专题05 一次函数常考几何模型专项训练（9大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第05讲 一次函数常考几何模型专项训练 （9大题型+15道拓展培优题） 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的平移模型 题型三 一次函数中的动点问题 题型四 一次函数与线段、图形交点问题 题型五 一次函数中的全等问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度角等） 题型八 一次函数中的最值问题 题型九 一次函数中的存在性问题 【经典题型一 一次函数中的面积计算】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图：直线：和直线与轴分别相交于、两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m． (1)求点A、点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于的面积时，求m的值． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． (1)填空： ， ； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线（，为常数，且）与轴交于点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)已知点是线段上一个动点（不与端点重合）． 设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系式； 若点在轴上，使得的值最小，则点的坐标为_____． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）一次函数的图象经过点，并且与x轴，y轴分别交于点A，B，过点A作于点A，且，点C在第一象限内． (1)求b的值； (2)求点C的坐标； (3)在第一象限内有一点，使 和 的面积相等，求t的值． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A，C，一次函数的图象与的图象交于点，与轴相交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)点是轴上的一个动点，直接写出的最小值． 【经典题型二 一次函数中的平移模型】 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线．通常也称为直线，其中称为直线的斜率，它表示直线关于坐标轴的倾斜程度．特别地，当时，直线．所以，直线可由直线或直线经过平移或旋转而得到．那么，已知直线上的两点和，如何求出的值呢？ 将两点的坐标分别代入，得到①，②．把上面两式相减，消去，得到，当时，求得． 因此，当时，直线的斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，特别地，当时，直线与轴平行（或垂直于轴），此时直线的斜率不存在． 【理解运用】 (1)已知点，，易求得直线的斜率___________，其解析式为___________； (2)已知点，，其中为常数，且．若直线与直线平行，求的值； (3)判定点，，三点是否在同一直线上？并说明理由． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线：的图象分别与x轴、y轴交于C、B两点，C为的中点， 和是第一象限的两个点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与x轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线，直线交于点E和点F，当时，求a的值； (4)将直线、同时向右平移n个单位长度，当所得函数图象与线段（含端点）有唯一公共点时，直接写出n的取值范围． 9．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）（1）模型建立： ①旋转：如图1，已知线段，将线段绕着点A顺时针旋转到，直线经过点A，过C作于D，过B作于E，易证：（不用写出证明过程）； ②平移：如图2，在中，，，，则D（ ， ）． （2）模型应用： 模型应用： ①如图3，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，过点A，C作直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在直线上有一动点P，在y轴上有一动点Q，以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点Q的坐标． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于B，与直线交于点P．直线与y轴交于点C． (1)如图1，若点P的坐标为，直接写出不等式的解集为______； (2)如图2，平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，若的面积是平行四边形面积的，请直接写出P点的坐标． 11．（2025·江苏无锡·三模）综合与实践 小涛在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围会如何呢？小涛尝试从函数的角度进行探究： 【建立模型】设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长分别为x，y，则，即，那么满足要求的可以看作是函数与的图象在第 象限内的公共点坐标． 【画出图象】 在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象    则的图象可以看成是的图象向上平移 个单位长度得到 【研究图象】平移直线，观察两函数的图象． ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，直接写出公共点的坐标及周长m的值． ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】求面积为9的矩形的周长m的取值范围． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点． （1）求左侧边界线的函数表达式； （2）求灭点的坐标； 【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围． 【经典题型三 一次函数中的动点问题】 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）对于平面直角坐标系XOY中的任意两点， ， 我们把叫做A， B两点之间的直角距离，记作． (1)①若点P坐标为 ， 则 ； ②若点在第一象限内，且满足 则 ； ③若点在第一象限内，且满足 求出x与y之间满足的关系式，并在平面直角坐标系内画出符合条件的点Q组成的图形． (2)设M是一定点，N是直线上的动点，我们把的最小值叫做M到直线的直角距离，试求点 到直线的直角距离． 14．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，直线上与轴、轴分别交于两点，于点，点为直线上不与点重合的一个动点． (1)点坐标为（   ）；点坐标为（   ）； (2)线段的长； (3)当的面积是时，求点的坐标． 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴，轴分别交于两点，直线与交于点E，若，． (1)求直线的解析式； (2)若点P为直线上一动点，当时，求此时点P的坐标； (3)点是直线上一点，若，请直接写出点的坐标． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，，，点F为的中点，动点P从点A出发，沿折线运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，线段与的和为，请解答下列问题： (1)请直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出的函数图象； (2)根据函数图象，写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的值． 17．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)直接写出不等式：的解集； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 18．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果） (2)点Q为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典题型四 一次函数与线段、图形交点问题】 19．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象为直线，直线，的交点为点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)若点为轴上一动点，当时，求点坐标． 20．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与交于点，直线与y轴的交点为B． (1)求直线与的解析式： (2)求的面积． 21．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点P从点B出发沿的方向运动至点A处停止．设x表示点P运动的路程，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，若该函数图象与一次函数的图象有交点，则m的取值范围是_________． 22．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 23．（2025·江苏南京·一模）如图，轴，点，，且点在点的右侧，一次函数的图象经过点．    (1)点B的坐标为______； (2)当一次函数的图象与线段有公共点时，求k的最大值与k的最小值的乘积； (3)已知两函数图象无交点，且无论取何值时，一次函数的值始终大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 24．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）探究与应用 【探究发现】 小文和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义→图象→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点A是数轴上一点，表示的数是1；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，AB的距离为y，随着x的变化，AB的距离y会如何变化呢？ （1）数学小组通过列表得到以下数据： x 0 1 2 3 4 5 … y 3 2 1 0 1 2 3 m … 其中________． 数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？________（填“是”或“不是”）． （2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质：___________________________________________． 【应用拓展】 若点，均在该函数图象上，请直接写出a，b满足的数量关系：_________． 将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为_________．（备注：直线即过点且与轴平行的直线） 【经典题型五 一次函数中的全等问题】 25．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 26．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】： （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点． ①求点A和点B的坐标，并计算的长度． ②是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，求的最小值． 【模型拓展】： （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线对应的函数表达式． 27．（24-25八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点M是直线上的点，过点M作轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点M的坐标． 28．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）若直线y mx8和ynx3都经过 x 轴上一点 B，与 y 轴分别交于A、C． （1）写出 A、C 两点的坐标，A ，C ____ ； （2）若BC平分∠ABO，求直线AB和CB的解析式； （3）点D是y轴上一个动点，是否存在 AB上的动点E，使得△ADE与△AOB全等，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．    29．（2025·江苏宿迁·模拟预测）为了增加校园绿化，学校计划建造一块边长为的正方形花坛种植“两花一草”，如图，取四边中点，构成正方形（甲区域），在四个角落构造4个全等的矩形（已区域），甲、乙两区域种植不同花卉，剩余区域种植草坪．    (1)经了解，甲区域建造费用为50元/，乙区域建造费用为80元/，草坪建造费用为10元/，设每个矩形的面积为，建造总费用为y元，求y关于x的函数关系式； (2)当建造总费用为74880元时，矩形区域的长和宽分别为多少米？ (3)甲区域建造费用调整为40元/，乙区域建造费用调整为a元/（a为10的倍数），草坪建造单价不变，最后建造总费用为55000元，求a的最小值． 30．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）综合与探究 【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，M，N是直线上的两动点，连接，．若，，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点B的直线与y轴交于点C，H为线段上的一点，作射线．若，请直接写出m的值及直线的函数解析式． 【经典题型六 一次函数中的翻折模型】 31．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点的直线交轴负半轴于点，且． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为____________； (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为点，求点的坐标． 32．（25-26八年级上·江苏镇江 ·期中）如图，直角坐标系中，，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点．点关于轴对称，连接． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)设面积的和，求的值； (3)在求（2）中时，小明有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积，更快捷．”但大家经反复验算，发现，请通过计算解释他的想法错在哪里． 33．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）把一次函数（为常数，）在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴上方的图象组合，得到一个新的图象，这个新的图象即为函数的图象．例如：如图1就是函数的图象． (1)请在图2中画出函数的图象，并直接写出该图象与轴交点的坐标是_____； (2)在（1）的条件下，若直线与函数的图象相交于两点，求的面积； (3)函数（为常数）的图象经过两点，且，直接写出的取值范围． 34．（25-26八年级上·全国·期中）如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与直线交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点．为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F（如图②）． (1)填空：________，________，________； (2)求的面积； (3)若为直角三角形，求点D的坐标． 35．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，把一次函数（，为常数，）．在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴及上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“”形图象，例如，如图1就是函数的“”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“”形图象； (2)在（1）的条件下，根据图象2，下列关于该函数性质的说法正确的有______．（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，函数表达式为，当时，； ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值0； (3)在（1）的条件下，若一次函数的“”形图象与轴交于点A，与直线相交于，两点（点在点的左侧）， ①点的坐标为______；点的坐标为______． ②求的面积． (4)如图3，已知，，若一次函数（）的“”形图象与线段有二个交点，则的取值范围是______． 36．（24-25八年级上·江苏南京·月考）探究与应用 【探究发现】 晓豫和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义图象性质应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点是数轴上一点，表示的数是1；点是数轴上一动点，若它表示的数是，的距离为，随着的变化，的距离会如何变化呢？ （1）数学小组通过列表得到以下数据： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 1 0 1 2 3 4 … 其中 ． 数学小组发现给定一个的值，就会有唯一的一个值与之对应，是的函数吗？ （填“是”或“不是”） （2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ； 【应用拓展】 （3）若点，均在该函数图象上，请直接写出，满足的数量关系： ； （4）将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折，得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为 ．（备注：直线即过点且与轴平行的直线） 【经典题型七 一次函数中的旋转模型（45度角等）】 37．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 38．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道，平移、翻折、旋转是3种基本的图形运动．你能求出将直线平移、旋转后对应的函数表达式吗？    (1)将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为________； (2)如图，一次函数的图象与轴的交点为点，将直线绕点A逆时针旋转，求所得的图象对应的函数表达式． 39．（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，等腰直角三角形中，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、． (1)求k的值和点A的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； (3)将直线绕点A旋转得到，求的函数表达式． 40．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知．    (1)如图1，点D在上（点D不与点B，C重合），且，连接． ①当时，求的长． ②当时，________． ③在②的条件下，若将线段绕点A逆时针旋转，旋转后点B的对应点为点，连接．旋转过程中，的最大值为a，最小值为b，则_______． (2)如图2，把绕点A逆时针旋转得，交于点P，与 的延长线交于点Q，请判断射线是否经过点Q，并说明理由． 41．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．近年来，AI技术已悄然渗透日常，信息技术课上，小宛用一款名为“GGB”数学应用软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生一些数学问题，请你帮助小宛解决下列问题． 【条件设置】将图1放置在直角坐标系中（图2），设点O为坐标原点，水平直线为横轴，过点O的铅垂线为纵轴．小球从y轴上的A点出发，到达x轴上的B点后改变方向运动到挡板上D点处，其中轴，垂足为C，，小球运动都为直线型路径． 【初步发现】 (1)如图2，若的函数关系式为． ①则点A坐标为________；点B坐标为________； ②聪明的小宛发现当时，就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，则点D的坐标为________； 【方法总结】遇等腰直角三角形，可以过两个锐角顶点分别向直角顶点所在的直线作垂线，就得到了两个全等的直角三角形，从而利用线段相等得到点的坐标． 【应用探究】 (2)已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过反比例函数图象一点E，在第二象限构造等腰直角，使得，求反比例函数的表达式； 【拓展延伸】 (3)如图4，将直线绕点A旋转得到，直接写出的函数表达式． 42．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【经典题型八 一次函数中的最值问题】 43．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知点，直线与x轴、y轴分别交于点A，B． (1)若的面积为8，求m的值； (2)直线与相交于点P，与y轴相交于点C，连接．当取得最小值时，求m的值； (3)在（2）的条件下，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出k的取值范围． 44．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点B．直线经过点，与直线交于点E． (1)求直线的函数关系式； (2)连接，求的面积； (3)已知点Q的坐标为，则为何值时，最小，最小值是多少． 45．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，经历了结合图象研究函数性质的过程．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，并解决如下问题． (1)当时，_____；当时，_____； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象； (3)已知点在这个函数图象上，求的值； (4)当时，的取值范围为_____； (5)点、是该函数图象上不重合的两点，横坐标分别为、．小明对、之间（含、两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出的取值范围． 46．（25-26八年级上·江苏南京·期中）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量的取值范围是______； (2)如表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 … … 1 0 0 … ①______； ②若，为该函数图象上不同的两点，则______； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②已知直线与函数的图象交于、两点（C点在D点左侧），请作出直线，并直接写出点C和点D的坐标，点C的坐标是______，点D的坐标是______． 47．（25-26八年级上·江苏南京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： x … m 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 n 5 … (1)补全表格：_______，_______； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； (3)根据表格及函数图象，探究函数性质： ①当时，_______；当时，_______， ②下列说法正确的个数是_______； （i）变量x是变量y的函数；（ii）x每增加就减小1 （iii）图象经过第一、二象限；（iv）当时，y有最小值； A．1　　B．2    C．3　　D．4 (4)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程有两个实数解，直接写出实数a的取值范围：______． 48．（24-25八年级上·江苏常州·期末）爱探究的小明对函数为常数，且的性质进行了探究性学习请帮助小明完成如下探究过程中的问题．                                                                  (1)绘制函数图象： 列表：请根据数据直接写出该函数的表达式； 描点：请根据表格中的数对在平面直角坐标系中描点； 连线：请利用中已描出的各点，画出该函数的图象． (2)探索函数性质： 当时，随的增大而______； 当时，该函数有最小值为______； 当时，随的增大而______； (3)运用函数性质： 关于的方程的解是______； 关于的不等式的解集为______． 【经典题型九 一次函数中的存在性问题】 49．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数的表达式； (2)一次函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)直接写出不等式的解集． 50．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，点的坐标分别为，直线与直线相交于点，且点的横坐标为2． (1)求直线对应的函数表达式； (2)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 51．（25-26八年级上·江苏南京·期中）小明在学习画直线的图象时，列表如下： x … 0 1 … y … 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，回答下列问题： (1)这个算错的函数值是 ，这个函数的表达式是 ． (2)若直线过点，，且与y轴交于点B，直线经过点C，且与直线平行的，交y轴于点D，连接．求的面积． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 52．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_____，_____； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_____时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_____； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． ④观察函数图象，试判断函数的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达式． 53．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）平面直角坐标系中，直线与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出直线在直线上方时，自变量的取值范围； (3)在轴上是否存在点，使？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 54．（2025·江苏淮安·二模）如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 1．（24-25八年级上·江苏无锡期末）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．则直线BC的解析式为(   ) A．y＝－3x＋3 B．y＝－2x＋3 C． D． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A．3 B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、C，作矩形，将沿直线平移，当A、B的对应点、与点C构成直角三角形时，x轴上存在一点P，使得的值最大时P的横坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，且与其中一个正方形的边交于点，则点的坐标为 ． 7．（2025·江苏连云港·一模）如图，把直线向下平移m个单位长度后，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是 ． 8．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒，若与线段有公共点，则的取值范围为 ． 9．（24-25八年级上·江苏淮安·月考）如图，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．    （）点的坐标为 ； （）若在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 10．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点 P 在 x 轴负半轴上，作直线 交 y  轴于点 C，以点 A 为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交 x 轴于点 B， 交y 轴于点 Q ．当 时，的值为 ． 11．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积等于面积的一半，求的值． 12．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，经过点的直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为2． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围； (3)记与轴的交点为，若点在直线上，且，求点的坐标． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2． (1)求一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整、并解决问题． (1)函数的自变量x的取值范围是_______，y的取值范围是_______； (2)由，设计如下画图方案： 将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当时，y的取值范围是_______； ②当时，x的取值范围是_______． ③若对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出k的取值范围． 15．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）【问题探究】 （1）如图1，直线分别与x轴和y轴交于点A和点C，点在y轴上，连接． ①求直线的表达式； ②点P为直线上的动点，若，求点P的坐标； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标中，O为坐标原点，是小明家花园的示意图，其中点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，点C在y轴负半轴上，且米，米，小明现在准备在花园的边缘（即的边上）找一点P，连接，沿修一条小路，使得小路将分成面积比为的两部分，计划在一个区域种植郁金香，另一个区域种植牡丹，请求出直线的表达式．（小路的宽度忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 一次函数常考几何模型专项训练 （9大题型+15道拓展培优题） 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的平移模型 题型三 一次函数中的动点问题 题型四 一次函数与线段、图形交点问题 题型五 一次函数中的全等问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度角等） 题型八 一次函数中的最值问题 题型九 一次函数中的存在性问题 【经典题型一 一次函数中的面积计算】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图：直线：和直线与轴分别相交于、两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)12 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式、一次函数与二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用一次函数的性质求出点的坐标，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）联立两直线的表达式，求出交点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将代入，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将和代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立， 解得， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m． (1)求点A、点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于的面积时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，面积问题，理解题意，作出辅助线，综合运用一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意，当时，当时，分别代入求解即可； （2）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可； （3）过作于，然后结合图形表示出，得出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：． ， 当时，， ； （2）解：的横坐标为， ， 当时，， ． ， ， ， 由得：， 解得：； （3）解：过作于， ， ， ， ， 解得：． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． (1)填空： ， ； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，6 (2)50 (3)存在， 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积； （3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标． 【详解】（1）解：是一次函数与的图象的交点， ， 解得， ， 解得， 故答案为：3，6； （2）解：由（1）可知，， 当时，，解得，，即， 当时，，解得，，即， ， ， 的面积为50； （3）解：的面积与四边形的面积比为，， ， 当时，，即， 设，则， ，解得，， ， 存在，且 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线（，为常数，且）与轴交于点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)已知点是线段上一个动点（不与端点重合）． 设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系式； 若点在轴上，使得的值最小，则点的坐标为_____． 【答案】(1)， (2)与之间的函数关系式为；． 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到求函数解析式、轴对称——最短路线问题： （1）把点代入直线中得：可得到点C的坐标，再根据点坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （2）先求出点A的坐标，可得，再根据，即可求解；作点B关于y轴的对称点，过点作于点E，连接，与y轴的交点即为P点，此时的值最小，且当点D与点E重合时，取得最小值，为的长，设点，再由，可求出s的值，可得点，再求出直线的函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入直线中得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①中，当时，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵点的横坐标是， ∴点， ∵的面积是， ∴， 根据题意得：， 即与之间的函数关系式为； ②解：如图，作点B关于y轴的对称点，过点作于点E，连接，与y轴的交点即为P点，此时的值最小，且当点D与点E重合时，取得最小值，为的长， ，则， 设点， ∴ ∵， ∴， 解得：或4（舍去）， ∴点， 设直线的函数表达式为， ，解得：， 直线的函数表达式为， 令，则， ． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）一次函数的图象经过点，并且与x轴，y轴分别交于点A，B，过点A作于点A，且，点C在第一象限内． (1)求b的值； (2)求点C的坐标； (3)在第一象限内有一点，使 和 的面积相等，求t的值． 【答案】(1)4 (2)； (3)t的值为8． 【分析】本题是一次函数的综合问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质等知识，明确则是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （1）过点作轴于点，令和分别代入中即可求出与点的坐标，利用，求出点的坐标； （2）根据题意，设直线为，代入C的坐标即可求得，得到直线CP为，代入即可求得t的值． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得：． （2）由（1）得 解：令代入中，， ∴， 令代入4中，即，解得， ∴， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵在第一象限内有一点，使， ∴， 设直线的解析式为， 代入C的坐标得，，解得， ∴直线的解析式为， 把点代入得，， ∴t的值为． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A，C，一次函数的图象与的图象交于点，与轴相交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)点是轴上的一个动点，直接写出的最小值． 【答案】(1)， (2)18 (3) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，得到的最小值即为，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴的面积； （3）解：作点关于轴的对称点，连接，则，，作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【经典题型二 一次函数中的平移模型】 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线．通常也称为直线，其中称为直线的斜率，它表示直线关于坐标轴的倾斜程度．特别地，当时，直线．所以，直线可由直线或直线经过平移或旋转而得到．那么，已知直线上的两点和，如何求出的值呢？ 将两点的坐标分别代入，得到①，②．把上面两式相减，消去，得到，当时，求得． 因此，当时，直线的斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，特别地，当时，直线与轴平行（或垂直于轴），此时直线的斜率不存在． 【理解运用】 (1)已知点，，易求得直线的斜率___________，其解析式为___________； (2)已知点，，其中为常数，且．若直线与直线平行，求的值； (3)判定点，，三点是否在同一直线上？并说明理由． 【答案】(1)2； (2) (3)点不在同一条直线上，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数解析式的相关计算，解题关键是运用斜率公式及一次函数性质求解 ． （1）已知和两点坐标，根据材料中给出的斜率公式，将两点坐标代入，算出直线的斜率．再设直线的解析式为，把求出的值和点的坐标代入解析式，通过解方程算出的值，进而得到直线的解析式 ． （2）因为直线与直线平行，根据两直线平行斜率相等，可知直线的斜率等于．然后利用斜率公式，结合点和的坐标列出关于的方程，解方程得出的值 ． （3）可通过计算直线和直线的斜率，若斜率相等则三点共线，否则不共线；也可以先求出直线的解析式，再把点的横坐标代入解析式，看得到的纵坐标是否与点的纵坐标相等，相等则在直线上，否则不在，从而判断三点是否共线． 【详解】（1）解：已知， 根据斜率公式，可得 ． 设直线的解析式为， 把，代入得，即， 解得． 所以解析式为 ． （2）解：设直线的斜率为， 直线与平行， ． 即， 解得； （3）解：点不在同一条直线上，理由如下： 法一：由题意知， 点不在同一条直线上． 法二：由题意知，， 直线经过点， 直线的表达式为， 即， 当时，， 点不在直线上． 故点不在同一条直线上． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线：的图象分别与x轴、y轴交于C、B两点，C为的中点， 和是第一象限的两个点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与x轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线，直线交于点E和点F，当时，求a的值； (4)将直线、同时向右平移n个单位长度，当所得函数图象与线段（含端点）有唯一公共点时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3)或2 (4)或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，不等式的应用． （1）先求出，即可求出，代入计算即可； （2）求出，，根据三角形面积公式计算即可； （3）分别求出当时两直线的横坐标，再根据计算即可； （4）分别求出当时两直线的横坐标，再根据焦点唯一列不等式计算即可． 【详解】（1）解：令，则，即点， ∵C为中点，则点， 将点C的坐标代入得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：； （2）解：在函数中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴、与x轴所围成的三角形的面积； （3）解：当时，即，， 则，， 则， 则或2； （4）解：∵和， 在函数中，当时，， 在函数中，当时，， ∴当与线段相交，不与线段相交时，所得函数图象与线段（含端点）有唯一公共点， 则，， 即， ∴n的范围为； 当与线段不相交，与线段相交时，所得函数图象与线段（含端点）有唯一公共点， ， 即，， ∴n的范围为； ∴当所得函数图象与线段（含端点）有唯一公共点时，n的取值范围为或． 9．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）（1）模型建立： ①旋转：如图1，已知线段，将线段绕着点A顺时针旋转到，直线经过点A，过C作于D，过B作于E，易证：（不用写出证明过程）； ②平移：如图2，在中，，，，则D（ ， ）． （2）模型应用： 模型应用： ①如图3，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，过点A，C作直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在直线上有一动点P，在y轴上有一动点Q，以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点Q的坐标． 【答案】（1）②3，2；（2）①；②或 【分析】（1）①根据旋转的性质得出，，根据余角的性质得出，根据证明即可； ②根据点B、A的坐标确定平移方式，然后结合平行四边形的性质求解即可； （2）①先求出，，过C作于D，同（1）可证，得出，，则可求出，然后根据待定系数法求解即可； ②设，，分三种情况讨论：以、为对角线；以、为对角线；以、为对角线，根据平行四边形的性质，平移的规律构建方程组求解即可． 【详解】解：（1）①∵旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴B向右平移4个单位，向上平移2个单位得到A， 在中，，， ∴向右平移4个单位，向上平移2个单位得到，即， 故答案为：3，2； （2）①当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， 过C作于D， 同（1）可证， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴直线的函数表达式为； ②设，， 以、为对角线，如图， 此时，， ∴， 解得， ∴； 以、为对角线，如图， 此时，， ∴， 解得， ∴； 以、为对角线，如图， 此时，， ∴， 解得， ∴； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了旋转、平移，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，待定系数法，平行四边形的性质等知识，明确题意，合理分类讨论，运用数形结合的思想求解是解题的关键． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于B，与直线交于点P．直线与y轴交于点C． (1)如图1，若点P的坐标为，直接写出不等式的解集为______； (2)如图2，平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，若的面积是平行四边形面积的，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据点P的坐标为，得到其横坐标为4，利用数形结合思想，写出不等式的解集为； （2）利用平移的思想解答即可； （3）根据，四边形是平行四边形，得四边形的面积为，根据的面积是平行四边形面积的，得的面积是，根据点P在直线上，设，故， 解答即可． 本题考查了根据交点坐标求不等式的解集，平移确定解析式，面积的计算，熟练掌握平移和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得点P的坐标为，得到其横坐标为4， 则不等式的解集为； 故答案为：． （2）解：直线与x轴交于A，与y轴交于B， 则，； 直线与y轴交于点C． 则， 根据平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应， 故， 设直线的解析式为， 把代入得， 故直线的解析式为． （3）解：根据题意，直线与x轴交于A，与y轴交于B， 则，； 直线与y轴交于点C． 则， 根据平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应， 则，四边形是平行四边形， 故四边形的面积为， 根据的面积是平行四边形面积的， 得的面积是， 根据点P在直线上， 设， 故， 故或， 故或． 11．（2025·江苏无锡·三模）综合与实践 小涛在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围会如何呢？小涛尝试从函数的角度进行探究： 【建立模型】设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长分别为x，y，则，即，那么满足要求的可以看作是函数与的图象在第 象限内的公共点坐标． 【画出图象】 在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象    则的图象可以看成是的图象向上平移 个单位长度得到 【研究图象】平移直线，观察两函数的图象． ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，直接写出公共点的坐标及周长m的值． ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】求面积为9的矩形的周长m的取值范围． 【答案】建立模型：一 画出图象： 研究图象：①，；②当有0个交点时，；当有2个交点时， 结论运用： 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据一次函数的平移即可求解； （3）从图象可以看出，公共点的坐标，再把公共点的坐标代入即可求解； （4）根据图象即可求出m的取值范围；令即可求解． 【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数， 故点在第一象限， 故答案为：一； （2）的图像可以看成是由的图像向上平移个单位长度得到． 故答案为：； （3）①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，如图，    从图象可以看出，公共点的坐标为 把点代入得： ， 解得：， 故答案为：； ②由①并结合图象知：0个交点时，；2个交点时，； （4）当矩形的面积为9，相邻的两边长为x、y，周长为m时，则有 ， ∴，即 两个函数有交点时， 解得，或（不符合题意，舍去） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数图象平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，是解题的关键所在． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点． （1）求左侧边界线的函数表达式； （2）求灭点的坐标； 【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；迁移应用： 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，涉及求出一次函数解析式，两直线的交点，一次函数的平移等知识． （1）利用待定系数法求的解析式即可． （2）联立两直线，求出点P的坐标即可． 迁移应用：由题意知平移后的函数表达式为，再联立两直线，求出点P的坐标，根据点P的纵坐标大于6列出关于C的一元一次不等式求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设左侧边界线的函数表达式为， 把和代入得：， 解得， 左侧边界线的函数表达式为； （2）解：联立，解得， 灭点的坐标为； 迁移应用：解：将向上平移个单位长度后得直线， 联立， 解得， 灭点的纵坐标不小于6， ， 解得， 的取值范围是． 【经典题型三 一次函数中的动点问题】 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）对于平面直角坐标系XOY中的任意两点， ， 我们把叫做A， B两点之间的直角距离，记作． (1)①若点P坐标为 ， 则 ； ②若点在第一象限内，且满足 则 ； ③若点在第一象限内，且满足 求出x与y之间满足的关系式，并在平面直角坐标系内画出符合条件的点Q组成的图形． (2)设M是一定点，N是直线上的动点，我们把的最小值叫做M到直线的直角距离，试求点 到直线的直角距离． 【答案】(1)①3②③；图见解析 (2)6 【分析】本题考查了一次函数的应用，坐标系中点的特征，掌握一次函数是解题的关键． （1）①根据A、B两点之间的直角距离的定义即可直接求解； ②根据条件，利用完全平方公式求出； ②根据A、B两点之间的直角距离的定义，以及Q在第一象限，则，即可求得函数解析式，从而作出函数的图象； （2）N的横坐标是x，则纵坐标是，即N的坐标是，根据直角距离的定义即可求解，然后根据绝对值的意义即可求解． 【详解】（1）解：①， 故答案为：3； ②∵点在第一象限内，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ③，即， 又∵在第一象限， ∴， ∴x与y之间满足的关系式为：， 即； （2）解：N的横坐标是x，则纵坐标是， 即N的坐标是， 则， 表示在数轴上到2和两点的距离的和． ∴， ∴点到直线的直角距离为6． 14．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，直线上与轴、轴分别交于两点，于点，点为直线上不与点重合的一个动点． (1)点坐标为（   ）；点坐标为（   ）； (2)线段的长； (3)当的面积是时，求点的坐标． 【答案】(1), (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数的坐标、线段长度及面积问题，运用代数运算与几何结合思想， （1）通过坐标轴上点的特征求坐标； （2）用勾股定理和三角形面积公式求线段长； （3）设点坐标结合面积公式列方程求解； 关键是熟练一次函数性质和几何公式，易错点是忽略绝对值导致漏解；解题思路：（1）分别令为0求坐标；（2）先算长，再用面积法求；（3）设坐标，用面积公式列方程求坐标． 【详解】（1）解：令代入，解得，则点坐标为 令代入，解得点坐标为； 故答案为：,； （2）由（1）得； 根据的面积得其中， 所以，解得    ； 故． （3）设点的坐标为的面积以为底，且， 点到轴的距离为， 则 解得 当时，点的坐标为 当时，点的坐标为 故点的坐标为或． 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴，轴分别交于两点，直线与交于点E，若，． (1)求直线的解析式； (2)若点P为直线上一动点，当时，求此时点P的坐标； (3)点是直线上一点，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式． （1）求出A、B两点的坐标，由得点C、D的坐标，根据待定系数法可得直线的解析式； （2）先求出点的坐标，分点在点左侧，点在点右侧，且在轴左侧，点在轴右侧，三种情况讨论，利用三角形面积间的关系即可求解； （3）分点在直线上方和下方两种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：将代入，则，令，解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）知直线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 当点在点左侧时， 则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴（舍去）或， 当时，则， ∴； 当点在点右侧，且在轴左侧时， 则，不符合题意； 当点在轴右侧， 则， ∴， ∴，即， ∴， ∴或（舍去）， 当时，则， ∴； 综上，点P的坐标为或； （3）解：连接， ∵，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点在直线下方时，过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当点在直线上方时，则， ∴， ∴此时，两点重合， ∴； 综上，点的坐标为或． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，，，点F为的中点，动点P从点A出发，沿折线运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，线段与的和为，请解答下列问题： (1)请直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出的函数图象； (2)根据函数图象，写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的值． 【答案】(1)，画图见解析 (2)当时，y随x的增大而减小（合理即可） (3)x的值为2 或8． 【分析】本题考查了矩形的性质、动点问题中的函数关系建立及函数图象分析，解题的关键是分阶段分析动点位置，结合线段长度公式转化为函数表达式，并利用图象解决求值问题． （1）利用矩形对角线性质确定 长度，计算固定值；分和两段，用路程表示长度，推导y与x的函数关系； （2）根据分段函数的增减性或最值描述性质； （3）分别在两段函数中令，求解并验证x的取值范围． 【详解】（1）∵在矩形 中，，，对角线交点O为、中点， ∴，故 ． ∵点F为中点，． 当P在段时，，则；当P在段时，，则． 函数表达式为： 函数图象为两段线段：第一段从到，第二段从到，如图所示． （2）函数y的性质：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大（或函数最小值为3，在时取得）． （3）当时：若，解得；若，解得． 故x 的值为2 或8． 17．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)直接写出不等式：的解集； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与不等式等知识点，熟练掌握一次函数的图象和性质以及数形结合思想是解题的关键． （1）联立直线的解析式即可得出点A的坐标； （2）不等式的解集是函数的图象在的图象下方部分，对应自变量取值范围； （3）由点P的坐标可得出，，再利用列方程求解a的值即可． 【详解】（1）解：联立，解得：， ∴点A的坐标为． （2）解：由函数图象可得：不等式的解集是函数的图象在的图象下方部分， 所以不等式的解集是． （3）解：由题意知，，， ，解得：或． ∴点P的坐标为或． 18．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果） (2)点Q为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，或 【分析】（1）先求出点D坐标，再利用待定系数法求解； （2）①当时，，当时，，结合点D和点E的坐标，即可求解；②分“点D落在x正半轴上”和“点D落在y轴的负半轴上”两种情况，根据轴对称的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：点D的横坐标为4，点D在一次函数的图象上， 将代入，得， ， 将，代入， 得：， 解得， 直线的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：①将代入，得， ， 将的面积分为两部分时，有两种情况： 当时，， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为； ； 当时，， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为； ， 综上可知，点Q的坐标为或； ②存在，点Q的坐标为或．求解过程如下： 一次函数与y轴的交点坐标为，即， 当点D落在x正半轴上(记为点)时，如图，作轴于点H，连接， ，， ，， ， 由轴对称的性质得，， 在和中，， ， ， ， ， 轴， 点Q的纵坐标为3， 将代入，得，解得， 点Q的坐标为； 当点D落在y轴的负半轴上（记作)时，如图，过点Q作于M，于N， 由轴对称的性质得，， 平分， ， ，，， ，，， ， ， 解得， ∴点Q的横坐标为． 将代入，得， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、角平分线的性质定理、轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 【经典题型四 一次函数与线段、图形交点问题】 19．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象为直线，直线，的交点为点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)若点为轴上一动点，当时，求点坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析数，函数交点的运算，三角形面积的运算，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数求出的解析式，再联立和运算即可； （2）利用三角形的面积公式列式运算即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 所以，直线的解析式， 联立和可得：， 解得， 则， 所以； （2）点为轴上的点，且， ， 解得：， 点的坐标为或． 20．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与交于点，直线与y轴的交点为B． (1)求直线与的解析式： (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)8 【分析】（1）把点代入直线，确定b；把点，分别代入解答即可． （2）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，解答即可． 本题考查了运用待定系数法求直线解析式以及直线围成图形面积问题，勾股定理的逆定理，其中涉及了一次函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入直线，得， 解得， 故直线； 把点，分别代入，得， 解得， 故． （2）解：由，得， 由点，，得，， ， 故， 故是直角三角形， 故的面积为：． 21．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点P从点B出发沿的方向运动至点A处停止．设x表示点P运动的路程，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，若该函数图象与一次函数的图象有交点，则m的取值范围是_________． 【答案】(1) (2)见解析；函数的最大值是6（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息，勾股定理等，熟练掌握函数的基本性质，是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当点在上运动，当点在上运动时，由三角形的面积公式求解即可； （2）根据题意画出图象，再根据图象得出函数的性质即可； （3）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：过点A作于点D，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 当点在上运动时，则： 的面积为； 当点在上运动时，则： 的面积为； 即； （2）解：如图所示： 函数的一条性质：函数的最大值是6（答案不唯一）； （3）解：当一次函数的图象经过点时，， 解得：， 当一次函数的图象经过点时，， 解得：， ∴根据函数图象可得：当时，该函数图象与一次函数的图象有交点． 22．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)1，0； (3) (4) 【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算． （1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可． （2）直接由（1）即可求解； （3）根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下： （2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为； 故答案为：1，0； （3）解： （4）解：∵该函数图象绕原点旋转， ∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， 设旋转后的图象的解析式为， ∴，解得：， ∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为． 23．（2025·江苏南京·一模）如图，轴，点，，且点在点的右侧，一次函数的图象经过点．    (1)点B的坐标为______； (2)当一次函数的图象与线段有公共点时，求k的最大值与k的最小值的乘积； (3)已知两函数图象无交点，且无论取何值时，一次函数的值始终大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)k的最大值与最小值的乘积为 (3)m的取值范围为且 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键； （1）线段轴，、两点纵坐标相等，又，点在点右边，根据距离确定点坐标． （2）利用待定系数法求得直线过点、或、时的的值，即可求得的最小值为，的最大值为，进一步求得的最大值与的最小值的乘积； （3）由题意可知直线与直线平行，且直线在直线的上方，据此得出，解得，由，则． 【详解】（1）解：与轴平行， 、两点的纵坐标相同，都为2， 又点，， ； 故答案为：； （2）解：一次函数的图象经过点， ． ． ． 当一次函数 的图象经过点时， ．解得． 当一次函数 的图象经过点时， ．解得． 当时，一次函数 的图象与线段有公共点， 的最小值为，的最大值为． 的最大值与最小值的乘积为； （3）解：两函数图象无交点，且无论取何值时，一次函数的值始终大于一次函数的值， 直线与直线平行，且直线在直线的上方， ， 解得， ， ， 的取值范围为且． 24．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）探究与应用 【探究发现】 小文和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义→图象→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点A是数轴上一点，表示的数是1；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，AB的距离为y，随着x的变化，AB的距离y会如何变化呢？ （1）数学小组通过列表得到以下数据： x 0 1 2 3 4 5 … y 3 2 1 0 1 2 3 m … 其中________． 数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？________（填“是”或“不是”）． （2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质：___________________________________________． 【应用拓展】 若点，均在该函数图象上，请直接写出a，b满足的数量关系：_________． 将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为_________．（备注：直线即过点且与轴平行的直线） 【答案】（1）4，是；（2）见解析；（3）；或 【分析】本题主要考查函数的图象和性质，数轴上两点间距离，二元一次方程组，涉及一次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式求m，根据函数的定义判断是否为函数； （2）根据表格中数据描点连线，再根据所得图象写出一条性质即可； （3），关于直线对称，据此求解；作出翻折后新函数图象，如图，求出一次函数图象与直线重合及平行时的k值，即可得出答案． 【详解】解：（1）点B表示的数是5，的距离为， 给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，因此y是x的函数， 故答案为：4，是； （2）依题意得： 描点、连线，则所画函数图象如图所示： 函数的性质：①该函数图象关于直线对称；②当时，函数有最小值0；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小；（以上写对一条或言之有理即得分） （3）由（2）中函数图象可得：，关于直线对称， ， ， 翻折后新函数图象如下图所示： 则，，， 对于一次函数，无论k取何值，当时，值一定为3， 因此一次函数图象过定点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为； 同理，直线的解析式为，则点在直线上， 由图知，若一次函数图象与直线平行，则，此时一次函数与该函数图象只有一个交点， 若一次函数图象与直线重合时，则，此时一次函数与该函数图象有无数个交点， 当或时，一次函数与该函数图象只有一个交点， 故答案为： ；或． 【经典题型五 一次函数中的全等问题】 25．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴， ∴，即， ∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时， ∴； 当时，且点在点的下方，如图： 同理，； 综上，点C的坐标为或或． 26．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】： （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点． ①求点A和点B的坐标，并计算的长度． ②是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，求的最小值． 【模型拓展】： （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线对应的函数表达式． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①一次函数，令求得点B的坐标；令求得点A的坐标，再根据两点之间的距离公式计算即可． ②点到直线的距离最短为垂线，根据垂直求得，结合证得，得到，利用勾股定理即可求得的长； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； 【详解】解：（1）①对于， 当时，， 令时，，则， 即，， ∴； ②因为A是定点，当时，有最小值，如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为． （2）过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，，当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线l对应的函数表达式为； 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理和旋转的性质，了解一次函数的性质和旋转性质是解题的关键． 27．（24-25八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点M是直线上的点，过点M作轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 【分析】（1）将点代入直线：可得，利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）分两种情况：①当时；②当时，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：因为直线：与直线交于点， 所以， 所以， 又因为过点， 故设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 所以直线的函数表达式为． （2）因为直线 ：与x轴交于点A，与y轴交于点D． 所以， 因为轴于点N， 所以， 所以以O、M、N为顶点的三角形与全等，分两种情况：    ①如图，当时，， 因为直线的函数表达式为， 当时，， 所以点M的坐标为； ②如图，当时，， 因为直线的函数表达式为， 当时，， 所以点M的坐标为． 综上所述，满足条件的点M的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数和全等三角形的性质是解本题的关键． 28．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）若直线y mx8和ynx3都经过 x 轴上一点 B，与 y 轴分别交于A、C． （1）写出 A、C 两点的坐标，A ，C ____ ； （2）若BC平分∠ABO，求直线AB和CB的解析式； （3）点D是y轴上一个动点，是否存在 AB上的动点E，使得△ADE与△AOB全等，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）（0，8），（0，3）；（2）直线AB：yx+8，直线CB：yx+3；（3）（6，16），， 【分析】（1）由两条直线解析式直接求出A、C两点坐标； （2）过点C作CH⊥AB，交直线AB于点H，证明△BCH≌△BCO，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OB=6，把点B代入解析式即可得到结论； （3）分三种情况得到△ADE，再结合全等的性质求解即可． 【详解】解：（1）由直线y=mx+8和y=nx+3得A（0，8），C（0，3）， 故答案为：（0，8），（0，3）； （2）解：过点C作CH⊥AB，交直线AB于点H；    ∵ BC平分∠ABO，且CO⊥x轴，CH⊥AB， ∴CO=CH 又∵OC=3，OA=8； ∴CH=3，AC=5； ∴在Rt△CHA中，∠CHA=90°，CH²+CA²=AH²； 所以AH=4 ∵易证△BCH≌△BCO（AAS）； ∴BO=BH； 设OB长为x，则AB=4+x ∴在Rt△AOB中，x²+8²=（x+4）² 解得x=6 ∴B（-6，0） 将点B分别代入直线AB、直线BC可得： 直线AB解析式为：； 直线BC解析式为：； ∴直线AB：yx+8，直线CB：yx+3； （3）情形1，如图    当△ADE≌△AOB时，AD=AO=8，DE=BO=6， ∴OD=16， ∴点E的坐标为（6，16） 情形2，如图，    当△AED≌△AOB时，AD=AB=10，DE=BO=6，AE=AO=8， 过点E作EF⊥AD，则有 ∴ ∴点E的横坐标为，代入得，y=, ∴点E的坐标为（，）； 情形3，如图，    当△AED≌△AOB时，方法同情形2可求出EG=， ∴点E的横坐标为-，代入得，y=, ∴点E的坐标为（-，）； 综上，点E的坐标为（6，16），，． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据题意求出点的坐标，根据图形的特殊性利用全等三角形的性质求出OB，再求一次函数解析式． 29．（2025·江苏宿迁·模拟预测）为了增加校园绿化，学校计划建造一块边长为的正方形花坛种植“两花一草”，如图，取四边中点，构成正方形（甲区域），在四个角落构造4个全等的矩形（已区域），甲、乙两区域种植不同花卉，剩余区域种植草坪．    (1)经了解，甲区域建造费用为50元/，乙区域建造费用为80元/，草坪建造费用为10元/，设每个矩形的面积为，建造总费用为y元，求y关于x的函数关系式； (2)当建造总费用为74880元时，矩形区域的长和宽分别为多少米？ (3)甲区域建造费用调整为40元/，乙区域建造费用调整为a元/（a为10的倍数），草坪建造单价不变，最后建造总费用为55000元，求a的最小值． 【答案】(1) (2)矩形区域的长和宽分别为12米和8米 (3)的最小值是50． 【分析】（1）先求出正方形、正方形、种植草坪的面积，然后根据“费用=单价×面积”即可解答； （2）设一个矩形区域的长和宽分别为m，n，则，．然后代入（1）所得解析式可得，即，即可求得m的值，进而完成解答； （3）先根据题意可得，即；再求得x的最大值，最后代入即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：正方形的面积为，正方形的面积为，种植草坪的面积为，根据题意可得：． （2）解：设一个矩形区域的长和宽分别为m，n，则，． 依题意可得：，解得． ，解得，（舍去）． ，． 答：矩形区域的长和宽分别为12米和8米． （3）解：依题意，． ． ， 当时，最大． ． 的最小值是50． 【点睛】本题主要考查了列函数关系、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 30．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）综合与探究 【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，M，N是直线上的两动点，连接，．若，，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点B的直线与y轴交于点C，H为线段上的一点，作射线．若，请直接写出m的值及直线的函数解析式． 【答案】（1）证明见解答过程；（2）的长的最小值为；（3），直线的函数解析式为． 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）求出，得，又，故是等腰直角三角形； （2）当时，的长最小，证明，得，再用勾股定理得，故的长的最小值为； （3）过作交于，过作轴，过作于，过作于，设，把代入得：，解得，知直线解析式为，可得，证明，可得，故 ，可求得，再用待定系数法即得直线的函数解析式为． 【详解】（1）证明：在中，令得，令得， ， ， ， ∴是等腰直角三角形； （2）解：当时，的长最小，如图： ， ， ， ， ， ， ． ∴的长的最小值为； （3）解：过作交于，过作轴，过作于，过作于，如图： 设， 把代入得：， 解得， ∴直线解析式为， 在中，令得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线的函数解析式为． 【经典题型六 一次函数中的翻折模型】 31．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点的直线交轴负半轴于点，且． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为____________； (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为点，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求函数值或自变量的值等，确定各点与函数关系式之间的关系是解题的关键． （1）分别令和，即可求解； （2）由折叠的性质可得，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴点，点，即， ∵， ∴， ∴点； 故答案为：， （2）解：由（1）得，，， ， ∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ． 32．（25-26八年级上·江苏镇江 ·期中）如图，直角坐标系中，，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点．点关于轴对称，连接． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)设面积的和，求的值； (3)在求（2）中时，小明有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积，更快捷．”但大家经反复验算，发现，请通过计算解释他的想法错在哪里． 【答案】(1)，，直线的解析式为：； (2) (3)见详解 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质是关键． （1）根据直线与坐标轴的交点进行计算得到的坐标，运用待定系数法即可求解直线的解析式； （2）根据题意得到，根据面积公式计算即可求解； （3）根据轴对称的性质判定即可． 【详解】（1）解：直线与轴及直线分别交于点， ∴当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∵点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：在直线：中，当时，， 解得，， ∴直线与轴的交点为，与点不同， ∴，即． 33．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）把一次函数（为常数，）在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴上方的图象组合，得到一个新的图象，这个新的图象即为函数的图象．例如：如图1就是函数的图象． (1)请在图2中画出函数的图象，并直接写出该图象与轴交点的坐标是_____； (2)在（1）的条件下，若直线与函数的图象相交于两点，求的面积； (3)函数（为常数）的图象经过两点，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析， (2)2 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用、函数的增减性与对称性等知识，熟练掌握函数图象法是解题关键． （1）利用描点法画出函数图象即可得，再求出当时，的值即可得点的坐标； （2）分两种情况：和，求出点的坐标，再利用割补法求出面积即可得； （3）先求出函数经过定点、与轴的交点为，对称轴为直线，再分两种情况：和，结合函数图象求解即可得． 【详解】（1）解：对于函数， 当时，， 当时，， 当时，， 则在图2中画出函数的图象如下： 则该图象与轴交点的坐标是， 故答案为：． （2）解：如图，由（1）可知，， 当时，设两个函数图象的交点为点， 联立，解得，即，符合题设； 当时，设两个函数图象的交点为点， 联立，解得，即，符合题设； 则的面积为． （3）解：由题意可知，为常数，且， 将代入函数得：， ∴函数经过定点， 当时，，解得， ∴这个函数与轴的交点为，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ①如图，当时， ∵函数（为常数）的图象经过两点，且， ∴由函数图象可知，点离对称轴更远， ∴，整理得， ∴， ∴或， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当时，这个函数的对称轴为直线， ∵函数（为常数）的图象经过两点，且， ∴由函数的增减性可知，此时始终有； 综上，的取值范围为或． 34．（25-26八年级上·全国·期中）如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与直线交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点．为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F（如图②）． (1)填空：________，________，________； (2)求的面积； (3)若为直角三角形，求点D的坐标． 【答案】(1)，4，8 (2)． (3)点D的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点的坐标，然后利用三角形面积公式直接计算即可； （3）分两种情况：①当时，过作轴于，可得为直角三角形，得到，从而得到答案；②当时，由折叠得，设，则，利用勾股定理得到方程，求出m，再求即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入直线中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 将点代入， 得， ∴， 将点代入直线中， 得， 解得， 故答案为：，4，8； （2）解：由（1）可知，直线 ∵直线与x轴交于点C，当时，， ∴． 又∵，， ∴，的边上的高为4， ∴． （3）解：分两种情况讨论： ①当时，如答图①． 则， 由折叠得， ∴， 过点A作于点G，则， ， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②当时，如答图②． 则，， 由折叠得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键． 35．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，把一次函数（，为常数，）．在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴及上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“”形图象，例如，如图1就是函数的“”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“”形图象； (2)在（1）的条件下，根据图象2，下列关于该函数性质的说法正确的有______．（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，函数表达式为，当时，； ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值0； (3)在（1）的条件下，若一次函数的“”形图象与轴交于点A，与直线相交于，两点（点在点的左侧）， ①点的坐标为______；点的坐标为______． ②求的面积． (4)如图3，已知，，若一次函数（）的“”形图象与线段有二个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1)作图见解析 (2)①②③ (3)①，；②20 (4)或 【分析】本题考查一次函数的应用及两直线的交点问题，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）对于一次函数，先求与坐标轴交点，令，则；令，则．画出的图象，再将轴下方部分沿轴向上翻折，得到“”形图象． （2）从图象对称性、不同区间函数表达式及最值点三方面，依据“”形图象性质与翻折规则进行判断． （3）①由一次函数解析式确定点A的坐标即可，然后联立求出交点坐标， ②结合图形利用分割法求三角形面积即可； （4）对k的取值范围进行分类讨论，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）①从图象看，沿直线对折，图象左右两部分能完全重合，所以该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线，①正确． ②当时，图象在轴下方，翻折后函数表达式为；当时，图象在轴及上方，函数表达式为，②正确． ③．观察图象可知，在自变量取值范围内，最低点是，即当时有最小值，③正确． 故答案为：①②③； （3）①∵一次函数的“”形图象与轴交于点， ∴，对于（部分）可得，即． 联立， 将代入得： ． 解得， 把代入得 ， ∴． 联立， 将代入得： ． 解得， 把代入得 ， ∴． 故答案为：，； ②过作轴于，过作轴于， 则，，，，． ． （4）当时，一次函数过定点，要使“”形图象与线段有两个交点，当直线过时， ， 解得， 所以． 当时，当直线过时，， 解得， 所以． 综上所述：或． 36．（24-25八年级上·江苏南京·月考）探究与应用 【探究发现】 晓豫和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义图象性质应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点是数轴上一点，表示的数是1；点是数轴上一动点，若它表示的数是，的距离为，随着的变化，的距离会如何变化呢？ （1）数学小组通过列表得到以下数据： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 1 0 1 2 3 4 … 其中 ． 数学小组发现给定一个的值，就会有唯一的一个值与之对应，是的函数吗？ （填“是”或“不是”） （2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ； 【应用拓展】 （3）若点，均在该函数图象上，请直接写出，满足的数量关系： ； （4）将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折，得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为 ．（备注：直线即过点且与轴平行的直线） 【答案】（1）2，是；（2）见解析；（3）；（4）或 【分析】本题主要考查函数的图象和性质，涉及一次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式求m，根据函数的定义判断是否为函数； （2）根据表格中数据描点连线，再根据所得图象写出一条性质即可； （3），关于直线对称，据此求解； （4）作出翻折后新函数图象，如图，求出一次函数图象与直线重合及平行时的k值，即可得出答案． 【详解】解：（1）点B表示的数是，的距离为， 给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，因此y是x的函数， 故答案为：2，是； （2）依题意得： 描点、连线，则所画函数图象如图所示： 函数的性质：①该函数图象关于直线对称；②当时，函数有最小值0；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小；（以上写对一条或言之有理即得分） （3）由（2）中函数图象可得：，关于直线对称， ， ， 故答案为：； （4）翻折后新函数图象如下图所示： 则，，， 对于一次函数，无论k取何值，当时，值一定为3， 因此一次函数图象过定点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为； 同理，直线的解析式为，则点在直线上， 由图知，若一次函数图象与直线平行，则，此时一次函数与该函数图象只有一个交点， 若一次函数图象与直线重合时，则，此时一次函数与该函数图象有无数个交点， 当或时，一次函数与该函数图象只有一个交点， 故答案为：或． 【经典题型七 一次函数中的旋转模型（45度角等）】 37．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 【答案】 【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B， ∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=， ∴A（，0），B（0，﹣3）， ∴OA=，OB=3， 过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E． 则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°， ∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°， ∴∠OAB=∠AFE． 又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°， ∴∠AFB＝45°， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴ AB＝AF ∴△AOB≌△FEA（AAS） ∴AE＝OB，EF＝OA， ∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝， ∴F（，－）． 设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中， ∴－＝k－3， ∴k＝， ∴直线BC的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键． 38．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道，平移、翻折、旋转是3种基本的图形运动．你能求出将直线平移、旋转后对应的函数表达式吗？    (1)将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为________； (2)如图，一次函数的图象与轴的交点为点，将直线绕点A逆时针旋转，求所得的图象对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平移规律得出平移后的函数表达式； （2）过点B作交所得的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A、D的坐标，再利用待定系数法即可求得解析式． 【详解】（1）利用平移规律得， 将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度， 所得到的图象对应的函数表达式为， 故答案为：； （2）如图，过点B作交所得的图象于点D，过点D作轴于点E，    函数于y轴交点为点A，与x轴交点为点B， 令，，故，， 令，，故，， 将直线绕点A逆时针旋转， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设所得的图象对应的函数表达式为， 将、代入得， ， 解得， 所得的图象对应的函数表达式为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，平移及旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 39．（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，等腰直角三角形中，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、． (1)求k的值和点A的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； (3)将直线绕点A旋转得到，求的函数表达式． 【答案】(1)，点 (2)点E的坐标为 (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，正确利用模型是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点C作轴交于点F，证明，据此即可求解； （3）当直线绕点A顺时针旋转得到时，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，证明，求得，利用待定系数法即可求解；当直线绕点A逆时针旋转得到时，同理可求． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入得：， 解得：， 则该函数的表达式为：， 令，则； ∴， 即，点 （2）解：过点E作轴交于点F， ∵， ∴由K型全等模型可得， ∴，则， ∴点E的坐标为； （3）解：当直线绕点A顺时针旋转得到时， 过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， ∴由K型全等模型可得， ∵与x轴的交点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴； 当直线绕点A逆时针旋转得到时， 同理可得； 综上所述：直线的解析式为或． 40．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知．    (1)如图1，点D在上（点D不与点B，C重合），且，连接． ①当时，求的长． ②当时，________． ③在②的条件下，若将线段绕点A逆时针旋转，旋转后点B的对应点为点，连接．旋转过程中，的最大值为a，最小值为b，则_______． (2)如图2，把绕点A逆时针旋转得，交于点P，与 的延长线交于点Q，请判断射线是否经过点Q，并说明理由． 【答案】(1)①6；②；③32 (2)射线经过点Q，理由见解析 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，掌握这些性质定理，建立平面直角坐标系，利用一次函数的性质求解是解题的关键． （1）①过点D作于点G，证明是等腰直角三角形，求出，利用勾股定理即可解答；②方法同①；③由题意得，在同一条直线上和三点共线时，可求出最大值和最小值即可解决问题 （2）建立平面直角坐标系，由旋转确定点M，N的坐标，求点P的坐标，进而得到直线的解析式，求出直线，的解析式，联立求得交点Q的坐标将点Q坐标代入直线的解析式，判断结果． 【详解】（1）解：①如图，过点D作于点G，    ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ②如图，过点D作于点G，    ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ③当旋转，在同一条直线时，最短，      ∵ ∴的最小值， 当旋转，且三点共线时，最大，的最大值， ∴． 故答案为：32； （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系，        ∵线段绕点A逆时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得线段， ∴， ∵， ∴， ∴M，N关于y轴对称， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴， 同理得直线的解析式为， 又∵， 同理得直线的解析式为， ∵， 同理得直线的解析式为， 联立， 解得， ∴． ∵当时，， ∴射线经过点Q． 41．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．近年来，AI技术已悄然渗透日常，信息技术课上，小宛用一款名为“GGB”数学应用软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生一些数学问题，请你帮助小宛解决下列问题． 【条件设置】将图1放置在直角坐标系中（图2），设点O为坐标原点，水平直线为横轴，过点O的铅垂线为纵轴．小球从y轴上的A点出发，到达x轴上的B点后改变方向运动到挡板上D点处，其中轴，垂足为C，，小球运动都为直线型路径． 【初步发现】 (1)如图2，若的函数关系式为． ①则点A坐标为________；点B坐标为________； ②聪明的小宛发现当时，就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，则点D的坐标为________； 【方法总结】遇等腰直角三角形，可以过两个锐角顶点分别向直角顶点所在的直线作垂线，就得到了两个全等的直角三角形，从而利用线段相等得到点的坐标． 【应用探究】 (2)已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过反比例函数图象一点E，在第二象限构造等腰直角，使得，求反比例函数的表达式； 【拓展延伸】 (3)如图4，将直线绕点A旋转得到，直接写出的函数表达式． 【答案】(1)①；；② (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形是解题的关键． （1）①利用一次函数的性质即可求解；②通过证明，得出，，代入数据即可得出点D的坐标； （2）作轴于点，利用一次函数的性质求出点的坐标，再通过证明，得到，，代入数据得到点E的坐标，再利用待定系数法求反比例函数表达式即可； （3）根据题意，分两种情况讨论：①直线绕点A顺时针旋转得到；②直线绕点A逆时针旋转得到，过点作交于点，作轴于点，通过证明，得到，，代入数据得到点M的坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：①令，则， 令，则，解得， 点A坐标为；点B坐标为． 故答案为：；． ②， ， 轴， ， ， ， 又，， ， ，， 由①得，，， ，， ， 点D的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图，作轴于点， 令，则， 令，则，解得， ，， ，， ， ， 轴， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， 代入到反比例函数，得， 反比例函数的表达式为． （3）解：由（2）得，，， ①若直线绕点A顺时针旋转得到， 如图，过点作交于点，作轴于点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 设直线的函数表达式为， 代入，得， 解得：， 直线的函数表达式为； ②若直线绕点A逆时针旋转得到， 如图，过点作交于点，作轴于点， 同理①的方法可得，，， ， ， 设直线的函数表达式为， 代入，得， 解得：， 直线的函数表达式为； 综上所述，直线的函数表达式为或． 42．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【经典题型八 一次函数中的最值问题】 43．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知点，直线与x轴、y轴分别交于点A，B． (1)若的面积为8，求m的值； (2)直线与相交于点P，与y轴相交于点C，连接．当取得最小值时，求m的值； (3)在（2）的条件下，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)m的值为2 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键． （1）利用直线求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程组即可求解； （2）作出Q关于直线对称的点．当，C，P在一直线上时，取最小值为，将代入．即可求m的值； （3）由（2）知，当时，即，解得，结合题意可得． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A，B， ∴当时，；当时，， ∴，， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴（负数舍去）， ∴m的值为2； （2）解：由题意，作出Q关于直线对称的点， ∵， ∴， ∴， ∴，即轴， ∵， ∴． 由题意，当，C，P在一直线上时，取最小值为， ∴在直线上． ∴． ∴（不合题意，舍去）或； （3）解：∵， ∴， 当时，即，解得， ∵时，对于x的每一个值，的值大于函数的值， ∴． 44．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点B．直线经过点，与直线交于点E． (1)求直线的函数关系式； (2)连接，求的面积； (3)已知点Q的坐标为，则为何值时，最小，最小值是多少． 【答案】(1) (2) (3)当时，最小值是 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，以及轴对称−−最短线路问题， （1）利用待定系数法求出直线解析式即可； （2）先求出点坐标，再根据，求出即可； （3）根据将军饮马模型，作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最小，由坐标系中两点的距离公式计算即可． 【详解】（1）解：把代入直线解析式， 得：，解得：， 则直线解析式为； （2）对于直线， 令，得到，令，得到，即， ， ， 联立得：， 解得：，即， 则； （3）作出A关于的对称点，连接，与交于点Q， 此时最小， 由对称可知得， ， ， ， 当时，， 当时，最小值是． 45．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，经历了结合图象研究函数性质的过程．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，并解决如下问题． (1)当时，_____；当时，_____； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象； (3)已知点在这个函数图象上，求的值； (4)当时，的取值范围为_____； (5)点、是该函数图象上不重合的两点，横坐标分别为、．小明对、之间（含、两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)0；5 (2)图象见详解 (3)或 (4) (5)或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把，代入函数解析式进行求解即可； （2）根据描点、连线可画出函数图象； （3）由题意可把代入函数解析式进行求解即可； （4）根据（2）中函数图象可进行求解； （5）根据（2）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可把代入得：， 把代入得：； 故答案为0；5； （2）解：由可列表如下： x ….. 0 1 3 ….. y ….. 0 3 2 4 ….. 所作函数图象如下： （3）解：∵点在这个函数图象上， ∴当时，则有，即； 当时，则有，解得：； 综上所述：或； （4）解：当时，则有， ∴由（2）中函数图象可知：当时，的取值范围为； 故答案为； （5）解：由（2）中函数图象可知：当点P、Q在之间时，图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时， ∴或， 解得：或． 46．（25-26八年级上·江苏南京·期中）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量的取值范围是______； (2)如表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 … … 1 0 0 … ①______； ②若，为该函数图象上不同的两点，则______； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②已知直线与函数的图象交于、两点（C点在D点左侧），请作出直线，并直接写出点C和点D的坐标，点C的坐标是______，点D的坐标是______． 【答案】(1)全体实数 (2)①；② (3)图象见解析；①；②图象见解析；， 【分析】（1）根据题意得自变量的取值范围是全体实数； （2）①把代入，即可求出m；②把代入，即可求出n； （3）①画出该函数的图象即可求解；②在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，即可求解． 【详解】（1）解： 在函数中，自变量的取值范围是全体实数； 故答案为：全体实数 （2）解：①把代入得：； 故答案为： ②当时，， 解得：， ∵，为该函数图象上不同的两点， ∴； 故答案为： （3）画出该函数的图象如图， ①观察图象得：该函数的最小值为； 故答案为； ②对于，当时，；当时，， 在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象， 观察图象得：点C的坐标是，点D的坐标是． 故答案为：， 【点睛】考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键． 47．（25-26八年级上·江苏南京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： x … m 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 n 5 … (1)补全表格：_______，_______； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； (3)根据表格及函数图象，探究函数性质： ①当时，_______；当时，_______， ②下列说法正确的个数是_______； （i）变量x是变量y的函数；（ii）x每增加就减小1 （iii）图象经过第一、二象限；（iv）当时，y有最小值； A．1　　B．2    C．3　　D．4 (4)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程有两个实数解，直接写出实数a的取值范围：______． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①12，2025或；②B (4) 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当时的值，当时的值即可得到答案； （2）先描点，然后连线画出对应的函数图象即可； （3）根据（2）所画函数图象进行求解即可； （4）确定直线恒过点，根据方程有两个实数解，即直线与直线有两个交点，画出图象进行求解即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，则， 或， ∴， 在中，当时，，即， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：根据（2）中图象可得：①当时，； 当时，则，解得：或， 故答案为：12，2025或； ②（i）变量x不是变量y的函数，原说法错误； （ii）当时，x每增加就增加1，原说法错误； （iii）图象经过第一、二象限，正确； （iv）当时，y有最小值，正确； 故选：B． （4）解：直线恒过点， ∵方程有两个实数解， ∴直线与直线有两个交点， 当平行于时，或， 由函数图象可知，当时，直线与直线有两个不同的交点， 即方程有两个实数解， 故答案为：． 48．（24-25八年级上·江苏常州·期末）爱探究的小明对函数为常数，且的性质进行了探究性学习请帮助小明完成如下探究过程中的问题．                                                                  (1)绘制函数图象： 列表：请根据数据直接写出该函数的表达式； 描点：请根据表格中的数对在平面直角坐标系中描点； 连线：请利用中已描出的各点，画出该函数的图象． (2)探索函数性质： 当时，随的增大而______； 当时，该函数有最小值为______； 当时，随的增大而______； (3)运用函数性质： 关于的方程的解是______； 关于的不等式的解集为______． 【答案】(1)，图象见解析； (2)减小，，增大； (3)或或． 【分析】本题主要考查函数的图象与性质，画函数图象，根据图像判断函数的增减性以及方程和不等式与函数图象的关系，运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据表格给出的值代入表达式，分别求出，确定函数表达式； （2）根据（1）中所绘函数图象直观得到函数的增减性； 方程，该方程的解函数为，当时所对应的值，从表格中数据即可得到结果； 不等式的解集为函数在图象上方所对应的自变量的取值范围，绘制图象，即可直接得到解集． 【详解】（1）解：依题意， 当时，，代入表达式， ∴ 得， 当时，，代入， ∴ 得， 故函数表达式为， 如图： ； （2）解：由图象可知，当时，随的增大而减小， 当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而增大； 故答案为：减小；1；增大； （3）解：方程，该方程的解函数为，当时所对应的值， 当时，的取值为或， 原方程的解为或； 故答案为：或； 在（1）中的图象中画出的图象， 则不等式的解集为函数在图象上方所对应的自变量的取值范围， 如图， 可得当或时，的图象在的图象上方， 即不等式的解集的或， 故答案为：或． 【经典题型九 一次函数中的存在性问题】 49．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数的表达式； (2)一次函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数交点问题等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先确定A点的坐标，然后利用待定系数法计算一次函数解析式即可； （2）设点，再确定点D坐标，易知，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）根据两直线交点解不等式即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴，解得， ∴点的坐标； ∵一次函数的图像过点和点， 则有，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：存在，理由如下： 设点， ∵点P在一次函数的图象上， ∴， 对于一次函数，令， 则有，解得， ∴点，故， 根据题意可知：， ∴，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴点的坐标或； （3）解：由（1）知，结合函数图像， 所以不等式的解集为． 50．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，点的坐标分别为，直线与直线相交于点，且点的横坐标为2． (1)求直线对应的函数表达式； (2)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的交点问题，求一次函数的解析式，通过三角形的面积求点的坐标等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据解析式求出相关点的坐标，设点的坐标为，根据三角形面积的数量关系列出绝对值方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 由点的坐标分别为， 可知， 解得， 所以直线的函数表达式为； （2）解：因为直线的函数表达式为， 令，得， 所以直线与轴交于． 因为点在直线上，且点的横坐标为2，代入可得， 所以． 设点的坐标为， 因为的面积是的面积的2倍， 所以， 解得或， 所以点的坐标为或． 51．（25-26八年级上·江苏南京·期中）小明在学习画直线的图象时，列表如下： x … 0 1 … y … 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，回答下列问题： (1)这个算错的函数值是 ，这个函数的表达式是 ． (2)若直线过点，，且与y轴交于点B，直线经过点C，且与直线平行的，交y轴于点D，连接．求的面积． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）可证明自变量的值每增大1，则函数值增大，据此结合表格中的数据可得第一空的答案，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再分别求出点B和点D的坐标，最后根据列式求解即可； （3）求出，进而得到的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设都是直线上一点， ∴， ∴， ∴自变量的值每增大1，则函数值增大， 由表格中的数据可知，自变量从到时，函数值增大， 自变量从到0时，函数值增大， 自变量从0到1时，函数值增大， ∴这个算错的函数值是， ∴， ∴， ∴这个函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵直线经过点C， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， ∴ ； （3）解：由（2）， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为或． 52．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_____，_____； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_____时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_____； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． ④观察函数图象，试判断函数的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达式． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3)①；②；③存在最小值，最小值是；④是， 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． 【详解】（1）解：将代入，得：； 将代入，得：； 故，， 故答案为：，； （2）解：描点，连线，画出函数图象如图： （3）解：①由图象可知：时，的值随的值的增大而增大； ②由图象可知，当时，的取值范围是：； ③由图象可知，函数存在最小值，为； ④由图象可知，函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线， 故答案为：①，②． 53．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）平面直角坐标系中，直线与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出直线在直线上方时，自变量的取值范围； (3)在轴上是否存在点，使？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合，熟练掌握待定系数法求解析式，交点坐标，三角形存在性问题是解题的关键． （1）将点代入上，求出的值，再将点代入上，求出的值，即可得到直线的解析式． （2）根据直线与直线交于点，可直接写出直线在直线上方时，自变量的取值范围； （3）当点在轴上时，分别根据，分两种情况讨论，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：由条件可得：， ， 点在上，代入可得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：由图象可知当直线在直线上方时，； （3）解：由题可得：当点在轴上时，使， ， ， 或． 54．（2025·江苏淮安·二模）如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）求出，，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形；当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形；当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积； （3）分两种情况讨论：当时，此时，；当时，此时，． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵的长分别是方程的两个根（）， ∴，， 由折叠可知，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，故； 当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，故； 当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，即； 综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为； （3）当时，，此时， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴M点与P点关于对称， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，动点引出的几何图形面积与函数问题，两点间距离公式，一元二次方程，正方形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上内容是解题关键． 1．（24-25八年级上·江苏无锡期末）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．则直线BC的解析式为(   ) A．y＝－3x＋3 B．y＝－2x＋3 C． D． 【答案】B 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可得OB=BD=3，OC=CD，∠BOC=∠BDC=90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式， 【详解】解：∵直线y＝−x+3分别与x、y轴交于点A、B， 令x=0，则y=3，令y=0，则x=4， ∴点A（4，0），点B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB==5， ∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处， ∴OB=BD=3，OC=CD，∠BOC=∠BDC=90°， ∴AD=AB-BD=2， ∵AC2=AD2+CD2， ∴（4-OC）2=22+OC2， ∴OC=1.5， ∴点C（1.5，0）， 设直线BC解析式为：y=kx+3， ∴0=1.5k+3， ∴k=-2， ∴直线BC解析式为：y=-2x+3， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理等知识，求出点C坐标是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，根据一次函数解析式，结合点A，点B，点C的横坐标可以求出A、B、C、D的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，设直线与y轴交于点D，过点A且与y轴垂直的直线交y轴于E， 过点B且与y轴垂直的直线交y轴于F，过点B与x轴垂直的直线与过点C与y轴垂直的直线交于G， 在中，当时，，当时，，当时，，当时， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的平移． 根据题意求得正方形各顶点的坐标，根据一次函数图象的平移规律可知平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵点的坐标为，正方形边长为3， ∴，，， 将直线沿轴向下平移个单位， 则平移后解析式为， 当过时，，解得； 当过时，，解得； ∴平移后的直线与正方形有交点，的取值范围是， 故选：D． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、C，作矩形，将沿直线平移，当A、B的对应点、与点C构成直角三角形时，x轴上存在一点P，使得的值最大时P的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点、与点C构成直角三角形时，只有一种情况，当、、在同一直线上时，的值最大，先求出，，从而可得，，由勾股定理可得，连接交于点，由矩形的性质可得，证明为等边三角形，得出，求出，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：点、与点C构成直角三角形时，只有一种情况， 当、、在同一直线上时，的值最大， 在中，当时，；当时，，解得， ∴，， ∴，， ∴， 连接交于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴点P的横坐标， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的综合，勾股定理，等边三角形的判定与性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 5．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、轴对称的性质，求一次函数的解析式时常用待定系数法，本题的解题关键是作定点的两个对称点． 作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，则，通过轴对称的性质可求出，待定系数法可求出 的直线方程，结合轴对称的性质可得当，在同一直线上时三角形周长最小，与 联立可求出E的坐标即可． 【详解】解：作 点关于直线的对称点，连接 ，于 轴的对称点 ，则 由题意知，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， 故，即 是等腰直角三角形， ∵关于对称， ∴， ∴ 轴，， ∴， 则 的周长， 根据两点之间线段最短可得，当 ， 在同一直线上时，三角形周长最小， 设直线 的解析式为， 则 解得 ， ∴直线 的解析式为， 与直线联立得 ， 解得，， ∴， 故选∶A． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，且与其中一个正方形的边交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用．过点A作轴于点C，则，结合直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，可得，从而得到点A的坐标为，进而得到直线的解析式，即可求解． 【详解】解：过点A作轴于点C，则， ∵直线平分这8个正方形所组成的图形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 把代入得： ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点B的纵坐标为1， 把代入得： ，解得：， ∴点B的坐标为． 故答案为： 7．（2025·江苏连云港·一模）如图，把直线向下平移m个单位长度后，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求两个一次函数的交点坐标，第一象限内的点的坐标特点，先求出平移后直线解析式为，再求出直线与与直线的交点坐标为，则根据题意可得在第一象限，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：把直线向下平移m个单位长度后得到的直线解析式为， 联立， 解得， ∴直线与与直线的交点坐标为， ∵直线与与直线的交点在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒，若与线段有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，分别求出直线经过点、点时的值，即可得到的取值范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当直线过点时，， 解得：， ∴， 解得； 当直线过点时，， 解得：， ∴， 解得， 若与线段有公共点，的取值范围是：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏淮安·月考）如图，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．    （）点的坐标为 ； （）若在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】（）利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出点的坐标，再根据求出的长即可求解； （）分和两种情况，利用平行四边形的性质及全等三角形的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，全等三角形的性质，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（）把点代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （）当时，如图， ∵点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， ∴，轴， ∴点的坐标为； 当时，如图， 由，可知，，则， ∵，，为顶点的三角形与全等， ∴，，， 即， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或．    故答案为：或． 10．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点 P 在 x 轴负半轴上，作直线 交 y  轴于点 C，以点 A 为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交 x 轴于点 B， 交y 轴于点 Q ．当 时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 过作轴于，连接，证明，根据对应边成比例得到解题即可． 【详解】解：过作轴于，连接，如图： ∵， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∵以点为旋转心把直线逆时针旋转得直线， ，即， ， ， ， ， ， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积等于面积的一半，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）分别令、，求出对应的、，即可求解； （2）先确定，，得，然后分别求得，，然后建立关于的方程进行求解，继而得到关于的方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点，， 当时，；当时，， ∴，； （2）∵点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为， ∴， ∵在射线上取点，使， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵的面积等于面积的一半，即， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数综合运用，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标与图形，三角形的面积等知识点，利用方程的思想解决问题是解题的关键． 12．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，经过点的直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为2． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围； (3)记与轴的交点为，若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)；点的坐标为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数的解析式，然后求出点M的坐标即可； （2）得到直线在直线上方时，自变量x的取值范围即可； （3）把M点的坐标代入求出n的值，然后求出点D的坐标，根据求出点P的纵坐标即可． 【详解】（1）将点代入， 得方程组：，解得， 故直线的表达式为； 点在上，且纵坐标为， 解得， 故点的坐标为； （2）解：借助图象可得直线在直线上方时，自变量x的取值范围为， ∴时，的取值范围为； （3）解：点也在上，代入点的坐标，则，解得； 与轴的交点为， 则令，代入得， 解得， ∴． ，点的纵坐标为， ， ， 设在上，故， ，得， 解得或， 当时，代入， 解得， 故； 当时，代入， 解得， 故． 综上，点的坐标为或． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2． (1)求一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，一次函数与几何图形， 对于（1），先求出点C的坐标，再根据待定系数法求出直线关系式； 对于（2），先求出点A的坐标，即可得，再根据三角形的面积公式得出答案； 对于（3），先求出，再根据三角形的面积得，结合点A的坐标即可求出答案. 【详解】（1）解：把代入得， ， 设， 把，代入可得： 解得： ； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ∴， ； （3）解：存在，理由如下： ， ， 当在轴上时，，即， ， ， 点的坐标为或. 14．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整、并解决问题． (1)函数的自变量x的取值范围是_______，y的取值范围是_______； (2)由，设计如下画图方案： 将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当时，y的取值范围是_______； ②当时，x的取值范围是_______． ③若对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)全体实数； (2)见解析 (3)①；②或；③ 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据函数，即可解答： （2）根据题意作图即可； （3）①根据函数图象，即可解答；②根据函数图象，即可解答；③画出一次函数，的图象，根据题意列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴函数的自变量x的取值范围是全体实数，y的取值范围是； 故答案为：全体实数；； （2）解：画出函数图象，如图， （3）解：①观察图象得：当时，y的取值范围是； 故答案为：； ②观察图象得：当时，x的取值范围是或； 故答案为：或； ③如图， 根据题意得：直线一定过点， ∵对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值， 当直线与平行时，，即当时，满足条件； ∴当时，，此时； 综上所述，k的取值范围为． 15．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）【问题探究】 （1）如图1，直线分别与x轴和y轴交于点A和点C，点在y轴上，连接． ①求直线的表达式； ②点P为直线上的动点，若，求点P的坐标； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标中，O为坐标原点，是小明家花园的示意图，其中点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，点C在y轴负半轴上，且米，米，小明现在准备在花园的边缘（即的边上）找一点P，连接，沿修一条小路，使得小路将分成面积比为的两部分，计划在一个区域种植郁金香，另一个区域种植牡丹，请求出直线的表达式．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）①；②或；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，求一次函数解析式，一次函数与几何问题等知识． （1）①先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出的解析式即可． ②设点，然后分两种情况当点P在线段上时和当点P在的延长线上时，根据面积的和差关系求解即可． （2）先求出的面积为，再分两种情况，当时和当时，根据面积公式得出点P的横坐标，进而求出的解析式即可． 【详解】解：（1）①∵直线分别与x轴和y轴交于点A和点C， 当时，，当时，， ∴点，点， 设直线的表达式为， ∵直线过点， ∴， 又∵直线过点， ∴， 解得， 所以直线的表达式为． ②∵，，， ∴，， ∴， 设点， 当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 当点P在的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， 综上所述：或． （2）由题意可得，，，，且， 的面积为， 当时， 则， 即， 解得， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 又∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴点P的坐标为， 此时直线的函数表达式为； 当时， 则， 即， 解得， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 又∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴点P的坐标为， 此时直线的函数表达式为， 综上，直线的函数表达式为或． 学科网（北京）股份有限公司 $