山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题

2025一2026学年第一学期高三年级期中检测 (因由)知DH∥AE,所以A,E,D,月四点共面， 数学答案 而DB⊥平面ABC,AHC平面ABC,所以DH⊥AH 1.B2.A3.C4.A5.C6.B7.B8.C 又：DE⊥平面BCD,DHc平面BCD,所以DH⊥DE, 9AD10.ACD11.BD12.135°13.8W214221 所以在平面AEDH中，A日∥DE,即AEDH为平行四边形，DH=AE, 4 所以AH⊥平面BCD,而BCC平面BCD,所以AH⊥BC, 15.解：()正项数列a,)的前a项和为S.,a=1,且当2时， 由AB=C得H为BC的中点。t……4444…0 当n=2时，2S=24=%2(2-)=2,解得a=2.…9 以A为原点，AC,AB,B所在直线分别为x,少，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 拉■3时，2S3=6=马(%-)，解得马=3， 0,2,0),D01,2),.元-(L,-L,2.平面4CE的-个法向量=(0,1,0). 设直线BD与平面ACE所成角为8， 由3时，出25..=4，(a.-),可得2S,=4-(a。4-). 两式相减可得2a.:=公-g,-8,+a4化为a,+a(位，-0a,+a,…… 如-k✉(D,- -1 1×+(-2+2 6 由4，>0.可得a,-a=1(对n=2,3也成立)（不检验扣1分） 所以数列{a,}是首项和公差均为1的等差数列。则日，■作：……6 直线B0与平面4CE所成角的正弦值为 6 由得学-兰，则元-12x白+3x身++a-0+n白 17.解：)由m,元共线，得(a+b)(sin A-sinB)=(c-b)sinC, -白+2x白+3中++a-0-中+a白， 由正弦定里，得(a+ba-)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc, 两式相减可得子红.=+身+中++分+付-a-《曰… 所以c0sA=2二一。 =方因为40列，所似4=行5分 若a=3,则。48C外接图的半径为2sn万= 2×2 ②由丽=2M.将AH=,BN=子，由∠C8M=∠CMB,得CM=BC=a 16解：)证明：过点D作DH⊥BC于点H,连接AH, 在a4CM中，CM=P+-2动os了则+-c=2.9分 :平面BCD⊥平面ABC,且平面BCDA平面ABC=BC,DHe平面BCD, ,D月⊥平而ABC,……3(不写交线扣】分)】 由U得.公+e-g2=e.则。=8+c-bc,所以P+-款c=的+2-c,…1分 又：AE⊥平面ABC,DH∥4E,又：AEt平面BCD,DHc平面BCD, 即=背代入0-+d-c,得a压e在8c中，sB=4”-晋5分 2ac 13 ,AE∥平面BCD:…………6(不写线在面外加1分) 18.解四证明：由/-左-hxxe0小得/因22x ,↓-上.-2<0，即了)在(0，】上单调递减，又1解：0O证明：如图，在a4BC中记B的中点为6连接GD. 由题意，GD是aABC的中位线，因为BC=2反，∠B=60 ∫①)■1，当x>0且x无限趋近于0时，f)趋向于正无穷大。 所以GDm2,∠EGD=120°， 即()的值城为几，+o),且函数在(0，)上单调递减。 在△EGD中，由正弦定理得。 GD ED sin Z GED s∠ECD 对于∫()可以取到任意正整数，且在xE(0,I上都有存在唯一自变量与之对应， 闸、 面∠CED“m2P·解得知∠GBD=Y3, 故对于Vn∈N,令f(x)=n,其在(0，门上的解必存在且唯一， …分 因为∠EGD=120°，ED>GD,所以∠GED=45,因为DE是AC的垂直平分线. 不妨设解为C,即VneN,则都存在唯一的实数C∈(O,小，使得代c,)=N,即()存在藤数列： 所以aDE是等腰直三角形，所以DE=AD=DC=√V3,,+,1分 在折后，DE1FD,DE1DC,因为FC=6,有FD+DC-C, ②阳/网-子0恒成立.即r压hx恒成女 所以FDC是等银直角三角形，故FD⊥ED,FD⊥DC, 令1=反e(0,,即3-2uh1恒成立，令g(0-2-2ll,则p(0-2-2h1-2, ED与DC相文于D,且BD,DCC平面BCDE. 令g0-p)=2z-2at-21c(0,1则g0=2-20,仅在1=1时取等号， 所以FD⊥平面BCDE,因为8Ec平面BCDE,所以FD⊥BE:.··,D力 ②由①在四棱雅F-BCDE中，DE,DR,DC两两垂直， 即p'()在(0,1】上单调遗减 分 延长ED至点Q.使得DQ=ED=V3,则∠DQC=45., (此处为分点，不证明导数“调性，直接用切线不等式写结论的扣棉这两分) 延长FD至点P,使得PD=FD=V,则∠DPQ=5 故g()≥g)=0,即)在(0，门上单调递增 …8分 因为LBED-135,∠DQC=5,所以CQ/BE, (不换元证祠单调递地同样给分) CQ±平面B6F,BEC平面BEF,所以C2I平面BF, 故p(0a=p)=l,放l 0分 因为∠EFD=45°，∠DPQ=45,所以POIER, 间证明：由0可得代水方故e,K下，即长衣 …13分 PQ￠平面8EF,EFc平面F,所以PQM平面BEF, 因为CQ与PQ相交于Q.且CQ,PQc平面CPg.所以平面CPQ∥平面BER, 15分 因为CPc平面CPQ,所以CPW平面EF,北时FD=D,即入=1：.1分 当n1时，8=4s宁1<名 (法二：理系，关提B点坐标，有维系给1分，B点坐标对再给1分，法向量对再给2分) 当2时或5+6++61治时封立司 111 (法三：其他儿何法) 2)迹D作DM⊥CE于M,过M作MN⊥CE,交CF于N.连接DN, 哈得片非动 7八 则LDMN即为二面角F-EC-D的平面角， 故化的前项和感<号 因为EDL FD,ED⊥CD,FD与CD相交于D,且FD,CDC平面FCD, 所以ED⊥平面FCD,又因为EDe平面BCDE,所以平面BCDE⊥平面FCD, (其他裂项方法给分问上，裂项2分求和2分，注意从第几项开始放缩) 所以LFCD即为CF平面BCDE所成角，所以LFCD=60··,I3分 别m愿厦瑞：A。0安形为》月 a,'(neN.) 因为FD-DC=V5,所以FC=5,厌为DE=DCe5,ED1CD,DM-CE,所过M为CE的中点， CAI DAI 由上式及0，=3.归钠可将J=4>@,>…>4,30…0 2 因为EF.CE=V6.FC=5.数LECF,-2 261 齿为。心。1上一，所以小n:134 在Gw中.tCww=0,EAICN-2cW.5. 2 所以GN=25.MN-厘.在△CDN年.∠DCN-r,CN=5cD5. d东余该定足符DN=CN?+CD2,zCN.CDam贴fCN n2+3-2245兮-6，所0m-3 h生.山-心正的￥式加u,8,+0~2得 在：w中，DN=3,l=么.AMN 由余恢定学MCDA/N=2P+N-D。是，是-91 即二面角F-GC-D的余丝独为h 《状二：一雪规止我霜1 2025—2026学年第一学期高三年级期中检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A B. 1 C. D. i 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 5. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 6. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 7. 已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），y＝f（x）的部分图象如图，则f（）＝ A. B. C. D. 8. 定义一种新运算：，函数，则方程的根的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 当或10时，取最大值 C. D. 10 已知函数其中，且，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. D. 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面距离和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为__________. 13. 已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，，，，则四棱锥外接球的体积为______． 14. 已知等差数列的前项和为，满足，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设正项数列的前项和为，，且当时，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和； 16. 如图，空间几何体的底面是以为直角的等腰直角三角形，平面平面，直线平面，且． （1）求证：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且，共线． （1）若，求外接圆的半径； （2）若，且，求的值． 18. 若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. （1）证明：存在源数列； （2）（i）若恒成立，求的取值范围； （ii）记的源数列为，证明：的前项和. 19. 如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2. （1）设. ①证明： ②已知，否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由. （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 五、附加题：本题共1小题，共10分. 20. 在正项数列中，，，证明：. 2025—2026学年第一学期高三年级期中检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【19题答案】 【答案】（1）①证明见解析；②存在， （2）. 五、附加题：本题共1小题，共10分. 【20题答案】 【答案】证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $