专题07 一次函数章末84道压轴题型专训（12大题型）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题07 一次函数章末84道压轴题型专训（12大题型） 题型一 动点问题的函数图象 题型二 一次函数的图象与性质综合问题 题型三 含绝对值的函数问题 题型四 一次函数的平移综合 题型五 一次函数规律探究问题 题型六 一次函数中的翻折问题 题型七 一次函数中的旋转问题 题型八 一次函数应用之分配方案问题 题型九 一次函数应用之最大利润问题 题型十 一次函数应用之行程问题 题型十一 一次函数应用之几何问题 题型十二 一次函数应用之梯度计价问题 【经典例题一 动点问题的函数图象】 1．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，正方形的边在轴上，边长为2，顶点A的坐标为，同一平面上距离保持不变的两条平行直线所构成的图形在平面内平行移动，已知直线的函数解析式为，在平行线图形移动的过程中，设正方形夹在两平行线间的部分的面积为S（如图中阴影部分），求与之间的函数关系式．    【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，一次函数的平移，正方形的性质，解题的关键是分情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：正方形边长为2，顶点， ∴， ∴点，，， 两平行线间的距离为， ∴y轴夹在两平行线间的距离为， ∴直线的解析式为， ∴当时，直线过点C， 当时，线段在直线上， 当时，直线经过点A，经过点C， 当时，在直线上， 当时，经过点A， ∴当时，； 当时，如图所示：    把代入得：， 解得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴， ∴； 当时，如图所示：    把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ； 当时，如图所示：    把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ； 当时，如图所示：    把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴； 当时，． 综上，S与之间的函数关系式为 ． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图1，在矩形（，，）中，，是上一点，且，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，的面积为，与的大致图像如图2所示． (1)求，，的值． (2)当点在上运动时，求为何值时，的值是5． 【答案】(1)，， (2)的值为9，的值是5 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理算出，结合函数图象和路程、时间、速度之间的关系即可算出，利用三角形面积算出，推出，再结合函数图象算出，的值即可； （2）根据点在上运动，结合三角形面积，利用的值是5建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：，，． ． 由函数图像可知．当经过时，点运动到点处． ， ． 当时．的面积为． ． ， ． ， ． （2）解：当点在上运动时，， 的面积． 当时，，解得．即的值为9． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、从函数图象获取信息、三角形面积、一元一次方程的运用，解题的关键在于从函数图象获取需要信息． 3．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，已知，点D是边上一点，且，点P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足为E，连接，设． 通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整： (1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下： 0 1 2 3 4 5 6                               （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）； (2)自变量x的取值范围是_______； (3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： (4)结合函数图象解决问题：当时，的长约为________（结果精确到）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键． （1）当时，点运动到点处，此时点与点重合，即可求出长； （2）由，可得的取值； （3）描点，连线即可； （4）做出的图形，利求出交点纵坐标即的长． 【详解】（1）解：当时，点运动到点处，此时点与点重合， ， ； （2）∵， 即当点在点处时，， 当点在点处时，， ∴自变量的取值范围是， 故答案为：； （3）如图所示， （4）当时，，如图， 作的图象，与之前函数交于点，经测量点纵坐标约为， ∴长约为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，点从A出发沿线段向点运动，到达点时停止．作，交折线于点，设，． (1)请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； (2)在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)若，结合函数图象，直接写出时的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过） 【答案】(1)， (2)该函数在自变量的取值范围内有最小值．当时函数取得最小值0 (3)或 【分析】题目主要考查矩形的性质及一次函数的应用，图形的运动，画函数图象，根据交点确定不等式解集等， （1）根据题意及矩形的性质，分两种情况分析：当时，即点Q在线段上，当时，即点Q在上时，分别利用等腰三角形的性质列出函数解析式即可； （2）根据（1）中结果，画出函数图象即可； （3）画出相应函数图象，然后结合图象求解即可； 理解题意，确定相应的函数解析式是解题关键． 【详解】（1）解：在矩形中，， 当时，即点Q在线段上， ∵，， ∴， ∴，即； 当时，即点Q在上时，如图所示：过点Q作， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上可得：与的函数表达式为 （2）函数图象如图所示： 该函数在自变量的取值范围内有最小值．当时函数取得最小值0； （3）函数图象如图所示： 由函数图象得：时的取值范围为或． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1是一个大矩形右下角剪去一个矩形后形成的图形，已知动点以每秒1个单位的速度沿图1的边框按的路径运动，相应的面积与时间之间的关系如图乙中的图象所示，若，试回答下列问题    (1)图2中的________， ________； (2)求点在运动过程中的最大值是________； (3)点出发后几秒，的面积是18 ? 【答案】(1)12，20 (2)21 (3)8秒或14秒 【分析】（1）动点在上运动的时间是4秒，根据动点的速度，可得，即可求得的值；分析动点的运动状态，求得，，，，即可求得的值； （2）当动点在上运动时，的值最大，根据三角形的面积公式计算即可； （3）根据三角形的面积公式进行分情况计算即可． 【详解】（1）解：当动点在上运动时，对应的时间为0到4秒， ∴， 则， 即； 当动点在上运动时，对应的时间为4到6秒， ∴， 当动点在上运动时，对应的时间为6到9秒， ∴， 根据题意可知，， 即，， 根据题意，动点共运动了， 故； 故答案为12，20． （2）解：当动点在上运动时， 故点在运动过程中的最大值为21； 故答案为：21． （3）令点到的距离为，则， 当的面积是18时，即， 解得， ∵，故当动点在上运动时，存在的面积是18， 此时，， ∴， ∴； 当动点在上运动时，存在的面积是18， 此时，，∴， ∴； 综上，点出发后8秒或14秒的时候，的面积是18． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图1，为等边三角形，，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到A点停止，作交直线于E，设，点D的运动时间为x． (1)直接写出y与x之间的函数表达式，并写出对应x的取值范围： (2)在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)写出时x的值． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，y取最小值3(答案不唯一) (3)或. 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及一次函数及图象，解题关键是分类讨论思想的应用． （1）根据题意，，，可得，，分两种情况：当时，可得；当时，，可得． （2）描点在顺次连接可得函数图象，由图象可得函数一条性质． （3）观察图象可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ， 当，如图 当时，如图    （2）当时，， 当时，， 当时，， 画出函数图象如下：    由图象可知，当时，y取最小值3(答案不唯一) （3）观察图象可得，时，或. 7．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形中，点沿着四边按方向运动，开始以每秒个单位匀速运动，秒后变为每秒2个单位匀速运动，秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，的面积与运动时间的函数关系如图所示． (1)求长方形的长和宽； (2)求、、的值； (3)当点运动到点时，有一动点从点也同时出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当点到达终点，点也停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，直接写出与之间的函数关系式． 【答案】(1)长为8，宽为4 (2)，， (3) 【分析】（1）由图象可知，的长度，当时，，求出的长； （2）当时，，则点此时在的中点处，从而得出和的值，当时，，从而求得的值； （3）分，两种情况讨论，分别计算即可． 【详解】（1）解：从图象可知，当时，面积不变， 即时，点从点运动到点，且这时速度为每秒2个单位， ， ， 当时（点运动到点， ， ， ， 长方形的长为8，宽为4． （2）当时，， 即， 解得，， ， ， ， ， ， 当时，， ，， ； （3）当时，； 当时，； 所以． 【点睛】本题是动点问题的函数图像，考查了学生观察图象的能力，关键是要分出几种情况下的面积计算方法． 【经典例题二 一次函数的图象与性质综合问题】 8．（25-26八年级上·江苏南京·期中）先画图，再回答问题 (1)在如图所示的平面直角坐标系内，作出一次函数的图象； (2)直线与直线平行，且经过点，求，的值． 【答案】(1)图见详解 (2)， 【分析】本题主要考查了函数的图象，待定系数法，熟练掌握一次函数图象的特征，是解题的关键． （1）分别求出直线与轴、轴的交点，用两点法即可作出图象． （2）根据两条直线平行可得，把代入即可求解． 【详解】（1）解：将代入中， 即， 将代入中， 解得：， ∴一次函数与坐标轴的交点为，， 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： （2）解：∵直线与直线平行， ∴， 将点，代入到中，可得， 解得：． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）学习《一次函数》，我们积累了一定的研究经验．在活动课上李萍和张敏根据探究一次函数图象特点的方法，对函数的特点进行探究．列表： … 0 1 2 3 4 … … 8 6 4 2 0 2 4 6 8 … 解决下列问题： (1)请你帮她们绘制出函数的图象； (2)观察函数的图象，写出图象的两个特点； (3)当时，______． 【答案】(1)画图见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是画函数图象，函数的性质； （1）根据表格信息，先描点，再画图即可； （2）根据函数图象可得其性质与特点； （3）由可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：先描点，画图如下： （2）解：①函数的图象关于轴对称； ②当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：当时，， 解得． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征      图象经过①_______ 由表达式可知，当时，； 图象经过第②_______象限 因为，且，所以当时，，当时，y___③，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而④_______． …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图象与性质． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_______；②_______；③_______；④_______ (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你完成填空并证明． 图象 图象的几何特征 证明过程      图象关于_______对称 【答案】(1)原点（或）；一、三；；增大 (2)y轴；证明见解析 【分析】本题主要考查正比例函数的图像和性质，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图像即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用数形结合思想，得出函数的性质即可． 【详解】（1）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征    图象经过原点 由表达式可知，当时，； 图象经过第一、三象限 因为，且，所以当时，，当时，，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而增大． …… 故答案为：原点（或）；一、三；；增大； （2）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 证明过程    图象关于y轴对称 设点，是该函数图像上的两点，其中， 所以，， 因为，所以， 则， 所以，即． 11．（25-26八年级上·江苏常州·期中）我们学习一次函数时，通过“列表—描点—连线”的方法绘制出一次函数图像．进而根据一次函数图像研究其性质．这一探究过程，从数据整理到图形呈现，使我们能够直观把握函数的变化趋势与核心特征，进而深入分析其性质． 探究小组运用此方法对未知函数进行探究． 函数的图象和性质，并解决问题． (1)根据表达式，写出表格中m，n的值：______，______； x … 0 1 2 3 … y … m 3 2 1 n 3 4 … (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)观察函数图象并写出一条函数的性质． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是求解函数值，画一次函数图象，一次函数的性质. （1）把，代入函数解析式进行计算即可. （2）根据表格信息画图即可. （3）根据函数图象可得其性质. 【详解】（1）解：当时，， 当时，. （2）解：函数的图象如图所示， （3）解：由图象可得：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小. 12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 … y … ______ 0 ______ 0 1 … ②在图②中描点、连线：    (1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； (2)根据图②中的函数图象回答下列问题： ①当______时，y有最小值为______； ②请写出该函数的一条性质：______． (3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 【答案】(1)①见解析；②图见解析 (2)①0；；②时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查画一次函数的图象，一次函数图象与性质，正确画图是解答本题的关键． （1）根据题目要求解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 填表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 … 描点，连线得， （2）解：①当时，y有最小值为； 故答案为：0；； ②请写出该函数的一条性质：时，y随x的增大而减小； 故答案为：时，y随x的增大而减小； （3）解：由图象可知，当时，的图象与直线没有交点， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请你解决相关问题： (1)y与x的几组对应值如表： … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 2 1 … ①___________； ②若，为该函数图象上不同的两点，则___________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象： ①该函数有___________（填“最大值”或“最小值”）；这个值是___________； ②观察函数的图象，写出该函数的一条性质． 【答案】(1)0； (2)图像见解析；①最大值，3；②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x增大而减小（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数图象的画法以及一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的画法以及根据一次函数图象表示出一次函数的性质是解决本题的关键． （1）①依据题意，将代入函数解析式即可求得a； ②依据题意，当时，根据函数解析式可求得b. （2）根据题意画出函数图象， ①依据题意，根据图象特征即可求得； ②依据题意，根据图象求得即可； 【详解】（1）解：①由题意，当时，求得， 故答案为：0； ②由题意，当时，得， 或． ． 故答案为：． （2）函数图象如图所示： ①由题意，结合图象，该函数有最大值为3． 故答案为：最大值，3； ②由题意，结合图象知可知函数有如下性质： 函数图象为轴对称图形，对称轴为y轴； 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x增大而减小（答案不唯一）． 14．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在等腰中，，，动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位速度向点运动，同时，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位速度向点运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒，． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线的图象与的函数图象有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 (3) 【分析】本题主要考查了列函数关系式，画一次函数图象，一次函数的性质，一次函数与直线的交点坐标，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先求出运动时间为5秒；再分当时，点P在上运动，点Q在上运动，当时，点P和点Q都在上运动，两种情况分别列出对应的函数关系式即可； （2）根据（1）所求，描点，连线画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数性质即可； （3）结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：秒， ∴运动时间为5秒； 当时，点P在上运动，点Q在上运动， ∴， ∴， ∴； 当时，点P和点Q都在上运动， ∴， ∴； 综上所述，； （2）解：如图所示，即为所求； 由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； （3）解：由函数图象可得，当时，直线的图象与的函数图象有两个交点． 【经典例题三 含绝对值的函数问题】 15．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值的和叫做点P（x，y）的勾股值，记为． (1)已知点A（1，3），B（，4），C（，），直接写出，，的值； (2)已知点D是直线上一点，且，求点D的坐标； (3)若抛物线与直线只有一个交点M，已知点M在第一象限，且．令，试求t的取值范围． 【答案】(1)4；6；4 (2)或 (3) 【分析】（1）根据勾股值的运算法则[P]=|x|+|y|进行计算即可； （2）设 D ( m ， n )，因为D是直线y＝x+2上一点，且[D]＝4，则有，解方程组即可； （3） 由题意得方程组只有一组实数解，可得，推出，由，可得或，求出 b 的取值范围，再利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵A（1，3），B（−2，4），C（+2，−2）， ∴[A]=|1|+|3|=4，[B]=|-2|+|4|=6，[C]=|+2|+|−2|=+2+2-=4； （2）设 D ( m ， n )， ∵D是直线y＝x+2上一点，且[D]＝4， ∴， 解得或， ∴点D的坐标（1，3）或（-3，-1）； （3）由题意方程组只有一组实数解， 消去y得， 由题意， ∴， ∴方程可以化为， ∴， ∴， ∵， ∴或， 解得或， ∵点M在第一象限， ∴， ∵=， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合题、一次函数、二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函的性质解决问题． 16．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式利用函数图象研究其性质运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时我们也学习了绝对值的意义，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，；时，． （1）求这个函数的表达式； （2）用列表描点的方法画出该函数的图象；请你先把下面的表格补充完整，然后在下图所给的坐标系中画出该函数的图象； 0 2 4 6 　　 0 　　 （3）观察这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （4）已知函数的图象如图所示，与的图象两交点的坐标分别是，，，，结合你画的函数图象，直接写出的解集． 【答案】（1）（2）见解析（3）函数关于直线对称（4） 【分析】（1）根据在函数中，当时，；时，，可以求得该函数的表达式； （2）根据表格数据以及（1）中的数据求出当和时y的值，然后描点连线即可； （3）根据图像得出图像性质即可； （4）根据函数图像写出的图像在的图像下方时所对应的自变量取值范围即可． 【详解】解：（1）在函数中， 当时，；时，， ， 解得：， 这个函数的解析式为：； （2）函数解析式为：， 当时，， 当时，， 故补全表格如下： 0 2 4 6 1 0 -1　 描点、连线，画出函数图像如图： （3）观察函数图像，得出函数的性质： ①函数关于直线对称； ②函数有最小值-3； ③函数在时，y随x增大而减小， 在时，y随x增大而增大； 任意写一条即可； （4）图象两交点的坐标分别是，，，， 由图像可知，的解集为： ． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 17．（24-25八年级上·江苏南通·期中）【阅读材料】如图1，通过观察，可以发现“绝对值函数”y=|x|的图象是轴对称图形，有最低点，而且增减性也很特殊……． 【实践探究】 （1）在图1中画出“绝对值函数”y=|x−3|的图象．写出该图象的两条性质，并根据图象判断：“绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向_______平移_______个单位得到． 【问题解决】 （2）如图2，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点C（3，3），D（−1，3），当“绝对值函数”y=|x−k|（k为常数）的图象有部分被矩形ABCD覆盖时，被覆盖的部分记作“图象W”，点P（m，n）是“图象W”上的一个动点．①当n的最大值为3时，求k的取值范围；②已知n的最小值为k+3，求满足条件的k的值． 【答案】（1）图见解析，性质：①关于直线x=3对称；最低点（3，0）；②当x<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大（合理即可）；右，3； （2）①或；② 【分析】（1）利用描点法画出图象即可；根据图象即可得出结论； （2）①根据（1），分别画出“绝对值函数”y=|x−k|经过点C和点D的图象，根据题意结合图象求解即可；②分k>3时，当−1≤k≤3时，当k<−1时，求解即可． 【详解】解：（1）当x=0时，y=3，当x=2时，y=1， 当x=3时，y=0，当x=4时，y=1，当x=5时，y=2， 则“绝对值函数”y=|x−3|的图象图象如图所示： 由图可知，“绝对值函数”y=|x−3|的图象①关于直线x=3对称；最低点（3，0）；②当x<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大． “绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向右平移3个单位得到， 故答案为：右，3； （2）①由（1）知，“绝对值函数”y=|x−k|的图象可以由y=|x|的图象向右或向左平移｜k｜个单位得到，由题意，分别画出“绝对值函数”y=|x−k|经过点C和点D的图象，如图所示： 由题意，当n的最大值为3时，点P在CD上， 由图可知，当n的最大值为3时，k的取值范围为−4<k<0或2<k<6． ②由题意，当k>3时，|3−k|=k+3，无解； 当−1≤k≤3时，k+3=0，k=−3舍去 当k<−1时，|−1−k|=k+3，k=−2． 综上，当n的最小值为k+3，满足条件的k=−2． 【点睛】本题考查一次函数与几何变换的综合、画函数的图象、绝对值，借助数形结合思想解决问题是解答的关键． 18．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … 根据表格中的信息可得_______． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】 （3）写出函数的一条性质________________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： （4）关于x的不等式的解集为________________． （5）若关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的m的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）当时，y随x增大而减小，当，随x增大而增大；（4）；（5） 【分析】本题考查一次函数的交点、绝对值方程与一次函数的关系，一次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答； （1）直接代入求值即可； （2）通过描点，连线，画图即可； （3）由函数图象，写出对应的增减性即可； （4）求出两个函数的交点坐标，结合函数图象即可得到答案； （5）根据（4）所画函数图象即可得到答案． 【详解】解：（1）把代入得，， ， 故答案为：； （2）如图所示即为所求；    （3）由函数图象可得，在中，当时，y随x增大而减小，当，随x增大而增大； （4）在中，当时，，当时，， 联立，解得； 联立，解得； ∴由函数图象可得，不等式的解集为：； （5）由函数图象可知，当时，函数与函数有两个交点，且两个交点分别在y轴的左右两侧， 即此时关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解， m的取值范围为：． 19．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学函数的图象．同时，我们也学习了绝对值的意义； 结合上面的学习过程，解决下列问题： 在函数中，当时，；当时，． (1)求该函数的表达式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系． （1）根据在函数中，当时，；当时，，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象； （3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在函数中，当时，；当时，， ∴， 解得， ∴这个函数的表达式是； （2）解：∵， ∴， 当，函数有最小值， 函数过点和点； 函数过点和点； 画出该函数的图象如下： （3）解：由函数图象可得， 不等式的解集是． 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）综合与实践 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量内函数图象所有的增减性、函数图象的最值等．教科书第108页第11题让我们画出函数的图象，这是一个绝对值函数，小明所在班级开展了数学探究，请跟随小明一起完成下列探究任务． (1)函数自变量的取值范围是________； (2)①函数中、部分对应值如下表，其中________； … 0 1 2 3 4 … … 3 1 0 1 2 3 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图象，任意写出函数图象的两条性质： ①________________________________________； ②________________________________________； (4)已知直线，若关于的方程无解，直接写出的取值范围为________． 【答案】(1)全体实数； (2)①2；②见解析 (3)见解析 (4)或 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，求一次函数自变量的值，一次函数的性质，一次函数与一元一次方程之间的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得自变量的取值范围是全体实数； （2）①求出当时的函数值即可得到答案；②先描点，再连线，画出对应的函数图象即可； （3）根据所画函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （4）求出一次函数经过定点，再根据题意可得函数和函数没有交点，据此结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，函数自变量的取值范围是全体实数； （2）解：①在中，当时，，即； ②如图所示，即为所求； （3）解：①由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ②当时，函数有最小值0； （4）解：在中，当时，， ∴一次函数经过定点， ∵关于的方程无解， ∴函数和函数没有交点， ∴由函数图象可得当或时，函数和函数没有交点， ∴当或时，关于的方程无解． 21．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）【问题提出】如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： （1）当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为___________． 预备知识2：函数，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简时，可令和，分别求得（称1，3分别是和的零点值），这样可以就，，三种情况进行讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 就可以化简为． 预备知识3：函数(为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． （2）【知识迁移】如图④，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数和的图象．并通过观察图象，求出不等式的解集 【答案】[问题提出] （1）；[知识迁移] （2）；[问题解决]（3）作图见解析；或． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：（1）根据函数图象可得答案； [知识迁移]：（2）先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（3）把函数化为，再画图即可；在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【详解】解：[问题提出]，（1）如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，（2）如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （3）根据题意得： ， 画图如下： 再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 【经典例题四 一次函数的平移综合】 22．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的是一次函数的图象，与x轴，y轴分别交于A，B两点 (1)若，，用待定系数法求直线l的解析式； (2)若将直线l向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，发现图象回到l的位置，求k的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换及一次函数图象与系数的关系，掌握平移规律是解题的关键． （1）把，代入解析式解答即可． （2）根据平移规律列出关于k的方程，求出k的值即可． 【详解】（1）解：把，代入解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：将直线l先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到的直线解析式为． 所以， 解得． 23．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）结合函数图象即可得； （3）先求出平移后的直线的解析式，再求出点的坐标，然后求出，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即． 在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象如下： ． （2）解：由函数图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为12． 24．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象： ①列表填空： x … 0 1 2 3 … y … … ②描点、连线，画出的图象． (2)结合所画图象，写出两条不同类型的性质； (3)写出函数与图象的平移关系． 【答案】(1)①3，2，1，0，1，2，3；②见解析 (2)见解析 (3)把向左平移2个单位长度得到的图象． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，描点法画函数图象，一次函数图象的平移等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）①将表格中的值分别代入求出值，即可填写表格；②描点，连线即可作出函数图象； （2）根据图象可从函数的增减性，对称性，最值问题进行分析即可； （3）出函数，的图象，由图象即可判断平移方式． 【详解】（1）解：①列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 1 2 3 … ②的图象如图所示： （2）解：①增减性：时，y随x的增大面减小；时，y随x的增大而增大 ②对称性：图像关于y轴对称（答案不唯一）； （3）解：作出函数，的图象，由图象可得把向左平移2个单位长度得到的图象（写法不唯一）． 25．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图是个台阶的示意图（各拐角均为，每个台阶宽、高分别为和，为第一个台阶面，为第二个台阶面，以此类推，为第八个台阶面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并判断点是否在直线上； (2)点在直线 上（填直线的解析式）； (3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线表示，若使光线刚好照到所有台阶（包含点），求的取值范围． 【答案】(1)，在直线上； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一元一次函数的实际应用，用待定系数法求函数解析式，规律探索，解题关键是关键题意得出点的坐标． （）设直线的解析式为，将，代入解析式即可求解，再将代入判断； （）由每个台阶宽、高分别为和得，，将直线直线向上平移即可求解； （）将和代入即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵每个台阶宽、高分别为和， ∴，， 将和代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上； （2）解：由每个台阶宽、高分别为和得，， 根据图象可知， 将直线向上平移个单位，得到， 同理：在直线上， 故答案为：； （3）解：由题意可得，得， 把代入可得， 解得， ∴． 26．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，B的坐标为，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到． (1)若直线经过点C，求平移的距离； (2)继续向右平移，当点A平移到了原点O，画出此时平移后的，连接，，直接写出和平行且相等的线段． 【答案】(1) (2)图见解析，， 【分析】本题考查平移作图，勾股定理，一次函数图象和性质，掌握平移的性质是解题的关键． （1）先求出直线的解析式，再根据平移求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标，即可求解； （2）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：过点B作，垂足为M， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， 当直线经过点C，∵， ∴， ∴， 设， 把，代入，得， 解得， ∴， ∵平移， ∴设， 把代入得：， ∴， 令，解得， ∴点， ∴， ∴平移的距离为的长． （2）解：如图所示，和平行且相等的线段为，． 27．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A， (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)①若点，在该一次函数的图象上，且，则______（用“>”或“<”填空）； ②当时，y的取值范围是______ (3)将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若，求m的值． 【答案】(1)见解答图 (2)①>；② (3)m的值为 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键． （1）根据直线与坐标轴的交点即可求得A、B的坐标，根据两点确定一条直线，作出一次函数的图象即可； （2）①根据图象即可判断；②根据图象即可求得； （3）求得平移后的函数解析式，进一步求得E点的坐标，利用即可求得m的值． 【详解】（1）解：已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， 当时，， ， 当时，解得， ， 函数图象如图． （2）解：①由图象可知，一次函数随x的增大而减小， 点，在该一次函数的图象上，且， ， 故答案为：>； ②由图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，得到， 令，则求得， ， ， ， ， 的值为 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 【经典例题五 一次函数规律探究问题】 29．（24-25八年级上·江苏南京·期中）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 ．．． 座位数（y） 50 53 56 59 ．．． (1)上表反映的两个变量中，___________是自变量，___________是因变量； (2)按照上表所示的规律，当排数每增加1排时，座位数增加___________个． (3)试估计当排数6时，座位数为___________个． (4)写出座位数与排数之间的关系式； (5)按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 【答案】(1)排数，座位数 (2)3 (3)65 (4) (5)不可能，见解析 【分析】本题考查了变量、数字规律、列函数关系式、一元一次发出的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据自变量、因变量的定义求解即可； （2）根据表格即可解答； （3）第5排比第4排多3个，第6排比第5排多3个，据此即可解答． （4）从第一排开始，每一排比它前面一排多3个座位，则第x排比第1排多3个座位，据此列出y与x的关系式即可； （5）利用y与x的关系式，计算对应的x的值，若x为正整数，则可能；若x不为正整数，则不可能． 【详解】（1）解：上表反映的两个变量中，排数是自变量，座位数是因变量． 故答案为：排数，座位数． （2）解：按照上表所示的规律，当排数每增加1排时，座位数增加3个． 故答案为：3． （3）解：当排数为6时，此时座位数为个． 故答案为65． （4）解：由题意可得：，即． 所以座位数与排数之间的关系式为． （5）解：不可能．理由如下： 当时，，解得， 因为不是正整数， 所以某一排不可能有90个座位． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是4列整齐叠放成一摞的羽毛球的示意图，羽毛球的规格都是相同的．小智尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的羽毛球的总高度(单位：)随着羽毛球的数量(单位：个)的变化规律．如表是小智经过测量得到的y与x之间的对应数据： /个 (1)依据小智测量的数据，猜测并求出y与x之间的函数表达式； (2)球桶的长度为，两端球桶塞的总厚度约为，若整齐叠放这种规格的羽毛球，求这个球桶最多能装多少个羽毛球？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数、一元一次不等式的应用，根据变量的变化规律写出与之间的函数表达式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据变量的变化规律计算即可； （2）根据题意，列关于的一元一次不等式并求其解集即可． 【详解】（1）解：根据表格，增加，增加， 则， 与之间的函数表达式为． （2）根据题意，得，即， 解得， 这个球桶最多能装个羽毛球． 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 请回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是________； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是________； (3)根据上表反映的规律写出该种型号汽车与之间的关系式：________； (4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．） 【答案】(1)刹车时车速 (2)15 (3) (4)推测刹车时车速是，汽车是超速行驶 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据刹车时车速每增加，刹车距离增加，可得答案； （4）结合（3）的结论得出可得车速为，进而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速． 故答案为：刹车时车速； （2）解：当刹车时车速为时，刹车距离是； 故答案为：15； （3）解：由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加， 与v之间的关系式为：， 故答案为：； （4）解：当时，， ， ， ∴事故发生时，汽车是超速行驶， 答：推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶． 32．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．德国心理学家艾宾浩斯最早研究了记忆遗忘规律，他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是艾宾浩斯遗忘曲线． 观察图象，回答下列问题： (1)自变量是______，因变量是______； (2)由图象知，遗忘速度先______后______，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐______； (3)请说明图中点B的实际意义； (4)有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持98%．由此，你对数学学习有什么感悟？ 【答案】(1)时间，记忆保持量； (2)快，慢，降低； (3)图中B点表示的意义是：记忆1小时后记忆保持量约为44.2%； (4)见解析． 【分析】本题主要考查了函数的基本概念、函数图象的意义以及应用等知识，理解题意，通过艾宾浩斯遗忘曲线获得所需信息是解题关键． （1）根据自变量和因变量的定义分析判断即可； （2）观察图象即可获得答案； （3）对照艾宾浩斯遗忘曲线的横纵轴代表的意义可得出结论； （4）可以结合我们实际学习生活回答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，其中自变量是时间，因变量是记忆保持量． 故答案为：时间，记忆保持量； （2）解：由图象可知，遗忘速度先快后慢，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐降低， 故答案为：快，慢，降低； （3）解：结合图象可知，图中B点表示的意义是：记忆1小时后记忆保持量约为44.2%； （4）解：如不复习，会很快忘掉很多，只能保持大约30%的记忆保持量；老师要求学生“堂清”、“日清”，提示我们学习后要及时复习．（答案不唯一）． 33．（24-25八年级上·江苏常州·期末）2025年3月22日是第三十三届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数是解析式是解本题的关键． （1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可； （2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：根据图象得，y是关于t 的正比例函数， 设函数解析式为． 把代入， 得． 解得． ∴y 关于t 的函数解析式为．． （3）解：当， 答：这种漏水状态下12小时的漏水量为 34．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）某地区近几年的人口出生率统计如下表所示，小亮利用表格的数据，对人口出生率的变化规律进行了探究．下面是小亮的探究过程： 年份 年 年 年 年 2025年 出生率（） ■ 【探究1——建系描点】 如图，在平面直角坐标系中，描出表格中各组对应值为坐标的点．为研究方便，将年的人口出生率表示为点，其他年份依次表示为点．观察所描的点，发现这些点大致在同一直线上，根据点、的坐标，可得直线的表达式为． （1）求直线的表达式； 【探究2——模型选择】 如果运用函数与统计知识预测该地区下一年的人口出生率，可以尝试选择直线、等函数模型来进行分析．在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜，预测越准确．我们可通过计算实际人口出生率偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析：如果偏离方差越小，那么选用的模型越适宜．例如：分析直线，当时，；当时，；当时，；当时，，求得偏离方差：． （2）根据以上方式，求关于直线的偏离方差； 【探究3——模型应用】 （3）请预估该地区年的人口出生率． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据材料中的偏离方差公式进行计算即可求解； （3）比较直线的偏离方差，根据偏离方差越小，那么选用的模型越适宜，选用直线，将代入，即可求解． 【详解】解：（1）设直线的表达式为，代入 解得： ∴直线的表达式为； （2）分析直线，当时，；当时，；当时，；当时，，求得偏离方差： （3）∵，所以直线 的模型适宜 ∴使用直线的表达式为进行预测， 当时， 即地区年的人口出生率为 35．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）【数学活动】 在“数学建模周”活动中，小青用激光传感器探究平面反射规律时，发现反射路径可以用二元一次方程描述．现有两面成特殊角度的平面镜，其数学关系用二元一次方程表示如下： 镜面的方程为 镜面的方程为 【补全表格】 （1）补全下列表格，使上下每对x，y的值都是镜面的方程的解： x … －1 0 1 m … y … n 3 2 0 … 则表格中的m＝ ，n＝ ； 【实践操作】 （2）如果将表中的每组解表示为点的形式，例如：方程的一组解的对应点是，请在所给的平面直角坐标系中依次描出（1）中四组解所对应的点； 【观察猜想】 （3）观察这些点，猜想镜面的方程的所有解的对应点组成的图形是 ，并根据猜想画出这个图形．我们把这个图形叫做二元一次方程的图象； 【类比操作】 （4）类比镜面方程的图象画法，请在同一个平面直角坐标系中，直接画出镜面的方程的图象（无需列表格）； 【解决问题】 （5）请根据图象，直接写出方程组的解． 【答案】（1）3，4；（2）图见解析；（3）一条直线；图见解析；（4）图见解析；（5）． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组、二元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将表格中的已知代入解析式求出未知数、值即可； （2）在平面直角坐标系中画出四点位置即可； （3）在平面直角坐标系中二元一次方程的图象即可； （4）在平面直角坐标系中二元一次方程的图象即可； （5）数形结合，直接写出方程组的解即可． 【详解】解：（1）在中，当时，；当时，， 故答案为：； （2）在平面直角坐标系中画出四点位置如图： ； （3）观察这些点，猜想镜面的方程的所有解的对应点组成的图形是：一条直线， 故答案为：一条直线， 二元一次方程的图象如图所示； ； （4）画出二元一次方程的图象如图所示 ； （5）由图象可知，方程组的解为． 【经典例题六 一次函数中的翻折问题】 36．（24-25八年级上江苏常州··期末）如图，已知在平面直角坐标系中，，，，将沿直线OB折叠，点A落在点D处，OD交BC边于点E， (1)求证：四边形OABC为矩形； (2)求直线OD的解析式． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据点的坐标，即可得到OA=BC=4，OC=OB=2，即可证得四边形OABC是平行四边形，由∠AOC=90°，即可证得四边形OABC为矩形； （2）根据矩形的性质结合折叠的性质可得出∠EOB=∠EBO，进而可得出OE=BE，设点E的坐标为（m，2），则OE=BE=4-m，CE=m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式． 【详解】（1）证明：∵A（4，0），B（4，2），C（0，2），O（0，0）， ∴OA=BC=4，OC=OB=2， ∴四边形OABC是平行四边形， ∵∠AOC=90°， ∴四边形OABC为矩形； （2）解：∵四边形OABC为矩形， ∴∠EBO=∠AOB． 又∵∠EOB=∠AOB， ∴∠EOB=∠EBO， ∴OE=BE． 设点E的坐标为（m，2），则OE=BE=4-m，CE=m， 在Rt△OCE中，OC=2，CE=m，OE=4m， ∴（4-m）2=22+m2， ∴m=， ∴点E的坐标为（，2）． 设OD所在直线的解析式为y=kx， 将点E（，2）代入y=kx中， 2=，解得：k=， ∴OD所在直线的解析式为y=． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键． 37．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)将x轴下方的图像沿x轴翻折，点A落在点处，连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，坐标与图形； （1）将点的坐标代入，反比例数解析式，得出，进而将点的坐标代入，求得； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据轴对称的性质得出的坐标，进而根据割补法求三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得． ∴， 将代入，即 ∴； （2）根据函数图象可知： 或 （3）∵一次函数的关系式为， 当时，， ∴， ∴图象沿轴翻折后，得， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 则，，，， ∴的面积为8． 38．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点处． (1)求A、B两点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1), (2) (3)存在点P使得点P、M、为顶点的三角形是直角三角形，且或 【分析】(1)令，得到确定点B的坐标；令，得到，确定点A的坐标即可． (2)根据,，得到，，,，设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． (3)分，，三种情形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵ ， 令， ∴， ∴点； 令， ∴， 解得， ∴点． （2）∵,， ∴，,， 设， 根据折叠的性质，得，，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）当点P在的右边时，在中，， 故是锐角； 当点P在的左边时，在中，，且， 故是钝角； 故时，显然不成立， 当时，在中，， 此时P与原点重合， 故； 当时，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， 故， 故存在点P使得点P、M、为顶点的三角形是直角三角形，且或． 39．（2025·江苏苏州·三模）在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用图象解决问题”的学习过程，画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的函数知识探究函数的图象与性质并利用图象解决如下问题： 列出与的几组对应的值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 3 0 … （1）根据表格中、对应关系求出该函数的解析式； （2）用你喜欢的方式画出该函数图象：根据函数图象，写出该函数的一条性质：______． （3）根据图象，直接写出方程的根．（精确到0.1，误差不超过0.2）______． 【答案】（1）；（2）见解析；性质：当，有最小值；（3） 【分析】（1）根据表格将两点代入函数，即可解决问题； （2）根据表格数据描点连线即可； （3）画出的图像，观察与函数的交点即可得出答案． 【详解】解：（1）将两点代入函数， 得：，， 则，（负值舍去）， ∴； （2）函数图像如图： 性质：当，有最小值， ； （3）如上图，与直线与直线有三个交点， 当时，，当时，， ∴； 当时，，当时，， ∴； 当时，，当时，， ∴； ∴的根为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的结合，解题的关键是画出函数的图像，运用数形结合的思想解题． 40．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点E从B点，出发以每秒1个单位的速度线段向O点移动（与B、O点不重合），过E作，交x轴于F．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形DCEF，设点E的运动时间为t秒． (1)直线与坐标轴交点坐标是A_______，B_______； (2)若CD交y轴于H点，求证：四边形DHEF为平行四边形；并求为何值时，四边形DHEF为菱形（计算结果不需化简）； (3)设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最大值． 【答案】(1)； (2)见解析，当时，四边形为菱形； (3)，当时，最大值为． 【分析】此题主要考查了一次函数的综合应用，二次函数的最值求法和菱形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用图象与坐标轴交点求法即可求解； （2）根据平行四边形的判定求证即可，根据菱形的判定方法求出要使四边形为菱形，只需，利用，进而求出即可； （3）分两种情况讨论：①当时，四边形落在第一象限内的图形是，②当时，四边形落在第一象限内的图形是四边形，分别求出即可． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于点A、B， 当时，，当时， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形与四边形关于直线对称， 又∵， ， ，， ， ，即轴， ， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，只需， ，， ， 又， ， ， ， ∴当时，四边形为菱形； （3）解：分两种情况讨论： ①当时，四边形落在第一象限内的图形是， ， ，在时，随增大而增大， 时，， ②当时，四边形落在第一象限内的图形是四边形， ∴， ， ∴S有最大值． ∴当时， 综上所述，， 当时，最大值为． 41．（24-25八年级上·江苏南通·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如，如图1就是函数的“V形”图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______； (2)在（1）的条件下，若直线与一次函数的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V形”图象经过，两点，且，求k的取值范围． 【答案】(1)图见解析， (2)2 (3)或 【分析】（1）根据题意作出相应函数图象，然后由一次函数解析式确定点A的坐标即可； （2）先确定出函数解析式，然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可； （3）根据题意得出经过定点，该图象与x轴交点，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求函数图象： y=x+1， 当y=0时，x=-1， ∴点A的坐标为 （2）由图可得：线段AE所在直线的解析式为y=-x-1， ∴， 解得 ∴ 线段AD所在直线的解析式为y=x+1， ∴， 解得 ∴ 由（1）得： ∴△ABC的面积； （3）∵直线（，且为常数） 当时， ∴经过定点 当时， ∴该图象与x轴交点 ①当时 ∵， 由图象可知， 解之得 ∴ ②当时，由图象可知，始终有 综上所述，或． 【点睛】题目主要考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． 42．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整、并解决问题． (1)函数的自变量x的取值范围是_______，y的取值范围是_______； (2)由，设计如下画图方案： 将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当时，y的取值范围是_______； ②当时，x的取值范围是_______． ③若对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)全体实数； (2)见解析 (3)①；②或；③ 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据函数，即可解答： （2）根据题意作图即可； （3）①根据函数图象，即可解答；②根据函数图象，即可解答；③画出一次函数，的图象，根据题意列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴函数的自变量x的取值范围是全体实数，y的取值范围是； 故答案为：全体实数；； （2）解：画出函数图象，如图， （3）解：①观察图象得：当时，y的取值范围是； 故答案为：； ②观察图象得：当时，x的取值范围是或； 故答案为：或； ③如图， 根据题意得：直线一定过点， ∵对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值， 当直线与平行时，，即当时，满足条件； ∴当时，，此时； 综上所述，k的取值范围为． 【经典例题七 一次函数中的旋转问题】 43．（2025八年级上·江苏·专题练习）直线与轴，轴分别交于，两点，将直线绕点按逆时针方向旋转度得到直线， (1)求直线的解析式； (2)若将直线绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质分别得到的坐标，运用待定系数法进行求解即可； （2）根据旋转的性质分别得到的坐标，运用待定系数法进行求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴，轴分别交于，两点， 当时，；当时，； ，． 直线绕点按逆时针方向旋转90度得到直线， 直线与轴，轴的交点坐标，， 设直线的解析式是，则 ， 解得, 故直线的解析式是； （2）将直线绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线， 直线与轴，轴的交点坐标，， 设直线的解析式是，则 ， 解得． 故直线的解析式是． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化－旋转变换，待定系数法求一次函数解析式，根据旋转的性质得出旋转后的点的坐标是解本题的关键． 44．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 【答案】 【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B， ∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=， ∴A（，0），B（0，﹣3）， ∴OA=，OB=3， 过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E． 则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°， ∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°， ∴∠OAB=∠AFE． 又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°， ∴∠AFB＝45°， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴ AB＝AF ∴△AOB≌△FEA（AAS） ∴AE＝OB，EF＝OA， ∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝， ∴F（，－）． 设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中， ∴－＝k－3， ∴k＝， ∴直线BC的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键． 45．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如果一次函数（，、是常数）与（，、是常数）满足，且，则称为的“旋转函数”． 例如：，，，且， 为的“旋转函数”； 又如：，，，但， 不为的“旋转函数”． (1)判断是否为的“旋转函数”？并说明理由； (2)若一次函数为的“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，关于原点的对称点分别是点，，求直线的“旋转函数”． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)-8 (3) 【分析】（1）根据新定义分别计算 再根据计算结果作判断即可； （2）根据新定义可得再解简单方程，代入计算即可； （3）先求解直线与坐标轴的交点A，B的坐标，再求解两点关于原点对称的，的坐标，再利用待定系数法求解直线的函数表达式为：，最后根据新定义可得答案． 【详解】（1）解： 为的“旋转函数”．理由如下： ，且， 为的“旋转函数”． （2）由题意知 ∴ ． （3）， 当时，；当时，， ，， ∵点，关于原点的对称点分别是点，， ，． 设直线为 ∴ 解得 直线的函数表达式为：．                 直线的“旋转函数”为． 【点睛】本题考查的是新定义运算，关于原点对称的两个点的坐标关系，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的定义，理解题意，弄懂新定义运算的法则是解本题的关键． 46．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)1，0； (3) (4) 【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算． （1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可． （2）直接由（1）即可求解； （3）根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下： （2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为； 故答案为：1，0； （3）解： （4）解：∵该函数图象绕原点旋转， ∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， 设旋转后的图象的解析式为， ∴，解得：， ∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为． 47．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）【问题背景】 平移、旋转和翻折是初中阶段三大基本几何变换．平移、旋转或翻折后的图形与原图形全等，所以我们又把这些几何变换称之保形变换．我市某校数学思维社团成员在学习了平面直角坐标系及一次函数以后，尝试在平面直角坐标系中研究几何变换． 【初步研究】 （1）本着简单到复杂的原则，他们先研究了点的变换：已知平面内一点． ①将点向左平移个单位，平移后点的坐标为_ ； ②点关于直线的对称点的坐标为_ ； ③将点绕点旋转，旋转后点的坐标为 ； 【深度探究】 （2）数学思维社团成员认为线的变换只要抓住一些关键点的变换就可以了．已知如图，直线分别与轴、轴交于点两点，直线交直线于点． ①直线向右平移个单位，平移后的直线表达式为 ； ②将直线沿直线翻折，翻折后的直线表达式为 ； ③将直线绕点旋转，旋转后的直线表达式为 ； ④将直线绕点逆时针旋转，添加一个你认为合适的角度_ ；并直接写出旋转后的直线表达式_ ． 【答案】（1）①；②；③或；（2）①；②；③；④（答案不唯一） 【分析】（1）①根据点的平移规律，直接求解即可；②根据点关于直线y=x的变化规律，直接求解即可；③分两种情况：当点绕点顺时针旋转时，当点绕点逆时针旋转时，分别求解即可； （2）①根据一次函数图像的平移规律，直接求解即可；②先求出A点关于直线OC的对称点A′（0，-2），B点关于直线OC的对称点B′（1，0），再根据待定系数法求解即可；③分别求出点B绕点A顺时针旋转90°后，B′（-1，-2），点B绕点A逆时针旋转90°后，B′′（-3，2），再根据待定系数法求解即可；④先求出将直线绕点逆时针旋转，点A的对应点A′（3，0），再根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）①点P向左平移5个单位，则纵坐标不变，横坐标减5，即3-5=-2， ∴平移后点P的坐标为：； ②点P关于直线y=x的对称点坐标为：； ③当点绕点顺时针旋转时，过点P作PN⊥x轴，过P′作P′M⊥x轴，连接OP，OP′，如图： 则∠POP′=∠PON+∠MOP′=90°， 又∵∠PON+∠OPN=90°， ∴∠OPN=∠MOP′， 又∵∠ONP=∠P′MO=90°，OP=OP′， ∴∆ONP≅∆ P′MO， ∴ON=P′M=3，PN=OM=4， ∴P′（4，-3）． 同理：当点绕点逆时针旋转时，P′（-4，3）． 故答案是：①；②；③或； （2）①直线向右平移个单位，平移后的直线表达式为：， 即：， ②对于直线，当y=0时，x=-2；当x=0时，y=1， ∴A（-2，0），B（0，1）， ∵A点关于直线OC的对称点A′（0，-2），B点关于直线OC的对称点B′（1，0）， ∴根据待定系数法，可得，将直线沿直线翻折，翻折后的直线表达式为：； ③由第（1）③可知：点B绕点A顺时针旋转90°后，B′（-1，-2）， 根据待定系数法，得，将直线绕点顺时针旋转，旋转后的直线表达式为：， 同理：点B绕点A逆时针旋转90°后，B′′（-3，2）， 根据待定系数法，得，将直线绕点逆时针旋转，旋转后的直线表达式为：， 综上所述：将直线绕点旋转，旋转后的直线表达式为：； ④将直线绕点逆时针旋转，则点A的对应点A′（3，0）， 根据待定系数法，得，将直线绕点C逆时针旋转，旋转后的直线表达式为：． 故答案是：①；②；③；④． 【点睛】本题主要考查点的平移，旋转以及轴对称，一次函数图像的平移，旋转以及轴对称规律，熟练掌握三种图形变换的性质以及一次函数的待定系数法，是解题的关键． 48．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）【提出问题】 探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 【探究过程】 小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 小芳尝试把变形为，并用代入时，也就是说当时，无论k取何值时，． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组讨论得出：无论k取何值，一次函数的图象一定会经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”． 已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是________． (2)已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查的是一次函数的几何应用； （1）把化为，再进一步求解即可； （2）求解，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵ ∴， 由，得， 当时，， ； （2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B， 当，则， ∴， 的面积为3， ， 解得或． 49．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(−4，4)，点B的坐标为(2，0)． (1)求线段AB的长； (2)点M是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标； (3)如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC−OD的值是否发生变化?若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)． 【答案】（1）；（2）；（3）不变， 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）分∠BAM=90°或∠ABM=90°两种情况构造直角三角形，然后运用勾股定理求解即可； （3）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为G、H，可证明△AGC≌△AHD，可得到GC=HD，从而可把OC-OD转化为HD-OD，再利用线段的和差可求得OC-OD=OG+OH=8． 【详解】（1）作AE⊥x轴于点E ∵点A(−4，4)，点B(0，2)，． ∴AE=4，  BE=6．     ∴线段AB (2)∵△ABM是以AB为直角边的直角三角形， ∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°， ①当∠BAM=90°时，如图1， 过A作AB的垂线，交x轴于点，交y轴于点M2， 设M1（x，0）， AM12=(-4-x)2+(4-0)2=x2+8x+32，   BM12=(2+x)2=x2+4x+4，       AB2=52 ∵AM12+AB2 =BM12 ∴x2+8x+32+52=x2+4x+4，   得：x=-20， ∴M1（-20，0） 设M2（0，y） AM22=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32，   BM22=22+y2 =y2+4，  AB2=52 ∵AM22+AB2 =BM22 ∴y2-8y+32+52=y2+4 得：y=10， ∴M2（0，10） ②当∠ABM=90°时，如图2， 过B作AB的垂线，交y轴于点M3， 设M3（0，y） AM32=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32，    BM32=22+y2 =y2+4，   AB2=52 ∵BM32+AB2 =AM32 ∴y2+4+52=y2-8y+32 得：y=-3， ∴M3（0，-3） 综上可知点M的坐标为M1（-20，0），M2（0，10），M3（0，-3） (3)不变．OC−OD=8． 理由如下： 过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3． 则∠AGC=∠AHD=90°， 又∵∠HOC=90°， ∴∠GAH=90°， ∴∠DAG+∠DAH=90°， ∵∠CAD=90°， ∴∠DAG+∠CAG=90°， ∴∠CAG=∠DAH． ∵A(−4，4)， ∴OG=AH=AG=OH=4． 在△AGC和△AHD中 ∠AGC=∠AHD，AG=AH，∠CAG=∠DAH ∴△AGC≌△AHD(ASA)， ∴GC=HD． ∴OC−OD=(OG+GC)−(HD−OH)=OG+OH=8． 故OC−OD的值不发生变化，值为8 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出M点的位置是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 【经典例题八 一次函数应用之分配方案问题】 50．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出元之后，超出部分按原价折优惠；在乙超市累计购买商品超出元之后，超出部分按原价折优惠．设顾客预计累计购物元，在甲超市所付费用为元，在乙超市所付费用为元． (1)请分别求出，关于的函数解析式； (2)顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 【答案】(1)， (2)当顾客购物超过元时，到甲超市更优惠；当顾客购物元时，到两家超市购物所付费用相同；顾客购物超过元且不满元时，到乙超市更优惠，理由见解析 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）分、和三种情况，解不等式求出的取值范围即可求解； 本题考查了一次函数的应用，正确列出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， 即，； （2）解：当顾客购物超过元时，到甲超市更优惠；当顾客购物元时，到两家超市购物所付费用相同；顾客购物超过元且不满元时，到乙超市更优惠，理由如下： 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，当顾客购物超过元时，到甲超市更优惠；当顾客购物元时，到两家超市购物所付费用相同；顾客购物超过元且不满元时，到乙超市更优惠． 51．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）冰箱作为家庭中耗电量比较大的电器之一，节能使用可以显著减少电力消耗．某商场销售两款节能冰箱：A款为一级能效，B款为二级能效，两款冰箱的功能相同，仅能效等级不同，A款标价为B款标价的1.25倍．商场为进一步促销，决定消费者购买A款冰箱时，在标价基础上再给予800块钱的优惠；购买B款冰箱时，在标价基础上再给予200块钱的优惠．设B款冰箱标价x元，消费者购买A，B两款冰箱的最终支付金额分别为（元）和（元）． (1)分别求出，与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)仅从节省购买资金的角度考虑，消费者购买哪一款冰箱最终支付的金额较少？ 【答案】(1)， (2)当时，消费者购买A款冰箱最终支付的金额较少；当时，消费者购买两款冰箱最终支付的金额一样；当时，消费者购买B款冰箱最终支付的金额较少 【分析】本题主要考查了列函数关系式，函数实际应用： （1）根据两款冰箱支付方式，列出函数关系式即可； （2）分别求出当时，当时，当时，对应的x的取值范围，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，与x的函数关系式为 ，； （2）解：当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； ∵消费者购买A款冰箱时，在标价基础上再给予800块钱的优惠，购买B款冰箱时，在标价基础上再给予200块钱的优惠， ∴， 解得：， 综上所述，当时，消费者购买A款冰箱最终支付的金额较少；当时，消费者购买两款冰箱最终支付的金额一样；当时，消费者购买B款冰箱最终支付的金额较少． 52．（24-25八年级上·江苏常州·期中）为了提高节日仪式感，三八妇女节期间，甲乙两家花店以同样的价格出售同样的玫瑰花束，并且又各自推出不同促销方案： 甲花店的优惠方案：购花价格累计超过200元后，超出200元的部分按70%付费； 乙花店的优惠方案：购花价格累计超过100元后，超出100元的部分按80%付费； 某公司想在三八妇女节为公司的女性送上玫瑰花束，若该公司准备购买总价为元的玫瑰花束． (1)在甲花店购买的优惠价为____元，在乙花店购买的优惠价为_____元（均用含x的式子表示）； (2)请问该公司到哪家花店购花更优惠？写出解答过程． 【答案】(1)，； (2)当时，在甲花店购花更优惠；当时，在乙花店购花更优惠；当时，在甲，乙花店购花一样优惠；过程见解析 【分析】本题考查了函数的应用，一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出函数解析式和一元一次不等式成为解题的关键． （1）直接根据优惠方案列出函数解析式即可； （2）根据题意，分三种情况，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：在甲花店购买的优惠价为元； 在乙花店购买的优惠价为元． 故答案为：，； （2）解：当时，，解得：，即当时，在甲花店购花更优惠； 当时，，解得：，即当时，在乙花店购花更优惠； 当时，，解得：，即当时，在甲，乙花店购花一样优惠． 53．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲近自然”为主题的周末休闲生活方式深受人们喜爱．近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推出采摘草莓优惠活动．以下是两个草莓采摘园的活动情况． (1)若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为，元，请你直接写出两个草莓园付款金额，于采摘草莓的重量千克的函数表达式及自变量的取值范围． (2)佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验．佳佳妈妈根据欣欣草莓园和乐乐草莓园的活动方案，认为去乐乐草莓园摘草莓更划算！请问：佳佳妈妈的说法正确吗？如果不正确请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)佳佳妈妈的说法不正确，见解析 【分析】本题考查一次函数的应用-方案问题，解不等式，熟练掌握一次函数与不等式的关系是解题的关键． （1）根据付款金额=数量×单价或付款金额=数量×单价×打折率，列函数关系式，注意：计算欣欣草莓园付款金额时，分两种情况：当时，当时，分别求解； （2）根据当时，；当时， ；；；分别列不等式与方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：当时，， 当时，， ∴， ． （2）解：佳佳妈妈的说法不正确． 当时，， ∴ ∴去乐乐草莓园摘草莓更划算． 当时，当时，，解得 所以，当采摘草莓小于4千克时，去乐乐草莓园划算； 当时，，解得 所以，当采摘草莓大于4千克时，去欣欣草莓园摘草莓更划算． 当时，，解得 所以，当采摘草莓4千克时，两家一样划算． 综上，佳佳妈妈的说法不正确． 54．（2025·江苏南京·一模）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B 两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为 50g，其营养成分表如下： 考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共6包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于70g，且脂肪含量要尽可能低，请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【答案】符合要求且脂肪含量最低的配餐方案为选用种食品4包，种食品2包 【分析】本题主要考查了一元一次不等式和一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，得到一元一次不等式进而得到的取值范围，再根据一次函数图像的性质进而得到答案即可． 【详解】解：设选用种食品包，则选用种食品包， 由题意得：， 解得：， 设每份午餐的总脂肪含量为， 由题意得：， 即， ∵， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，此时， 答：符合要求且脂肪含量最低的配餐方案为选用种食品4包，种食品2包． 55．（24-25八年级上·江苏无锡·开学考试）五一期间，某移动公司就上网收费套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示： 收费方案 月使用费（元） 包时上网时间（小时） 超时费（元/小时） 无限 方案和方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系图象如下图所示： (1)填空：表中的____________，____________； (2)请在图中画出方案的图象，并写出当上网时间不少于小时方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式； (3)当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱； 当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱； 当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱． 【答案】(1)，； (2)当时，方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式； (3)当或时，该用户选择收费方式；当时，该用户选择收费方式；当时，该用户选择收费方式． 【分析】（）根据图象求出和的值； （）根据表中数据写出与的函数解析式，再分段画出函数图象即可； （）根据题意可以分别写出、、关于的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围，然后根据题意可以帮助用户选择较省钱的收费方式，通过计算可以说明理由； 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 【详解】（1）解：由图象知：，， 故答案为：，； （2）解：由表中数据可知，当时，， 当时，， 当时，， 图象如图所示： ∴当时，方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式； （3）解：由题意知： ， ， ， 令或， 解得或， 令， 解得， ∴当或时，该用户选择收费方式； 当时，该用户选择收费方式； 当时，该用户选择收费方式． 56．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到分，考试项目增加至项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠元． 若用字母表示购买排球的数量，字母表示购买排球的价格，其函数图象如图所示． (1)求每个排球的标价是多少元． (2)当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ；当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ． (3)请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义． (4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠． 【答案】(1)元 (2)； (3)点的坐标为；点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元 (4)当或时，在、两家商店所付的钱数相同；当时，选择商店更合算；当时，选择商店更合算 【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，单价、数量、总价之间的关系 （1）根据函数图象可知：商店：购买个排球的总价为元；商店：购买个排球的总价为元，根据“单价总价数量”即可得解； （2）根据两家体育用品商店分别推出的优惠方案并根据“总价单价数量”即可得出函数关系式； （3）根据（2）的结论列方程解答即可； （4）根据（3）的结论结合图象解答即可； 解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解决方案问题． 【详解】（1）解：商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 则两个商店排球的标价是一样的， ∴每个排球的标价是元； （2）当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 故答案为：；； （3）由图像可知，点是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等， 则， 解得：， 此时， ∴点的坐标为， ∴点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元； （4）观察图象可知： 当或时，在、两家商店所付的钱数相同； 当时，选择商店更合算； 当时，选择商店更合算． 【经典例题九 一次函数应用之最大利润问题】 57．（2025·江苏盐城·模拟预测）某大型超市 12 月份的柠檬销售总额为 6000 元，1 月份与 12 月份相比，销量不变， 但每斤的售价比 12 月份减少 3 元，销售总额比12月份减少了 20%． (1)求 12 月份这种柠檬每斤的售价； (2)2 月份该超市计划新进一批这种柠檬和沃柑共 300 斤．已知柠檬进货价格是每斤 8 元；沃柑进货价格是每斤7元，这两种水果的销售价格都是每斤 12 元．要求沃柑进货数量不超过柠檬数量的两倍，应如何进货才能使这批水果获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)12 月份这种柠檬每斤的售价为15元 (2)当购进柠檬100斤，沃柑200斤时，利润最大，为1400元 【分析】本题考查分式方程和一次函数的实际应用，正确的列出分式方程和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设12 月份这种柠檬每斤的售价为元，根据1 月份与 12 月份相比，销量不变， 但每斤的售价比 12 月份减少 3 元，销售总额比12月份减少了 20%，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进柠檬斤，则购进沃柑斤，总利润为，根据总利润等于两种水果的利润之和，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设12 月份这种柠檬每斤的售价为元，由题意，得： ， 解得； 经检验，是原方程的解，并符合题意； 答：12 月份这种柠檬每斤的售价为15元； （2）解：设购进柠檬斤，则购进沃柑斤，总利润为， 由题意，得：，解得， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为， 故当购进柠檬100斤，沃柑200斤时，利润最大，为1400元． 58．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）某桃厂组织20辆汽车装运完三种黄桃共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种黄桃且必须装满，根据下表的信息，解答下列问题． 黄桃品种 C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨黄桃获利（元） 1200 1600 1000 (1)设装运种黄桃的车辆数为，装运种黄桃的车辆数为，求与的函数表达式； (2)已知装运每种黄桃的车辆数都不少于6辆． （i）车辆的安排方案有几种？请说明理由； （ii）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 【答案】(1)（且为整数） (2)（i）安排方案共有2种，见解析；（ii）当装运种黄桃6车，种黄桃8车，种黄桃6车时，获利最大，最大利润为131200元 【分析】本题考查二元一次方程，一次函数的应用，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程，整理成，即可解答； （2）（i）根据题意，列出一元一次不等式组，解得，再由x为整数，得到x的值为6，7，分类求解即可； （ii）设利润为元，根据题意，列出一次函数，再由，得到w的值随的增大而减小，则要使利润最大，则，选方案一计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，装运种黄桃的车辆数为，装运种黄桃的车辆数为，则装运种黄桃的车辆数为，根据题意，得 ． 整理，得 （且为整数）． （2）（i）由（1）知，装运、、三种黄桃的车辆数分别为． 根据题意，得 解得 ． 又为整数， 的值为6，7，故安排方案共有2种： 方案一：装运种黄桃6车，种黄桃8车，种黄桃6车． 方案二：装运种黄桃7车，种黄桃6车，种黄桃7车． （ii）设利润为元． 根据题意，得． ， 的值随的增大而减小． 要使利润最大，则． 故选方案一，． 答：当装运种黄桃6车，种黄桃8车，种黄桃6车时，获利最大，最大利润为131200元． 59．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）我校团委在元旦期间组织“义卖献爱心”活动．某班计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润捐给困难学生，两种文化衫的进价与售价如下所示： 进价（元件） 售价（元件） 黑色文化衫 白色文化衫 已知用元购进黑色文化衫的数量与用元购进白色文化衫的数量相同． (1)求的值； (2)若购进这两种文化衫共件，其中黑色文化衫为件，且不超过白色文化衫的数量的倍，求通过手绘设计后全部售出能够获得的最大利润． 【答案】(1) (2)最大利润为元 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用的有关知识． （1）根据题意列出分式方程求出，最后检验即可； （2）先列出不等式求出的范围，然后设获得的利润为，根据题意列出函数关系式，利用一次函数的性质求解最值即可． 【详解】（1）解：由题意可列方程， 解得， 经检验，符合题意． （2）解：由题意可列不等式且为整数，解得且为整数 设获得的利润为，则 随的增大而增大 当时，最大，最大值为元 答：购进黑色文化衫件，白色文化衫件，全部售出能够获得最大利润元 60．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）疫情期间，某学校需购买A，B两种消毒剂，后勤王老师调查发现： 购买数量： 种类： 购买数量少于100瓶 购买数量不少于100瓶 A 原价销售 以原价的8折销售 B 原价销售 以原价的9折销售 A消毒剂每瓶原价40元，B消毒剂每瓶原价50元．该学校预计购买A，B两种消毒剂共200瓶，且B种消毒剂不少于A种消毒剂数量的，请你帮助王老师计算一下，如何购买使所需费用最少，最少费用为多少元？ 【答案】当购买A种消毒剂80瓶，B种消毒剂120瓶时，所需费用最少，最少费用为8600元． 【分析】本题主要考查了不等式的应用、一次函数的应用等知识点，掌握一次函数的性质成为解题的关键． 设购买A种消毒剂x瓶，则购买B种消毒剂瓶，费用为y元，由题意可得，再列出，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：设购买A种消毒剂x瓶，则购买B种消毒剂瓶，费用为y元， ∵B种消毒剂不少于A种消毒剂数量的， 解得：， ∴费用， ∴费用y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，此时，． 答：当购买A种消毒剂80瓶，B种消毒剂120瓶时，所需费用最少，最少费用为8600元． 61．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”．某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）： （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量y（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：销售单价x与销售数量y成一次函数关系，请你求出这个函数关系． (2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为140元/千克 【分析】本题考查一次函数与一元二次方程的实际应用，涉及的知识点有一次函数的解析式求解（待定系数法）、一元二次方程的求解以及不等式的应用．运用了函数与方程思想（用一次函数表示销售量与单价的关系，用方程表示利润关系，用不等式限制成本）、待定系数法．解题关键是准确建立函数、方程和不等式模型，易错点是在解一元二次方程后，忽略成本限制的不等式对解的取舍． （1）因为销售单价x与销售数量y成一次函数关系，所以设，选取表格中两组数据代入，通过解方程组求出k和b的值，从而得到函数关系式． （2）先根据月销售成本不超过40000元，结合成本和销售量的关系列出不等式，求出销售单价的范围；再根据利润公式（利润 = （单价 - 成本）× 销售量）列出一元二次方程，求解后结合前面求出的单价范围，确定符合条件的销售单价． 【详解】（1）解：设销售单价x与销售数量y的函数关系式为（k，b为常数，）． 当时，；当时，，代入函数关系式可得： ， 解得． 所以，y与x的函数关系式为． （2）设销售单价应定为x元/千克． 由题意得：，把代入得： 解得 再根据利润公式，，把代入得： 解得或． 又因为，所以． 所以月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，此时销售单价应定为140元/千克． 62．（2025·江苏宿迁·模拟预测）某糖葫芦店推出了两种糖葫芦，分别是葡萄糖葫芦和草莓糖葫芦，且每天制作两种糖葫芦共300串，为保证糖葫芦的口感，两种糖葫芦当天全部要售完，糖葫芦的生产成本、店员销售提成及糖葫芦的销售单价如下表所示： 品种 生产成本（元/串） 销售提成（元/串） 销售单价（元/串） 葡萄糖葫芦 2 1 8 草莓糖葫芦 4 2 12 设每天销售葡萄糖葫芦x串，每天销售这两种糖葫芦获得的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该店每天在这两种糖葫芦上投入的总成本不超过1200元，应怎样安排两种糖葫芦的制作量，可使该糖葫芦店当天所获得的利润最大？并求出最大利润．（总成本=生产成本+销售提成，利润=销售总价-总成本） 【答案】(1) (2)应每天制作葡萄糖葫芦200串，草莓糖葫芦100串，可使该糖葫芦店当天所获得的利润最大，并求出最大利润为元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格数据以及题干条件，列式得，即可作答． （2）因为投入的总成本不超过1200元，得，即，由（1）得，结合随着的增大而减小，即把代入，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，每天销售葡萄糖葫芦x串，则每天销售草莓糖葫芦串， ∴； （2）解：该店每天在这两种糖葫芦上投入的总成本不超过1200元， ∴， 即， ∵每天制作两种糖葫芦共300串， ∴， 由（1）得， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴把代入，得， 此时， ∴应每天制作葡萄糖葫芦200串，草莓糖葫芦100串，可使该糖葫芦店当天所获得的利润最大，并求出最大利润为元． 63．（25-26八年级上·江苏常州·开学考试）项目化学习：大名草编手工艺是大名县卫河以东地区的传统手工艺品，多表现花鸟虫鱼等，有实用价值和艺术价值．某学习小组以“大名草编利润”为主题开展项目化学习． 市场调查：小组成员了解到，某草编产品每个售价为20元，销售收入（元）与销售量（个）成正比例关系，投入的成本（元）（人工、物流、材料等）与销售量（个）的函数图象如图所示． 模型建立：（1）求与的函数关系式； 解决问题：（2）求利润（元）（利润销售收入成本）与销售量（个）之间的函数关系式，并在图2中画出函数所对应的图象； （3）当与相差不超过100时，则称该草编产品实现微利润，直接写出此时销售量的取值范围． 【答案】（1）；（2），画出函数所对应的图象见解析；（3） 【分析】本题考查了一次函数的应用、画函数图象、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，，再根据利润销售收入成本即可得出利润（元）与销售量（个）之间的函数关系式，再结合一次函数的性质画出函数图象即可； （3）由题意可得，求解即可． 【详解】解：（1）设， 将，代入函数可得， 解得：， ∴； （2）由题意可得，， ∴，即， 当时，，当时，，解得， 画出函数图象如图所示： ； （3）∵与相差不超过100， ∴， ∴， 解得：， ∴此时销售量的取值范围为． 【经典例题十 一次函数应用之行程问题】 64．（2025·江苏南京·一模）已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)请解释图中点的实际意义； (2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离； (3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的时间． 【答案】(1)图中点的实际意义是：当慢车行驶时，快车追上慢车 (2)慢车每小时行驶，快车每小时行驶，泰州与上海的距离为 (3)两车均在行驶过程中能通话的时间为小时 【分析】本题考查了一次函数图象的应用，追及问题的运用，不等式组的解法，根据图象信息，运用函数图象解决实际问题，看懂图象是关键． （1）根据点得出两车距离为可知，两车相遇； （2）由图象可以知道慢车行驶小时时，快车到达终点，与慢车相距，就可以根据题意列出方程组从而可以求出慢车快车的速度及全程． （3）当慢车在前时和快车在前时求出通话时间范围就可以求出通话时间． 【详解】（1）解：图中点的实际意义是：当慢车行驶时，快车追上慢车； （2）解：设慢车每小时行驶，快车每小时行驶，由题意和图意得 ， 解得：， 则全程为：． 答：慢车每小时行驶，快车每小时行驶，泰州与上海的距离为． （3）解：设快车行驶小时后，两车之间的距离不超过，由题意得， ， 解得：． 小时． 答：两车均在行驶过程中能通话的时间为小时． 65．（2025八年级上·全国·专题练习）已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)________，________； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】(1)2，5 (2) (3)甲车距A地的路程为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键． （1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加3即可得n的值； （2）由（1）得和，再运用待定系数法求解即可； （3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得，（时） （时） 故答案为：2，5； （2）由（1）得和， 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式 （3）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：（千米/时） ∴乙车行完全程用时为： （时） ∵ ∴当时，千米， 即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为千米． 66．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时），设时间为，两车之间的距离为，图中的折线是与之间的函数关系的一部分图象． 根据函数图像回答下列问题： (1)求慢车的速度； (2)求两车相遇，到快车到达乙站时，与的函数关系式；并指出取值范围； (3)试在图中补全点以后的图象． 【答案】(1)80千米/小时 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、从函数图象获取信息、求一次函数解析式等知识，数形结合是关键． （1）根据题意结合图象即可得到答案； （2）求出A点的坐标是，B点坐标为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出图象与轴还有一个交点为，据此即可补全图象． 【详解】（1）解：∵一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时）， ∴由图象知：慢车速度为80千米/小时； （2）解：两车相遇时是A点，快车行驶的时间为6小时 ∴由图象可知，A点的坐标是，快车到达乙站时是B点， ∴慢车行驶的路程为，快车出发6小时行驶的路程为， ∴B点的纵坐标是， ∴B点坐标为， 设， 得 解得， ∴ （3）解：由（2）可知，快车到达乙站时，慢车还需行驶小时到达乙站， ∴图象与轴还有一个交点为， ∴连接B和点的线段即可补全图象， 如图： 67．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）甲、乙两人从P地前往Q地，甲途中速度发生了变化，而乙始终匀速运动，甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系如下图所示． (1)图中的折线表示________（填“甲”或“乙”）的关系图象； (2)两地相距________千米；甲乙出发的时间间隔为________小时； (3)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲？ 【答案】(1)甲 (2)， (3)乙出发后经过小时追上甲． 【分析】此题考查了一次函数的应用和从函数图象获取信息等知识，数形结合和准确求出函数解析式是关键． （1）甲途中速度发生了变化，而乙始终匀速运动，据此即可得到答案； （2）根据图象即可得到答案； （3）分别求出直线的解析式和直线的解析式，根据函数值相等列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲途中速度发生了变化，而乙始终匀速运动， ∴图中的折线表示甲的关系图象； 故答案为：甲 （2）由图象可知，两地相距千米；甲乙出发的时间间隔为小时； 故答案为：， （3）解：设直线的解析式为，把代入得到， 解得 ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得到， 解得 ∴直线的解析式为， 乙出发后追上甲时，得到， 解得， ∵小时， 答：乙出发后经过小时追上甲． 68．（24-25八年级上·江苏常州·期中）某机动车出发前油箱内有升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量（升）与行驶时间（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题． (1)机动车行驶________小时后加油，中途加油________升； (2)设汽车出发后的总耗油量为（升），写出与的函数解析式；（不必写出自变量t的取值范围）并判断函数类型； (3)如果加油站距目的地还有千米，车速为千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1)， (2)；正比例函数 (3)油箱中的油够用，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）观察函数图象，图象上时，对应着两个点，油量一多一少，可知此时加油了，作差即可计算出中途加油量； （2）根据每小时耗油量总耗油量行驶时间，可求出机动车每小时的耗油量，再根据总耗油量每小时耗油量行驶时间，即可得到函数解析式，进而可判断函数类型； （3）根据可行驶时间油箱剩余油量每小时耗油量，即可求出续航时间，由路程速度时间，即可求出续航路程，将其与千米比较大小后即可得出结论． 【详解】（1）解：由图象可知，机动车行驶小时后，在途中加油站，加油（升）．   故答案为：，； （2）解：行驶小时后共用去（升）， 每小时耗油量为（升）， ，函数类型为正比例函数； （3）解：由题意知，加油后可行驶（小时）， 可行驶路程为（千米）， ， 油箱中的油够用． 69．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家． (2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式． (3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间． 【答案】(1)150；10 (2) (3)张强出发分或分或35分后与妈妈相距1000米 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键． （1）直接根据图象求解即可； （2）利用待定系数法解答即可求解； （3）求出直线、的解析式，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：张强返回时的速度是米/分； ∵米， ∴妈妈原来的速度为米/分， 分， 即妈妈比按原速返回提前10分钟到家； 故答案为：150；10 （2）解：观察图象得：点A的坐标为，点C的坐标为 设张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为； （3）解：如图， 设直线的解析式为， ∵， ∴点， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， ∵张强出发后与妈妈相距1000米， ∴或或， 解得：或或， 即张强出发分或分或35分后与妈妈相距1000米． 70．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）石家庄市打造的环城绿道全长101公里，依托滹沱河、环城水系等优质景观资源，为市民提供了景美、智游、畅达的城市绿道健身体系．甲、乙两人一起从环城绿道某地出发同向同速骑行，乙中途停车整理装备用了4分钟，然后继续骑行，追上甲后再一起骑到终点．甲、乙骑行的路程（千米）与骑行时间（分钟）的部分函数图象如图所示： (1)求甲的骑行速度； (2)求乙整理完装备后到追上甲的过程中与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)已知甲、乙两人之间的距离不超过千米时，可以通过某通信设备随时联系，直接写出乙整理完装备后至少再骑行多少分钟可以通过该设备联系到甲． 【答案】(1) (2) (3)8分钟 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、由函数图象获取信息、一元一次方程的应用，根据图象分段求出函数解析式是解题的关键． （1）根据函数图象获取信息，列出算式即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意表示出两个函数值之差，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可得， 甲的骑行速度为：； （2）解：设函数解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴函数解析式为． （3）解：由（1）可得甲的函数解析式为， 当甲、乙两人之间的距离为千米时得， ， 解得， （分钟） 所以，乙整理完装备后至少再骑行8分钟可以通过该设备联系到甲． 【经典例题十一 一次函数应用之几何问题】 71．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，且，直线：交轴于点． (1)求的周长； (2)在直线上方的轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（）由已知可得，，进而得到，再利用勾股定理求出 即可求解； （）由一次函数解析式可得，设点，可得，即得，再根据列出方程即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ∴的周长为； （2）解：存在． 把代入，得， ∴， 设点， ∵点为直线上方的轴上一点， ∴， ， 由（）知， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 72．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知直线经过点，． (1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)在x轴上有一点P，若的面积为9，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，解方程组，求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）先求得的解析式为，构造方程组求交点坐标即可； （2）利用交点的横坐标，结合不等式解答即可． （3）设点P的坐标为，根据，解方程即可得出x的值，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：根据题意，直线，经过点，， 根据题意，得， 解得， ∴的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故． （2）解：根据题意，得，由，得 ， 由图象知①的解集为， 解不等式②得，， 故不等式组的解集，得． （3）解：设点P的坐标为， ， 解得或， ∴点P的坐标为或． 73．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线（，为常数，且）与轴交于点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)已知点是线段上一个动点（不与端点重合）． 设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系式； 若点在轴上，使得的值最小，则点的坐标为_____． 【答案】(1)， (2)与之间的函数关系式为；． 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到求函数解析式、轴对称——最短路线问题： （1）把点代入直线中得：可得到点C的坐标，再根据点坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （2）先求出点A的坐标，可得，再根据，即可求解；作点B关于y轴的对称点，过点作于点E，连接，与y轴的交点即为P点，此时的值最小，且当点D与点E重合时，取得最小值，为的长，设点，再由，可求出s的值，可得点，再求出直线的函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入直线中得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①中，当时，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵点的横坐标是， ∴点， ∵的面积是， ∴， 根据题意得：， 即与之间的函数关系式为； ②解：如图，作点B关于y轴的对称点，过点作于点E，连接，与y轴的交点即为P点，此时的值最小，且当点D与点E重合时，取得最小值，为的长， ，则， 设点， ∴ ∵， ∴， 解得：或4（舍去）， ∴点， 设直线的函数表达式为， ，解得：， 直线的函数表达式为， 令，则， ． 74．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．连接，如图2且． ①求证：； ②求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ② 【分析】本题考查一次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）令、求得点、的坐标，根据点与点关于轴对称，求出点的坐标， （2）①设直线的函数解析式为，列方程求出、的值即可； 根据点与点关于轴对称，得到，进而证得，根据三角形内角和定理证得； ②设，则，则，，，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， 则、， 由于点与点关于轴对称， 则， 设直线的函数解析式为， 则， 解得， 因此，直线的函数解析式为； （2）①证明：根据题意得，点与点关于轴对称， ， ， ， ， ， ， ； ②解：， ， 设，则， ，，， ∴， 解得． ， 答：点P的坐标为． 75．（2025八年级上·全国·专题练习）实践与研究： x … 1 2 3 … … … x … 0 2 3 4 … … … (1)根据列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图象． (2)观察两个函数图象，的图象可以由的图象怎么变换得到？ (3)当直线向右平移1个单位与直线重合，试确定b的值． 【答案】(1)作图见解析 (2)的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象、一次函数的性质、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据表格数据计算即可列表，进而描点即可作图得解； （2）依据题意，结合（1）所作图象，观察两个函数图象，进而可以判断得解； （3）依据题意，由直线向右平移1个单位，可得平移后的直线为，结合平移后的直线与重合，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：完成表格如下： x … 1 2 3 … … 2 4 6 … x … 0 2 3 4 … … 2 4 6 … 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如下： （2）解：由题意，结合（1）所作图象，观察两个函数图象， ∴的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到． （3）解：∵直线向右平移1个单位， ∴平移后的直线为，即， 又∵平移后的直线与重合， ∴， ∴． 76．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴，轴分别交于两点，直线与交于点E，若，． (1)求直线的解析式； (2)若点P为直线上一动点，当时，求此时点P的坐标； (3)点是直线上一点，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式． （1）求出A、B两点的坐标，由得点C、D的坐标，根据待定系数法可得直线的解析式； （2）先求出点的坐标，分点在点左侧，点在点右侧，且在轴左侧，点在轴右侧，三种情况讨论，利用三角形面积间的关系即可求解； （3）分点在直线上方和下方两种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：将代入，则，令，解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）知直线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 当点在点左侧时， 则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴（舍去）或， 当时，则， ∴； 当点在点右侧，且在轴左侧时， 则，不符合题意； 当点在轴右侧， 则， ∴， ∴，即， ∴， ∴或（舍去）， 当时，则， ∴； 综上，点P的坐标为或； （3）解：连接， ∵，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点在直线下方时，过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当点在直线上方时，则， ∴， ∴此时，两点重合， ∴； 综上，点的坐标为或． 77．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，与交于点O，，，动点P从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，当点P运动到点D时停止运动，交于点Q，设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内，线段的长度为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合图象，直接写出的长度为3时x的值． 【答案】(1)y关于x的函数关系式为 (2)图象见详解，该函数图象关于直线对称（答案不唯一） (3)当时，或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，含直角三角形的性质及矩形的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，含直角三角形的性质及矩形的性质是解题的关键； （1）由矩形的性质可知，，，则有，然后可得，进而根据当时，当时，分类讨论进行求解即可； （2）根据（1）中函数解析式进行作图即可，然后问题可求解； （3）根据（2）中的函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内， ∴， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 当时， ∵点P的运动路程为x， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上所述：y关于x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知：y关于x的函数关系式为， 由函数关系式可列表如下： x 2 4 6 y 3 2 3 所画函数图象如下： 由图象可知：该函数图象关于直线对称（答案不唯一）； （3）解：由图象可知：当时，或． 【经典例题十二 一次函数应用之梯度计价问题】 78．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）为节约用水，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． (1)当时，y与x之间的函数关系式为______，当时，y与x之间的函数关系式为______； (2)该市一户某月若用水立方米时，求应缴水费； (3)该市一户某月缴水费23.9元，求该户这个月的用水量． 【答案】(1)； (2)15.8元 (3)13立方米 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，建立函数关系式是解题的关键． （1）根据所给的收费标准列出函数关系式即可； （2）根据（1）所求关系式代入求解即可； （3）先判断该户这月用水量大于8吨，然后把代入（1）所求式子求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）解：因为，所以． 所以当用水量为10立方米时，应缴水费15.8元． （3）解：因为， 所以该用户这个月的用水量超过了8立方米． 所以， 解得． 所以该户这个月的用水量为13立方米． 79．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收的所得税；月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收的所得税；月收入超过17000元但不超过30000元的部分征收的所得税…如某人月收入15000元，他应缴个人工资、薪金所得税：（元）． (1)当月收入超过8000元但不超过17000元时，写出应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式； (2)某人月收入9800元，求他应缴所得税多少元； (3)某人本月缴费540元，求此人本月的工资是多少元． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）月收入超过元但低于元的部分征收的所得税；月收入超过元但低于元的部分征收的所得税，据此即可列出函数解析式； （2）将代入（1）中解析式，即可求解； （3）将代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）由题意可得， 即应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式为． （2）当时，（元） 某人月收入9800元，他应缴所得税为元 （3）当时，， 解得， 此人本月的工资是元． 80．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）为引导居民节约用水，出台了城镇居民用水阶梯水价制度（如下表）．每年水费的计算方法：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量． 阶梯 用户年用水量 水价（元） 第一阶梯 5 第二阶梯 7 第三阶梯 9 (1)当时，求出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，求该同学家这一年的用水量． 【答案】(1) (2)1040元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合列出寒素解析式即可． （2）结合（1），得当时，，故代入进行计算，即可作答． （3）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当时，； （2）解：由（1）得当时， 当时，， 答：该户这一年的水费是1040元； （3）解：依题意，；； ∵ ∴水费在第三档， 当时，可知， 令，即， 解得， 答：该户这一年的用水量是． 81．（24-25八年级上·江苏常州·期中）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动． 甲书店：所有书籍按标价8折出售； 乙书店：一次购书中标价总额不超过200元的按原价计费，超过200元后的部分打6折． 以x（单位：元）表示标价总额，（单位：元）表示在甲书店应支付金额，（单位：元）表示在乙书店应支付金额． (1)就两家书店的优惠方式，分别求，关于x的函数表达式； (2)“少年正是读书时”，“世界读书日”这一天，八年级学生奇思计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？ 【答案】(1)， (2)详见解析 【分析】本题主要考查一次函数的应用，正确列出函数解析式成为解题的关键． （1）直接根据题意列出函数表达式即可； （2）根据（1）中的函数关系式，分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 甲书店：， 乙书店：，即． （2）解：当时，由，即甲店比较实惠； 当时， 令，解得：， 当时，选择甲书店更省钱， 当，甲乙书店所需费用相同， 当，选择乙书店更省钱． 综上所述：当时，选择甲书店更省钱；当，甲乙书店所需费用相同；当，选择乙书店更省钱． 82．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）某市为了鼓励市民节约用电，采用分档计费的方式计算电费．下表是家庭人口不超过4人时户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 收费/[元/（）] 第一档      第二档      第三档      (1)当时，写出每月应交电费（单位：元）与户月用电量（单位：）之间的关系式． (2)若某户一个月的用电量为，则该户这个月应交电费多少元？ (3)若某户上个月交电费180元，求该户上个月的用电量． 【答案】(1) (2)327元 (3) 【分析】该题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据题意可得当时，户月用电量属于第三档，根据表格数据即可解答． （2）当时，代入（1）中解析式求解即可． （3）先判断出该户上个月用电量属于第二档，这根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，户月用电量属于第三档． 于是， 即． （2）解：当时，（元）． 答：该户这个月应交电费327元． （3）解：因为（元），（元）， ， 所以该户上个月用电量属于第二档． 根据题意，得． 解得：． 答：该户上个月的用电量为． 83．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）某视频网站对本站会员推出、两种收费方式，这两种收费方式每月所需的费用（元）与上网时间的关系如图所示： 观察图象，解决以下问题： (1)每月上网时间为时，、两种方式的费用分别是多少？ (2)每月上网费用为元时，、两种方式可上网的时间分别是多少？ (3)每月上网时间为的时候，请通过计算说明选择哪种方式更省钱． 【答案】(1)每月上网时间为时，方式的费用是元，方式的费用是元； (2)每月上网费用为元时，方式可上网的时间是，方式可上网的时间是． (3)每月上网时间为的时候，选择方式更省钱． 【分析】本题考查一次函数图象，求一次函数的解析式，解题的关键是正确理解函数图象中的信息． （1）观察函数图象即可； （2）通过待定系数法确定方式对应的函数解析式，代入纵坐标，即可得方式的上网时间，通过观察函数图象即可得方式的上网时间； （3）通过待定系数法确定方式对应的函数解析式，将上网时间分别代入两种方式对应的函数解析式，可得对应的费用，比较即可． 【详解】（1）解：由图可知，当时，方式的费用是元，方式的费用是元， 答：每月上网时间为时，方式的费用是元，方式的费用是元． （2）解：方式，当时，设每月所需费用， 由图可知，， 解得，， ∴方式，当时，每月所需费用， 当时，，解得：， 由图可知，当时，， 答：每月上网费用为元时，方式可上网的时间是，方式可上网的时间是． （3）解：由（2）得，方式，当时，每月所需费用， 当时，， 方式，当时，设每月所需费用， 由图可知，， 解得，， ∴方式，当时，每月所需费用， 当时，， ∵， ∴当时，， 答：每月上网时间为的时候，选择方式更省钱． 84．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）为响应绿色出行号召，漳州市某新能源充电站采用“峰谷电价+阶梯服务费”的收费模式．已知充电时段分为峰时（8：00-22：00）、谷时（22：00-次日8：00），其基础电价和阶梯服务费标准如下： 收费项目 收费标准 基础电价 峰时：元/度；谷时：元/度． 阶梯服务费 充电量不超过度时，服务费为元/度；超过度后，超出部分的服务费提升至元/度． 问题解决： (1)设充电量为度，总费用为元．请写出在峰时充电时，关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若陈先生某次谷时充电支付了元，试问他此次充了多少度电？ (3)为推广谷时充电，该充电站推出以下优惠政策：谷时充电量超过20度的部分，基础电价降低．请问推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省多少费用？ 【答案】(1) (2)若陈先生某次谷时充电支付了元，他此次充了度电 (3)推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，根据题意获取信息是解题关键． （1）根据题意，可得总费用与充电量的函数表达式为分段函数，且总费用为基础电费与服务费之和，按充电量和分别列出函数式即可； （2）先求出若陈先生某次谷时充电支付了元，其充电量，根据题意，求得当充电量时，谷时充电的总费用，令，解一元一次方程，即可求解； （3）先分别计算原谷时充电度的总费用和优惠政策后，充电度的总费用，再进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得： 当充电量度时，， 当充电量度时，， 在峰时充电时，关于的函数表达式为． （2）解：当充电量度时，最大总费用为元元， 陈先生某次谷时充电支付了元，其充电量， 在谷时充电时，当时，总费用， 令，得：，解得：． 答：若陈先生某次谷时充电支付了元，他此次充了度电． （3）解：原谷时充电度的总费用为：元， 优惠政策后，充电度的总费用为：元， 元． 答：推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数章末84道压轴题型专训（12大题型） 题型一 动点问题的函数图象 题型二 一次函数的图象与性质综合问题 题型三 含绝对值的函数问题 题型四 一次函数的平移综合 题型五 一次函数规律探究问题 题型六 一次函数中的翻折问题 题型七 一次函数中的旋转问题 题型八 一次函数应用之分配方案问题 题型九 一次函数应用之最大利润问题 题型十 一次函数应用之行程问题 题型十一 一次函数应用之几何问题 题型十二 一次函数应用之梯度计价问题 【经典例题一 动点问题的函数图象】 1．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，正方形的边在轴上，边长为2，顶点A的坐标为，同一平面上距离保持不变的两条平行直线所构成的图形在平面内平行移动，已知直线的函数解析式为，在平行线图形移动的过程中，设正方形夹在两平行线间的部分的面积为S（如图中阴影部分），求与之间的函数关系式．    2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图1，在矩形（，，）中，，是上一点，且，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，的面积为，与的大致图像如图2所示． (1)求，，的值． (2)当点在上运动时，求为何值时，的值是5． 3．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，已知，点D是边上一点，且，点P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足为E，连接，设． 通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整： (1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下： 0 1 2 3 4 5 6                               （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）； (2)自变量x的取值范围是_______； (3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： (4)结合函数图象解决问题：当时，的长约为________（结果精确到）． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，点从A出发沿线段向点运动，到达点时停止．作，交折线于点，设，． (1)请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； (2)在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)若，结合函数图象，直接写出时的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过） 5．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1是一个大矩形右下角剪去一个矩形后形成的图形，已知动点以每秒1个单位的速度沿图1的边框按的路径运动，相应的面积与时间之间的关系如图乙中的图象所示，若，试回答下列问题    (1)图2中的________， ________； (2)求点在运动过程中的最大值是________； (3)点出发后几秒，的面积是18 ? 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图1，为等边三角形，，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到A点停止，作交直线于E，设，点D的运动时间为x． (1)直接写出y与x之间的函数表达式，并写出对应x的取值范围： (2)在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)写出时x的值． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形中，点沿着四边按方向运动，开始以每秒个单位匀速运动，秒后变为每秒2个单位匀速运动，秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，的面积与运动时间的函数关系如图所示． (1)求长方形的长和宽； (2)求、、的值； (3)当点运动到点时，有一动点从点也同时出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当点到达终点，点也停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，直接写出与之间的函数关系式． 【经典例题二 一次函数的图象与性质综合问题】 8．（25-26八年级上·江苏南京·期中）先画图，再回答问题 (1)在如图所示的平面直角坐标系内，作出一次函数的图象； (2)直线与直线平行，且经过点，求，的值． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）学习《一次函数》，我们积累了一定的研究经验．在活动课上李萍和张敏根据探究一次函数图象特点的方法，对函数的特点进行探究．列表： … 0 1 2 3 4 … … 8 6 4 2 0 2 4 6 8 … 解决下列问题： (1)请你帮她们绘制出函数的图象； (2)观察函数的图象，写出图象的两个特点； (3)当时，______． 10．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征      图象经过①_______ 由表达式可知，当时，； 图象经过第②_______象限 因为，且，所以当时，，当时，y___③，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而④_______． …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图象与性质． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_______；②_______；③_______；④_______ (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你完成填空并证明． 图象 图象的几何特征 证明过程      图象关于_______对称 11．（25-26八年级上·江苏常州·期中）我们学习一次函数时，通过“列表—描点—连线”的方法绘制出一次函数图像．进而根据一次函数图像研究其性质．这一探究过程，从数据整理到图形呈现，使我们能够直观把握函数的变化趋势与核心特征，进而深入分析其性质． 探究小组运用此方法对未知函数进行探究． 函数的图象和性质，并解决问题． (1)根据表达式，写出表格中m，n的值：______，______； x … 0 1 2 3 … y … m 3 2 1 n 3 4 … (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)观察函数图象并写出一条函数的性质． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 … y … ______ 0 ______ 0 1 … ②在图②中描点、连线：    (1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； (2)根据图②中的函数图象回答下列问题： ①当______时，y有最小值为______； ②请写出该函数的一条性质：______． (3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 13．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请你解决相关问题： (1)y与x的几组对应值如表： … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 2 1 … ①___________； ②若，为该函数图象上不同的两点，则___________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象： ①该函数有___________（填“最大值”或“最小值”）；这个值是___________； ②观察函数的图象，写出该函数的一条性质． 14．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在等腰中，，，动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位速度向点运动，同时，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位速度向点运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒，． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线的图象与的函数图象有两个交点，请直接写出的取值范围． 【经典例题三 含绝对值的函数问题】 15．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值的和叫做点P（x，y）的勾股值，记为． (1)已知点A（1，3），B（，4），C（，），直接写出，，的值； (2)已知点D是直线上一点，且，求点D的坐标； (3)若抛物线与直线只有一个交点M，已知点M在第一象限，且．令，试求t的取值范围． 16．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式利用函数图象研究其性质运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时我们也学习了绝对值的意义，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，；时，． （1）求这个函数的表达式； （2）用列表描点的方法画出该函数的图象；请你先把下面的表格补充完整，然后在下图所给的坐标系中画出该函数的图象； 0 2 4 6 　　 0 　　 （3）观察这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （4）已知函数的图象如图所示，与的图象两交点的坐标分别是，，，，结合你画的函数图象，直接写出的解集． 17．（24-25八年级上·江苏南通·期中）【阅读材料】如图1，通过观察，可以发现“绝对值函数”y=|x|的图象是轴对称图形，有最低点，而且增减性也很特殊……． 【实践探究】 （1）在图1中画出“绝对值函数”y=|x−3|的图象．写出该图象的两条性质，并根据图象判断：“绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向_______平移_______个单位得到． 【问题解决】 （2）如图2，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点C（3，3），D（−1，3），当“绝对值函数”y=|x−k|（k为常数）的图象有部分被矩形ABCD覆盖时，被覆盖的部分记作“图象W”，点P（m，n）是“图象W”上的一个动点．①当n的最大值为3时，求k的取值范围；②已知n的最小值为k+3，求满足条件的k的值． 18．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … 根据表格中的信息可得_______． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】 （3）写出函数的一条性质________________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： （4）关于x的不等式的解集为________________． （5）若关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的m的取值范围． 19．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学函数的图象．同时，我们也学习了绝对值的意义； 结合上面的学习过程，解决下列问题： 在函数中，当时，；当时，． (1)求该函数的表达式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，直接写出不等式的解集． 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）综合与实践 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量内函数图象所有的增减性、函数图象的最值等．教科书第108页第11题让我们画出函数的图象，这是一个绝对值函数，小明所在班级开展了数学探究，请跟随小明一起完成下列探究任务． (1)函数自变量的取值范围是________； (2)①函数中、部分对应值如下表，其中________； … 0 1 2 3 4 … … 3 1 0 1 2 3 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图象，任意写出函数图象的两条性质： ①________________________________________； ②________________________________________； (4) 已知直线，若关于的方程无解，直接写出的取值范围为________． 21．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）【问题提出】如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： （1）当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为___________． 预备知识2：函数，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简时，可令和，分别求得（称1，3分别是和的零点值），这样可以就，，三种情况进行讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 就可以化简为． 预备知识3：函数(为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． （2）【知识迁移】如图④，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数和的图象．并通过观察图象，求出不等式的解集 【经典例题四 一次函数的平移综合】 22．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的是一次函数的图象，与x轴，y轴分别交于A，B两点 (1)若，，用待定系数法求直线l的解析式； (2)若将直线l向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，发现图象回到l的位置，求k的值． 23．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 24．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象： ①列表填空： x … 0 1 2 3 … y … … ②描点、连线，画出的图象． (2)结合所画图象，写出两条不同类型的性质； (3)写出函数与图象的平移关系． 25．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图是个台阶的示意图（各拐角均为，每个台阶宽、高分别为和，为第一个台阶面，为第二个台阶面，以此类推，为第八个台阶面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并判断点是否在直线上； (2)点在直线 上（填直线的解析式）； (3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线表示，若使光线刚好照到所有台阶（包含点），求的取值范围． 26．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，B的坐标为，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到． (1)若直线经过点C，求平移的距离； (2)继续向右平移，当点A平移到了原点O，画出此时平移后的，连接，，直接写出和平行且相等的线段． 27．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A， (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)①若点，在该一次函数的图象上，且，则______（用“>”或“<”填空）； ②当时，y的取值范围是______ (3)将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若，求m的值． 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【经典例题五 一次函数规律探究问题】 29．（24-25八年级上·江苏南京·期中）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 ．．． 座位数（y） 50 53 56 59 ．．． (1)上表反映的两个变量中，___________是自变量，___________是因变量； (2)按照上表所示的规律，当排数每增加1排时，座位数增加___________个． (3)试估计当排数6时，座位数为___________个． (4)写出座位数与排数之间的关系式； (5)按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是4列整齐叠放成一摞的羽毛球的示意图，羽毛球的规格都是相同的．小智尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的羽毛球的总高度(单位：)随着羽毛球的数量(单位：个)的变化规律．如表是小智经过测量得到的y与x之间的对应数据： /个 (1)依据小智测量的数据，猜测并求出y与x之间的函数表达式； (2)球桶的长度为，两端球桶塞的总厚度约为，若整齐叠放这种规格的羽毛球，求这个球桶最多能装多少个羽毛球？ 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 请回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是________； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是________； (3)根据上表反映的规律写出该种型号汽车与之间的关系式：________； (4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．） 32．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．德国心理学家艾宾浩斯最早研究了记忆遗忘规律，他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是艾宾浩斯遗忘曲线． 观察图象，回答下列问题： (1)自变量是______，因变量是______； (2)由图象知，遗忘速度先______后______，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐______； (3)请说明图中点B的实际意义； (4)有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持98%．由此，你对数学学习有什么感悟？ 33．（24-25八年级上·江苏常州·期末）2025年3月22日是第三十三届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 34．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）某地区近几年的人口出生率统计如下表所示，小亮利用表格的数据，对人口出生率的变化规律进行了探究．下面是小亮的探究过程： 年份 年 年 年 年 2025年 出生率（） ■ 【探究1——建系描点】 如图，在平面直角坐标系中，描出表格中各组对应值为坐标的点．为研究方便，将年的人口出生率表示为点，其他年份依次表示为点．观察所描的点，发现这些点大致在同一直线上，根据点、的坐标，可得直线的表达式为． （1）求直线的表达式； 【探究2——模型选择】 如果运用函数与统计知识预测该地区下一年的人口出生率，可以尝试选择直线、等函数模型来进行分析．在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜，预测越准确．我们可通过计算实际人口出生率偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析：如果偏离方差越小，那么选用的模型越适宜．例如：分析直线，当时，；当时，；当时，；当时，，求得偏离方差：． （2）根据以上方式，求关于直线的偏离方差； 【探究3——模型应用】 （3）请预估该地区年的人口出生率． 35．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）【数学活动】 在“数学建模周”活动中，小青用激光传感器探究平面反射规律时，发现反射路径可以用二元一次方程描述．现有两面成特殊角度的平面镜，其数学关系用二元一次方程表示如下： 镜面的方程为 镜面的方程为 【补全表格】 （1）补全下列表格，使上下每对x，y的值都是镜面的方程的解： x … －1 0 1 m … y … n 3 2 0 … 则表格中的m＝ ，n＝ ； 【实践操作】 （2）如果将表中的每组解表示为点的形式，例如：方程的一组解的对应点是，请在所给的平面直角坐标系中依次描出（1）中四组解所对应的点； 【观察猜想】 （3）观察这些点，猜想镜面的方程的所有解的对应点组成的图形是 ，并根据猜想画出这个图形．我们把这个图形叫做二元一次方程的图象； 【类比操作】 （4）类比镜面方程的图象画法，请在同一个平面直角坐标系中，直接画出镜面的方程的图象（无需列表格）； 【解决问题】 （5）请根据图象，直接写出方程组的解． 【经典例题六 一次函数中的翻折问题】 36．（24-25八年级上江苏常州··期末）如图，已知在平面直角坐标系中，，，，将沿直线OB折叠，点A落在点D处，OD交BC边于点E， (1)求证：四边形OABC为矩形； (2)求直线OD的解析式． 37．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)将x轴下方的图像沿x轴翻折，点A落在点处，连接、，求的面积． 38．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点处． (1)求A、B两点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2025·江苏苏州·三模）在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用图象解决问题”的学习过程，画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的函数知识探究函数的图象与性质并利用图象解决如下问题： 列出与的几组对应的值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 3 0 … （1）根据表格中、对应关系求出该函数的解析式； （2）用你喜欢的方式画出该函数图象：根据函数图象，写出该函数的一条性质：______． （3）根据图象，直接写出方程的根．（精确到0.1，误差不超过0.2）______． 40．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点E从B点，出发以每秒1个单位的速度线段向O点移动（与B、O点不重合），过E作，交x轴于F．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形DCEF，设点E的运动时间为t秒． (1)直线与坐标轴交点坐标是A_______，B_______； (2)若CD交y轴于H点，求证：四边形DHEF为平行四边形；并求为何值时，四边形DHEF为菱形（计算结果不需化简）； (3)设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最大值． 41．（24-25八年级上·江苏南通·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如，如图1就是函数的“V形”图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______； (2)在（1）的条件下，若直线与一次函数的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V形”图象经过，两点，且，求k的取值范围． 42．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整、并解决问题． (1)函数的自变量x的取值范围是_______，y的取值范围是_______； (2)由，设计如下画图方案： 将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当时，y的取值范围是_______； ②当时，x的取值范围是_______． ③若对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出k的取值范围． 【经典例题七 一次函数中的旋转问题】 43．（2025八年级上·江苏·专题练习）直线与轴，轴分别交于，两点，将直线绕点按逆时针方向旋转度得到直线， (1)求直线的解析式； (2)若将直线绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线，求直线的解析式． 44．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 45．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如果一次函数（，、是常数）与（，、是常数）满足，且，则称为的“旋转函数”． 例如：，，，且， 为的“旋转函数”； 又如：，，，但， 不为的“旋转函数”． (1)判断是否为的“旋转函数”？并说明理由； (2)若一次函数为的“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，关于原点的对称点分别是点，，求直线的“旋转函数”．       46．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 47．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）【问题背景】 平移、旋转和翻折是初中阶段三大基本几何变换．平移、旋转或翻折后的图形与原图形全等，所以我们又把这些几何变换称之保形变换．我市某校数学思维社团成员在学习了平面直角坐标系及一次函数以后，尝试在平面直角坐标系中研究几何变换． 【初步研究】 （1）本着简单到复杂的原则，他们先研究了点的变换：已知平面内一点． ①将点向左平移个单位，平移后点的坐标为_ ； ②点关于直线的对称点的坐标为_ ； ③将点绕点旋转，旋转后点的坐标为 ； 【深度探究】 （2）数学思维社团成员认为线的变换只要抓住一些关键点的变换就可以了．已知如图，直线分别与轴、轴交于点两点，直线交直线于点． ①直线向右平移个单位，平移后的直线表达式为 ； ②将直线沿直线翻折，翻折后的直线表达式为 ； ③将直线绕点旋转，旋转后的直线表达式为 ； ④将直线绕点逆时针旋转，添加一个你认为合适的角度_ ；并直接写出旋转后的直线表达式_ ． 48．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）【提出问题】 探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 【探究过程】 小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 小芳尝试把变形为，并用代入时，也就是说当时，无论k取何值时，． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组讨论得出：无论k取何值，一次函数的图象一定会经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”． 已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是________． (2)已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 49．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(−4，4)，点B的坐标为(2，0)． (1)求线段AB的长； (2)点M是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标； (3)如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC−OD的值是否发生变化?若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)． 【经典例题八 一次函数应用之分配方案问题】 50．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出元之后，超出部分按原价折优惠；在乙超市累计购买商品超出元之后，超出部分按原价折优惠．设顾客预计累计购物元，在甲超市所付费用为元，在乙超市所付费用为元． (1)请分别求出，关于的函数解析式； (2)顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 51．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）冰箱作为家庭中耗电量比较大的电器之一，节能使用可以显著减少电力消耗．某商场销售两款节能冰箱：A款为一级能效，B款为二级能效，两款冰箱的功能相同，仅能效等级不同，A款标价为B款标价的1.25倍．商场为进一步促销，决定消费者购买A款冰箱时，在标价基础上再给予800块钱的优惠；购买B款冰箱时，在标价基础上再给予200块钱的优惠．设B款冰箱标价x元，消费者购买A，B两款冰箱的最终支付金额分别为（元）和（元）． (1)分别求出，与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)仅从节省购买资金的角度考虑，消费者购买哪一款冰箱最终支付的金额较少？ 52．（24-25八年级上·江苏常州·期中）为了提高节日仪式感，三八妇女节期间，甲乙两家花店以同样的价格出售同样的玫瑰花束，并且又各自推出不同促销方案： 甲花店的优惠方案：购花价格累计超过200元后，超出200元的部分按70%付费； 乙花店的优惠方案：购花价格累计超过100元后，超出100元的部分按80%付费； 某公司想在三八妇女节为公司的女性送上玫瑰花束，若该公司准备购买总价为元的玫瑰花束． (1)在甲花店购买的优惠价为____元，在乙花店购买的优惠价为_____元（均用含x的式子表示）； (2)请问该公司到哪家花店购花更优惠？写出解答过程． 53．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲近自然”为主题的周末休闲生活方式深受人们喜爱．近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推出采摘草莓优惠活动．以下是两个草莓采摘园的活动情况． (1)若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为，元，请你直接写出两个草莓园付款金额，于采摘草莓的重量千克的函数表达式及自变量的取值范围． (2)佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验．佳佳妈妈根据欣欣草莓园和乐乐草莓园的活动方案，认为去乐乐草莓园摘草莓更划算！请问：佳佳妈妈的说法正确吗？如果不正确请通过计算说明． 54．（2025·江苏南京·一模）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B 两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为 50g，其营养成分表如下： 考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共6包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于70g，且脂肪含量要尽可能低，请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 55．（24-25八年级上·江苏无锡·开学考试）五一期间，某移动公司就上网收费套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示： 收费方案 月使用费（元） 包时上网时间（小时） 超时费（元/小时） 无限 方案和方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系图象如下图所示： (1)填空：表中的____________，____________； (2)请在图中画出方案的图象，并写出当上网时间不少于小时方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式； (3)当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱； 当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱； 当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱． 56．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到分，考试项目增加至项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠元． 若用字母表示购买排球的数量，字母表示购买排球的价格，其函数图象如图所示． (1)求每个排球的标价是多少元． (2)当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ；当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ． (3)请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义． (4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠． 【经典例题九 一次函数应用之最大利润问题】 57．（2025·江苏盐城·模拟预测）某大型超市 12 月份的柠檬销售总额为 6000 元，1 月份与 12 月份相比，销量不变， 但每斤的售价比 12 月份减少 3 元，销售总额比12月份减少了 20%． (1)求 12 月份这种柠檬每斤的售价； (2)2 月份该超市计划新进一批这种柠檬和沃柑共 300 斤．已知柠檬进货价格是每斤 8 元；沃柑进货价格是每斤7元，这两种水果的销售价格都是每斤 12 元．要求沃柑进货数量不超过柠檬数量的两倍，应如何进货才能使这批水果获得最大利润，并求出最大利润． 58．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）某桃厂组织20辆汽车装运完三种黄桃共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种黄桃且必须装满，根据下表的信息，解答下列问题． 黄桃品种 C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨黄桃获利（元） 1200 1600 1000 (1)设装运种黄桃的车辆数为，装运种黄桃的车辆数为，求与的函数表达式； (2)已知装运每种黄桃的车辆数都不少于6辆． （i）车辆的安排方案有几种？请说明理由； （ii）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 59．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）我校团委在元旦期间组织“义卖献爱心”活动．某班计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润捐给困难学生，两种文化衫的进价与售价如下所示： 进价（元件） 售价（元件） 黑色文化衫 白色文化衫 已知用元购进黑色文化衫的数量与用元购进白色文化衫的数量相同． (1)求的值； (2)若购进这两种文化衫共件，其中黑色文化衫为件，且不超过白色文化衫的数量的倍，求通过手绘设计后全部售出能够获得的最大利润． 60．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）疫情期间，某学校需购买A，B两种消毒剂，后勤王老师调查发现： 购买数量： 种类： 购买数量少于100瓶 购买数量不少于100瓶 A 原价销售 以原价的8折销售 B 原价销售 以原价的9折销售 A消毒剂每瓶原价40元，B消毒剂每瓶原价50元．该学校预计购买A，B两种消毒剂共200瓶，且B种消毒剂不少于A种消毒剂数量的，请你帮助王老师计算一下，如何购买使所需费用最少，最少费用为多少元？ 61．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”．某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）： （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量y（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：销售单价x与销售数量y成一次函数关系，请你求出这个函数关系． (2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ 62．（2025·江苏宿迁·模拟预测）某糖葫芦店推出了两种糖葫芦，分别是葡萄糖葫芦和草莓糖葫芦，且每天制作两种糖葫芦共300串，为保证糖葫芦的口感，两种糖葫芦当天全部要售完，糖葫芦的生产成本、店员销售提成及糖葫芦的销售单价如下表所示： 品种 生产成本（元/串） 销售提成（元/串） 销售单价（元/串） 葡萄糖葫芦 2 1 8 草莓糖葫芦 4 2 12 设每天销售葡萄糖葫芦x串，每天销售这两种糖葫芦获得的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该店每天在这两种糖葫芦上投入的总成本不超过1200元，应怎样安排两种糖葫芦的制作量，可使该糖葫芦店当天所获得的利润最大？并求出最大利润．（总成本=生产成本+销售提成，利润=销售总价-总成本） 63．（25-26八年级上·江苏常州·开学考试）项目化学习：大名草编手工艺是大名县卫河以东地区的传统手工艺品，多表现花鸟虫鱼等，有实用价值和艺术价值．某学习小组以“大名草编利润”为主题开展项目化学习． 市场调查：小组成员了解到，某草编产品每个售价为20元，销售收入（元）与销售量（个）成正比例关系，投入的成本（元）（人工、物流、材料等）与销售量（个）的函数图象如图所示． 模型建立：（1）求与的函数关系式； 解决问题：（2）求利润（元）（利润销售收入成本）与销售量（个）之间的函数关系式，并在图2中画出函数所对应的图象； （3）当与相差不超过100时，则称该草编产品实现微利润，直接写出此时销售量的取值范围． 【经典例题十 一次函数应用之行程问题】 64．（2025·江苏南京·一模）已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)请解释图中点的实际意义； (2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离； (3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的时间． 65．（2025八年级上·全国·专题练习）已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)________，________； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 66．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时），设时间为，两车之间的距离为，图中的折线是与之间的函数关系的一部分图象． 根据函数图像回答下列问题： (1)求慢车的速度； (2)求两车相遇，到快车到达乙站时，与的函数关系式；并指出取值范围； (3)试在图中补全点以后的图象． 67．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）甲、乙两人从P地前往Q地，甲途中速度发生了变化，而乙始终匀速运动，甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系如下图所示． (1)图中的折线表示________（填“甲”或“乙”）的关系图象； (2)两地相距________千米；甲乙出发的时间间隔为________小时； (3)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲？ 68．（24-25八年级上·江苏常州·期中）某机动车出发前油箱内有升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量（升）与行驶时间（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题． (1)机动车行驶________小时后加油，中途加油________升； (2)设汽车出发后的总耗油量为（升），写出与的函数解析式；（不必写出自变量t的取值范围）并判断函数类型； (3)如果加油站距目的地还有千米，车速为千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 69．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家． (2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式． (3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间． 70．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）石家庄市打造的环城绿道全长101公里，依托滹沱河、环城水系等优质景观资源，为市民提供了景美、智游、畅达的城市绿道健身体系．甲、乙两人一起从环城绿道某地出发同向同速骑行，乙中途停车整理装备用了4分钟，然后继续骑行，追上甲后再一起骑到终点．甲、乙骑行的路程（千米）与骑行时间（分钟）的部分函数图象如图所示： (1)求甲的骑行速度； (2)求乙整理完装备后到追上甲的过程中与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)已知甲、乙两人之间的距离不超过千米时，可以通过某通信设备随时联系，直接写出乙整理完装备后至少再骑行多少分钟可以通过该设备联系到甲． 【经典例题十一 一次函数应用之几何问题】 71．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，且，直线：交轴于点． (1)求的周长； (2)在直线上方的轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 72．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知直线经过点，． (1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)在x轴上有一点P，若的面积为9，求P点的坐标． 73．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线（，为常数，且）与轴交于点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)已知点是线段上一个动点（不与端点重合）． 设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系式； 若点在轴上，使得的值最小，则点的坐标为_____． 74．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．连接，如图2且． ①求证：； ②求点P的坐标． 75．（2025八年级上·全国·专题练习）实践与研究： x … 1 2 3 … … … x … 0 2 3 4 … … … (1)根据列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图象． (2)观察两个函数图象，的图象可以由的图象怎么变换得到？ (3)当直线向右平移1个单位与直线重合，试确定b的值． 76．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴，轴分别交于两点，直线与交于点E，若，． (1)求直线的解析式； (2)若点P为直线上一动点，当时，求此时点P的坐标； (3)点是直线上一点，若，请直接写出点的坐标． 77．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，与交于点O，，，动点P从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，当点P运动到点D时停止运动，交于点Q，设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内，线段的长度为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合图象，直接写出的长度为3时x的值． 【经典例题十二 一次函数应用之梯度计价问题】 78．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）为节约用水，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． (1)当时，y与x之间的函数关系式为______，当时，y与x之间的函数关系式为______； (2)该市一户某月若用水立方米时，求应缴水费； (3)该市一户某月缴水费23.9元，求该户这个月的用水量． 79．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收的所得税；月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收的所得税；月收入超过17000元但不超过30000元的部分征收的所得税…如某人月收入15000元，他应缴个人工资、薪金所得税：（元）． (1)当月收入超过8000元但不超过17000元时，写出应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式； (2)某人月收入9800元，求他应缴所得税多少元； (3)某人本月缴费540元，求此人本月的工资是多少元． 80．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）为引导居民节约用水，出台了城镇居民用水阶梯水价制度（如下表）．每年水费的计算方法：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量． 阶梯 用户年用水量 水价（元） 第一阶梯 5 第二阶梯 7 第三阶梯 9 (1)当时，求出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，求该同学家这一年的用水量． 81．（24-25八年级上·江苏常州·期中）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动． 甲书店：所有书籍按标价8折出售； 乙书店：一次购书中标价总额不超过200元的按原价计费，超过200元后的部分打6折． 以x（单位：元）表示标价总额，（单位：元）表示在甲书店应支付金额，（单位：元）表示在乙书店应支付金额． (1)就两家书店的优惠方式，分别求，关于x的函数表达式； (2)“少年正是读书时”，“世界读书日”这一天，八年级学生奇思计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？ 82．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）某市为了鼓励市民节约用电，采用分档计费的方式计算电费．下表是家庭人口不超过4人时户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 收费/[元/（）] 第一档      第二档      第三档      (1)当时，写出每月应交电费（单位：元）与户月用电量（单位：）之间的关系式． (2)若某户一个月的用电量为，则该户这个月应交电费多少元？ (3)若某户上个月交电费180元，求该户上个月的用电量． 83．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）某视频网站对本站会员推出、两种收费方式，这两种收费方式每月所需的费用（元）与上网时间的关系如图所示： 观察图象，解决以下问题： (1)每月上网时间为时，、两种方式的费用分别是多少？ (2)每月上网费用为元时，、两种方式可上网的时间分别是多少？ (3)每月上网时间为的时候，请通过计算说明选择哪种方式更省钱． 84．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）为响应绿色出行号召，漳州市某新能源充电站采用“峰谷电价+阶梯服务费”的收费模式．已知充电时段分为峰时（8：00-22：00）、谷时（22：00-次日8：00），其基础电价和阶梯服务费标准如下： 收费项目 收费标准 基础电价 峰时：元/度；谷时：元/度． 阶梯服务费 充电量不超过度时，服务费为元/度；超过度后，超出部分的服务费提升至元/度． 问题解决： (1)设充电量为度，总费用为元．请写出在峰时充电时，关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若陈先生某次谷时充电支付了元，试问他此次充了多少度电？ (3)为推广谷时充电，该充电站推出以下优惠政策：谷时充电量超过20度的部分，基础电价降低．请问推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省多少费用？ 学科网（北京）股份有限公司 $