专题七：二次函数（1）-2025-2026学年数学寒假中考备战专题练习

专题七:二次函数(1) 一、单选题 1．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键 由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 【详解】解：抛物线中， A．因为，所以抛物线开口向下，故A不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线，故B不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是，故C符合题意； D．时，y随x增大而减小，故D不符合题意； 故选：C． 2．已知抛物线向右平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数左加右减，上加下减的平移规律进行求解即可．． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是，即， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 3．已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且当时，的最大值为10，则的值为（    ） A．1 B．或 C．2.5 D．1或 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下，然后由时，y的最大值为10，可得时，函数值为10，解方程即可求出a． 【详解】解：∵二次函数(其中x是自变量)， ∴对称轴是直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴ ∵时，的最大值为， ∴时，， ∴， ∴或(不合题意舍去) 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 4．游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（    ）秒．    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据函数图象即可解答． 【详解】由函数图象发现当摆锤第一次到达左侧最高点到第一次到达右侧最高点一共用了4秒，从右侧最高点回到左侧最高点也是4秒， ∴摆锤从A点出发再次回到A点需要秒， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确从图象中获取信息是解题的关键． 5．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的新定义问题，解题关键是理解题意，根据“滋生函数”的定义找出等量关系．根据“滋生函数”的定义可得，从而可得关于，的二元一次方程组，求出，的值，进而求解． 【详解】解：的“滋生函数”是， ，即， 解得， 是关于的方程的根， ，即， ． 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，点是轴上一动点，点是线段上一动点，若，则的值不可以是（    ）    A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】首先根据题意设点，并确定的取值范围，然后结合勾股定理建立关于和的关系式，从而利用函数的思想确定的范围，即可确定结论． 【详解】解：由题意，设点，其中， 由两点间的距离公式： ，，， ∵， ∴，即：， 整理得：， ∴由二次函数性质可得：当时，， ∴的值不可以是， 故选：A． 【点睛】本题考查坐标与图形，以及函数思想解决几何问题，掌握勾股定理，并灵活运用二次函数的思想求解几何问题是解题关键． 7．我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，结合函数图象逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：①，和都满足，故①正确； ②从函数图象可得图象具有对称性，对称轴为直线，故②正确； ③根据函数图象可得，当或时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确； ④当或时，函数的最小值是0，故④正确； ⑤由图象可得，当时，不是函数的最大值，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 8．已知抛物线的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（    ） A．或1 B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】，由对称轴在y轴左侧可得，即，由题意知，平移后的抛物线解析式为，将代入得，计算求出满足要求的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 由题意知，平移后的抛物线解析式为， 将代入得，整理得，， 解得或（舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．关于二次函数，下列各选项中，说法错误的是（    ） A．这个函数图象的对称轴是 B．方程只有一个解 C．当时，y的值随x值的增大而减少 D．这个函数的最小值是 【答案】B 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质以及二次函数的最值．将已知函数解析式转化为顶点式，然后结合二次函数的性质作答． 【详解】解：． A、根据知，这个函数图象的对称轴是直线，原说法正确，不符合题意； B、由知：方程有两个解，原说法不正确，符合题意； C、根据知，当时，的值随值的增大而减少，原说法正确，不符合题意； D、根据知，这个函数的最小值是，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 10．如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（        ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分，， 三种情况，分别求出函数解析即可判断． 【详解】解：过点D作于H， ， ∵，， ∴， ∴ 当时， 如图，重叠部分为，此时，， ， ∴， ∴，即， ∴ ∴； 当时， 如图，重叠部分为四边形，此时，，    ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当 时 如图，重叠部分为四边形，此时，，    ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 综上，， ∴符合题意的函数图象是选项A． 故选：A． 【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，抛物线开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线开口向下可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质． 12．已知、是二次函数图象上的两个点，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】将A，B代入二次函数关系式得出，即可比较大小． 【详解】解：将A，B代入二次函数得： ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，直接求出函数值比较大小，属于基础题． 13．已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴有两个不相同的交点，即对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先求出点B和点C的坐标，进而求出的长，再由等腰直角三角形的定义得到的长，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，或， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：． 15．把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后该抛物线相应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，再展开整理即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， ∴平移后抛物线的表达式． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 16．抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中． 下列结论： ①； ②关于x的一元二次方程一定有一个根在到0之间； ③当时，y随x的增大而增大； ④分式的值小于2． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 将点坐标代入抛物线解析式可得，根据即可判断①；根据根与系数的关系判断②；抛物线对称轴，可以确定对称轴位置，所以时随的增大先增大后减小，判断③；将时，，即，变形即可判断④． 【详解】解：将点坐标代入抛物线解析式得：， ， ∴，故结论①正确； 令，则， 两根之和，，两根之积，， ∴、均小于0， 当时，，，抛物线开口向下， ∴抛物线有1个根在到0之间， 即，有1个根在到0之间，②正确； ∵，把其中替换成， 即， ∴， ∵， ∴， 当时，y随x的增大先增大后减小；结论③错误； 当时，． ， ， ，， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 17．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】先把原抛物线的解析式写成顶点式，得到顶点坐标，根据对称的关系得到新抛物线的顶点坐标，从而得到新抛物线的解析式． 【详解】解：， ∴顶点坐标是， 点关于直线对称的点是， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点式． 18．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： x .. 0 1 2 3 3.5 4 … y … 0 m （1）求m的值为 ； （2）如图，在平面直角坐标中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象 ； （3）方程实数根的个数为 ； （4）观察图象，写出该函数的一条性质 ； （5）在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线 ，根据图象写出方程的一个正数根约为 （精确到0.1）． 【答案】 见解析 3 时，y随x的增大而增大 见解析 3.9 【分析】（1）由表格可得：，代入，即可求出y的值； （2）由表格中的x、y的值，描点、连线，进而画出图象； （3）根据函数和直线的交点的个数即可得出结论； （4）根据函数图象即可得出结论； （5）由与图象交点得出结论． 【详解】解：（1）当时， ∴， 故答案为：； （2）如下图所示， （3）由（2）的图像可得当时，x的值有三个， ∴方程的实数根为3个， 故答案为：3个； （4）当时，y随x的增大而增大， 故答案为：时，y随x的增大而增大； （5）图像如下图所示， 由图像可得一个正数根约为：3.9， 故答案为：3.9. 【点睛】本题考查了图象的画法，利用函数图象确定方程解的个数的方法，解答本题的关键是补全函数图象． 三、解答题 19．已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】设出顶点式，代入求解即可． 【详解】解：由题意设函数的解析式是 把代入函数解析式得， 解得：， 则抛物线的解析式是. 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法,关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数． 20．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键． （1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式； （2）写出关于x轴对称的顶点坐标，即可求二次函数的解析式． 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数经过点， 所以该抛物线的对称轴为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为    将代入得：； 即   将代入得： （2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得 ， 即． 21．如图，拱形桥的截面由矩形和抛物线组成，矩形长12m，宽4m，以当前水面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．其中拱桥的最高点D到水面OB的距离为10m．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若一艘货轮宽为8m，要确保货轮安全通过拱桥，求其装完货物后的最大高度； (3)若要在拱桥抛物线的左右两侧同样的高度安装两个摄像头，要求摄像头到水面的距离不低于6m、不超过8m，请直接写出两个摄像头水平距离的最大值． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】（1）根据点D的坐标为可设抛物线的解析式为，将点A的坐标为代入即可求解； （2）求出宽为的货轮与抛物线的交点横坐标，根据抛物线的解析式即可求其装完货物后的最大高度； （3）令时，求解对应的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵矩形的长为12m，宽为4m，点D到OB的距离为10m． ∴点A的坐标为，点D的坐标为． 设抛物线的解析式为． 把代入，得． 解得． ∴． ∴该抛物线的解析式为． （2）解：， 当时，， ∴要确保货轮安全通过拱桥，其装完货物后的最大高度是． （3）解：由图像可知，函数值越小，水平距离越大． 当时， 解得： ∴两个摄像头水平距离的最大值为：（m） 【点睛】本题考查了二次函数与拱桥问题．将实际问题与二次函数问题建立正确的联系是解题的关键． 22．已知抛物线与x轴交于点和点B（点B在点A的右边），与y轴交于点，顶点为D．点E与点C关于抛物线的对称轴对称，点F是抛物线上点D和点E之间的一个动点，且与点D和点E均不重合，其横坐标为t，过点E作直线轴，过点D作直线轴，直线与直线l相交于点M，连接并延长交直线于点G，连接并延长交直线l于点H． (1)求抛物线的解析式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，两点之间的距离公式，求一次函数自变量或函数值等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）由(1)得，抛物线对称轴为，，求出，根据题意得出 用待定系数法分别求出直线的解析式，直线的解析式，再求出点H，和点G的坐标，用两点之间的距离公式分别求出，，和的值，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：将点和的坐标代入 得 解得：， ∴ （2）如图，由(1)得，抛物线，则对称轴为直线，顶点， ∵点E与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴． ， 设，且． 令直线的解析式为， 则， 解得， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则 解得， 当时， ∴， ， 23．在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，点、均在直线上． (1)求直线的表达式； (2)若抛物线与直线有交点，求的取值范围； (3)当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2)且 (3)或 【分析】（1）将、代入直线得，解方程组即可得到答案； （2）联立与，则有，抛物线与直线有交点，则，求解即可得到答案； （3）分在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将、代入直线得， ， 解得， ∴； （2）解：联立与， 则有， ∵抛物线与直线有交点， ∴， ∴且； （3）解：根据题意可得，， ∴抛物线开口向下，对称轴为：直线， ∵时，有最大值， ∴当时，有， ∴或， ①在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴时，y有最大值， ∴； ②在对称轴右侧，随增大而减小， ∴时，有最大值； 综上所述：或． 【点睛】本题考查二次函数的图形及性质，一次函数的图形及性质，熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键． 24．习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为30m的篱笆围成．已知墙长为18m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． (1)请直接写出y与x，S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)能否围成一个的矩形劳动实践基地，若能，请求出此时垂直于墙的一边的长；若不能，请说明理由． (3)若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14m，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)； (2)能围成一个的矩形劳动实践基地，垂直于墙的一边长为 (3)垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为 【分析】本题考查二次函数解实际应用题，涉及求一次函数与二次函数表达式、二次函数最值等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，表示出长方形的长与宽，根据矩形面积公式即可得到二次函数表达式，由墙的最大可用长度为即可确定自变量的取值范围； （2）令，解方程即可解题； （3）由（1）中得到函数关系式，利用二次函数图像与性质，在自变量范围内讨论求出其最值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∴， （2）解：能围成一个的矩形劳动实践基地，理由： ， 解得，， ∵， ∴， 答：垂直于墙的一边长为； （3）解：∵， 解得， ∴， ， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小， ∴当时，， 答：垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为． 25．在平面直角坐标系中，抛物线经过原点． (1)求抛物线的解析式． (2)设是直线与抛物线交点的横坐标，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) 【分析】（1）由题意得到，且，解得，即可求得抛物线的解析式为； （2）根据题意得，变形为，利用代数式的恒等变形可得即可求出原式的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过原点， ∴把代入中， 得，解得（舍去），， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为． ∵是直线与抛物线交点的横坐标， ∴是方程的根， ∴，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的特征，一次函数图象上点的坐标特征，代数式恒等变形等，第（2）问难度较大，熟练运用代数式的恒等变形是解题关键． 26．实践应用题 某商店销售一款商品，进价为每件40元．当售价为60元时，日均销量为80件．市场调研发现，售价每降低1元，日均销量增加10件． (1)求日均销量y（件）与售价x（元）的函数关系式； (2)售价定为多少元时，日均利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价定为54元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1960元 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）根据售价每降低1元，日均销量增加10件，由售价降价元，多卖，据此可以列出函数关系式； （2）由利润=（售价−成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：设日均利润为w元， 根据题意，得 ； ∵， ∴函数开口向下，有最大值， ∴当时，w取得最大值，最大值为1960， 答：当售价定为54元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1960元． 试卷第22页，共24页 试卷第23页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题七:二次函数(1) 一、单选题 1．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 2．已知抛物线向右平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且当时，的最大值为10，则的值为（    ） A．1 B．或 C．2.5 D．1或 4．游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（    ）秒．    A．2 B．4 C．6 D．8 5．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，点是轴上一动点，点是线段上一动点，若，则的值不可以是（    ）    A． B． C．1 D．5 7．我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知抛物线的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（    ） A．或1 B． C．1 D．5 9．关于二次函数，下列各选项中，说法错误的是（    ） A．这个函数图象的对称轴是 B．方程只有一个解 C．当时，y的值随x值的增大而减少 D．这个函数的最小值是 10．如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（        ）    A．   B．   C．   D．   二、填空题 11．在平面直角坐标系中，抛物线开口向下，那么的取值范围是 ． 12．已知、是二次函数图象上的两个点，则与的大小关系为 ． 13．已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是 ． 15．把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后该抛物线相应的函数表达式为 ． 16．抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中． 下列结论： ①； ②关于x的一元二次方程一定有一个根在到0之间； ③当时，y随x的增大而增大； ④分式的值小于2． 其中正确的结论是 （填写序号）． 17．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为 ． 18．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： x .. 0 1 2 3 3.5 4 … y … 0 m （1）求m的值为 ； （2）如图，在平面直角坐标中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象 ； （3）方程实数根的个数为 ； （4）观察图象，写出该函数的一条性质 ； （5）在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线 ，根据图象写出方程的一个正数根约为 （精确到0.1）． 三、解答题 19．已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 20．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 21．如图，拱形桥的截面由矩形和抛物线组成，矩形长12m，宽4m，以当前水面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．其中拱桥的最高点D到水面OB的距离为10m．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若一艘货轮宽为8m，要确保货轮安全通过拱桥，求其装完货物后的最大高度； (3)若要在拱桥抛物线的左右两侧同样的高度安装两个摄像头，要求摄像头到水面的距离不低于6m、不超过8m，请直接写出两个摄像头水平距离的最大值． 22．已知抛物线与x轴交于点和点B（点B在点A的右边），与y轴交于点，顶点为D．点E与点C关于抛物线的对称轴对称，点F是抛物线上点D和点E之间的一个动点，且与点D和点E均不重合，其横坐标为t，过点E作直线轴，过点D作直线轴，直线与直线l相交于点M，连接并延长交直线于点G，连接并延长交直线l于点H． (1)求抛物线的解析式； (2)求的值． 23．在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，点、均在直线上． (1)求直线的表达式； (2)若抛物线与直线有交点，求的取值范围； (3)当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值． 24．习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为30m的篱笆围成．已知墙长为18m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． (1)请直接写出y与x，S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)能否围成一个的矩形劳动实践基地，若能，请求出此时垂直于墙的一边的长；若不能，请说明理由． (3)若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14m，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 25．在平面直角坐标系中，抛物线经过原点． (1)求抛物线的解析式． (2)设是直线与抛物线交点的横坐标，求的值． 26．实践应用题 某商店销售一款商品，进价为每件40元．当售价为60元时，日均销量为80件．市场调研发现，售价每降低1元，日均销量增加10件． (1)求日均销量y（件）与售价x（元）的函数关系式； (2)售价定为多少元时，日均利润最大？最大利润是多少？ 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $