精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年高一上学期周考十一数学试题(11.30)

重庆南开中学高2028届高一数学 （11.30） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，且对于都满足，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 6. 定义在R上的函数满足,且时,,则= (　　) A. 1 B. C. D. 7. 已知实数，，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足：，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 关于函数，有下列结论，其中正确的是（ ） A. 其图象关于轴对称 B. 的最小值是 C. 当时，是增函数 D. 的增区间是， 11. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是______． 13. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数：____________. （1） ，若则（2） 14. 已知．若对任意恒成立，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简与求值： （1）； （2）； （3）． 16. 已知函数，. （1）当时，解不等式：； （2）若函数的图象和函数的图象交于不同两点，，若，求实数的值. 17. 已知函数． （1）求函数的值域； （2）当时，求的最大值． 18. 2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口，目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线，雅礼中学数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①（其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型． （1）请求出该小组同学①式的人口增长模型； （2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为y=600t+13600（其中t表示经过的时间，y表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人． ①求满足的正整数k的最小值． ②按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由． 参考数据：，，，． 19. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中为自然对数的底数． （1）求函数和的解析式； （2）令，关于的方程有且仅有三个解，，． ①当时，求的值； ②当时，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2028届高一数学 （11.30） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指、对函数性质运算求解； 【详解】根据对数函数的性质，当时，故， 根据指数函数的性质，当时，，故， 所以， 故选：B 2. 设，，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则计算可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当时，，当时，无意义， 当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：B. 3. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算法则与指对互化化简运算即可得答案. 【详解】因为， 所以， 故，则与最接近的是. 故选：D. 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、两种情况对函数的解析式进行化简，然后可得答案. 【详解】当时，， 当，， 所以函数的图像大致是选项D， 故选：D 5. 已知函数，且对于都满足，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得函数在上单调递增，结合二次函数单调性，对数函数单调性，分段函数的单调性的性质列不等式求结论. 【详解】当时，，. 在上单调递增，所以 因为函数在上单调递增，在定义域上单调递增， 根据复合函数单调性法则可知， 在上单调递增等价于，所以， 又根据分段函数递增法则可得，所以． ， 故选：A. 6. 定义在R上的函数满足,且时,,则= (　　) A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用奇偶性，求出函数在时的解析式，再利用周期性和对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意知， 则时，， ∴， ∵，∴，即， ∵， ∴， 故选：C. 7. 已知实数，，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将恒成立转化为恒成立，由于底数不确定分其和两种情况分类讨论，再利用恒成立求出的取值范围. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 可得当时，恒成立； 当时，在单调递减，在单调递减， 上单调递增， 当时，恒成立，则，即； 当时，在单调递增，在单调递减， 上单调递增， 当时，恒成立，则，即； 综上所述，或； 故选：A 8. 已知实数满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将变为，化为，令，则方程的解即为函数与交点的横坐标，关于的方程的解即为函数与交点的横坐标，根据与互为反函数，得 函数与的交点为函数与交点和与交点的中点，作出函数图像，结合图像，求出函数与的交点得坐标，即可得解. 【详解】解：由，则， 由，则，即， 则，， ， 令， 则方程的解即为函数与交点的横坐标， 方程，即关于的方程的解即为函数与交点的横坐标， 因为与互为反函数，则它们关于对称， 则函数与的交点为函数与交点和与交点的中点， 作出函数图像，如图所示： 联立，解得，即， 所以，即. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式性质结合可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据不等式性质结合对数函数的性质可判断C，根据幂函数的性质可判断D. 【详解】A中，时，则，错误； B中，因为，，所以成立，正确； C中，因为，，所以，， 所以，即，正确； D中，由，可得，又，所以，正确. 故选：BCD. 10. 关于函数，有下列结论，其中正确的是（ ） A. 其图象关于轴对称 B. 的最小值是 C. 当时，是增函数 D. 的增区间是， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义直接判断A选项，根据复合函数单调性的判断方法判断函数单调性，进而可得最值. 【详解】由已知，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，A选项正确； 当时，， 设，， 则，当且仅当，即时等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 又函数，上单调递增， 综上所述在上单调递减，在上单调递增； 结合偶函数可知函数在上单调递减，在上单调递增； 故C选项错误，D选项正确； 当和时，取最小值为，B选项正确； 故选：ABD. 11. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先证明：对任意，，有，利用此结论，当时，可判定AB；再运用对数运算性质判断CD. 【详解】先证明结论：对任意，，有； 证明如下：因为，所以为减函数， 所以，即， 设，即，则为减函数， 所以，即， 从而，也就是， 当时，可得，A正确，B错误； 应用上面的结论可得： ，故D正确，C错误. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：证明命题：对任意，，有，是后续解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 13. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数：____________. （1） ，若则（2） 【答案】，答案不唯一 【解析】 【分析】由条件（1） ，若则.可知函数为R上增函数； 由条件（2）.可知函数可能为指数型函数. 【详解】令， 则为R上增函数，满足条件（1）. 又， 故 即成立. 故答案为：，（，等均满足题意） 14. 已知．若对任意恒成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件，求函数的解析式，判断函数的奇偶性及单调性，结合函数性质化简不等式可得，分离变量，求函数的最小值，可得结论. 【详解】因为， 令，则，， 所以，， 令， ， 函数的定义域关于原点对称， 又，故函数为奇函数， 又函数，都为R上增函数， 所以函数为增函数， 不等式可化为 ， 即， 所以， 所以， 所以， 所以，又， 由已知对任意恒成立， 因为，故， 因为， 由，当且仅当，即时等号成立， 所以，故. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于求出函数的解析式，判断函数的解析式，结合函数性质化简不等式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简与求值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用对数的性质和运算法则计算求解； （2）运用对数和指数的性质及运算法则计算求解； （3）运用指数和对数的性质及运算法则计算求解． 【小问1详解】 ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， ． 【小问3详解】 ， ． 16. 已知函数，. （1）当时，解不等式：； （2）若函数的图象和函数的图象交于不同两点，，若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）令换元后，解分式不等式，再由对数函数的单调性即可求解； （2）由题意转化为方程，令转化为一元二次方程，由根与系数的关系求解. 【详解】（1），令， 则， 所以. （2），令， 即， 则有，， 所以解得， 令，则有单调递增，且， 所以. 【点睛】关键点点睛：解决含对数函数的较复杂解析式的函数问题，利用换元法可化繁为简，突出问题本质，本题换元法处理后，变成简单的分式不等式及一元二次方程根的问题，解题可变得简单，注意换元后新元的取值范围. 17. 已知函数． （1）求函数的值域； （2）当时，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算化简函数，令，则，利用二次函数求解函数值域即可； （2）根据对数函数的性质得，将函数转化为函数，再根据二次函数的单调性讨论对称轴的位置，得单调性从而得函数的最大值. 【小问1详解】 函数的定义域满足： ，解得，即函数定义域为， 又， 令，则， 则函数转化为， 二次函数开口向上，故当，函数取得最小值为， 所以函数的值域为； 【小问2详解】 因为函数在上为增函数， 所以，即， 则，， 二次函数的对称轴为， ①当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，取最大值； ②当，即时，函数在上单调递增， 所以当时，取最大值； ③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值； 综上，. 18. 2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口，目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线，雅礼中学数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①（其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型． （1）请求出该小组同学①式的人口增长模型； （2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为y=600t+13600（其中t表示经过的时间，y表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人． ①求满足的正整数k的最小值． ②按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由． 参考数据：，，，． 【答案】（1） （2）①24 ； ②不能；理由如下： 由①当时，，所以当时，最大， ，即， 所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克． 【解析】 【分析】（1）由题意得，两边取自然对数化简计算可求得，从而可求得①式的人口增长模型， （2）①由，可得，化简计算得，从而可求出正整数k的最小值， ②由①当时，，所以当时，最大，计算，从而得，进而可得结论 【小问1详解】 由题意可得，则，， 所以，所以， 所以． 【小问2详解】 ①由，得，所以， 化简得，即，解得，因为k为正整数，所以正整数k的最小值为24， ②略 19. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中为自然对数的底数． （1）求函数和的解析式； （2）令，关于的方程有且仅有三个解，，． ①当时，求的值； ②当时，求实数的值． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合抽象函数的关系式，通过换元法构造新关系式，进而求出的解析式； （2）先求出解析式，分析在定义域内的单调性及值域，令，对已知方程进行化简，结合韦达定理分析已知方程3个解的情况，分别求出及实数． 【小问1详解】 为上的偶函数，为上的奇函数， ， ①，把替换为得②， 式①加上②得，解得； 式②减去①得，解得． 【小问2详解】 ， ，定义域为， 当时，，函数在上单调递减， 当，且时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 令，方程可化为， 因为方程有且仅有三个解， 所以方程必有两个根， 设该方程的两个根为，则需满足： 一个根，对应两个解：（）和（）， 另一个根满足，对应一个解（），且， ， （）时，； （）时，（）． 二次方程的根满足， ①当时，均对应，： ， ， ， ，， ，． ②当时，对应，，对应， ， ， 展开得， ， ， ， ，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，， ，符合题意． 实数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $