0 1.下列各数是正数的是( ) C A. B.0 C.2 D. 返回 考试考法 16 2.［2025唐山期中］下列各数中：5，，0，， ，负数有 ( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 考试考法 17 3.下列叙述中，正确的是( ) A A.0既不是正数也不是负数 B.0是正数 C.0可以是正数也可以是负数 D.0是负数 返回 考试考法 18 4.（4分）下列各数哪些是正数，哪些是负数？ ，，，0，，50，， . 解：正数有：， ，50. 负数有：，，， . 返回 考试考法 19 知识点2 有理数及其分类 5.若有理数的分类如下图，则“ ”表 示的是( ) C A.正有理数 B.负有理数 C.0 D.非负数 返回 考试考法 20 6.［2025保定期中］在，，0， 这四个数中，属于负整数的是___. D 返回 考试考法 21 7.［教材P练习T变式］给出下列各数：，，0，， ，2， ，，， .把这些数分别填在相应的横线上. （1）整数：{____________________， ； （2）分数：{_ __________________________， ； （3）负数：{_ __________________， ； （4）非负整数：{______， . 0，，2，， ，，，， ，，， 0，2 返回 考试考法 22 8.［教材做一做变式］在，，，0，，，， 中，正整数有个，负数有个，则 的值为___. 5 返回 考试考法 23 9.（8分）［2025邢台襄都区期末］如图，已知是整数集合， 是正数 集合，是分数集合，是和的重叠部分，是和 的重叠部分. （1）是________集合， 是________集合； 正整数 正分数 考试考法 24 （2）给出下列各数：10，，，0，，25，， ， ，请将它们填入图中相应的集合中去. 解：如图所示. 返回 考试考法 25 10.（12分） 动脑筋、找规律.邱老师给小明出了下面的一 道题，如图，请根据数的排列规律，探索下列问题： （1）在 处的数是正数还是负数？ 解：因为在处的数是上方向右箭头对应的数，与 的符号相同，所以 在 处的数是负数. 考试考法 26 （2）负数在，，， 中的什么位置？ 解：因为向下箭头的上方是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数， 上方是正数，所以负数在， 位置. （3）第2025个数是正数还是负数？排在，，， 中的什么位置？ 因为 ， 所以第2 025个数是负数，排在 的位置. 返回 考试考法 27 有理数 有理数的概念 整数和分数统称为有理数. 有理数的分类 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 正、负数 0既不是正数，也不是负数 课堂小结 谢谢观看！ $